陕西省西安市周至县2024届高三下学期一模数学（文）试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2．若,则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3．函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4．记为等差数列的前n项和,,则( )
A.24 B.42 C.64 D.84
5．已知甲,乙两人进行篮球罚球训练,每人练习10组,每组罚球40个,每组命中个数的茎叶图如图所示,则下列结论错误的是( )
A.甲命中个数的极差为29 B.乙命中个数的众数是21
C.甲的命中率比乙高 D.甲每组命中个数的中位数是25
6．过点的圆C与直线相切于点,则圆C的方程为( )
A. B.
C. D.
7．如下图所示，在正方体中，E，F分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为( )
A. B. C. D.
8．中国算力大会“算力中国”创新成果展区分为A区和B区两大板块.A区由最新数据中心产业图谱和国家新型工业化示范基地组成,B区由算力筑基优秀案例,算力赋能案例,算力网络案例组成.若从该创新成果展区5个成果中,随机抽取3个成果,则其中恰有2个成果均是来自于B区的概率是( )
A. B. C. D.
9．已知函数.则“”是“为偶函数”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
10．剪纸和折纸都是中华民族的传统艺术,在折纸界流传着“折不过8”的说法,为了验证这一说法,有人进行了实验,用一张边长为4km的正方形纸,最多对折了13次.记第一次对折后的纸张厚度为,第2次对折后的纸张厚度为,以此类推,设纸张未折之前的厚度为a毫米,则( )
A. B. C. D.
11．已知是R上的奇函数,且,当时,,则( )
A.3 B. C.255 D.
12．已知双曲线的左、右焦点分别为,,A是双曲线C的左顶点,以为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P,Q两点,且,则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.2
二、填空题
13．已知抛物线上横坐标为3的点M到焦点F的距离为6,则______.
14．已知向量,,若,则______.
15．将平面内等边与等腰直角（其中AB为斜边）,沿公共边AB折叠成直二面角,若,且点A,B,C,D在同一球O的球面上,则球O的表面积为______.
16．若函数在上单调递增,则实数a的最大值为______.
三、解答题
17．在中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知,,.
（1）求的值;
（2）求的面积.
18．为探究某药物对小鼠的生长抑制作用,将40只小鼠均分为两组,分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）.
测得40只小鼠体重如下（单位:g）:（已按从小到大排好）
对照组:17.3,18.4,20.1,20.4,21.5,23.2,24.6,24.8,25.0,25.4,
26.1,26.3,26.4,26.5,26.8,27.0,27.4,27.5,27.6,28.3,
实验组:5.4,6.6,6.8,6.9,7.8,8.2,9.4,10.0,10.4,11.2,
14.4,17.3,19.2,20.2,23.6,23.8,24.5,25.1,25.2,26.0,
（1）求40只小鼠体重的中位数m,并完成下面列联表:
合计
对照组
实验组
合计
（2）根据列联表,能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
附:,其中.
0.10 0.05 0.010
2.706 3.841 6.635
19．如图,在长方体中,,,点E在线段上.
（1）求证:;
（2）当E是的中点时,求点D到平面的距离.
20．在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C的两焦点分别为,,离心率为.
（1）求椭圆C的方程;
（2）是否存在过点的直线l与曲线C交于不同的两点A,B,满足.若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.
21．已知函数,其中.
（1）当时,求曲线在点处的切线方程;
（2）当时,判断的零点个数,并加以证明;
（3）当时,证明:存在实数m,使恒成立.
22．在平面直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为（t为参数）,点.以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,射线l的极坐标方程为.
（1）写出曲线的极坐标方程;
（2）若l与,分别交于A,B（异于原点）两点,求的面积.
23．已知函数.
（1）求的最小值m;
（2）若a,b为正实数,且,证明不等式.
参考答案
1．答案：D
解析：集合,,所以.
故选:D
2．答案：D
解析：因为,
所以,
则,其对应的点为,在第四象限,
故选:D.
3．答案：A
解析：函数则,
所以为奇函数,函数图象关于原点对称,故排除C、D;
当时,,所以,则,故排除B.
故选:A
4．答案：B
解析：因为为等差数列的前n项和,
所以,若,则,
所以.
故选:B.
5．答案：D
解析：A.甲的最大值是37,最小值是8,极差为,故A正确,
B.乙命中个数的众数是21,故B正确,
C.由茎叶图知甲的命中数集中在20附近,而乙的数值集中在10左右,故甲的命中率高,故C正确,
D.甲的中位数为,故D错误,故选:D.
6．答案：D
解析：设圆心,
因为直线与圆C相切于点,
所以,即,
因为AB中垂线为,则圆心C满足直线,
即,,
所以半径,
所以圆C的方程为,
故选:D.
7．答案：C
解析：
以D为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则，，，
，，，
设异面直线与所成的角为,，
则,所以.
故选：C
8．答案：D
解析:设从该成果展区5个成果中,随机抽取3个成果,则被抽到其中恰有2个成果均是来自于B区的概率是.
故选:D.
9．答案：A
解析：若,则,,,
若为偶函数,则,得,,
因为,
所以“”是“为偶函数”的充分不必要条件.
故选:A
10．答案：C
解析：由题意数列是等比数列,公比是2,且,,
故选:C.
11．答案：B
解析：由题意可知:,即4为的一个周期,
所以.
故选:B
12．答案：C
解析：方法一:依题意,易得以为直径的圆的方程为.
又由双曲线,易得双曲线C的渐近线方程为.
当时,如图,设,则.
联立,解得或,所以,.
又因,所以轴.
所以,.所以,所以.
因为,所以.
同理,当时,亦可得.
故双曲线C的离心率为.
故选:C.
方法二（极化恒等式）:易得坐标原点O为线段PQ的中点,且,
所以,所以,所以.
故选:C.
13．答案：6
解析：抛物线的准线为,依题意,,解得,
所以.
故答案为:6
14．答案：
解析：向量,,由,得,解得,
即,,
所以.
故答案为:
15．答案：
解析：如图所示取AB中点E,连接DE,CE,
根据题意易知,,,
又为等腰直角三角形,为等边三角形,
所以可知,,
易知O点在直线CE上,设,球半径为R,
所以,
故外接球O的表面积为.
故答案为:
16．答案：2
解析：由题意可知时恒成立,即,
令,易知,
显然时,,此时单调递减,
时,,此时单调递增,即,
所以,即a的最大值为2.
故答案为:2
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）在中,由正弦定理,
又,
所以,即,
解得;
（2）由（1）得,则,
又由余弦定理,,
解得,
所以.
18．答案：（1）中位数23.4,二联表见解析;
（2）有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
解析：（1）由所给数据可知40只小鼠体重的中位数为,
填二联表如下:
合计
对照组 6 14 20
实验组 14 6 20
合计 20 20 40
（2）由上表及卡方公式可知:
,
所以有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
19．答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）在长方体中,连接BD,由,得,
由平面ABCD,平面ABCD,得,
而,ED,平面BED,因此平面BED,又平面BED,
所以.
（2）AD的中点F,连接EF,,BF,四边形是长方体的对角面,
则四边形是矩形,,而E是的中点,则,因此,即B,,E,F共面,
显然,,则,,等腰底边BE上的高,
的面积,的面积,
设点D到平面的距离为d,由,得,
于是,解得,
所以点D到平面的距离.
20．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由题意设椭圆的标准方程为,
由题意得,,又,解得,
所以椭圆的标准方程为.
（2）由题意知直线l的斜率不为0,所以设它的方程为,且,,
联立椭圆方程得,消去x并化简整理得,,
,,,
所以由弦长公式得
,
原点到直线的距离为,
所以,
若,则有,化简并整理得,
解得,即,
综上所述,满足题意的直线l的方程为或.
21．答案：（1）
（2）1个
（3）证明见解析
解析：（1）由题知,
,
,
,,
故在点处的切线方程为,
即;
（2）由题,,
,
,
,
故在上单调递增,
,
故有1个零点;
（3）由题,,
,
令
,
即在上单调递增,
,
且
,
故,使得,
即,
在上单调递增,
,,
即,单调递减,
即,单调递增,
故,
若恒成立,
只需,
即即可,
故存在实数m,使恒成立.
22．答案：（1）
（2）5
解析：（1）由参数方程得,,
所以.
又,,所以,
所以的极坐标方程为.
（2）将代入曲线的极坐标方程可得,
将代入曲线的极坐标方程可得,
所以.
又射线l的直角坐标方程为,即为,
所以点到射线的距离为,
所以.
23．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）当时,,
当时,,
当时,,
综上,
,可知当时,有最小值,
所以;
（2）由（1）可得,因为a,b为正实数,所以,
所以.
