江苏省武进高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知复数z满足（i是虚数单位）,z的共轭复数为,则( )
A.6 B.5 C.4 D.3
2．已知圆柱的底面半径为2cm,体积为,则该圆柱的表面积为( )
A. B. C. D.
3．已知a,b表示两条不同的直线,,,表示三个不同的平面,下列推理正确的是( )
A., B.,且
C.,, D.,,,
4．已知点在角的终边上,则( )
A. B. C.-2 D.2
5．已知事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,且,则( )
A. B. C. D.
6．已知向量,,满足,且,则( )
A. B. C. D.
7．已知某班级参与定点投篮比赛的学生共有20名,进球数的平均值和方差分别是4和3.6,其中男生进球数的平均值和方差分别是5和1.8,女生进球数的平均值为3,则女生进球数的方差为( )
A.3.2 B.3.4 C.3.6 D.3.8
8．已知,,则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知复数,,下列结论正确的是( )
A.
B.
C.若,则的最小值为4
D.在复平面内,,所对应的向量分别为,,其中O为坐标原点,若,则
10．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列说法正确的有( )
A. B.若,则为锐角三角形
C.若,则 D.若,则为钝角三角形
11．已知四面体的各个面都是全等的三角形,且,则下列选项正确的是( )
A.直线所成角为 B.二面角的余弦值为
C.四面体的体积为 D.四面体外接球的直径为
三、填空题
12．为估计某草场内兔子的数量,使用以下方法：先随机从草场中捕捉兔子100只,在每只兔子的尾巴上作上记号后放回草场.再随机从草场中捕捉60只,若尾巴上有记号的兔子共有10只,估计此草场内约有兔子__________只.
13．已知函数在有且仅有三个零点,则实数的取值范围是______________.
14．已知圆台上下底面半径分别为1,,圆台的母线与底面所成的角为,且该圆台上下底面圆周都在某球面上,则该球的体积为___________________.
四、解答题
15．某高中随机调查n名高一学生,并对这n名学生的作业进行评分（满分：100分）,根据得分将他们的成绩分成,,,,,六组,制成如图所示的频率分布直方图,其中成绩在的学生人数为25人.
(1)求a,n的值;
(2)估计这n名学生成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）和中位数（精确到小数点后两位）.
16．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,,,且.
(1)求角C的值;
(2)若为锐角三角形,且,求的取值范围.
17．甲和乙进行多轮答题比赛,每轮由甲和乙各回答一个问题,已知甲每轮答对的概率为,乙每轮答对的概率为.在每轮比赛中,甲和乙答对与否互不影响,各轮结果也互不影响.
(1)求两人在两轮比赛中都答对的概率;
(2)求两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率;
(3)求两人在三轮比赛中,甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2的概率.
18．如图,在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,,是正三角形,E为线段的中点.
(1)若中点为G,求证：平面;
(2)若平面平面,点F为平面上的动点,
①当点F恰为中点时,求异面直线与所成角的余弦值;
②若点H是平面内的动点,求的最小值.
19．已知A,B是单位圆上相异的两个定点（O为圆心）,点C是单位圆上的动点且.直线交直线于点M.
(1)求的值;
(2)设,
①用来表示t与;
②求的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：由,可得,所以
所以.
故选：B.
2．答案：D
解析：设圆柱的高为h,
因为圆柱的底面半径为,体积为,则圆柱的底面周长为,
,所以圆柱的表面积为,
故选：D.
3．答案：C
解析：对于A,由,可得或b与a相交,故A错误;
对于B,由,可得或或且,故B错误;
对于C,由可得,因,且,由线面平行的性质即得,故C正确;
对于D,如图,在平面内作,,因,,,故得,,但不成立,故D错误.
故选：C.
4．答案：A
解析：由点在角的终边上可得,,
则.
故选：A.
5．答案：C
解析：由事件A,B互斥,且A,B都不发生为,则,
又,所以,解得,,
所以.
故选：C.
6．答案：A
解析：由题意得,则有,解得,
又由,则有,解得,
同理可得,
所以,
,
,
所以.
故选：A
7．答案：B
解析：设男生人数为,女生人数为,
且进球数的平均值和方差分别是和,其中男生进球数的平均值和方差分别是和,
女生进球数的平均值和方差分别是和,
由平均数可得,即,解得,
由方差可得,
即,解得.
故选：B.
8．答案：B
解析：由题意知,,
故
即,
即,
故或（舍去）,
即,而,故,
故,
故选：B.
9．答案：BD
解析：对于A,设,则,,因此选项A错误;
对于B,设,
则
,
又,则,因此选项B正确;
对于C,设,则,此时,因此选项C错误;
对于D,若,则复平面内以有向线段和为邻边的平行四边形是矩形,
根据矩形的对角线相等和复数加法 减法的几何意义可知,选项D正确.
故选：BD.
10．答案：ACD
解析：对于A,在中,作于D,
则,即,即,A正确;
对于B,由得,
结合,可知A为锐角,但不能确定B,C角的大小,
故不能确定为锐角三角形,B错误;
对于C,若,由正弦定理可得,则,C正确;
对于D,若,由于,,则A为锐角;
若B为锐角,则,可得,则,,
故为钝角三角形;
若B为钝角,则,可得,则,适合题意,
此时为钝角三角形;
综合以上可知为钝角三角形,D正确,
故选：ACD.
11．答案：ABD
解析：对于A：取的中点E,连接,,由题意四面体的各个面都是全等的三角形,
,,
可得,,又,,平面,
所以平面,因为平面,
所以,所以,所成角为,故A正确;
对于B：取的中点E,连接,,则,,
所以为二面角的平面角,
在中,,,
由余弦定理可得,故B正确;
对于C：由B可得,
由,故C不正确;
对于D：将四面体放入长方体中,如图可得长方体与四棱锥共球,所以外接球半径一样,
设外接球半径为r,所以,故D正确.
故选：ABD.
12．答案：600
解析：假设草场约有n只兔子,则,则.
故答案为：600.
13．答案：
解析：
,
由,时,,
在有且仅有三个零点,则有,解得,
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
14．答案：
解析：如下图所示：圆台,为母线,于点A,
则圆台上下底面半径分别为,,
圆台的母线与底面所成的角为,即,可得,
设该球的球心为,不妨取,球的半径为R,
由勾股定理可得,解得;
因此,则该球的体积为.
故答案为：
15．答案：(1),
(2)平均数为72,中位数73.33
解析：(1)由题意可得,,
,
解得.
(2)平均数为.
因为
所以中位数在之间,设中位数为x,
则,
解得.
16．答案：(1);
(2)
解析：(1)因为,且,
所以
利用正弦定理化简得：即,
由余弦定理可得,
又因为,所以;
(2)由(1)得,即,
又因为三角形为锐角三角形,
所以解之得：,
因为,由正弦定理得：,
所以,,
所以
因为,所以,
所以,则的取值范围为.
17．答案：(1)
(2)
(3).
解析：(1)依题意,设事件“甲两轮都答对问题”,“乙两轮都答对问题”,
所以.
因为事件M,N相互独立,
所以两人在两轮比赛中都答对的概率为
(2)设事“甲第一轮答对”,“乙第一轮答对”,
“甲第二轮答对”,“乙第二轮答对”,
“两人在两轮比赛中至少答对3道题”,
则,
由事件的独立性与互斥性,
可得
故两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率为.
(3)设事件,分别表示甲三轮答对2个,3个题目,
,分别表示乙三轮答对2个,3个题目,
则,,
,,
设事件“两人在三轮比赛中,
甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2”,
则,且,,,分别相互独立,
所以.
所以两人在三轮比赛中,甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2的概率为.
18．答案：(1)证明见解析
(2)①;②.
解析：(1)取中点Q,连接,
为线段的中点,,,
,,,,
四边形为平行四边形,,
平面,平面
平面.
(2)①取的中点M,连接,,
为中点,,,
就是异面直线和所成的角或所成角的补角.
平面平面,
平面平面,,平面,
平面,平面,
菱形的边长为2,,
与,是全等的正三角形,
,E分别为,的中点,
,
在中,,
在中,,
,
在中,;
②,,,,平面,
平面,
又为线段的中点,
,
,
要使最小只需最短即可,即为A点到面的距离h.
在中,,,
,
在中,,
,
,,
的最小值为.
19．答案：(1)0
(2)①;②.
解析：(1)因为,
所以,
因为,所以,
所以;
(2)①因为,
所以
,
因为,
所以,所以;
②因为,,
所以
,
设,则,
因为,所以,所以,
即,
由,得,
所以,
所以.
