正方形的判定
基础题
1.下列四个菱形中分别标注了部分数据，根据所标数据，可以判断菱形是正方形的是 ( )
2.如图,已知 ABCD中,对角线AC，BD相交于点 O，下列判断中错误的是 ( )
A.若∠BAC=60°,则 ABCD为菱形
B.若OA=OB,则□ABCD为矩形
C.若AC平分∠BAD,则□ABCD为菱形
D.若∠BAC=∠ABD=45°,则□ABCD为正方形
3.如图，菱形 ABCD 的对角线AC,BD相交于点O,点E,F 同时从O点出发在线段 AC上以 1 cm/s的速度反向运动(点E，F分别到达A，C两点时停止运动)，设运动时间 为 t s. 连 接 DE,DF,BE,BF,已 知△ABD是边长为6 cm的等边三角形，当t= 时，四边形 DEBF为正方形.
4.如图,正方形CEFG的边GC在正方形ABCD的边CD上,延长CD到H,使DH=CE,K 在BC边上,且 BK=CE,连接 AK,KF,FH,HA.求证：四边形AKFH为正方形.
5. 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点 D,AN 是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点 E.
(1)求证:四边形 ADCE 为矩形;
(2)当△ABC满足 时(添加一个条件),四边形 ADCE 是正方形，并证明.
综合应用题
6.如图,在四边形ABCD 中,AB=AD,BC=DC,AC,BD交于点 O.添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的是 ( )
A.添加“∠BAD=90°”,则四边形 ABCD 是矩形
B.添加“AB∥CD”,则四边形ABCD是菱形
C.添加“OA=OC”,则四边形ABCD是菱形
D.添加“∠ABC=∠BCD=90°”,则四边形ABCD是正方形
7.如图所示为“赵爽弦图”,其中△ABE,△CBF,△CDG，△ADH是四个全等的直角三角形，且两条直角边长之比为1：2，连接 BG，DE，分别交 AE,CG 于点 M,N,连接 MN,则四边形GBED 和四边形 GMEN 的面积比为 ( )
A.5: 2 B.2:1 C : D :
8.如图,在△ABC中,D 是BC边上一点，E是AD的中点，过A作 BC的平行线交 CE 的延长线于点 F,且 AF=BD,连接BF.
(1)求证:BD=CD;
(2)如果 AB=AC,试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论；
(3)当△ABC满足什么条件时,四边形 AFBD为正方形 (写出条件即可，不要求证明)
创新拓展题
9.已知四边形 ABCD是正方形，△DEF 绕点 D 旋转(DE
(2)直线 AE与CF 相交于点G.
①如图②,BM⊥AG 于点M,BN⊥CF于点N，求证：四边形 BMGN是正方形；
②如图③,连接 BG,若AB=4,DE=2,直接写出在△DEF旋转的过程中，线段 BG 长度的最小值.
第2课时 正方形的判定
1. B 2. A
3.3 【点拨】由题意得OE=OF= tcm,
∴EF=2t cm.
∵菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,
∴OB=OD,AC⊥BD.
∴四边形 DEBF是菱形.
∴当EF=BD时,四边形 DEBF是正方形.
∵△ABD是边长为6 cm的等边三角形，
∴BD=6 cm.
∵EF=BD,∴2t=6,解得t=3.
∴当t=3时,四边形 DEBF是正方形.
4.【证明】∵四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形,∴AB=AD=DC=BC,EC=FG=EF,易得∠ADH=∠HGF=∠CEF=∠ABK=∠BAD=90°.
∵DH=CE=BK,
∴HG=EK=BC=AD=AB.
在△ADH和△ABK 中,
∴△ADH≌△ABK(SAS).
∴∠HAD=∠BAK.
∴易得∠HAK=90°.
同理可得△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH.
∴AH=AK=HF=FK.
∴四边形AKFH是正方形.
5.(1)【证明】∵在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,
∵AN 是∠CAM的平分线,
又∵AD⊥BC,CE⊥AN,
∴∠ADC=∠CEA=90°.
∴四边形 ADCE为矩形.
(2)【解】 (答案不唯一)
证明如下：
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ACB=∠B=45°.
∵AD⊥BC,
∴∠CAD=∠ACD=45°.
∴DC=AD.
∵四边形 ADCE 为矩形,
∴矩形ADCE是正方形，故当∠BAC=90°时,四边形ADCE是正方形.
6. A 7. B
8.(1)【证明】∵AF∥BC,
∴∠AFE=∠ECD.
∵E是AD的中点,∴DE=AE.
在△AEF与△DEC中
∴△AEF≌△DEC(AAS).∴AF=DC.
∵AF=BD,
∴BD=CD.
(2)【解】四边形 AFBD为矩形.
证明:∵AF=BD,AF∥BD,
∴四边形 AFBD为平行四边形.
∵AB=AC,BD=DC,
∴AD⊥BC.∴∠BDA=90°.
∴四边形 AFBD 为矩形.
(3)【解】当△ABC满足AB=AC,且∠BAC=90°时,四边形AFBD为正方形.(答案不唯一)
9.(1)【证明】∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=DC,∠ADC=90°.
∵∠EDF=90°,∴∠ADC=∠EDF.
∴∠ADE=∠CDF.
在△ADE和△CDF中. ∴△ADE≌△CDF(SAS).
(2)①【证明】设AG与CD 相交于点 P.
∵∠ADP=90°,
∴∠DAP+∠DPA=90°.
∵△ADE≌△CDF,
∴∠DAE=∠DCF.
又∵∠DPA=∠GPC,
∴∠GPC+∠GCP=∠DAE+∠DPA=90°.
∴∠PGN=90°.
又∵BM⊥AG,BN⊥GN,∴∠BMG=∠BNG=90°.
∴四边形 BMGN 是矩形.
∴∠MBN=90°.
∵四边形 ABCD是正方形，
∴AB=BC,∠ABC=90°=∠MBN.
∴∠ABM=∠CBN.
又∵∠AMB=∠BNC=90°,∴△AMB≌△CNB.
∴MB=NB.
∴矩形 BMGN 是正方形.
②【解】线段 BG长度的最小值为
