江苏省南通市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题
1．（2024高一下·南通期末）若复数是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．
2．（2024高一下·南通期末）下列特征数中，刻画一组数据离散程度的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
3．（2024高一下·南通期末）已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一下·南通期末）已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·南通期末）一个水果盘子里有2个苹果和3个桃子，从盘中任选2个，则选中的水果品种相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·南通期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·南通期末）某数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，在旗杆底部O的正东方向A处，测得旗杆顶端P的仰角为，在A的南偏西方向上的B处，测得P的仰角为（O，A，B在同一水平面内），A，B两点间的距离为20m，则旗杆的高度OP约为（，）（ ）
A．10m B．14m C．17m D．20m
8．（2024高一下·南通期末）在锐角三角形ABC中，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·南通期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则为直角三角形
B．若，则为等腰三角形
C．若，则为等腰三角形
D．若，则为等腰直角三角形
10．（2024高一下·南通期末）已知a，b，c为三条直线，，，为三个平面．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，，则
11．（2024高一下·南通期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（ ）
A．A与B互斥 B．A与C相互独立
C． D．
12．（2024高一下·南通期末）样本数据7，8，10，11，12，13，15，17的第40百分位数为 ．
13．（2024高一下·南通期末）已知向量，满足，向量在上的投影向量为，则 ．
14．（2024高一下·南通期末）以棱长为2的正方体的六个面为底面，分别向外作形状相同的正四棱锥，得到一个多面体，已知正四棱锥的侧面与底面所成的角为．该多面体的体积为 ，其面数为 ．
15．（2024高一下·南通期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求B；
（2）若，求．
16．（2024高一下·南通期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，分别是棱的中点．
（1）证明：；
（2）证明：平面．
17．（2024高一下·南通期末）某班学生日睡眠时间（单位：h）的频率分布表如下：
分组 [7，7.5） [7.5，8） [8，8.5） [8.5，9]
频数 4 x 20 y
频率 a b 0.4 0.12
（1）计算该班学生的平均日睡眠时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）用比例分配的分层随机抽样方法，从该班日睡眠时间在和的学生中抽取5人．再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中至少有1人的日睡眠时间在[7，7.5）的概率．
18．（2024高一下·南通期末）已知的面积为9，点D在BC边上，．
（1）若，，
①证明：；
②求AC；
（2）若，求AD的最小值．
19．（2024高一下·南通期末）如图，等腰梯形ABCD为圆台的轴截面，E，F分别为上下底面圆周上的点，且B，E，D，F四点共面．
（1）证明：；
（2）已知，，四棱锥C-BEDF的体积为3．
①求三棱锥B-ADE的体积；
②当母线与下底面所成的角最小时，求二面角C-BF-D的正弦值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念
【解析】【解答】解：根据题意，复数是纯虚数，
所以且，解得.
故选：A
【分析】根据纯虚数的概念（纯虚数是复数的一种特殊形式，其特点是只有虚部而没有实部）列方程求解.
2．【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：平均数、中位数、众数是描述一组数据的集中趋势的量，
方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小的量，即刻画一组数据离散程度.
故选：D.
【分析】利用数字特征的含义（平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；
中位数是将一组数据按大小顺序排列后， 处在最中间位置的数；众数是在一组数据中出现次数最多数）求解即可.
3．【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：根据题意圆锥的母线长，代入即可求得 ．
故选：B.
【分析】首先根据已知条件求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式可解．
4．【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：因为，所以，即
所以，所以
所以，
故选：B.
【分析】根据向量共线定理（如果向量，那么存在唯一实数，使得向量，这是向量与共线的充要条件），就可以求出x的值，然后用模长公式求模长.
5．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：根据题意，设个苹果分别记为：和，个桃子编号为，
从盘中任选两个，可得
共种情况．
选中的水果品种相同的选法有：，，有种．
所以选中的水果品种相同概率为：．
故选：C.
【分析】运用古典概型的计算公式（事件A的概率等于事件A包含的基本事件数除以样本空间的基本事件总数）可解．
6．【答案】B
【知识点】简单的三角恒等变换；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：令，因为，所以，
令，则
所以
故选：B.
【分析】利用换元法，令可得，令，由此可以找到与的关系，然后根据三角恒等变换：诱导公式和二倍角余弦公式进行求值即可.
7．【答案】C
【知识点】解三角形；余弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：
如图，设米，则米，米.
在中，由题意可得，，
由余弦定理可得，
解得米.
故选：C.
【分析】利用仰角、方位角的定义及锐角三角函数，结合余弦定理（在三角形中， 一个边的平方等于另外两边的平方的和减去另外两边与这条边的对角的余弦的积的两倍）即可求解.
8．【答案】A
【知识点】简单的三角恒等变换
【解析】【解答】解：因为，所以
所以，又因为三角形ABC为锐角三角形，所以，
所以
又因为三角形ABC为锐角三角形，所以
所以
所以，
故选：A.
【分析】利用同角三角函数关系以及两角和的正弦公式，等价变形已知条件，结合角度的取值范围求得，然后消元，得到，再一次化简为只有一个三角符号，再求出角A的范围，即可得出答案.
9．【答案】A,B,D
【知识点】命题的真假判断与应用；二倍角的正弦公式；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：对于选项A，若，由正弦定理得，所以，所以为直角三角形，故A正确；
对于选项B，若，由正弦定理得，所以，所以为等腰三角形，故B正确；
对于选项C，若，由正弦定理得，即，
所以或，即或，则是等腰或直角三角形，故C错误；
对于选项D，若，由正弦定理得，所以，即，所以为等腰直角三角形，故D正确；
故选：ABD.
【分析】利用正弦定理（在一个三角形中， 各边和它所对角的正弦的比相等）逐项进行边角互化即可逐一判断.
10．【答案】B,C,D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：对于A选项，令，，若，则一定有，，而在同一平面的a，b两条直线可以平行，也可以相交，故A错误；
对于B选项，这是线面平行的性质定理，故B正确；
对于C选项，这是面面垂直的判定定理，故C正确；
对于D项，设，，过平面内一点A，分别作，，如图所示，
因为，，，，所以，
又因为，所以，同理：，
又因为，、，
所以，故D项正确.
故选：BCD.
【分析】根据题意，由空间中直线与平面，平面与平面的位置关系（线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行），对选项逐一判断，即可得到结果.
11．【答案】B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：根据题意，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则
，
，
，
所以有，
，
对于A，，事件A、B可以同时发生，则A、B不互斥，A错误；
对于B，，A、C相互独立，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D错误．
故选：BC．
【分析】根据题意，由互斥事件的定义（互斥事件是指两个或多个事件在任何一次试验中都不会同时发生）分析A，由相互独立事件的定义分析B，由古典概型的计算公式（事件A的概率等于事件A包含的基本事件数除以样本空间的基本事件总数）分析C、D，综合可得答案．
12．【答案】11
【知识点】分布的意义和作用
【解析】【解答】解：首先对数据从小到大进行排序：7，8，10，11，12，13，15，17，共有8个数据
，
所以这个样本数据的第40百分位数为第四位，即11，
故答案为：11.
【分析】根据百分数的定义（如果将一组数据从小到大排序，并计算相应的累计百分位，则某一百分位所对应数据的值就称为这一百分位的百分位数）就可求得第40百分位数.
13．【答案】2
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由已知向量在上的投影向量为，则，
又因为即，所以.
所以
故答案为：2
【分析】首先利用投影向量的定义（投影向量是通过将一个向量投影到另一个向量的方向上得到的， 它不仅包含了投影的长度， 还保留了原始向量的方向信息）求出，再利用数量积的定义求出即可.
14．【答案】；
【知识点】棱锥的结构特征；简单组合体的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：根据题意，如图，以棱长为2的正方体的一个面为底面的正四棱锥，
取底面中心，中点，
因为平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，则，
所以，
从而该多面体的体积为，
考虑到四棱锥的侧面夹角为，其面数为.
故答案为：；.
【分析】根据线面垂直的性质（如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的所有直线）和正四棱锥的侧面与底面所成的角为，求出正四棱锥的高，从而求体积.
15．【答案】（1）解：，
故，
因为，所以；
（2）解：设，代入中，
，故，解得，
由余弦定理得，
则，
故.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；解三角形
【解析】【分析】（1）根据余弦定理（在三角形中， 一个边的平方等于另外两边的平方的和减去另外两边与这条边的对角的余弦的积的两倍，即）得到，得到；
（2）设，代入，求出，再由余弦定理得到，进而得到正弦和正切.
16．【答案】（1）证明：连接交于点，由四边形是菱形得，
因为平面，平面，
所以，
因为，，，平面，
所以平面，又平面，
所以．
（2）证明：连接，
因为四边形是菱形，所以点为中点，
又分别是棱的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
因为平面，且，
所以平面平面，又平面，
所以平面．
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系；平面与平面平行的性质
【解析】【分析】（1）连接交于点，由已知证明平面，又平面，即可证明；
（2）连接，证明出平面平面，结合面面平行的性质（两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面）即可证明．
17．【答案】（1）解：因为容量，
所以，
所以该班学生的平均日睡眠时间为
；
（2）解：由（1）知，该班日睡眠时间在和频率比为，
由比例分配的分层随机抽样方法，分别从和两组的学生中抽取2人，3人，
记中抽取的2人为，中抽取的3人为，
设“2人中至少有1人的睡眠时间在”为事件，
则，
，
所以发生的概率，
所以2人中至少有1人的日睡眠时间在[7，7.5）的概率为.
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】（1）先求出的值，再求平均数；
（2）由比例分配的分层随机抽样方法，分别从和两组的学生中抽取2人，3人，再由古典概率求解.
18．【答案】（1）证明：①因为，，所以，
在中，由正弦定理可得，
所以；
②设，则，
因为，所以，
设，因为，所以，
在中，，
由①知，
所以，
所以，
整理得，又因为，，
所以，
因为，所以，
在中，因为，，
所以，所以，
则，
所以；
（2）解：记的内角为，所对边为，
因为，
所以，
所以，
在中，因为，
所以由余弦定理可得，
整理得，
因为，所以，
所以，
所以
，
当且仅当时取等号，
所以AD的最小值为4.
【知识点】解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）①在中，由正弦定理可得，从而得证；
②在中，利用三角函数恒等变换可得所以，在中，由，可解问题；
（2）由，两边平方的，再借助余弦定理(三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即)和三角形面积公式，将上式表示为，化简利用基本不等式（两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数）求最值.
19．【答案】（1）证明：在圆台中，平面平面，
因为平面平面，平面平面，
所以；
（2）解：①将圆台的母线延长交于一点，连接，延长交底面于点，连接，，
在圆台中，平面平面，
因为平面平面，平面平面，所以，
又由（1）可知，所以，
又因为，，，，，平面，
所以，所以四边形为平行四边形，所以，
因为在圆台中，，，
所以，所以，
所以，所以，
连接，交于点，所以，
所以，到平面的距离之比，
所以；
②在等腰梯形中，过点作边的垂线，垂足为，
在平面内过点作的平行线交于点，连接，
易得，因为平面，所以平面，
所以为母线与下底面所成角，
因为，，所以，所以，
要使最小，只要最小即可，
因为，所以，所以，
设，因为为圆的直径，所以，
所以，，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，
因为，，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
所以，因此为二面角的平面角，
在中，因为，所以，
因为平面，平面，所以，
在中，由勾股定理得，所以，
所以二面角的正弦值为．
【知识点】平面与平面之间的位置关系；平面与平面平行的性质
【解析】【分析】（1）由面面平行的性质定理（两个平行平面， 分别和第三个平面相交， 交线平行）即可证明；
（2）①将圆台的母线延长交于一点，连接，延长交底面于点，连接，，可推得，从而得，求得结论；
②在等腰梯形中，过点作边的垂线，垂足为，可证为母线与下底面所成角，由可知，要使最小，只要最小即可，进而求得的最小值，即可求得结论．
江苏省南通市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题
1．（2024高一下·南通期末）若复数是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．
【答案】A
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念
【解析】【解答】解：根据题意，复数是纯虚数，
所以且，解得.
故选：A
【分析】根据纯虚数的概念（纯虚数是复数的一种特殊形式，其特点是只有虚部而没有实部）列方程求解.
2．（2024高一下·南通期末）下列特征数中，刻画一组数据离散程度的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：平均数、中位数、众数是描述一组数据的集中趋势的量，
方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小的量，即刻画一组数据离散程度.
故选：D.
【分析】利用数字特征的含义（平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；
中位数是将一组数据按大小顺序排列后， 处在最中间位置的数；众数是在一组数据中出现次数最多数）求解即可.
3．（2024高一下·南通期末）已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：根据题意圆锥的母线长，代入即可求得 ．
故选：B.
【分析】首先根据已知条件求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式可解．
4．（2024高一下·南通期末）已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：因为，所以，即
所以，所以
所以，
故选：B.
【分析】根据向量共线定理（如果向量，那么存在唯一实数，使得向量，这是向量与共线的充要条件），就可以求出x的值，然后用模长公式求模长.
5．（2024高一下·南通期末）一个水果盘子里有2个苹果和3个桃子，从盘中任选2个，则选中的水果品种相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：根据题意，设个苹果分别记为：和，个桃子编号为，
从盘中任选两个，可得
共种情况．
选中的水果品种相同的选法有：，，有种．
所以选中的水果品种相同概率为：．
故选：C.
【分析】运用古典概型的计算公式（事件A的概率等于事件A包含的基本事件数除以样本空间的基本事件总数）可解．
6．（2024高一下·南通期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单的三角恒等变换；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：令，因为，所以，
令，则
所以
故选：B.
【分析】利用换元法，令可得，令，由此可以找到与的关系，然后根据三角恒等变换：诱导公式和二倍角余弦公式进行求值即可.
7．（2024高一下·南通期末）某数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，在旗杆底部O的正东方向A处，测得旗杆顶端P的仰角为，在A的南偏西方向上的B处，测得P的仰角为（O，A，B在同一水平面内），A，B两点间的距离为20m，则旗杆的高度OP约为（，）（ ）
A．10m B．14m C．17m D．20m
【答案】C
【知识点】解三角形；余弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：
如图，设米，则米，米.
在中，由题意可得，，
由余弦定理可得，
解得米.
故选：C.
【分析】利用仰角、方位角的定义及锐角三角函数，结合余弦定理（在三角形中， 一个边的平方等于另外两边的平方的和减去另外两边与这条边的对角的余弦的积的两倍）即可求解.
8．（2024高一下·南通期末）在锐角三角形ABC中，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单的三角恒等变换
【解析】【解答】解：因为，所以
所以，又因为三角形ABC为锐角三角形，所以，
所以
又因为三角形ABC为锐角三角形，所以
所以
所以，
故选：A.
【分析】利用同角三角函数关系以及两角和的正弦公式，等价变形已知条件，结合角度的取值范围求得，然后消元，得到，再一次化简为只有一个三角符号，再求出角A的范围，即可得出答案.
9．（2024高一下·南通期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则为直角三角形
B．若，则为等腰三角形
C．若，则为等腰三角形
D．若，则为等腰直角三角形
【答案】A,B,D
【知识点】命题的真假判断与应用；二倍角的正弦公式；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：对于选项A，若，由正弦定理得，所以，所以为直角三角形，故A正确；
对于选项B，若，由正弦定理得，所以，所以为等腰三角形，故B正确；
对于选项C，若，由正弦定理得，即，
所以或，即或，则是等腰或直角三角形，故C错误；
对于选项D，若，由正弦定理得，所以，即，所以为等腰直角三角形，故D正确；
故选：ABD.
【分析】利用正弦定理（在一个三角形中， 各边和它所对角的正弦的比相等）逐项进行边角互化即可逐一判断.
10．（2024高一下·南通期末）已知a，b，c为三条直线，，，为三个平面．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，，则
【答案】B,C,D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：对于A选项，令，，若，则一定有，，而在同一平面的a，b两条直线可以平行，也可以相交，故A错误；
对于B选项，这是线面平行的性质定理，故B正确；
对于C选项，这是面面垂直的判定定理，故C正确；
对于D项，设，，过平面内一点A，分别作，，如图所示，
因为，，，，所以，
又因为，所以，同理：，
又因为，、，
所以，故D项正确.
故选：BCD.
【分析】根据题意，由空间中直线与平面，平面与平面的位置关系（线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行），对选项逐一判断，即可得到结果.
11．（2024高一下·南通期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（ ）
A．A与B互斥 B．A与C相互独立
C． D．
【答案】B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：根据题意，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则
，
，
，
所以有，
，
对于A，，事件A、B可以同时发生，则A、B不互斥，A错误；
对于B，，A、C相互独立，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D错误．
故选：BC．
【分析】根据题意，由互斥事件的定义（互斥事件是指两个或多个事件在任何一次试验中都不会同时发生）分析A，由相互独立事件的定义分析B，由古典概型的计算公式（事件A的概率等于事件A包含的基本事件数除以样本空间的基本事件总数）分析C、D，综合可得答案．
12．（2024高一下·南通期末）样本数据7，8，10，11，12，13，15，17的第40百分位数为 ．
【答案】11
【知识点】分布的意义和作用
【解析】【解答】解：首先对数据从小到大进行排序：7，8，10，11，12，13，15，17，共有8个数据
，
所以这个样本数据的第40百分位数为第四位，即11，
故答案为：11.
【分析】根据百分数的定义（如果将一组数据从小到大排序，并计算相应的累计百分位，则某一百分位所对应数据的值就称为这一百分位的百分位数）就可求得第40百分位数.
13．（2024高一下·南通期末）已知向量，满足，向量在上的投影向量为，则 ．
【答案】2
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由已知向量在上的投影向量为，则，
又因为即，所以.
所以
故答案为：2
【分析】首先利用投影向量的定义（投影向量是通过将一个向量投影到另一个向量的方向上得到的， 它不仅包含了投影的长度， 还保留了原始向量的方向信息）求出，再利用数量积的定义求出即可.
14．（2024高一下·南通期末）以棱长为2的正方体的六个面为底面，分别向外作形状相同的正四棱锥，得到一个多面体，已知正四棱锥的侧面与底面所成的角为．该多面体的体积为 ，其面数为 ．
【答案】；
【知识点】棱锥的结构特征；简单组合体的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：根据题意，如图，以棱长为2的正方体的一个面为底面的正四棱锥，
取底面中心，中点，
因为平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，则，
所以，
从而该多面体的体积为，
考虑到四棱锥的侧面夹角为，其面数为.
故答案为：；.
【分析】根据线面垂直的性质（如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的所有直线）和正四棱锥的侧面与底面所成的角为，求出正四棱锥的高，从而求体积.
15．（2024高一下·南通期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求B；
（2）若，求．
【答案】（1）解：，
故，
因为，所以；
（2）解：设，代入中，
，故，解得，
由余弦定理得，
则，
故.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；解三角形
【解析】【分析】（1）根据余弦定理（在三角形中， 一个边的平方等于另外两边的平方的和减去另外两边与这条边的对角的余弦的积的两倍，即）得到，得到；
（2）设，代入，求出，再由余弦定理得到，进而得到正弦和正切.
16．（2024高一下·南通期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，分别是棱的中点．
（1）证明：；
（2）证明：平面．
【答案】（1）证明：连接交于点，由四边形是菱形得，
因为平面，平面，
所以，
因为，，，平面，
所以平面，又平面，
所以．
（2）证明：连接，
因为四边形是菱形，所以点为中点，
又分别是棱的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
因为平面，且，
所以平面平面，又平面，
所以平面．
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系；平面与平面平行的性质
【解析】【分析】（1）连接交于点，由已知证明平面，又平面，即可证明；
（2）连接，证明出平面平面，结合面面平行的性质（两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面）即可证明．
17．（2024高一下·南通期末）某班学生日睡眠时间（单位：h）的频率分布表如下：
分组 [7，7.5） [7.5，8） [8，8.5） [8.5，9]
频数 4 x 20 y
频率 a b 0.4 0.12
（1）计算该班学生的平均日睡眠时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）用比例分配的分层随机抽样方法，从该班日睡眠时间在和的学生中抽取5人．再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中至少有1人的日睡眠时间在[7，7.5）的概率．
【答案】（1）解：因为容量，
所以，
所以该班学生的平均日睡眠时间为
；
（2）解：由（1）知，该班日睡眠时间在和频率比为，
由比例分配的分层随机抽样方法，分别从和两组的学生中抽取2人，3人，
记中抽取的2人为，中抽取的3人为，
设“2人中至少有1人的睡眠时间在”为事件，
则，
，
所以发生的概率，
所以2人中至少有1人的日睡眠时间在[7，7.5）的概率为.
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】（1）先求出的值，再求平均数；
（2）由比例分配的分层随机抽样方法，分别从和两组的学生中抽取2人，3人，再由古典概率求解.
18．（2024高一下·南通期末）已知的面积为9，点D在BC边上，．
（1）若，，
①证明：；
②求AC；
（2）若，求AD的最小值．
【答案】（1）证明：①因为，，所以，
在中，由正弦定理可得，
所以；
②设，则，
因为，所以，
设，因为，所以，
在中，，
由①知，
所以，
所以，
整理得，又因为，，
所以，
因为，所以，
在中，因为，，
所以，所以，
则，
所以；
（2）解：记的内角为，所对边为，
因为，
所以，
所以，
在中，因为，
所以由余弦定理可得，
整理得，
因为，所以，
所以，
所以
，
当且仅当时取等号，
所以AD的最小值为4.
【知识点】解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）①在中，由正弦定理可得，从而得证；
②在中，利用三角函数恒等变换可得所以，在中，由，可解问题；
（2）由，两边平方的，再借助余弦定理(三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即)和三角形面积公式，将上式表示为，化简利用基本不等式（两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数）求最值.
19．（2024高一下·南通期末）如图，等腰梯形ABCD为圆台的轴截面，E，F分别为上下底面圆周上的点，且B，E，D，F四点共面．
（1）证明：；
（2）已知，，四棱锥C-BEDF的体积为3．
①求三棱锥B-ADE的体积；
②当母线与下底面所成的角最小时，求二面角C-BF-D的正弦值．
【答案】（1）证明：在圆台中，平面平面，
因为平面平面，平面平面，
所以；
（2）解：①将圆台的母线延长交于一点，连接，延长交底面于点，连接，，
在圆台中，平面平面，
因为平面平面，平面平面，所以，
又由（1）可知，所以，
又因为，，，，，平面，
所以，所以四边形为平行四边形，所以，
因为在圆台中，，，
所以，所以，
所以，所以，
连接，交于点，所以，
所以，到平面的距离之比，
所以；
②在等腰梯形中，过点作边的垂线，垂足为，
在平面内过点作的平行线交于点，连接，
易得，因为平面，所以平面，
所以为母线与下底面所成角，
因为，，所以，所以，
要使最小，只要最小即可，
因为，所以，所以，
设，因为为圆的直径，所以，
所以，，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，
因为，，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
所以，因此为二面角的平面角，
在中，因为，所以，
因为平面，平面，所以，
在中，由勾股定理得，所以，
所以二面角的正弦值为．
【知识点】平面与平面之间的位置关系；平面与平面平行的性质
【解析】【分析】（1）由面面平行的性质定理（两个平行平面， 分别和第三个平面相交， 交线平行）即可证明；
（2）①将圆台的母线延长交于一点，连接，延长交底面于点，连接，，可推得，从而得，求得结论；
②在等腰梯形中，过点作边的垂线，垂足为，可证为母线与下底面所成角，由可知，要使最小，只要最小即可，进而求得的最小值，即可求得结论．
