第2课时 矩形的判定
基础题目
1.下列图形一定为矩形的是( )
2. 李师傅要做一个矩形桌面，做好后量得一对长边长为 80 cm，一对短边长为60 cm,对角线长为 100 cm,则这个桌面 (填“合格”或“不合格”).
3.在平面直角坐标系中，已知点A(-2,-1),点 B(2,3),点 C(2,-1),在平面直角坐标系中找一点 D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形为矩形，则BD的长为 ，点 D的坐标为 .
4.如图，A，B为5×5的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此图中以A，B为顶点的格点矩形共可以画出 个.
5.如图,在平行四边形ABCD中,对角线 BD,AC 相交于点 O,AE⊥BD,BF⊥AC,垂足分别为 E,F.若 CF=DE,求证：四边形 ABCD为矩形.
6.如图,四边形ABCD是菱形,E,F,G,H 分别是边 AB,BC,CD,DA 的中点,连接EF,FG,GH,HE.求证:四边形 EFGH 是矩形.
综合应用题
7. 如图,在 四边 形 ABCD 中,∠A=∠B=90°,AD=10cm,BC=8cm,点P从点 D 出发,以 1 cm/s的速度向点 A运动,同时点 M从点 B 出发，以相同的速度向点 C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动.设点 P 的运动时间为 ts，下列结论正确的是 ( )
A.当t=4时,四边形ABMP 为矩形
B.当t=5时，四边形CDPM为平行四边形
C.当CD=PM时,t=4
D.当CD=PM时,t=4或6
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC的垂直平分线分别交 AC,AB于点D,E,过点 B 作DE的垂线，交 DE的延长线于点F.已知DE=1，AD=3,则四边形 BCDF 的面积为 .
9如图，点 M 在 ABCD 的边AD 上, BM = CM, 请 从 以 下 三 个 选 项①∠1=∠2;②AM=DM;③∠3=∠4 中,选择一个合适的选项作为已知条件，使□ABCD为矩形.
(1)你添加的条件是 (填序号)；
(2)添加条件后，请证明□ABCD为矩形.
10.如图,将 ABCD 的边 AB 延长至点 E,使 BE=AB,连接 DE,EC,BD,DE交 BC于点 O.
(1)求证:△ABD≌△BEC;
(2)若∠BOD=2∠A,求证:四边形 BECD 是矩形.
11. 如图,□ABCD中,AC,BD相交于点O,E,F 分别是OA,OC的中点,连接 DE,BF,DF,BE.
(1)求证:BE=DF.
(2)设 当k为何值时，四边形 DEBF 是矩形 请说明理由.
创新拓展题
12. 如图，△ABC 中，点 O 是边AC上一个动点,过O作直线 MN∥BC.设MN 交∠ACB的平分线于点 E,交△ABC的外角∠ACD 的平分线于点 F.
(1)求证:OE=OF;
(2)若CE=12,CF=9,求OC的长;
(3)连接AE,AF,当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形 并说明理由.
第 2 课时 矩形的判定
1. C 2.合格3.4;(-2,3) 4.4
5.【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCF=∠DAO.
在 Rt△ADE 与Rt△BCF中,
∴Rt△ADE≌Rt△BCF(HL).
∴∠ADE=∠BCF.
∴∠ADE=∠DAO.
∴DO=AO,
∴AC=BD.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形.
6. 【证明】连接AC,BD,
∵E,F分别为AB,BC的中点,
∴EF为△ABC的中位线.
∴EF∥AC且
同理可得,HG∥AC且HG AC,EH∥BD
∴EF∥HG且EF=HG.
∴四边形 EFGH为平行四边形.
∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD.
∵EF∥AC,∴EF⊥BD.
∵EH∥BD,∴EH⊥EF.
∴∠FEH=90°.
∴四边形 EFGH是矩形.
7. D 【点拨】根据题意,可得 DP=t cm,BM=t cm.
∵AD=10 cm,BC=8cm,
∴AP=(10-t) cm,CM=(8-t) cm.
当四边形ABMP为矩形时,AP=BM,
即 10-t=t,解得t=5,故 A不正确;
当四边形CDPM为平行四边形时，DP=CM，
即8—t=t,解得 t=4,故B不正确;
当CD=PM时，分两种情况：
当四边形CDPM是平行四边形时，DP=CM，
即8-t=t,解得t=4,
当四边形 CDPM是等腰梯形时，
过点 M作MG⊥AD于点G,过点C作CH⊥AD于点H,如图所示.
则∠MGP=∠CHD=90°.
易知GM=HC.
又∵CD=PM,
∴Rt△MGP≌Rt△CHD(HL).
又易知 BM=AG,
解得t=6.
综上可得,当CD=PM时,t=6或t=4,故 C 错误,D正确.
8.6 【点拨】由题意可知∠C ∠CDF=∠F 90°,∴四边
形 BCDF 是矩形,∴BF=DC,又∵AD=DC,∴BF=AD,易证△ADE≌△BFE,∴DE=EF=1,∴DF=DE+EF=1+1=2.又∵DC=AD=3,∴四边形 BCDF的面积为 DC·DF=3×2=6.
9.(1)①或②
(2)【证明】添加①.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC,AB=DC.
∴∠A+∠D=180°.
在△ABM和△DCM中,
∴△ABM≌△DCM(SAS).
∴∠A=∠D.
又∵∠A+∠D=180°,
∴∠A=∠D=90°.
∴□ABCD为矩形.
添加②.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥DC,AB=DC.
∴∠A+∠D=180°.
在△ABM和△DCM中
∴△ABM≌△DCM(SSS).
∴∠A=∠D.
又∵∠A+∠D=180°,∴∠A=∠D=90°.
∴□ABCD为矩形.
10. 【证明】(1)在平行四边形ABCD中,AD=BC,AB=CD,AB∥CD,则BE∥CD.
又∵AB=BE,
∴BE=DC.
∴四边形 BECD为平行四边形.
∴BD=EC.
在△ABD与△BEC中,
∴△ABD≌△BEC(SSS).
由(1)知四边形 BECD 为平行四边形,则OD=OE=
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠BCD,
即∠A=∠OCD.
又∵∠BOD=2∠A,∠BOD=∠OCD+∠ODC,
∴∠OCD=∠ODC.∴OC=OD.
∴BC=ED,
∴平行四边形 BECD 为矩形.
11. (1)【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BO=OD,AO=OC.
∵E,F分别为AO,OC的中点,
∴EO=FO.
∵BO=OD,∴四边形 BFDE是平行四边形.
∴BE=DF.
(2)【解】当k=2时,四边形 DEBF是矩形.理由如下:当 BD=EF时,平行四边形 DEBF是矩形,由题易知 ∴当 即 时，平行四边形 DEBF 是矩形.
12.(1)【证明】∵CE平分∠ACB,
∴∠ACE=∠ECB.
∵MN∥BC,
∴∠ECB=∠OEC.
∴∠ACE=∠OEC.
∴OE=OC.
同理可得OC=OF,
∴OE=OF.
(2)【解】∵CE,CF分别平分∠ACB和∠ACD,
90°.即∠ECF=90°.
∴在Rt△ECF中, 又∵OE=OF,
(3)【解】当点O运动到边AC 的中点时，四边形AECF 是矩形，理由如下：
当O为AC的中点时,OA=OC.
又∵OE=OF,
∴四边形AECF为平行四边形，
由(2)知∠ECF=90°,
∴四边形AECF 为矩形.
