圆锥曲线高考大题的类型与解法
圆锥曲线问题是近几年高考的热点问题之一，可以这样毫不夸张地说，只要是数学高考试卷，都必有一个圆锥曲线问题的12分大题。从题型上看是20（或21）题的12分大题，难度为中，高档题型，一般的考生都只能拿到4到10分。纵观近几年高考试卷，归结起来圆锥曲线大题问题主要包括：①已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求直线方程（或直线的斜率）；②已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求多边形的面积（或多边形面积的最值）；③已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求某个式子的值（或取值范围）和证明某个式子的值为定值；④已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求点的坐标（或点的轨迹方程）；⑤已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，证明直线过定点（或点在定直线上）等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答圆锥曲线大题问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地予以解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、 设椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F，点M（1，）在C上，且MFx轴。
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P（4，0）的直线与C相交于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明AQy轴（2024全国高考甲卷）
2、已知点A（0，3）和点P（3，）分别为椭圆C：=1（a＞b＞0）上的两点。
（1）求椭圆C的离心率；
（2）过点P的直线l交C于另一点B，且ABP的面积为9，求直线l的方程（2024全国高考新高考I）
3、 已知双曲线C：-=m（m＞0），点（5，4）在C上，k为常数，0＜k＜n(n=2，3，---)，过斜率为k的直线与C的左支相交于点，令为关于y轴的对称点，记的坐标为（，）。
（1） 若k=，求，；
（2） 证明数列｛-｝是公比为的等比数列；
（3） 设为的面积，证明对任意的正整数n，=（2024全国高考新
高考II）
4、（理）已知抛物线C：=4x的焦点为F。
（1）已知过点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，求证：以AB为直径的圆与直线x=-1相切；
（2）若直线：y=x+m交抛物线C于P，Q两点，当PQF的面积为2时，求直线的方程。
（文）在平面直角坐标系中，动点C到点F（1，0）的距离已与到直线x=-1的距离相等。
（1）求动点C的轨迹方程；
（2）若直线l：y=x+m与动点C的轨迹交于P，Q两点，当PQF的面积为2时，求直线l的方程。（成都市高2021级高三二诊）
5、设抛物线C：=2px（p>0）的焦点为F，点D（p，0），过点F的直线交C于M，N两点，当直线MD垂直于X轴时，|MF|=3。
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线AB，MN的倾斜角分别为，，当-取得最大值时，求直线AB的方程（2022全国高考甲卷）
6、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的四个顶点围成的四边形的面积为2，右焦点到直线x-y+2=0的距离为2（2021成都市高三三诊）。
（1）求椭圆C的方程；
（2）（理）过点M（-3，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，过点作直线l的垂线，垂足为N（点A，B在点M，N之间），若AM与BN面积相等，求直线l的方程。
（文）过点M（-3，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，过点作直线l的垂线，垂足为N（点A，B在点M，N之间），若|MA|=|BN|，求直线l的方程。
7、在平面直角坐标系XOY中，已知点(-，0)，(，0)，点M满足|M|-|M|=2,
记M的轨迹为C。
（1）求C的方程；
（2）设点T在直线x=上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|.|TB|
=|TP|.|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和（2021全国高考新高考I卷）。
8、抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在X轴上，直线l：x=1交C于P，Q两点，且OPOQ，已知点M（2，0），M与l相切。
（1）求C，M的方程；
（2）设，，是C上的三个点，直线，均与M相切，判断与M的位置关系，并说明理由（2021全国高考甲卷）。
『思考问题1』
（1）【典例1】中问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是直线的方程或直线斜率的值（或取值范围）；
（2）解答这类问题的基本思路是：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），然后运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程，消去一个未知数化为关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；④结合问题条件得到关于参数k（或m）的方程（或不等式）（注意相交于不同两点的条件）；⑤求解方程（或不等式）求出参数k（或m）的值；⑥得出问题的结果。
［练习1］解答下列问题：
1、（理）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B（0,1），右焦点为F，连接BF并延长与椭圆C相交于点C，且|CF|= |BF|。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设经过点（1，0）的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，直线AM，AN分别与直线x=3相交于点P，点Q，若APQ的面积是AMN的面积的2倍。求直线l的方程。
（文）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（，）。
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在经过点（0，2）的直线与椭圆C相交于不同的两点M，N，使得M，N与Y轴上的一点P连线后组成以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由（2019成都市高三零诊）
2、（理）已知长度为4的线段AB的两个端点A，B分别在X轴和Y轴上运动，动点P满足=3，记动点P的轨迹为曲线C。
（1）求曲线C的方程；
（2）设不经过点H（0，1）的直线y=2x+t，与曲线C相交于两点M，N，若直线HM与HN的斜率之和为1，求实数t的值。
（文）已知点A（m，0）和B（0，n），且+=16，动点P满足=3，记动点P
的轨迹为曲线C。
（1）求曲线C的方程；
（2）设不经过点H（0，1）的直线y=2x+t，与曲线C相交于两点M，N，若直线HM与HN的斜率之和为1，求实数t的值（2019成都市高三一诊）
3、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的短轴长为4，离心率为。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）（理）设椭圆C的左右焦点分别为，，左右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆
C设位于X轴上方的两点，且M//N，记直线AM，BN的斜率分别为，，若3
+2=0，求直线M/的方程。（文）设椭圆C的左右焦点分别为，，左右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C设位于X轴上方的两点，且M//N，直线M 的斜率为2 ，记直线AM，BN的斜率分别为，，求3+2的值（2019成都市高三二诊）
【典例2】解答下列问题：
1、（理）已知椭圆E：+=1（a>b>0）的离心率为，椭圆E上的点到其左，右焦点的距离之和为4。
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过左焦点F的直线l与椭圆E相交于A，B两点，M为AB的中点，O为坐标原点，若椭圆E上存在点N满足=（>0），求四边形AOBN面积的最小值及此时的值。
（文）已知椭圆E：+=1（a>b>0）的离心率为，椭圆E上的点到其左，右焦点的距离之和为4。
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过左焦点F的直线l与椭圆E相交于A，B两点，M为AB的中点，O为坐标原点，若椭圆E上存在点N满足=3，求四边形AOBN的面积（成都市高2021级高三零诊）
2、设抛物线C：=2px（p>0），直线x-2y+1=0与C相交于A，B两点，且|AB|=4。
（1）求p；（2023全国高考甲卷）
（2）设C的焦点为F，M，N为C上两点，.=0，求MNF面积的最小值。
3、在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点（0，）的距离，记动点P的轨迹为W。
（1）求W的方程；
（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明矩形的周长大于3（2023全国高考新高考I）
4、已知椭圆E：+=1（a>b>0）的右焦点为，上顶点为H，O为坐标原点，OH=，点（1，）在椭圆,E上。
（1）求椭圆E的方程；
（2）设经过点且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于A，B两点，点P（-2，0），Q（2，0），若M，N分别为直线AP，BQ与Y轴的交点，MPQ，NPQ的面积分别为，求的值（成都市2020级高三零诊）
5、已知点A（2，1）在双曲线C：-=1（a>1）上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0。
（1）求直线l的斜率；
（2）若tanPAQ=2，求PAQ的面积（2022全国高考新高考I卷）
6、（理）已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左，右焦点分别为，，点P在椭圆C上，|P|=3，P=，且椭圆C的离心率为。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=kx+m（m0）与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，求OAB面积的最大值。
（文）已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左，右焦点分别为，，点P在椭圆C上，|P|=2，P=，且椭圆C的离心率为（成都市2019级高三零诊）
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点M（3，0）直线l与椭圆C相交于A，B两点，求AB面积的最大值。
7、（理）已知椭圆C：+=1（a>b>0）经过点（，），其右顶点为A（2，0）。
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为，求APQ面积的最大值。
（文）已知椭圆C：+=1（a>b>0）经过点（，），其右顶点为A（2，0）。
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为，证明直线PQ经过定点，并求APQ面积的最大值（成都市2019级高三二诊）
8、（理）已知抛物线C：=2py（p>0）的焦点为F，且F与圆M：+=1上点的距离的最小值为4（2021全国高考乙卷）。
（1）求P；
（2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求PAB面积的最大值。
（文）已知抛物线C：=2px（p>0）的焦点为F到准线的距离为2。
（1）求C的方程；
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足=9，求直线OQ斜率的最大值。
『思考问题2』
（1）【典例2】中问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是多边形面积（或周长）的值（或取值范围或最值）；
（2）解答这类问题的基本思路是：：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程消去一个未知数化为关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；④运用多边形面积的相关知识把多边形的面积表示成关于参数的函数；⑤求出关于参数的函数值（或值域或最值）；⑥得出问题的结果。
［练习2］解答下列问题：
1、已知椭圆C：+=1（a>b>0）经过点A（1，），其长半轴长为2。
（1）求椭圆C的方程；
（2）（理）设经过点B（-1，0）的直线l与椭圆C相交于D，E两点，点E关于X轴的对称点为F，直线DF与X轴相交于点G，求DEG的面积S的取值范围。（文）设经过点B（-1，0）的直线l与椭圆C相交于D，E两点，点E关于X轴的对称点为F，直线DF与X轴相交于点G，记BEG与BDG的面积分别为，，求|-|的最大值（2021成都市高三二诊）。
2、已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左，右焦点分别为（-，0），（，0），
且经过点A（，）（2020成都市高三零诊）。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）（理）过点B（4，0）作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相较于P，Q两点，记点P
关于X轴对称的点为，若直线Q与X轴相较于点D，求DPQ面积的最大值。
（文）过点B（4，0）作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相较于P，Q两点，记点P关于X轴对称的点为，证明直线Q经过X轴上一定点D，并求出定点D的坐标。
3、已知椭圆C：+ =1（0
（2）若点P在C上，点Q在直线x=6上，且|BP|=|BQ|，BP BQ，求APQ的面积（2020全国高考新课标III）。
4、已知椭圆C：+=1（a>b>0）过点M（2，3），点A为其左顶点，且AM的斜率为（2020全国高考新高考II）。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）N为椭圆上任意一点，求AMN面积的最大值。
【典例3】解答下列问题：
1、（理）已知，分别为椭圆C：+=1（a>b>0）的左，右焦点，与椭圆C有相同焦点的双曲线-=1在第一象限与椭圆C相交于点P，且|P|=1。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线y=kx+1与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，且=m（m>0），若椭圆C上存在点E，使得四边形OAED为平行四边形，求m的取值范围。
（文）已知中心为原点，对称轴为坐标轴的椭圆C经过点P（，），Q（，）。（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点（0，1）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，2=3，=+，且点E在椭圆C上，求直线l的方程（成都市高2020级高三二诊）
2、设双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），渐近线方程为y=x。
（1）求双曲线C的方程；
（2）过F的直线与C的两条渐近线分别相交于A，B两点，点P（，），Q（，），在C上，且>>0，>0，过点P且斜率为-的直线与过点Q且斜率为的直线相交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个条件成立。①M在AB上；②PQ//AB，③|MA|=|MB|。注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分（2022全国高考新高考II卷）
3、已知抛物线C：=2px（p＞0，p4），过点A（2，0）且斜率为k的直线与抛物线C相交于P，Q两点。
（1）设点B在x轴上，分别记直线PB，QB的斜率为，，若+=0，求点B的坐标；
（2）过抛物线C的焦点F作直线PQ的平行线与抛物线C相交于M，N两点，求的值（成都市2019级高三一诊）
4、（理）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为（-1，0），（1，0），点P在椭圆E上，P，且|P|=3|P|。
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设直线l：x=my+1(mR)与椭圆E相较于A，B两点，与圆+=相较于C，D两点，求|AB|.|CD|的取值范围。
（文）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为（-1，0），（1，0），
点P（1，）在椭圆E上。
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设直线l：x=my+1(mR)与椭圆E相较于A，B两点，与圆+=相较于C，D两点，当|AB|.|CD|的值为8时，求直线l的方程（2020成都市高三二诊）。
『思考问题3』
（1）【典例3】中问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是某一式子的值（或取值范围或最值）或证明某一式子为定值；
（2）解答这类问题的基本方法是：：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程消去一个未知数得到关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；④运用相关知识把问题中的式子表示成关于参数的函数；⑤求出关于参数的函数的值（或值域或最值）或证明该式子的值与参数无关（为定值）；⑥得出问题的结果。
［练习3］解答下列问题：
1、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为（- ，0），点Q（1，）在椭圆C上（2020成都市高三三诊）。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）经过圆O：+=5上一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为A，B，直线PA，PB分别与圆O相较于异于点P的M，N两点。
（理）①求证：+=0；②求OAB的面积的取值范围。（文）①当直线PA，PB的斜率都存在时，记直线PA，PB斜率分别为，，求证：.=-1；②求的取值范围。
2、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（2，1）。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点M，N在C上，且AM AN，AD MN，D为垂足，证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值（2020全国高考新高考I）。
【典例4】解答下列问题：
1、（理）已知椭圆C：+=1（a>b>0）的离心率为，过点P（a，b）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，当l过坐标原点O时，|AB|=。
（1）求椭圆C的方程；
（2）线段OP上是否存在定点Q，使得直线QA与直线QB的斜率之积为定值，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
（文）已知椭圆C：+=1（a>b>0）的离心率为，过点P（0，a）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，当l过坐标原点O时，|AB|=2。
（1）求椭圆C的方程；
（2）当l的斜率存在时，线段OP上是否存在定点Q，使得直线QA与直线QB的斜率之和为定值，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。（2024全国高考乙卷）
2、（理）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为，，上顶点为D，且D为等边三角形，经过焦点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，AB的周长为8。
（1）求椭圆C的方程；
（2）试探究：在x轴上是否存在定点T，使得.为定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。
（文）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为，，上顶点为D，且D为等边三角形，经过焦点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，AB的周长为8。
（1）求椭圆C的方程；
（2）求AB的面积的最大值及此时直线l的方程（成都市2020级高三一诊）
3、在同一平面直角坐标系XOY中，圆+=4经过伸缩变换：=x，后得到曲线
=y，C。
（1）求曲线C的方程；
（2）（理）设直线l与曲线C相较于A，B两点，连接BO并延长与曲线C相较于点D，且
|AD|=2，求ABD面积的最大值；（文）设曲线C与X轴和Y轴的正半轴分别相交于A，B两点，P是曲线C位于第二象限上的一点，且直线PA与Y轴相交于点M，直线PB与X轴相交于点N，求ABM与BMN的面积之和（2021成都市高三零诊）。
4、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且直线+=1与圆+=2相切。
（1）求椭圆C的方程；
（2）（理）设直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，M为线段AB的中点，O为坐标原点，射线OM与椭圆C相交于点P，且O点在以AB为直径的圆上，记AOM，BOP的面积分别为，，求的取值范围。（文）设直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，M为线段AB的中点，O为坐标原点，射线OM与椭圆C相交于点P，且|OP|= |OM|，
求ABO的面积（2021成都市高三一诊）
5、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为（-，0），（，
0），且经过点A（，）（2020成都市高三零诊）。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）（理）过点B（4，0）作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相较于P，Q两点，及点P关于X轴对称的点为，若直线Q与X轴相较于点D，求DPQ面积的最大值。（文）过点B（4，0）作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相较于P，Q两点，记点P关于X轴对称的点为，证明直线Q经过X轴上一定点D，并求出定点D的坐标。
『思考问题4』
（1）【典例4】中问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是某点的坐标（或点的轨迹方程）；
（2）解答这类问题的基本方法是：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程得到方程组，消去一个未知数化为关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；④运用相关知识结合问题的条件把点的坐标表示成关于参数k（或m）的式子；⑤求出参数的值得到点的坐标（或消去参数得到点的轨迹方程）；⑥得出问题的结果。
1、已知椭圆：=1（a＞b＞0）的右焦点F与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，过F且与X轴垂直的直线交于A，B两点，交于C，D两点，且|CD|
=|AB|（2020全国高考新课标II）。
（1）求的离心率；
（2）（理）设M是与的公共点，若|MF|=5，求与的标准方程。（文）若的四个顶点到的准线距离之和为12，求与的标准方程。
2、（理）已知抛物线C：=2px过点P（1，1），过点（0，）的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作X轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点。
（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）求证：A为线段BM的中点。
（文）已知椭圆C的两个顶点分别为A（-2，0），B（2，0），焦点在X轴上，离心率为。
（1）求椭圆C的方程；
（2）点D为X轴上一点，过D作X轴的垂线交椭圆C于不同两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E，求证：BDE与BDN的面积之比为4：5（2017全国高考北京卷）
（理科图） （文科图）
【典例5】解答下列问题：
1、已知双曲线C：-=1（a>0）的左，右顶点分别为A，B，右焦点为F，过点F的直线与双曲线相交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为S，且直线AM，BS的斜率之积为-。（成都市高2021级高三二诊）
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）直线BM，BN分别与直线x=1相交于P，Q两点，求证：以PQ为直径的圆经过定点，并求出定点的坐标。
2、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，点A（-2，0）在C上。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点（-2，3）的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点（2023全国高考乙卷）
3、已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为（-2，0），离心率为。
（1）求C的方程；
（2）记C的左，右顶点分别为，，过点（-4，0）的直线与C的左支相交于M，N两点，M在第二象限，直线M与直线N相交于点P，证明：点P在定直线上。
4、（理）已知斜率为的直线l与抛物线E：=4x相交于P，Q两点。
（1）求线段PQ中点纵坐标的值；
（2）已知点T（，0），直线TP，TQ分别与抛物线E相交于M，N两点（异于P，Q），求证：直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标。
（文）已知斜率为的直线l与抛物线E：=4x相交于P，Q两点。
（1）求线段PQ中点纵坐标的值；
（2）已知点T（，0），直线TP，TQ分别与抛物线E相交于M，N两点（异于P，Q），则在y轴上是否存在一定点S，使直线MN恒过定点，若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由（成都市高2020级高三三珍）
5、已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为X轴，Y轴，且过点A（0，-2），B（，-1）两点。
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过点P（1，-2）的直线交E于M，N两点，过M且平行于X轴的直线与线段AB交于点T，点H满足=，证明直线HN过定点（2022全国高考乙卷）
6、已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（，2），椭圆C的右顶点到抛物线E：=2px（p>0）的准线的距离为4。
（1）求椭圆C和抛物线E的方程；
（2）设与两坐标轴都不垂直的直线l与抛物线E相交于A，B两点，与椭圆C相交于M，N两点，O为坐标原点，若.=-4，则在x轴上是否存在点H，使得x轴平分MHN，若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由（成都市2019级高三三珍）
7、已知椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），右焦点为F（，0），且离心率为。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线+=相切，证明M，N，F三点共线的充分必要条件是|MN|= ，（2021全国高考新高考II卷）。
8、（理）已知椭圆C：+=1的右焦点为F，过点F的直线（不与X轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，直线l：x=2与X轴相较于点H，过点A作ADl，垂足为D。
（1）求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；
（2）证明：直线BD过定点E，并求出点E的坐标。
（文）已知椭圆C：+=1的右焦点为F，过点F的直线（不与X轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，直线l：x=2与X轴相较于点H，E为线段FH的中点，直线BE与直线l的交点为D。
（1）求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；
（2）证明：直线AD与X轴平行（2020成都市高三一诊）。
『思考问题5』
（1）【典例5】中问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是直线过定点（或点在定直线上）；
（2）解答这类问题的基本方法是：：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程消去一个未知数化为关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；④运用相关知识结合问题的条件把直线方程（或某点的坐标）表示成关于参数k（或m）的式子；⑤确定直线存在与参数k（或m）无关的点（定点）（或把某点的坐标代入给定的直线方程验证）；⑥得出问题的结果。
［练习5］解答下列问题：
1、已知A，B分别为椭圆E：+=1（a>1）的左，右顶点，G为E上顶点，.=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一个交点为C，PB与E的另一个交点为D。
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点（2020全国高考新课标I）。
2、（理）已知抛物线C：=2py经过点（2，-1）。
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=-1分别交直线OM，ON于点A和点B，求证：以AB为直径的圆经过Y轴上的两个定点。
（文）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设O为原点，直线l：y=kx+t（t1）与椭圆C相较于不同两点P，Q，直线AP与x轴相较于点M，直线AQ与x轴相较于点N，若|OM|.|ON|=2，求证：直线l经过定点（2019全国高考北京）
圆锥曲线高考大题的类型与解法
圆锥曲线问题是近几年高考的热点问题之一，可以这样毫不夸张地说，只要是数学高考试卷，都必有一个圆锥曲线问题的12分大题。从题型上看是20（或21）题的12分大题，难度为中，高档题型，一般的考生都只能拿到4到10分。纵观近几年高考试卷，归结起来圆锥曲线大题问题主要包括：①已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求直线方程（或直线的斜率）；②已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求多边形的面积（或多边形面积的最值）；③已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求某个式子的值（或取值范围）和证明某个式子的值为定值；④已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求点的坐标（或点的轨迹方程）；⑤已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，证明直线过定点（或点在定直线上）等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答圆锥曲线大题问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地予以解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、 设椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F，点M（1，）在C上，且MFx轴。
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P（4，0）的直线与C相交于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明AQy轴（2024全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①椭圆定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法；④线段中点定义与性质；⑤平方差公式及运用；⑥两直线垂直充分必要条件及运用。
【解题思路】（1）根据椭圆的性质，运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件就可求出椭圆C的方程；（2）设A（，），B（，），根据已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法，得到关于，，，的等式，从而得到关于，的表示式，证明点Q的纵坐标等于，就可证明AQy轴。
【详细解答】（1）椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F，点M（1，）在C上，且MFx轴，c=1①，4+9=4②， =+③，联立①②③解得：=4，=3，椭圆C的方程为+=1；（2）设A（，），B（，），
=，-=4（-），（-）（+）
=-=（4+）-（4+）=4（-）（+）=4（-）（+），+=+，2=5-3， P（4，0），F（1，0），N（，0），===,，AQy轴。
2、已知点A（0，3）和点P（3，）分别为椭圆C：=1（a＞b＞0）上的两点。
(1)求椭圆C的离心率；
(2)过点P的直线l交C于另一点B，且ABP的面积为9，求直线l的方程（2024全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①椭圆定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③两点之间的距离公式及运用；④三角形面积公式及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥两条直线平行的充分必要条件及运用。
【解题思路】（1）根据椭圆的性质，运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件就可求出椭圆C的方程；（2）根据两点之间建立公式和三角形面积公式，结合问题条件得到点B到直线PA的距离，运用两条直线平行的充分必要条件和点到直线的距离公式，就可求出直线l的方程得。
【详细解答】（1）点A（0，3）和点P（3，）分别为椭圆C：=1（a＞b＞0）上的两点，b=3①，36+9=4②，=+③，联立①②③解得：=12，=9，=3，椭圆C的离心率为e==；（2）|PA|==，
=|PA|=9，=，直线PA的方程为x+2y-6=0，设过点B与直线PA平行的直线为x+2y+n=0，====，n=6，或n=-18，当n=-18时，联立直线PB与椭圆C的方程得：4-54y+234=0，显然此时过点B的直线与椭圆C没有公共点，与题意不符；当 n=6时，过点B的直线方程为x+2y+6=0与直线PA关于原点对称，B（0，-3），或B（-3，-），直线PB的方程为x-2y=0，或3x-2y-6=0，直线l的方程为为x-2y=0，或3x-2y-6=0。
1、已知双曲线C： -=m（m＞0），点（5，4）在C上，k为常数，0＜k＜n(n=2，3，---)，过斜率为k的直线与C的左支相交于点，令为关于y轴的对称点，
记的坐标为（，）。
（1）若k=，求，；
（2）证明数列｛-｝是公比为的等比数列；
（3）设为的面积，证明对任意的正整数n，=（2024全国高考新
高考II）
【解析】
【考点】①双曲线定义与性质；②已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法；③等比数列定义与性质；④证明数列是等比数列的基本方法；⑤三角形面积公式及运用；⑥两条直线平行的充分必要条件及运用。
【解题思路】（1）根据双曲线的性质，结合问题条件求出m的值，从而得到双曲线C左顶点的坐标，运用已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法，得到的坐标，就可求出（，）；（2）根据等比数列的性质和已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法，结合问题条件分别得出1+k，1-k的表示时，运用证明数列为等比数列的基本方法，就可证明数列｛-｝是公比为的等比数列；（3）根据三角形面积公式，由（2）得到两点之间建立公式和三角形面积公式，结合问题条件得到点B到直线PA的距离，运用两条直线平行的充分必要条件和点到直线的距离公式，就可求出直线l的方程得。
【详细解答】（1）点（5，4）在C上，m=25-16=9，双曲线C的左顶点为（-3，0），过点（-3，0）和（5，4）直线的斜率k==，（-3，0），为关于y轴的对称点，=(3,0), =3,=0；（2）k=，1+k
=，1-k=， =，
=
===1，
=，数列｛-｝是公比为的等比数列；（3）=
=|（-）（-）-（-）（+）|，k== ，
设t=，=k|（-）（+）-（-）（+）|=k|-|
-=（-）==，+==，2=+，
=（+），=k|-（+）（）|=k|(
++18)-( ++9+)|=k|18-()9+)|，只与k相关，与n无关，=。
4、（理）已知抛物线C：=4x的焦点为F。
（1）已知过点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，求证：以AB为直径的圆与直线x=-1相切；
（2）若直线：y=x+m交抛物线C于P，Q两点，当PQF的面积为2时，求直线的方程。
（文）在平面直角坐标系中，动点C到点F（1，0）的距离已与到直线x=-1的距离相等。
（1）求动点C的轨迹方程；
（2）若直线l：y=x+m与动点C的轨迹交于P，Q两点，当PQF的面积为2时，求直线l的方程。（成都市高2021级高三二诊）
【解析】
【考点】①抛物线定义与性质；②判断直线与圆位置关系的基本方法；③点的轨迹方程定义与性质；④求点轨迹方程的基本方法；⑤设而不求，整体代入数学思想及运用；⑥弦长公式及运用；⑦点到直线的距离公式及运用；⑧三角形面积公式及运用。
【解题思路】（理）（1）如图，分别过点A，B，作AC垂直直线x=-1于点C，BD垂直直线x=-1于点D，取AB的中点E，作EG垂直直线x=-1于点G，证明以AB为直径的圆与直线x=-1相切，只需证明EG=AB即可；（2）设P（，），Q（，），联立直线与抛物线C的方程，得到关于x的一元二次方程，根据设而不求，整体代入的数学思想，得到+，.关于m的表示式，运用弦长公式，点到直线的距离公式和三角形面积公式，结合问题条件得到关系m的方程，求解方程求出m的值就可求出直线的方程。
（文）（1）根据点的轨迹方程的性质，运用求点轨迹方程的基本方法，结合问题条件就可求出动点C的轨迹方程；（2）设P（，），Q（，），联立直线l与动点C的轨迹方程，得到关于x的一元二次方程，根据设而不求，整体代入的数学思想，得到+，.关于m的表示式，运用弦长公式，点到直线的距离公式和三角形面积公式，结合问题条件得到关系m的方程，求解方程求出m的值就可求出直线l的方程。
【详细解答】（理）（1）如图，分别过点A，B，作AC垂直 C y A
直线x=-1于点C，BD垂直直线x=-1于点D，取AB的中 G E
点E，作EG垂直直线x=-1于点G，=4x的焦点为F， D 0 B F x
|FA|=|AC|，|FB|=|BD|，点E是AB的中点，EG=（|AC|+|BD|）=（|FA|+|FB|）|AB|，
即以AB为直径的圆与直线x=-1相切；（2）设P（，），Q（，），联立直线
与抛物线C的方程得：，直线AB过焦点（1，0），直线AB的方程为x=my+1，联立直线AB和椭圆C的方程得：+（2m-4）x+=0， +=4-2m，.=，|PQ|==4，=.=，
=|PQ|=2|1+m|=2，P，Q是不同两点，.=16-16m.+4-4=16(1-m)>0，
m<1，（+2m+1）(1-m)=1，解之得：m=0或m=，直线的方程的方程为x-y=0，或x-y+=0，或x-y-=0。
（文）（1）设动点C（x，y），|CF|=，点C到直线x=-1的距离为
d=|x+1|，动点C到点F（1，0）的距离已与到直线x=-1的距离相等，=|x+1|，
=4x，动点C的轨迹方程为=4x（x≥0），（2）设P（，），Q（，），联立直线l与动点C的轨迹方程得：+（2m-4）x+=0， +=4-2m，.=，|PQ|==4，=.=，=
|PQ|=2|1+m|=2，P，Q是不同两点，.=16-16m.+4-4=16(1-m)>0，
m<1，（+2m+1）(1-m)=1，解之得：m=0或m=，直线l的方程的方程为x-y=0，或x-y+=0，或x-y-=0。
5、设抛物线C：=2px（p>0）的焦点为F，点D（p，0），过点F的直线交C于M，N两点，当直线MD垂直于x轴时，|MF|=3。
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线AB，MN的倾斜角分别为，，当-取得最大值时，求直线AB的方程（2022全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①抛物线定义与性质；②求抛物线方程的基本方法；③已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法；④求直线方程的基本方法；⑤正切三角函数差角公式及运用。
【解题思路】（1）根据抛物线的性质，运用求抛物线方程的基本方法，结合问题条件就可求出抛物线C的方程；（2）如图，设M（，），N（，），根据已知直线两点的坐标，求直线斜率的基本方法，结合问题条件分别表示出，，均与M相切，得到关于，，的等式，运用判断直线与圆位置关系的基本方法就可判断与M的位置关系。
【详细解答】（1）如图，当直线MD垂直于X轴时，点M为（p，p），在RtMDF中，|FD|=p，|DM|=p ，|FM|=3，|FD| y B
+|DM|=|FM|，+2=9，p=2， M
抛物线C的方程为：=4x；（2）如图， 0 N F D x
A
设M（，），N（，）， F（1，0），D（2，0），直线MN过点F，直线MN的方程为：x=my+1，联立直线MN和抛物 线C的方程得：-4my-4=0， +=4m，. =-4，=tan= ==①， 点A， D，M在直线AM上， =，=，
=-，同理由点B，D，N在直线BN上可得=-，= tan=
=-=-=，tan(-)===，当且仅当2m=，即m=-时，tan(-)=为最大值，此时-取得最大==-，+==8m=-4，. ==-16， 直线AB的方程为：y-=-（x-），即x+y-4=0。
6、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的四个顶点围成的四边形的面积为2，右焦点到直线x-y+2=0的距离为2（2021成都市高三三诊）。
（1）求椭圆C的方程；
（2）（理）过点M（-3，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，过点作直线l的垂线，垂足为N（点A，B在点M，N之间），若AM与BN面积相等，求直线l的方程。
（文）过点M（-3，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，过点作直线l的垂线，垂足为N（点A，B在点M，N之间），若|MA|=|BN|，求直线l的方程。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④两点之间的距离公式及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥求直线方程的基本方法。
【解题思路】（1）根据椭圆的性质和求椭圆方程的基本方法，结合问题条件得到关于a，b，c的方程组，求解方程组求出a，b的值就可求出椭圆C的方程；（2）（理）设A（，），B（，），根据求直线方程的基本方法求出直线N的方程，从而得到点N的坐标，运用设而不求，整体代入的数学思想和两点之间的距离公式，得到|MN|关于参数m的表示式，利用点到直线的距离公式和三角形面积公式得到关于m的方程，求解方程求出m的值就可求出直线l的方程。（文）设A（，），B（，），根据求直线方程的基本方法求出直线N的方程，从而得到点N的坐标，运用设而不求，整体代入的数学思想和两点之间的距离公式，得到|MA|，|BN|关于参数m的表示式，从而得到关于m的方程，求解方程求出m的值就可求出直线l的方程。
【详细解答】（1）椭圆C：=1（a＞b＞0）的四个顶点围成的四边形的面积为2，右焦点到直线x-y+2=0的距离为2，2ab=2①，===2②，=+③，联立①②③解得：=5，=1，椭圆C的方程为+=1；（2）（理）设A（，），B（，），直线l过点M（-3，0），直线l的方程为x=my-3，
联立直线l和椭圆C的方程得：（+5）-6my+4=0，+=，.=，
直线N的方程为y=-mx+2m，N（，），|MN|=
=，==，=-=,|MN|
. -|M|.||=|M|.||，.=（2+3）|+|=，5（+5）=6（+1），m=，直线l的方程为x=y-3或x=-y-3。
（文）设A（，），B（，），直线l过点M（-3，0），直线l的方程为x=my-3，
联立直线l和椭圆C的方程得：（+5）-6my+4=0，+=，.=，
直线N的方程为y=-mx+2m，N（，），|MA|=|BN|，|-0|=|
-|，点A，B在点M，N之间，+=，=， m=，即直线l的方程为x=y-3或x=-y-3。
7、在平面直角坐标系xOy中，已知点(-，0)，(，0)，点M满足|M|-|M|=2,
记M的轨迹为C。
（1）求C的方程；
（2）设点T在直线x=上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|.|TB|
=|TP|.|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和（2021全国高考新高考I卷）。
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②求双曲线方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④求圆方程的基本方法；⑤已知直线上两点的坐标，求直线方程的基本方法；⑥判断直线与圆位置关系的基本方法。
【解题思路】（1）根据双曲线的性质和求双曲线方程的基本方法，结合问题条件就可求出C的方程；（2）如图，设A（，），B（，），T（，m），直线AB的斜率为，直线PQ的斜率为，根据直线点斜式方程求出直线AB的方程，联立直线AB和双曲线C的方程消去y得到关于x的一元二次方程，运用设而不求，整体代入的数学思想，得到|TA|.|TB|关于，m的表示式，同理可得|TP|.|TQ|关于，m的表示式，联立两个表示式得到关于，的等式，求出，之间的关系就可求出直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和。
【详细解答】（1）点(-，0)，(，0)，点M满足|M|-|M|=2, a=1，c=，=-=17-1=16，C的方程为-=1（x1）；（2）如图，设A（，
），B（，），T（，m），直线AB的斜率为，直线PQ的斜率为，直线AB过点T（，m），斜率为，直线AB的方程为y=x-+m，联立直线AB和双曲线C的方程消去y得：（16-）+（-2m）x-+m--16=0，+
=，.=，|TA|.|TB|=（1+）（-）（-）
=（1+）[-+]=-（1+）=（1+）
，同理可得|TP|.|TQ|=（1+），|TA|.|TB|=|TP|.|TQ|，（1+）
=（1+），（1+）（）=（1+）（），=，，
=-，+=0，直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0。
8、抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在X轴上，直线l：x=1交C于P，Q两点，且OPOQ，已知点M（2，0），M与l相切。
（1）求C，M的方程；
（2）设，，是C上的三个点，直线，均与M相切，判断与M的位置关系，并说明理由（2021全国高考甲卷）。
【解析】
【考点】①抛物线的定义与性质；②圆的定义与性质；③求抛物线方程的基本方法；④求圆方程的基本方法；⑤已知直线上两点的坐标，求直线方程的基本方法；⑥判断直线与圆位置关系的基本方法。
【解题思路】（1）根据抛物线与圆的性质和求抛物线与圆方程的基本方法，结合问题条件就可求出抛物线和圆的方程；（2）如图，设（，），（，），（，），根据直线，均与M相切，得到关于，，的等式，运用判断直线与圆位置关系的基本方法就可判断与M的位置关系。
【详细解答】（1）设抛物线的方程为 =2px（p>0），直线l：x=1交C于P，Q两点，P（1，），Q（1，-），=（1，），=（1，-）， OPOQ，.=1-2P=0，p=，抛物线C的方程为： =x，点M（2，0），M与l相切，M的方程为：+=1；如图，设（，），（，），（，），直线，的方程 y
分别为：x-y+ =0，x-y 0
+ =0，直线，均与M相
切，=1，，，是方程（-1）+2x-+3=0
的两根，直线的方程为：x-(+)y+=0，点M到直线的距离
====1，直线与M相切。
『思考问题1』
（1）【典例1】中问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是直线的方程或直线斜率的值（或取值范围）；
（2）解答这类问题的基本思路是：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），然后运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程，消去一个未知数化为关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；④结合问题条件得到关于参数k（或m）的方程（或不等式）（注意相交于不同两点的条件）；⑤求解方程（或不等式）求出参数k（或m）的值；⑥得出问题的结果。
［练习1］解答下列问题：
1、（理）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B（0,1），右焦点为F，连接BF并延长与椭圆C相交于点C，且|CF|= |BF|。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设经过点（1，0）的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，直线AM，AN分别与直线x=3相交于点P，点Q，若APQ的面积是AMN的面积的2倍。求直线l的方程。
（文）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（，）。
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在经过点（0，2）的直线与椭圆C相交于不同的两点M，N，使得M，N与Y轴上的一点P连线后组成以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由（2019成都市高三零诊）
（答案：（理）（1）椭圆C的方程为：+=1；（2）直线l的方程为：x-2y-1=0或x+2y-1=0。（文）（1）椭圆C的方程为：+=1；（2）存在经过点（0，2）直线l，其
方程为：x-2y+4=0或x+2y-4=0与椭圆C相交于不同的两点M，N，使得M，N与y轴上的一点P（0，-）连线后组成以P为直角顶点的等腰直角三角形。）
2、（理）已知长度为4的线段AB的两个端点A，B分别在X轴和Y轴上运动，动点P满足=3，记动点P的轨迹为曲线C。
（1）求曲线C的方程；
（2）设不经过点H（0，1）的直线y=2x+t，与曲线C相交于两点M，N，若直线HM与HN的斜率之和为1，求实数t的值。
（文）已知点A（m，0）和B（0，n），且+=16，动点P满足=3，记动点P
的轨迹为曲线C。
（1）求曲线C的方程；
（2）设不经过点H（0，1）的直线y=2x+t，与曲线C相交于两点M，N，若直线HM与HN的斜率之和为1，求实数t的值（2019成都市高三一诊）
（答案：（理）（1）曲线C的方程是：+=1；（2）t的值是3。（文）（1）曲线C的方程是：+=1；（2）t的值是3。）
3、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的短轴长为4，离心率为。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）（理）设椭圆C的左右焦点分别为，，左右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆
C设位于X轴上方的两点，且M//N，记直线AM，BN的斜率分别为，，若3
+2=0，求直线M/的方程。（文）设椭圆C的左右焦点分别为，，左右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C设位于X轴上方的两点，且M//N，直线M 的斜率为2 ，记直线AM，BN的斜率分别为，，求3+2的值（2019成都市高三二诊）
（答案：（1）椭圆C的标准方程是：+ =1；（2）3+2=0.）
【典例2】解答下列问题：
1、（理）已知椭圆E：+=1（a>b>0）的离心率为，椭圆E上的点到其左，右焦点的距离之和为4。
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过左焦点F的直线l与椭圆E相交于A，B两点，M为AB的中点，O为坐标原点，若椭圆E上存在点N满足=（>0），求四边形AOBN面积的最小值及此时的值。
（文）已知椭圆E：+=1（a>b>0）的离心率为，椭圆E上的点到其左，右焦点的距离之和为4。
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过左焦点F的直线l与椭圆E相交于A，B两点，M为AB的中点，O为坐标原点，若椭圆E上存在点N满足=3，求四边形AOBN的面积（成都市高2021级高三零诊）
【解析】
【考点】①椭圆定义与性质；②求椭圆方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④平面向量坐标运算法则和基本方法；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥弦长公式及运用；⑦三角形面积公式及运用；⑧基本不等式及运用。
【解题思路】（理）（1）根据椭圆的性质，运用求椭圆方程的基本方法，结合问题条件就可求出椭圆E的方程；（2）根据设而不求，整体代入的数学思想，点到直线的距离公式和椭圆的弦长公式，结合问题条件求出|AB|，点O到直线AB的距离关于参数k，m的式子，根据三角形的面积公式得到OAB面积关于参数k，m的表示式，运用基本不等式求出表示式的最值就可得到OAB面积的最大值。（文）（1）根据椭圆的性质，运用求椭圆方程的基本方法，结合问题条件就可求出椭圆E的方程；（2）根据设而不求，整体代入的数学思想，由点N在椭圆E上得到关于m的方程，求解方程求出m的值，运用点到直线的距离公式和椭圆的弦长公式，结合问题条件求出|AB|，点O到直线AB的距离的值，利用三角形的面积公式得到OAB面积，从而就可求出四边形AOBN的面积。
【详细解答】（理）（1）椭圆E：+=1（a>b>0）的离心率为，椭圆E上的点
到其左，右焦点的距离之和为4， =①，2a=4②，=+③，联立①②③解得：=4，=3，椭圆E的方程为：+=1；（2）设A（+，），B（，），由（1）知F（-1，0）， 直线l经过点F，直线l的方程 y
为x=my-1，联立直线l和椭圆E的方程得： A
（4+3）-6my-9=0， M是AB的中点， N
+=，=-，+ B
=m(+)-2== ，M（，），=（，），=（>0），N（，），点N在椭圆E上，+=1，4+3=，|AB|=
=，==.，=|PQ|=.
=，=（>0），=4+3≥4，=
==≥≥，当且仅当=4，即=2时，等号成立，
四边形AOBN面积的最小值为，及此时的值为2。
（文）（1）椭圆E：+=1（a>b>0）的离心率为，椭圆E上的点到其左，右焦点的距离之和为4， =①，2a=4②，=+③，联立①②③解得：=4，=3，椭圆E的方程为：+=1；（2）设A（，），B（，），由（1）知F（-1，0）， 直线l经过点F，直线l的方程 为x=my-1，联立直线l和椭圆E的方程得：
（4+3）-6my-9=0， M是AB的中点， y A
+=，=-，+ N
=m(+)-2== ， B
M（，），=（，），=3，N（-，），点N在椭圆E上，+=1，9-3-20=0，=，|AB|===，=.==，=|PQ|=.=，=3，=3=。
2、设抛物线C：=2px（p>0），直线x-2y+1=0与C相交于A，B两点，且|AB|=4。
（1）求p；（2023全国高考甲卷）
（2）设C的焦点为F，M，N为C上两点，.=0，求MNF面积的最小值。
【解析】
【考点】①抛物线定义与性质；②设而不求，整体代入数学思想及运用；③弦长公式及运用；④平面向量数量积定义与性质；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥三角形面积公式及运用。
【解题思路】（1）根据抛物线的性质，运用设而不求，整体代入数学思想和弦长公式，结合问题条件得到关于p的方程，求解方程就可求出p的值；（2）如图，设M（，），N（，）， 直线MN的方程为x=my+n，联立抛物线C和直线MN的方程得到关于y的一元二次方程，运用设而不求，整体代入数学思想得到 +，.关于m，
n的表示式，结合问题条件得到关于m，n的等式，从而求出n的取值范围，利用弦长公式，点到直线的距离公式和三角形面积公式得到MNF面积关于n的表示式，由n的取值范围就可求出MNF面积的最小值。
【详细解答】（1）设A（，），B（，），联立抛物线C和直线方程得：-4py+2p=0，+=4p，.=2p，|AB|==2=4 ，2-p
-6=0，p=2或p=-，p>0， p=2；（2）如图，设M（，），N（，）， 直线MN的方程为x=my+n，联立抛物线C与直线MN的方程得：-4my-4n=0， +
=4m，.=-4n， +=m（+）+2n y M
=4+2n，.=.+mn（+）+
=-4n + 4n+=，F（1，0）， 0 F x
=（,-1，），=（,-1，）， N
.=0，（,-1)（,-1）+=.-（+）+1+=-4-6n+1=0， 4（+n）=，M，N 是不同两点，=16+16n=16（+n）>0， +n>0， n1，且-6n+1=4≥0，n≥3+2或n≤3-2， =
=，|MN|==4，=|MN|
=2|1-n|=，当且仅当n=3-2时，= = 12-8为最小值，即MNF面积的最小值为12-8。
2、在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点（0，）的距离，记动点P的轨迹为W。
（3）求W的方程；
（4）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明矩形的周长大于3（2023全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①点轨迹方程定义与性质；②求点轨迹方程的基本方法；③两点之间的距离公式及运用；④矩形定义与性质；⑤已知在直线上两点求直线斜率的基本方法；⑥设而不求，整体代入数学思想及运用；⑦矩形周长公式及运用。
【解题思路】（1）根据点轨迹方程的性质，运用求点轨迹方程的基本方法，结合问题条件就可求出WD的方程；（2）设A（，+），B（，+），C（，+）在轨迹W上，根据直线方程的求法，求出直线AB的方程为y=k（x-)++，直线BC的方程为y=（x-)++，联立直线和W的方程得到关于x的一元二次方程，运用设而不求，整体代入数学思想得到 +，.关于k的表示式，利用两点之间的距离公式和矩形的周长公式，得到矩形ABCD周长关于k的表示式，由求函数值域的基本方法求出矩形ABCD周长的取值范围就可证明结论。
【详细解答】（1）设P（x，y），点P到x轴的距离等于点P到点（0，）的距离，
|y|=，y=+，W的方程为y=+；（2）设A（，+），
B（，+），C（，+）在轨迹W上，直线AB的方程为y=k（x-)++，直线BC的方程为y=（x-)++，联立直线AB和W的方程得：-kx+k-=0，
A，B是不同两点，=-4（k-）>0，， +=k，.=k-，=k-，同理可得-，=-，矩形ABCD的周长为2（|AB|+|BC|）
=2|-|+2|-|=2|2-k|+2|2-|=2
（|2-k|+|2-|），设f() =（|2-k|+|2-|），k（0，1]，①当<-时，f()=-（+2）+k-在（-，-）上单调递减，f()>f(-)=k+；②
当-<<时，f()=-（-2）+k+在（-，）上单调递增，f()>f(-)
=k+；③当>时，f()=-（+2）-k+在（，+）上单调递增，f()>f()
>f(-)=k+，综上所述函数f()的最小值为k+，矩形ABCD的周长为2
f()>2（k+）k（0，1]，设g（x）=2（x+）x（0，1]，（x）
=，令（x）=0解得：x=，当x（0，）时，（x）<0，当x（，1]时，（x）>0，函数g（x）在（0，）上单调递减，在（，1]上单调递增，
函数g（x）的最小值为g（）=2（+）=3，矩形ABCD的周长大于3。
4、已知椭圆E：+=1（a>b>0）的右焦点为，上顶点为H，O为坐标原点，OH=，点（1，）在椭圆,E上。
（1）求椭圆E的方程；
（2）设经过点且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于A，B两点，点P（-2，0），Q（2，0），若M，N分别为直线AP，BQ与Y轴的交点，MPQ，NPQ的面积分别为，求的值（成都市2020级高三零诊）
【解析】
【考点】①椭圆定义与性质；②求椭圆方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想运用的基本方法；④椭圆弦长公式及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥三角形面积公式及运用；⑦基本不等式及运用。
【解题思路】（1）根据椭圆的性质，运用求椭圆方程的基本方法，结合问题条件就可求出椭圆C的方程；（2）根据设而不求，整体代入的数学思想，点到直线的距离公式和椭圆的弦长公式，结合问题条件求出|AB|，点O到直线AB的距离关于参数k，m的式子，根据三角形的面积公式得到OAB面积关于参数k，m的表示式，运用基本不等式求出表示式的最值就可得到OAB面积的最大值。
【详细解答】（1）椭圆C：+=1（a>b>0）的右焦点为，上顶点为H，O为坐标原点，OH=，点（1，）在椭圆,E上， =①，4+9=4②，=+③，联立①②③解得：=4，=3，椭圆E的方程为：+=1；（2）设A（，），B（，），由（1）知（1，0）， y
直线l经过点，直线l的方程为x=my+1，联立 H A
直线l和椭圆E的方程得：（4+3）+6my-9=0， P Q x
+=-，=-，m B
=（+），=，直线AP的方程为y=(x+2)，令x=0，得y=，点M（0，），同理可得点N（0，-），|PQ|=2-（-2）=4，
=|PQ|=，=|PQ|||=，=
=====。
5、已知点A（2，1）在双曲线C：-=1（a>1）上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0。
（1）求直线l的斜率；
（2）若tanPAQ=2，求PAQ的面积（2022全国高考新高考I卷）
【解析】
【考点】①双曲线定义与性质；②求双曲线方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④椭圆弦长公式及运用；⑤三角形面积公式及运用。
【解题思路】（1）设P（，），Q（，），直线l的方程为y=kx+m，根据双曲线的性质和求双曲线方程的基本方法，结合问题条件得到关于的方程，求解方程求出的值，从而得到双曲线的方程，联立直线l和双曲线C的方程得到关于x的一元二次方程，运用设而不求，整体代入数学思想得到+，.关于k，m的式子，由+ =0得到关于k，m的方程，求解方程就可求出直线l的斜率；（2）如图，设直线AP的倾斜角为，根据直线倾斜角与斜率的关系，结合问题条件得到直线AP的斜率，由点P在双曲线C上得到关于，的方程组，求解方程组求出，的值，从而求出m，+，.的值，得到直线AP的方程，|AP|，|AQ|关于，的表示式，从而求出PAQ的面积。
【详细解答】（1）设P（，），Q（，），直线l的方程为y=kx+m，点A（2，1）在双曲线C：-=1（a>1）上，4-4-=（-1），=2，双曲线C的方程为-=1，联立直线l和双曲线C的 P y A
方程得：（2-1）+4kmx+2+2=0， 0 x
+=-，.=，+ Q
=+=
==0，k+km+m+2-1 =(k+1)(m+2k-1)=0，直线l不过点A，k=-1； （2）如图，设直线AP的倾斜角为， tanPAQ=2， tan = ，2+PAQ=，==tan=①，点P（，）在双曲线C上，-=1②，联立①②解得：=，=，m=，+=，.=，直线AP的方程为y=(x-2)+1，点P（，(-2)+1），|AP|===|-2|，同理可得
|AQ|=|-2|，sinPAQ==，=3|.-2（+）+4|=|-+4|==，PAQ的面积为。
6、（理）已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左，右焦点分别为，，点P在椭圆C上，|P|=3，P=，且椭圆C的离心率为。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=kx+m（m0）与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，求OAB面积的最大值。
（文）已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左，右焦点分别为，，点P在椭圆C上，
|P|=2，P=，且椭圆C的离心率为（成都市2019级高三零诊）
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点M（3，0）直线l与椭圆C相交于A，B两点，求AB面积的最大值。
【解析】
【考点】①椭圆定义与性质；②求椭圆方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想运用的基本方法；④椭圆弦长公式及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥三角形面积公式及运用；⑦基本不等式及运用。
【解题思路】（理）（1）根据椭圆的性质，运用求椭圆方程的基本方法，结合问题条件就可求出椭圆C的方程；（2）根据设而不求，整体代入的数学思想，点到直线的距离公式和椭圆的弦长公式，结合问题条件求出|AB|，点O到直线AB的距离关于参数k，m的式子，根据三角形的面积公式得到OAB面积关于参数k，m的表示式，运用基本不等式求出表示式的最值就可得到OAB面积的最大值。（文）（1）根据椭圆的性质，运用求椭圆方程的基本方法，结合问题条件就可求出椭圆C的方程；（2）根据设而不求，整体代入的数学思想，点到直线的距离公式和椭圆的弦长公式，结合问题条件求出|AB|，点O到直线AB的距离关于参数k，m的式子，根据三角形的面积公式得到OAB面积关于参数k，m的表示式，运用基本不等式求出表示式的最值就可得到OAB面积的最大值。
【详细解答】（理）（1）椭圆C：+=1（a>b>0）的左，右焦点分别为，，点P在椭圆C上，|P|=3，P=，且椭圆C的离心率为，4=4+-2（2a-3）①，e==②，=+③，联立①②③解得：=4，=3，椭圆C的方程为：+=1；（2）设A（，），B（，），联立直线l和椭圆C的方程得：（3+4）+8kmx+4-12=0，+=-， A y P
=，|AB|= x
=， B
====2 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 2，当且仅当=，即
=2+，OAB的面积取得最大值。
（文）（1）椭圆C：+=1（a>b>0）的左，右焦点分别为，，点P在椭圆C上，|P|=3，P=，且椭圆C的离心率为，4=4+-2（2a-2）①，e==②，=+③，联立①②③解得：=4，=3，椭圆C的方程为：
+=1；（2）设A（，），B（，），直线l过点M（3，0），直线l的方程为：x=my+3，联立直线l和椭圆C的方程得：（3+4）+18my+15=0，+
=-，=，|AB|= y
. =， A P
==，= B x
|AB|.=，设t=，A，B是不同两点，=48（3-5）>0，
>，t（0，+），3=+5，==，当且仅当t=即t==3，也就是=时，AB的面积取得最大值。
7、（理）已知椭圆C：+=1（a>b>0）经过点（，），其右顶点为A（2，0）。
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为，求APQ面积的最大值。
（文）已知椭圆C：+=1（a>b>0）经过点（，），其右顶点为A（2，0）。
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为，证明直线PQ经过定点，并求APQ面积的最大值（成都市2019级高三二诊）
【解析】
【考点】①椭圆定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④椭圆弦长公式及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥三角形面积公式及运用；⑦求函数最值的基本方法。
【解题思路】（理）（1）根据椭圆的性质和求椭圆方程的基本方法，结合问题条件得到关于的方程，求解方程求出的值就可得到椭圆的方程；（2）设P（，），Q（，），根据求直线方程的基本方法，结合问题条件求出直线PQ的方程，联立直线PQ和椭圆C的方程得到关于y的一元二次方程，运用设而不求，整体代入的数学思想和已知直线上两点，求直线斜率的基本方法，得到，关于，，，的表示式，从而得到关于n的方程，求解方程求出n的值，由椭圆的弦长公式和点到直线的距离公式求出|PQ|，关于参数m的表示式，利用三角形的面积公式得到APQ面积关于参数m的函数，由求函数最值的基本方法求出函数的最值就可得到APQ面积的最大值。（文）（1）根据椭圆的性质和求椭圆方程的基本方法，结合问题条件得到关于的方程，求解方程求出的值就可得到椭圆的方程；（2）设P（，），Q（，），根据求直线方程的基本方法，结合问题条件求出直线PQ的方程，联立直线PQ和椭圆C的方程得到关于y的一元二次方程，运用设而不求，整体代入的数学思想和已知直线上两点，求直线斜率的基本方法，得到，关于，，，的表示式，从而得到关于n的方程，求解方程求出n的值，由椭圆的弦长公式和点到直线的距离公式求出|PQ|，关于参数m的表示式，利用三角形的面积公式得到APQ面积关于参数m的函数，由求函数最值的基本方法求出函数的最值就可得到APQ面积的最大值。
【详细解答】（理）1）椭圆C：+=1（a>b>0）经过点（，），其右顶点为A（2，0），a=2①，+=1②，联立①②解得：=4，=1，椭圆C的方程为+=1；（2）设P（，），Q（，），直线PQ的方程为x=my+n，联立直线PQ和椭圆C的方程得：（+4）+2mny+-4=0， +=-，.=-，+=m(+)+4n==，.=.+ mn(+)+=，直线AP的斜率为==，直线BP的斜率为==，.======，n=-3，|PQ|=.
=.，==，=|PQ|=
..=，令t=，t[0，+），==，当且仅当t=3时，==为最大值，APQ的面积最大值为。（文）（1）椭圆C：+=1（a>b>0）经过点（，），其右顶点为A（2，0），a=2①，+=1②，联立①②解得：=4，=1，椭圆C的方程为+=1；（2）设P（，），Q（，），直线PQ的方程为x=my+n，联立直线PQ和椭圆C的方程得：（+4）+2mny+-4=0， +=-，.=-，+=m(+)+4n==，.=.+ mn(+)+==，直线AP的斜率为==，直线BP的斜率为==，.======，n=-3，直线PQ的方程为：x=my-3，当y=0时，x=0-3=-3，直线PQ过定点（-3，0） ，|PQ|=.
=.，==，=|PQ|=.
.=，令t=，t[0，+），==，当且仅当t=3时，==为最大值，APQ的面积最大值为。
8、（理）已知抛物线C：=2py（p>0）的焦点为F，且F与圆M：+=1上点的距离的最小值为4（2021全国高考乙卷）。
（1）求P；
（2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求PAB面积的最大值。
（文）已知抛物线C：=2px（p>0）的焦点为F到准线的距离为2。
（1）求C的方程；
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足=9，求直线OQ斜率的最大值。
【解析】
【考点】①抛物线的定义与性质；②圆的定义与性质；③求抛物线切线方程的基本方法；④设而不求，整体代入数学思想及运用；⑤抛物线弦长公式及运用；⑥点到直线的距离公式及运用；⑦三角形面积公式及运用；⑧求函数最值的基本方法；⑨平面向量的定义与性质；⑩已知直线上两点的坐标，求直线斜率的公式及运用。
【解题思路】（理）（1）根据抛物线和圆的性质，结合问题条件得到关于p的方程，求解方程就可求出p的值；（2）根据求曲线在某点处切线方程的基本方法分别求出切线PA，PB的方程，从而求出直线AB的方程，联立直线AB与抛物线C的方程消去y得到关于x的一元二次方程，运用设而不求，整体代入数学思想，弦长公式和点到直线的距离公式求出|AB|，点P到直线AB的距离关于点P横坐标的式子，根据三角形的面积公式得到PAB面积关于点P横坐标的函数，利用求函数最值的基本方法求出函数的最值就可得到PAB面积的最大值。（文）（1）根据抛物线的性质，结合问题条件得到关于p的方程，求解方程求出p的值就可求出抛物线C的方程；（2）根据平面向量的性质，结合问题条件求出点Q关于点P坐标的表示式，由点P在抛物线C上求出点Q的轨迹方程，联立直线OQ与点Q的轨迹方程消去y得到关于x的一元二次方程，运用直线OQ与点Q的轨迹相切时斜率最大得到关于直线OQ斜率k的方程，求解方程就可求出直线OQ斜率的最大值。
【详细解答】（理）（1）F（0，），F与圆M：+=1上点的距离的最小值为4，+3=4，p=2， p=2；（2）设A（，），B（，），P（，），
由（1）知，=4y，切线PA，PB的方程分别为：y=x-, y=x-，切线PA，PB均过点P（，），=-，=-，直线AB的方程为y
=x-+=x-，联立直线AB与抛物线C的方程消去y得：-2x+4
=0，+=2，.=4，+=1，|AB|==
，==，=|AB|=
==，-5-3，当且仅当=-5时，取得最大值=20，即PAB面积的最大值为20。（文）（1）
抛物线C：=2px（p>0）的焦点为F到准线的距离为2，+=p=2，抛物线C的方程为=4x；（2）设P（，），Q（x，y），直线OQ的方程为y=kx，=（x-，y-），=（1-x，-y），=9, x-=9-9x，y-=-9y，=10x-9，=10y，P（10x-9，10y），点P在抛物线C上，100=4（10x-9），点Q的轨迹方程为=x-（x>0），联立直线OQ和点Q的轨迹方程消去y得：-x+=0，当且仅当直线OQ与点Q的轨迹相切时，直线OQ的斜率最大，=-4=-
=0，k=，直线OQ斜率的最大值为。
［练习2］解答下列问题：
1、已知椭圆C：+=1（a>b>0）经过点A（1，），其长半轴长为2。
（1）求椭圆C的方程；
（2）（理）设经过点B（-1，0）的直线l与椭圆C相交于D，E两点，点E关于X轴的对称点为F，直线DF与X轴相交于点G，求DEG的面积S的取值范围。（文）设经过点B（-1，0）的直线l与椭圆C相交于D，E两点，点E关于X轴的对称点为F，直线DF与X轴相交于点G，记BEG与BDG的面积分别为，，求|-|的最大值（2021成都市高三二诊）。（答案：（1）椭圆C的方程为+=1；（2）（理）DEG的面积S的取值范围是（0，）。（文）|-|的最大值为。）
2、已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左，右焦点分别为（-，0），（，0），
且经过点A（，）（2020成都市高三零诊）。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）（理）过点B（4，0）作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相较于P，Q两点，记点P
关于X轴对称的点为，若直线Q与X轴相较于点D，求DPQ面积的最大值。
（文）过点B（4，0）作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相较于P，Q两点，记点P关于X轴对称的点为，证明直线Q经过X轴上一定点D，并求出定点D的坐标。
（答案：（1）椭圆C的标准方程为+=1；（2）（理）DPQ面积的最大值为。（文）直线Q经过x轴上一定点D，且定点D的坐标为（1，0）。）
3、已知椭圆C：+ =1（0
（2）若点P在C上，点Q在直线x=6上，且|BP|=|BQ|，BP BQ，求APQ的面积（2020全国高考新课标III）。
（答案：（1）椭圆C的方程为：+=1；（2）APQ的面积为。）
4、已知椭圆C：+=1（a>b>0）过点M（2，3），点A为其左顶点，且AM的斜率为（2020全国高考新高考II）。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）N为椭圆上任意一点，求AMN面积的最大值。
（答案：（1）椭圆C的标准方程为：+=1；（2）AMN面积的最大值为18。）
【典例3】解答下列问题：
1、（理）已知，分别为椭圆C：+=1（a>b>0）的左，右焦点，与椭圆C有相同焦点的双曲线-=1在第一象限与椭圆C相交于点P，且|P|=1。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线y=kx+1与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，且=m（m>0），若椭圆C上存在点E，使得四边形OAED为平行四边形，求m的取值范围。
（文）已知中心为原点，对称轴为坐标轴的椭圆C经过点P（，），Q（，）。（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点（0，1）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，2=3，=+，且点E在椭圆C上，求直线l的方程（成都市高2020级高三二诊）
【解析】
【考点】①椭圆定义与性质；②双曲线第一与性质；③求椭圆标准方程的基本方法；④设而不求，整体代入数学思想及运用；⑤平行四边形定义与性质；⑥平面向量定义与性质；⑦平面向量坐标运算的基本方法。
【解题思路】（理）（1）根据椭圆和双曲线的性质，运用求椭圆方程的基本方法，结合问题条件就可求出椭圆C的方程；（2）设A（，），B（，），D（m，m），联立直线方程和椭圆C的方程得到关于x的一元二次方程，运用设而不求，整体代入的数学思想，根据平行四边形和平面向量的性质，求出点E的坐标，由点A，B，E在椭圆C上，得到关于，，，的等式，从而得到m关于kd的表示式，就可求出m的取值范围。
（文）（1）根据椭圆的性质，运用求椭圆方程的基本方法，结合问题条件就可求出椭圆C的方程；（2）设A（，），B（，），由直线l过点（0，1）得到直线l的方程为x=my-m，联立直线l和椭圆C的方程得到关于y的一元二次方程，根据设而不求，整体代入的数学思想，结合问题条件求出点E的坐标，由点A，B，E在椭圆C上，得到关于，，，的等式，从而得到关于m的方程，求解方程求出m的值，就可求出直线l的方程。
【详细解答】（理）（1）如图，，分别为椭圆C： y P
+=1（a>b>0）的左，右焦点，椭圆C与双曲
线-=1有相同焦点，-=4+1=5①，椭 B
圆C与双曲线在第一象限相交于点P，且|P|=1，
|P|=4+1=5，2a=|P|+|P|=5+1=6②，联立①②解得：=9，=4，椭圆C的方程为+=1；（2）设A（，），B（，），D（m，m），联立直线和椭圆C的方程得：（9+4）+18kx-27=0， +=-，.=-，四边形OAED为平行四边形，=（m，m），=，E（+m，+m），
点A，B，E在椭圆C上，m>0，4+9+18m=0，（9+4）
+9k（+）+9+18m=0，-（9+4）-9k+9+18m=0，m=2-
， 1≤m<2，即若椭圆C上存在点E，使得四边形OAED为平行四边形，则m的取值范围是[1，2）。
（文）（1）由题意设题意C的方程为A+B=1（A>0，B>0），椭圆C经过点P（，），Q（，）， 3 A+B=1①，6 A+B=1②，联立①②解得：A=，B=，椭圆C的方程为+=1；（2）设A（，），B（，），
直线l过点（0，1），直线l的方程为 y
x=my-m，联立直线l和椭圆C的方程得： E A
（9+4）-18x+9-36=0，
+=，.=，
=（，），=（，）， B
2=3，=+，==（，），=+，=（+，+），点A，B，E在椭圆C上，m>0，4+9+27=0，（4+9）-4（+）+4+27=0，（4+9）4+4+27=0，m=， 直线l的方程为2x-3x+3=0或2x+3x-3=0。
2、设双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），渐近线方程为y=x。
（1）求双曲线C的方程；
（2）过F的直线与C的两条渐近线分别相交于A，B两点，点P（，），Q（，），在C上，且>>0，>0，过点P且斜率为-的直线与过点Q且斜率为的直线相交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个条件成立。①M在AB上；②PQ//AB，③|MA|=|MB|。注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分（2022全国高考新高考II卷）
【解析】
【考点】①双曲线定义与性质；②求双曲线标准方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④已知直线上一点的坐标和斜率，求直线方程的基本方法；⑤两点之间距离公式及运用。
【解题思路】（1）根据双曲线的性质，运用求双曲线标准方程的基本方法，结合问题条件求出，的值就可得到双曲线C方程；（2）设直线PQ的方程为x=my+n，选取①②为条件，根据直线AB过点F（2，0），得到直线AB的方程为x=my+2，分别联立直线AB和双曲线C的渐近线方程，求出A（，），B（，-），联立直线PQ和双曲线C的方程得到关于x的一元二次方程，由设而不求，整体代入数学思想得到+，.关于k，n的表示式，从而得到点M的轨迹方程，由点M在直线AB上得到证明点M是线段AB的中点，就可证明结论。
【详细解答】（1）双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），渐近线方程为y=x，+=4①，=②，联立①②解得：=1，=3，双曲线C
的方程为-=1，（2）设直线PQ的方程为x=my+n，点M（，），选取①②为条件，直线AB过点F（2，0），PQ//AB，直线AB的方程为x=my+2，分别联立直线AB和双曲线C的渐近线方程解得：=，=，=，=-，A（，），B（，-），联立直线PQ与双曲线C的方程得：（3-1）+6mnx+3-3=0，+=-，.=，-==，=-，=， =-（）①，=（）②，①-②得：-=-2-（+）=m（-），=，①+②得：+-2= m（+）+2n-2=-（-），==3m，点M的轨迹为直线y=3mx，+=+==，
+=-==，点M的坐标同时满足=m+2和=3m，=，=，点M是线段AB的中
点，|MA|=|MB|。
3、已知抛物线C：=2px（p＞0，p4），过点A（2，0）且斜率为k的直线与抛物线C相交于P，Q两点。
（1）设点B在x轴上，分别记直线PB，QB的斜率为，，若+=0，求点B的坐标；
（2）过抛物线C的焦点F作直线PQ的平行线与抛物线C相交于M，N两点，求
的值（成都市2019级高三一诊）
【解析】
【考点】①抛物线定义与性质；②已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④弦长公式及运用；⑤两点之间距离公式及运用。
【解题思路】（1）根据抛物线的性质和已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法，结合问题条件得到关于k，p的方程，求解方程就可求出点B的坐标；（2）设M（，），N（，），联立直线与抛物线的方程，得到关于x的一元二次方程，根据设而不求，整体代入的数学思想，运用弦长公式和两点之间的距离公式得到关于k，p的等式，从而求出的值。
【详细解答】（1）设B（，0），P（，），Q（，），直线过点A（2，0）且斜率为k， 直线的方程为y=k(x-2)，联立直线和抛物线C的方程得：-y-4p=0，+
=，.=-4p，=，=，+=0，+
=-（+）=（-2-）=0，=-2，点B的坐标为（-2，0）；（2）设M（，），N（，），直线过抛物线C的焦点F，且与直线PQ的平行，直线的方程为y=k(x-)，联立直线和抛物线C的方程得：-y-=0，+
=，.=-，|MN|=.=，|AP|=||，
|AQ|= ||，|AP|.|AQ|= |.|=，=
.=。
4、（理）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为（-1，0），（1，0），点P在椭圆E上，P，且|P|=3|P|。
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设直线l：x=my+1(mR)与椭圆E相较于A，B两点，与圆+=相较于C，D两点，求|AB|.|CD|的取值范围。
（文）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为（-1，0），（1，0），点P（1，）在椭圆E上。
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设直线l：x=my+1(mR)与椭圆E相较于A，B两点，与圆+=相较于C，D两点，当|AB|.|CD|的值为8时，求直线l的方程（2020成都市高三二诊）。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③直线垂直直线的定义与性质；④设而不求，整体代入数学思想及运用；⑤椭圆弦长公式及运用；⑥圆弦长公式及运用；⑦求函数值域的基本方法。
【解题思路】（1）运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出，的值就可得到椭圆的标准方程；（2）（理）设A（，），B（，），根据椭圆的性质，椭圆弦长公式和圆弦长公式，结合问题条件得到|AB|，|CD|关于参数m的式子，从而得到|AB|.|CD|关于参数m的函数，利用求函数值域的基本方法就可求出|AB|.|CD|的取值范围；（文）设A（，），B（，），P（，）根据椭圆的性质，椭圆弦长公式和圆弦长公式，结合问题条件得到关于参数m的方程，求解方程求出m的值就可得到直线l的方程。
【详细解答】（理）（1）设P（，），椭圆E：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为（-1，0），（1，0），点P在椭圆E上，P，且|P|=3|P|，=+1①，+=1②，. =-1③，2=a④，联立①②③④解得：=2，=1，椭圆E的标准方程为：+=1；（2）如图设A（，），B（，），由 +=1，得：（2+ ）+2my-1=0，+=-，
x=my+1，.=-，|AB|=
.=，+=2，直线l：x=my+1(mR)与圆+=相较于C，D两点，==，|CD|=4（2-）=，|AB|.|CD|=.==8（2-），2-<2，48（2-）<16，即|AB|.|CD|的取值范围是[4，16）。（文）（1）椭圆E：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为（-1，0），
（1，0），点P（1，）在椭圆E上，=+1①，+=1②，联立①②解得：=2，=1，椭圆E的标准方程为：+=1；（2）如图设A（，），B（，），由 +=1，得：（2+ ）+2my-1=0，+=-，
x=my+1，.=-，|AB|=
=，+=2，直线l：x=my+1 (mR)与圆+=相较于C，D两点，==，|CD|=4（2-）=，|AB|.|CD|
=.==8，=1，m=1，当|AB|.|CD|的值为8时，直线l的方程为：x-y-1=0或x+y-1=0。
『思考问题3』
（1）【典例3】中问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是某一式子的值（或取值范围或最值）或证明某一式子为定值；
（2）解答这类问题的基本方法是：：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程消去一个未知数得到关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；④运用相关知识把问题中的式子表示成关于参数的函数；⑤求出关于参数的函数的值（或值域或最值）或证明该式子的值与参数无关（为定值）；⑥得出问题的结果。
［练习3］解答下列问题：
1、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为（- ，0），点Q（1，）在椭圆C上（2020成都市高三三诊）。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）经过圆O：+=5上一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为A，B，直线PA，PB分别与圆O相较于异于点P的M，N两点。
（理）①求证：+=0；②求OAB的面积的取值范围。（文）①当直线PA，PB的斜率都存在时，记直线PA，PB斜率分别为，，求证：.=-1；②求的取值范围。（答案：（1）椭圆E的标准方程为：+=1；（2）（理）①提示：根据直线PA，PB斜率存在和不存在两种情况分别证明结论；②OAB面积的取值范围是[，1]。（文）
的取值范围是 [，]。）
2、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（2，1）。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点M，N在C上，且AM AN，AD MN，D为垂足，证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值（2020全国高考新高考I）。
（答案：（1）椭圆C的标准方程为：+=1；（2）（理）OAB面积的取值范围是[，1]。（文）存在点Q（，），使得|QD|=为定值。）
【典例4】解答下列问题：
1、（理）已知椭圆C：+=1（a>b>0）的离心率为，过点P（a，b）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，当l过坐标原点O时，|AB|=。
（1）求椭圆C的方程；
（2）线段OP上是否存在定点Q，使得直线QA与直线QB的斜率之积为定值，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
（文）已知椭圆C：+=1（a>b>0）的离心率为，过点P（0，a）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，当l过坐标原点O时，|AB|=2。
（1）求椭圆C的方程；
（2）当l的斜率存在时，线段OP上是否存在定点Q，使得直线QA与直线QB的斜率之和为定值，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。（2024全国高考乙卷）
【解析】
【考点】①椭圆定义与性质；②椭圆离心率定义与性质；③求椭圆方程的基本方法；④设而不求，整体代入数学思想及运用；⑤已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法；⑥解答探索性问题的基本方法。
【解题思路】（理）（1）根据椭圆和椭圆离心率的性质，运用求椭圆方程的基本方法和设而不求，整体代入数学思想，结合问题条件，得到关于a的方程，求解方程求出a的值，从而求出b的值就可求出椭圆C的方程；（2）设在线段OP上是否存在定点Q，使得直线QA与直线QB的斜率之积为定值，根据已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法，运用求解探索问题的基本方法，结合问题条件得到关于的方程，求解方程就可得出结果。（文）
（1）根据椭圆和椭圆离心率的性质，运用求椭圆方程的基本方法，结合问题条件，得到关于a的方程，求解方程求出a的值，从而求出b的值就可求出椭圆C的方程；（2）设在线段OP上是否存在定点Q，使得直线QA与直线QB的斜率之和为定值，根据已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法，运用求解探索问题的基本方法，结合问题条件得到关于k，的表示式，利用表示式就可得出结果。
【详细解答】（理）（1）椭圆C：+=1（a>b>0）的离心率为， =，=，=，过点P（a，a）和坐标原点的直线l方程为y=x，联立直线l和椭圆C的方程得：2=，A（a，a），B（-a，-a），|AB|
==a=，=4，==1，椭圆C的方程为+=1；（2）如图，设在线段OP上存在定点Q（2，），
使得直线QA与 直线QB的 斜率之积为定值，A（， y P
EMBED Equation.DSMT4 ），B（，），由（1）知P（2，1），直线l过点P， A
直线l的方程为x=my+2-m，联立直线l与椭圆C
的 方程得：（+4）+2（2-m）y+-4m=0， B
+=-， =，+=m（+）+4-2m=，
=+（2-m）（+）+-4m+4=，=，=，.=.=
=，当且仅当=即=时，.=恒成立，在线段OP上是否存在定点Q（1，），使得直线QA与 直线QB的 斜率之积等于为定值。
（文）（1）椭圆C：+=1（a>b>0）的离心率为， =，=，=，过点P（0，a）和坐标原点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，A（0，b），B（0，-b），|AB|=2b=2，=1，=4=4，椭圆C的方程为+=1；（2）如图，设在线段OP上是否存在定点Q（0，），使得直线QA与 直线QB的 斜率之和为定值，A（，），B（，），由（1）知P（0，2），直线l过点P， 直线
l的方程为y=kx+2，联立直线l与椭圆C的 y
方程得：（1+4）+16kx+12=0， P
+=-， =， A
y P
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 +=k（+）+4=，
=+2k（+） +4 B
=，=，=，+=+
===，当且仅当2-1
=0，即=时，+=0恒成立，在线段OP上是否存在定点Q（0，），使得直线QA与 直线QB的 斜率之和等于0为定值。
2、（理）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为，，上顶点为D，且D为等边三角形，经过焦点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，AB的周长为8。
（1）求椭圆C的方程；
（2）试探究：在x轴上是否存在定点T，使得.为定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。
（文）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为，，上顶点为D，且D为等边三角形，经过焦点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，AB的周长
为8。
（1）求椭圆C的方程；
（2）求AB的面积的最大值及此时直线l的方程（成都市2020级高三一诊）
【解析】
【考点】①椭圆定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④向量数量积定义与性质；⑤向量坐标运算法则和基本方法；⑥弦长公式及运用；⑦点到直线距离公式及运用；⑧三角形面积公式及运用；⑨求函数最值的基本方法；⑩求直线方程的基本方法。。
【解题思路】（理）（1）根据椭圆的性质，运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件就可求出椭圆C的标准方程；（2）设A（，），B（，），在x轴存在定点T（，0），使得.为定值，联立直线AB与椭圆C的方程，得到关于y的一元二次方程，根据设而不求，整体代入的数学思想，得到+，.关于m的表示式，从而得到+，.关于m的表示式，运用向量数量积的性质和向量坐标运算的法则与基本方法得到关于m，的表示式，求出，.=-为定值时，的值就可求出点T的坐标。（文）（1）根据椭圆的性质，运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件就可求出椭圆C的标准方程；（2）设A（，），B（，），联立直线AB与椭圆C的方程，得到关于y的一元二次方程，根据设而不求，整体代入的数学思想，得到+，.关于m的表示式，运用弦长公式，点到直线的距离公式和三角形面积公式得到AB面积关于m的表示式，利用求函数最值和直线方程的基本方法，就可求出AB的面积的最大值及此时直线l的方程。
【详细解答】（理）（1）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为，，上顶点为D，且D为等边三角形， a=2c，过焦点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，AB的周长为8，4a=8，a=2，c=1，=-=4-1=3，椭圆C的方程为：+=1；（2）设A（，），B（，），在x轴存在定点T（，0），使得.为定值，直线AB过焦点（1，0），直线AB的方程为x=my+1，联立直线AB和椭圆C的方程得：（4+3）+6my-9=0， +=-，.=-，+=m（+）+2=，.=.m（+）+1=，=（-，），=（-，），.=.-（+）++.=-+-=+，当且仅当-=，即=时，.=-为定值，此时点T的坐标为（-，0）。
（文）（1）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为，，上顶点为D，且D为等边三角形， a=2c，过焦点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，AB的周长为8，4a=8，a=2，c=1，=-=4-1=3，椭圆C的方程为：+=1；（2）设A（，），B（，），直线AB过焦点（1，0），直线AB的方程为x=my+1，联立直线AB和椭圆C的方程得：（4+3）+6my-9=0，+
=-，.=-，|AB|=.=，
==，=|AB|=
=，设t=，t[1，+），==，当且仅当3t+=3+1=4时，即t=1时，取得最最大值3，由t==1，得m=0，此时直线l的方程为x=1。
3、在同一平面直角坐标系XOY中，圆+=4经过伸缩变换：=x，后得到曲线
=y，C。
（1）求曲线C的方程；
（2）（理）设直线l与曲线C相较于A，B两点，连接BO并延
