一元二次方程及其解法 综合练习
[时间: 60分钟 分值:100分]
一、选择题(每题 4分，共32分)
1.下列方程中，一定是一元二次方程的是 ( )
2. 一元二次方程 -2=0，配方后可变形为 ( )
3.解方程 最合适的方法是( )
A.配方法 B.因式分解法
C.公式法 D.直接开平方法
4.一元二次方程 的根的情况是 ( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
5为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆200人次，前三个月累计进馆728人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率，设进馆人次的月增长率为x，依题意可列方程为 ( )
B.200(1+x)+200(1+x) =728
D.200+200(1+x)+200(1+x) =728
6. “房子半边盖”是陕西十大怪之一，这种房子的结构是“人”字结构房屋的一半.如图是这种房子的屋架,∠ACB=90°,D是AB的中点,AC=a m,BC= bm,若a,b恰好是方程 的两个实数根，则CD的长是 ( )
A.1 m B.4 m C
7.若关于x的方程 与 有一个解相同，则a 的值为 ( )
A.1 B.1或-3
C.—1 D.—1 或 3
8.欧几里得的《几何原本》中记载了形如. 的方程根的图形解法：如图，画Rt△ABC,使∠ACB=90°,AC=2c,AB=b,以点 B为圆心，BC为半径画圆，交射线 AB于点 D，E，则该方程较大的根是 ( )
A. CE的长度 B. AE的长度
C. DE的长度 D. CD的长度
二、填空题(每题5分，共20分)
9. 已知关于x的方程(m-1)· 是一元二次方程，则m的值为 .
10.若关于x的方程 有两个相等的实数根，则实数c的值为 .
11. 已知m是一元二次方程 x--6=0的一个根，则代数式 5m+6的值等于 .
12.一个直角三角形的两条直角边之差是 2 cm,面积是 24 cm ,则较长的直角边的长是 .
三、解答题 ( 共48分)
13.(6 分) 将方程(x-1)(2x-3)=x(3x--1)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
14.(10分)用适当的方法解下列方程：
15.(10分)已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根.
(1)求实数k的取值范围.
(2)0可能是方程的一个根吗 若可能，请求出它的另一个根；若不可能，请说明理由.
16.(10分)已知关于x 的方程
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根中有且仅有一个正根，求m 的取值范围.
17.(12 分)【观察思考】如图.
【规律发现】请用含n的式子填空：
(1)第n个图案中“◎”的个数为 ；
(2)第1 个图案中“★”的个数可表示为 第2个图案中“★”的个数可表示为 第3个图案中“★”的个数可表示为 第4个图案中“★”的个数可表示为 第n个图案中“★”的个数可表示为 .
【规律应用】
(3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3+…+n等于第n个图案中“◎”的个数的2倍.
专题3 一元二次方程的五种解法
一、1. D 【点拨】A.方程中含有分式，不是一元二次方程；B.方程化简后是一元一次方程，不是一元二次方程；C.当a=0时，方程不是一元二次方程；D.符合一元二次方程的特征，是一元二次方程.故选 D.
2. A 【点拨】方程移项得 配方得 16=2+16,即( 故选 A.
3. B
4. A 【点拨】 ∴方程有两个不相等的实数根，故选 A.
5. D
6. D
7. C 【点拨】解方程 得 由分式方程可知x=-3不是分式方程的解.把x=1代入分式方程，得 解得a=-1.经检验,a=-1是分式方程 的解,∴a=-1,故选 C.
8. B 【点拨】
则
在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2c,AB=b,
∴方程较大的根为AB+BC=AB+BE=AE的长度,故选 B.
二、9.-1
10 【点拨】由题意得1—4c=0,则
11.12 【点拨】∵m是一元二次方程. 的一个根， 即
- 6≈12,
12.8cm 【点拨】设较长的直角边的长为 x cm.由题意可得 解得 舍去).故较长的直角
边的长是8cm.
三、13.【解】一般形式为 二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，4，-3.
14.【解】
移项，得
配方，得x +2x+1=5+1,即
即
因式分解,得(x-2)(x-2+x)=0,
即(x-2)(2x-2)=0.
∴x-2=0或2x-2=0,即x =2,x =1.
15.【解】(1)由题意可知Δ=b -4ac=[2(k-3)] -4(k -9)=-24k+72>0,∴k<3.
(2)0可能是方程的一个根.当x=0时,k -9=0,解得k =3(不合题意，舍去)，
故原方程化为 解得
∴它的另一个根为12.
16.(1)【证明】 5) ≥0.
当m=5时，△=0，则方程有两个相等的实数根；
当m≠5时，△>0，则方程有两个不相等的实数根.
∴该方程总有两个实数根.
(2)【解】由(1)知△=(m-5) ,
当m-5<0,即1m<5时,
∵该方程的两个实数根中有且仅有一个正根，
解得m≤4.
当m-5≥0,即m≥5时,
∵该方程的两个实数根中有且仅有一个正根，
解得：m≤4,与m≥5矛盾.
综上所述，m的取值范围是m≤4.
17.【解】(1)3n
(3)由题意，得
解得n=11或n=0(不符合题意,舍去).
∴正整数n的值为11，
