江苏省南京市2024届高三上学期9月学情调研数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2．若,则z的虚部为( )
A.2 B.-2 C. D.
3．的展开式中常数项为( )
A.-24 B.-4 C.4 D.24
4．在中,点D为边AB的中点,记,,则( )
A. B. C. D.
5．设O为坐标原点，A为圆上一个动点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
6．在正方体中,过点B的平面与直线垂直,则截该正方体所得截面的形状为( )
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
7．新风机的工作原理是,从室外吸入空气,净化后输入室内,同时将等体积的室内空气排向室外.假设某房间的体积为,初始时刻室内空气中含有颗粒物的质量为m,已知某款新风机工作时,单位时间内从室外吸入的空气体积为,室内空气中颗粒物的浓度与时刻t的函数关系为,其中常数为过滤效率,若该款新风机的过滤效率为,且时室内空气中颗粒物的浓度是时的倍,则v的值约为( )
(参考数据：,)
A.1.3862 B.1.7917 C.2.1972 D.3.5834
8．若函数在区间上恰有2个零点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．若,且,则( )
A. B. C. D.
10．有一组样本数据,,,,,已知,,则该组数据的( )
A.平均数为2 B.中位数为2 C.方差为2 D.标准差为2
11．在中,,,D是AB的中点,将沿CD翻折,得到三棱锥,则( )
A.
B.当时,三棱锥的体积为
C.当时,二面角的大小为
D.当时,三棱锥的外接球的表面积为
12．函数及其导函数的定义域均为R,若,,
则( )
A.为偶函数 B.的图象关于直线对称
C. D.
三、填空题
13．已知角的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点,则____________.
14．某批麦种中,一等麦种占90%,二等麦种占10%,一、二等麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6,0.2,则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为__________.
15．记为数列的前n项和,已知,则___________.
16．已知双曲线的左、右焦点分别为,,点P是C右支上一点,线段与C的左支交于点M.若,且,则C的离心率为_______________.
四、解答题
17．已知公比大于1的等比数列满足：,.
(1)求的通项公式;
(2)记数列的前项和为,若,,证明：是等差数列.
18．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)求A;
(2)若,,求的面积.
19．某地区对某次考试成绩进行分析,随机抽取100名学生的A,B两门学科成绩作为样本.将他们的A学科成绩整理得到如下频率分布直方图,且规定成绩达到70分为良好.已知他们中已B学科良好的有50人,两门学科均良好的有40人.
(1)根据所给数据,完成下面的2×2列联表,并根据列联表,判断是否有95%的把握认为这次考试学生的A学科良好与B学科良好有关;
B学科良好 B学科不够良好 合计
A学科良好 40 30 70
A学科不够良好 10 20 30
合计 50 50 100
(2)用样本频率估计总体频率,从该地区参加考试的全体学生中抽取3人,记这3人中A,B学科均良好的人数为随机变量X,求X的分布列与数学期望.
附：,其中.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
20．如图,四边形ABCD是圆柱OE的轴截面,点F在底面圆O上,,,点G是线段BF的中点．
（1）证明：平面DAF;
（2）求直线EF与平面DAF所成角的正弦值．
21．已知O为坐标原点,是椭圆的右焦点,过F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A,B两点.当A为短轴顶点时,的周长为.
(1)求C的方程;
(2)若线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于点P,Q,点M为线段AB的中点,求
的取值范围.
22．已知函数，其中.
(1)若，证明：；
(2)设函数，若为的极大值点，求a的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：因为,故选：C.
2．答案：B
解析：因为,故选：B
3．答案：D
解析：有二项式定理,得,故选：D
4．答案：D
解析：因为,故选：D
5．答案：C
解析：如图，当直线与圆C相切，且A为切点时，最大，易得.由得，即，，所以，.故选C.
6．答案：A
解析：如图所示,正方体中,连接AC,,,BD,
平面ABCD,平面ABCD,,
又,AC,是平面内的相交直线,
平面,平面,,同理可得,
,平面,即所在平面是经过点B与垂直的平面,
因此,平面截该正方体所得截面的形状为三角形,A正确.
故选:A.
7．答案：B
解析：由题意得
因为,得,从而,
故选：B.
8．答案：B
解析：由,有一根,
区间端点对称,左端点为实心点,故得,
故选：B.
9．答案：ABD
解析：由,,则,故A正确.
B.由,则,故B正确
C．,故C错误
D．,故D正确
10．答案：AC
解析：A.由,得,故A正确
B.已知,,不能确定样本数据具体值
C,D,,故C正确,D不正确
11．答案：ACD
解析：A．由翻折可知,,易知平面,则,故,故A正确
B．当时,平面,则
C．当时,易知,而,,故二面角的大小为
D．正确,利用二面角外接球单交线终极公式,
含二面角的外接球终极公式：
双距离单交线公式：
如右图,若空间四边形中,二面角的平面角大小为,外接圆圆心为,的外接圆圆心为,E为公共弦中点,则,,,,,由于O、、E、四点共圆,且,根据余弦定理,.
12．答案：BC
解析：A．,则为偶函数,故A错误
B.由,得,令,则,故B正确
C．由,得,则,故C正确
D．由B知,,代入得,
则
13．答案：
解析：
14．答案：0.56
解析：
15．答案：
解析：n为奇数,,则;n为偶数时,
故.
16．答案：
解析：易知为等比三角形,设,
对于M点,根据第一定义得,
对于P点,根据第一定义得,
得,在中使用余弦定理
得：,
,故.
17．答案：(1)
(2)是以1为首项,为公差的等差数列
解析：(1)设公比为,由得,则;
(2)由,两式相减得：,
整理得：,则,即,又得,
则,故是以1为首项,为公差的等差数列.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)由正弦定理,结合,
可得,进一步,则
(2)若,则,则,
则
19．答案：(1)有95%的把握认为这次考试学生的A学科良好与B学科良好有关
(2)1.2
解析：(1)由频率分布直方图可知样本中A学科成绩良好的有人,
数据见表格,则,
故有95%的把握认为这次考试学生的A学科良好与B学科良好有关.
(2)样本中A,B学科均良好的人数占,
可知,,
分布列如下：
X 0 1 2 3
P 0.216 0.432 0.288 0.064
.
20．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证法一：连接OE,OG．
在圆柱OE中,四边形ABCD是圆柱OE的轴截面,所以．
又平面DAF,平面DAF,所以平面DAF．
在中,点O,G分别是AB和BF的中点,所以．
又平面DAF,平面DAF,所以平面DAF．
又,OE,平面OEG,所以平面平面DAF．
又平面OEG,所以平面DAF．
证法二：取AF的中点M,连接MD,MG．
因为点M,G分别是FA和FB的中点,所以,．
在圆柱OE的轴截面四边形ABCD中,,,
所以,因此四边形DEGM是平行四边形．
因此．
又平面DAF,平面DAF,所以平面DAF．
证法三：以O为坐标原点,AB的中垂线为x轴,OB为y轴,OE为z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系．
则,．
因为AB为底面圆O的直径,点F在圆O上,所以．
又,所以,因此．
因为点G是线段BF的中点,所以,
因此．
因为平面ABF,平面ABF,所以．
又,,AF,平面DAF,所以平面DAF,
因此是平面DAF的一个法向量．
因为,
又平面DAF,所以平面DAF．
（2）法一：以O为坐标原点,AB的中垂线为x轴,OB为y轴,OE为z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系．
则,．
因为AB为底面圆O的直径,点F在圆O上,所以．
又,所以,因此．
因此,．
因为平面ABF,平面ABF,所以．
又,,AF,平面DAF,所以平面DAF,
因此是平面DAF的一个法向量．
设EF与平面DAF所成角为,,
则,
所以EF与平面DAF所成角的正弦值为．
法二：由（1）得平面DAF,
所以点E到平面DAF的距离等于点G到平面DAF的距离．
因为平面ABF,平面ABF,所以．
因为AB为底面圆O的直径,点F在圆O上,所以．
又,AF,平面DAF,所以平面DAF．
所以点E到平面DAF的距离．
连结OE,OF,则,所以．
设EF与平面DAF所成角为,,则,
所以EF与平面DAF所成角的正弦值为．
法三：过F作AD的平行线交上底面于点H,连结DH,
则平面ADF即为平面AFHD．
过E作,K为垂足,
平面DHC,平面DHC,
故,,,平面AFHD,则平面AFHD,
则为EF与平面ADF所成的角．
连接HC,则,则,
而E为DC中点,故K为DH的中点,故,
由于HCBF为平行四边形,故,
故,．
设EF与平面DAF所成角为,,则,
所以EF与平面DAF所成角的正弦值为．
21．答案：(1)
(2)
解析：(1),,,由,解得
所以C的方程为
(2)设,由,得
又,即
整理得,解得
则
直线,
令,得
.
22．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：若，则，
且，则，
令，得.
在上，，单调递减；
在上，，单调递增；
故.
（2），.
当时，易得，所以由（1）可得，
若，
则，
所以在上单调递增，
这与为函数的极大值点相矛盾.
若，令，则，
又令，则对恒成立，
所以在上单调递增.
又，，
因为，所以，
因此存在唯一，使得，
所以，在上，，单调递减，
又，
所以在上，，故单调递增；
在上，，故单调递减，
所以为函数的极大值点，满足题意.
综上，a的取值范围为.
