人教版数学九上 第二十三章 旋转
一、单选题
1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．在冬奥会开幕式上，美丽的冬奥雪花呈现出浪漫空灵的气质．如图，雪花图案本身的设计呈现出充分的美感，它是一个中心对称图形．其实“雪花”图案也可以看成自身的一部分围绕图案的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．如图，与关于O成中心对称，下列不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在中，，．将绕点O逆时针方向旋转90°，得到，连接．则线段的长为（ ）
A． B．2.5 C． D．
6．如图，在中，，将绕顶点A顺时针旋转，得到．若点D恰好落在边上，且，则旋转角的大小是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将绕点C顺时针方向旋转得，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，E是正方形ABCD中CD边上的点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转，得到△ABF．下列角中，是旋转角的是（ ）
A．∠DAE B．∠EAB C．∠DAB D．∠DAF
9．如图，分别是四边形的边上的点，，连接交于点，交于点，以下结论正确的有（ ）
①的周长为4；②；③；④
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
10．如图，是等边内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③
二、填空题
11．点P（－3，2）与点P′关于原点O成中心对称，则点P′ 的坐标为
12．将二次函数的图象绕原点旋转，所得新抛物线的解析式为 ．
13．如图，点是正方形内一点，，，．如果将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为，射线交边于点，那么线段的长为 ．
14．如图，P为等边△ABC的边BC上任一点，点D在BA的延长线上，将线段PD绕点P逆时针旋转60°得线段PE，连BE，则∠CBE＝ ．
15．如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，则AE的长是 ．
16．如图，将绕顺时针旋转60°得到，交于点，则 度．
17．在直角坐标系中，已知点和点关于原点对称，则的值是 ．
18．如图，在正方形网格中，格点绕某点逆时针旋转得到格点，点A与点，点B与点，点C与点是对应点，请写出旋转中心的坐标 ．
19．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2021次得到正方形OA2021B2021C2021，那么点A2021的坐标是 ．
20．如图，点是等边三角形边的中点，点是三角形内一点，连接，将线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．
三、解答题
21．如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
(1)将以为对称中心，画出中心对称后的；
(2)将绕点逆时针旋转，画出旋转后的，并请你直接写出的长度________．
22．如图，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1．若将绕点逆时针旋转90°后，得到．
(1)求的长；
(2)∠BPC度数．
23．如图，正方形的对角线和相交于点，正方形的边交于点，交于点.
（1）求证：；
（2）如果正方形的边长为，那么正方形绕点转动的过程中，与正方形重叠部分的面积始终等于__________.（用含的代数式表示）
24．如图，在△ABC中，已知AB=AC，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求∠ACE的度数．
25．已知，矩形是矩形绕点C旋转得到的，且点G落在边上．
(1)如图1，连接，求证：平分；
(2)如图2，在（1）的条件下连接交于点H，求证：H是的中点；
(3)如图3，在旋转的过程中，若C，D，F三点共线，，求的值．
26．如图1，是边长为4的等边三角形，边在射线上，且，点D从点O出发，沿射线方向以1的速度运动，当点D不与点A重合时，将线段绕点C逆时针方向旋转得到，连接，，设点D运动了t．
(1)当时，如图1，点D在线段上运动，线段与的数量关系是_____________；
(2)当，如图2，点D在线段上运动，（1）中的结论是否成立，请说明理由．
(3)当点D在射线上运动时，是否存在以D，B，E为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出此时t的值．
参考答案：
1．B
2．D
3．C
4．C
5．C
6．B
7．C
8．C
9．C
10．A
11．（3，－2）
12．
13．
14．120°
15．
16．120
17．-1
18．
19．
20．
21．1）解：由题意可知，、、，
以为对称中心的对应点坐标为、、，
如图所示，描点连线即可得到；
（2）解：由旋转的性质可知，、、，
如图所示，描点连线即可得到，
由勾股定理可得，，
22．（1）解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得，则△PBC≌△P′BA．
∴AP′=PC=1，BP′=BP=，∠PBP′=90°．
连接P P′，
在Rt△BP′P中，
∵ BP=BP′=，∠PBP′=90°，
∴ P P′2=BP′2 + BP2=4，
∴ P P′=2，∠BP′P=45°．
（2）解：在△AP′P中， AP′=1，P P′=2，AP=，
∵ ，即AP′2 + PP′2 = AP2．
∴ △AP′P是直角三角形，即∠A P′ P=90°．
∴ ∠AP′B=∠BP′P +∠A P′ P =135°．
∴ ∠BPC=∠AP′B=135°．
23．（1）在正方形中，，，.
则，
∵正方形中,
∴，∴.
在和中，
,
∴,
∴,
∴.
∵中，，,
∴;
（2）∵△AOE≌△BOF,
∴S△AOE=S△BOF，
∴重叠部分的面积=S△AOB=S正方形ABCD=，
24．（1）由题意得：AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE；
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
（2）∵AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC，而∠CAE=100°，
∴∠ACE==40°．
25．（1）证明：由旋转可知，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴平分．
（2）证明：如图，作于点M，
∴．
∵四边形为矩形，
∴，．
∵平分，
∴．
由旋转可知，，
∴，．
在和中，
∴．
∴，
∴H为的中点．
（3）解：∵，
∴设，，，
∵，
∴
∴
∵，
∴．
在中，，
∴，
即，
解得，
∴．
26．（1）解： ，理由如下：
∵将线段绕点C逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴是等边三角形，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）成立，理由如下：
∵将线段绕点C逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴是等边三角形，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，
∴当点D与点B重合时，不符合题意，
②当时，如图，记，的交点为，
∵将线段绕点C逆时针方向旋转得到，
，，
∴是等边三角形，
∴
由可得，而，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
③当时，
同理可得：，
∴不存在直角三角形．
④如图，当时，同理可得：，而，
∴，
又由（1）知，
∴，
∴只能，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述：当或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形。
