第5章 三角函数——高中数学湘教版(2019)必修一单元测试
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．如图所示，函数（且）的图像是( ).
A. B.
C. D.
2．已知函数在上单调递增,则( )
A. B. C. D.
3．已知函数，当时，取得最大值，则( )
A. B. C. D.
4．已知函数,为偶函数,则的值为( )
A. B. C. D.或
5．为了得到函数的图象,只要把函数图象上所有的点( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
6．为了得到函数的图象，只需将函数的图象( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
7．已知函数在上有且只有一个最大值点(即取得最大值对应的自变量)，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8．将函数图象上所有的点都向左平移个单位长度后,再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,得到函数的图象,则( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．函数的图像的一条对称轴方程是( )
A. B. C. D.
10．已知函数,若存在,,使,则的值可以是( )
A.2 B. C.3 D.
11．对于函数，，下列说法正确是( )
A.对任意的k，的最大值为1
B.当时，的值域中只有一个元素
C.当时，在内只有一个零点
D.当时，的值域为
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知函数（，）的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），所得函数图象的一条对称轴方程是，则的值为__________.
13．已知函数()在区间上的最大值为2,则实数的取值范围为______.
14．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（如图）.假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒M距离水面的高度H（单位：米）与转动时间t（单位：秒）满足函数关系式，，且时，盛水筒M与水面距离为2.25米，当筒车转动20秒后，盛水筒M与水面距离为______米.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．化简求值:
（1）;
（2）
16．如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转1圈，筒车的轴心O距水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d(单位：米)(在水面下则d为负数).若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：分钟)之间的关系为.
（1）求A，，，K的值；
（2）求盛水筒W出水后至少经过多少时间就可到达最高点？
（3）某时刻(单位：分钟)时，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，到水面的距离为5米，再经过分钟后，盛水筒W是否在水中？
17．已知函数.
（1）若，，求的值域；
（2）若，，都有恒成立，求a的取值范围．
18．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时,列表并填入了部分数据,如表:
0
x
0 2 0 0
（1）请将上表数据补充完整,函数的解析式为______(直接写出结果即可);
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
19．高邮某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者,工艺品平面设计如图所示,该工艺品由直角三角形ABC和以BC为直径的半圆拼接而成,点P为半圆上一点(异于B,C),点在线段AB上,且满足.已知,,设,
（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果,需满足,达到最大.当为何值时,工艺礼品达到最佳观赏效果;
（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏,需满足,且达到最大.当为何值时,取得最大值,并求该最大值.
参考答案
1．答案：C
解析：，
根据正弦函数的图象，作出函数图象如下图所示，
故选：C.
2．答案：D
解析：在上单调递增,又的最小正周期,
则在处取得最小值,在处取得最大值,
所以,,即,,
又,所以.
故选：D.
3．答案：A
解析：（其中，），当时，取得最大值，此时，所以，故.
4．答案：D
解析：因为函数为偶函数,所以,
即,
因为,所以或,
故选：D.
5．答案：D
解析：因为,所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象.
故选:D.
6．答案：B
解析：因为，
所以，
故为了得到的图象，只需将的图象向右平移个单位长度.
故选:B.
7．答案：B
解析：由，得，由题意可得，解得.
8．答案：D
解析：将图象上所有的点都向左平移个单位长度后,
得到函数的图象,
再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,
得.
故选：D.
9．答案：BCD
解析：令,解得,
当时,,
当时,,
当时,.
故选：BCD.
10．答案：BD
解析：存在,,使,即,
令,则且,故且,
所以,结合范围知:且,即在内至少存在两个k值,
若,则,可得满足;
若,则,可得,又,故;
综上,.
故选:BD
11．答案：BD
解析：对于A项，当时，，，故A错误；
对于B项，，即的值域为，故B正确；
对于C项，由，解得，函数，在的图象如下图所示
由图可知，函数，在内有两个交点，即在内有2个零点，故C错误：对于D项，
，因为，所以，，即的值域为，故D正确；
故选:BD
12．答案：0
解析：由函数的最小正周期为，得，所以.将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为，则由题意知，，得，，又，所以.
13．答案：
解析:当时,,则,由题意可得,.
14．答案：
解析：因为时，盛水筒M与水面距离为2.25米，所以，即，
又，则，
当时，.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）.
（2）.
16．答案：（1），，，；（2）分钟；（3）再经过分钟后盛水筒不在水中.
解析：（1）由题意知，，即，所以，
由题意半径为4米，筒车的轴心O距水面的高度为2米，可得：，，
当时，，代入得，，
因为，所以；
（2）由（1）知：，
盛水筒达到最高点时，，
当时，，所以，
所以，，解得，，
因为，所以，当时，，
所以盛水筒出水后至少经过分钟就可达到最高点；
（3）由题知：，即，
由题意，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，知，
所以，
所以，
所以，再经过分钟后，
所以再经过分钟后盛水筒不在水中.
17．答案：（1）；（2）
解析：（1）当时，，令，
则，
由，则，故，又，故，即的值域为；
（2）令，则，
当时，，，则，
由，即，化简得，
令，，由，故，故在上单调递增，
故，解得；
当时，，，故，
则有，即，
由，故有，，解得，综上所述，.
18．答案：（1）答案见解析;
（2）最大值为1,最小值为.
解析：（1）表格如下
0
0 2 0 0
根据表格可得,,
再根据五点法作图可得,,
故解析式为:.
（2）因为,所以,
得,
所以,当即时,在区间上的最小值为,
当即时,在区间上的最大值为1.
19．答案：（1）时,达最大值
（2）当时,达到最大值
解析：（1）因为三角形ABC为直角三角形,,
所以,
在直角中,因为,所以.
因为点P为半圆上一点,所以,又因为,
所以,
所以
,
因为,
所以当,即时,达最大值;
（2）在直角中,因为,
所以,
因为,所以,
又因为所以,
在直角中,,
所以,
,,
所以当即时,达到最大值,
答:当时,达到最大值cm.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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