河南省南阳市六校2023-2024学年高二上学期第一次联考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
2．已知点P是圆上的动点,作轴于点H,则线段PH的中点M的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
3．若,的图象是两条平行直线,则m的值是( )
A.或 B. C. D.m的值不存在
4．已知动直线与圆.则直线l被圆C所截得的弦长的最小值是( )
A. B. C. D.
5．圆上到直线的距离等于2的点有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6．一条光线从点射出,经y轴反射后与圆相切,则反射光线所在直线的斜率为( )
A.或 B.或 C.或 D.或
7．已知圆和圆,M,N分别是圆,上的动点,P为x轴上的动点,则的最小值为( )
A. B. C. D.
8．曲线与直线有两个交点时,实数k取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知直线l的一个方向向量为,且l经过点,则下列结论正确的是( )
A.l的倾斜角等于 B.l在x轴上的截距等于
C.l与直线垂直 D.l上不存在与原点距离等于的点
10．已知椭圆与双曲线有公共的焦点,的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于A,B两点,若恰好将线段三等分,则( )
A. B. C. D.
11．某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆（地球看作是球体）,测得近地点A距离地面,远地点B距离地面,地球半径为,关于这个椭圆有下列说法,正确的有( )
A.长轴长为 B.焦距为
C.短轴长为 D.离心率
12．已知点P在圆上,点、,则( )
A.点P到直线的距离小于10 B.点P到直线的距离大于2
C.当最小时, D.当最大时,
三、填空题
13．经过两直线和的交点P,且与直线垂直的直线l的方程为_____________．
14．已知直线是圆的对称轴．过点作圆C的一条切线,切点为B,则_____________.
15．椭圆与渐近线为的双曲线有相同的焦点,,P为它们的一个公共点,且,则椭圆的离心率为____________.
16．已知直线上存在点M满足与两点、连线的斜率与之积为3,则实数m的取值范围是____________.
四、解答题
17．已知的两条高线所在直线方程为和,顶点．
(1)BC边所在的直线方程;
(2)的面积．
18．已知,,是的三个顶点,求证：的三条中线交于一点.
19．在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为,在y轴上截得线段长为.
(1)求圆心P的轨迹方程;
(2)若P点到直线的距离为,求圆P的方程.
20．已知圆.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等,求切线的方程;
(2)从圆C外一点向圆引切线PM,M为切点,O为坐标原点,且有,求使最小的点P的坐标.
21．在平面直角坐标系中,曲线与坐标轴的交点都在圆C上.
(1)求圆C的方程;
(2)若圆C与直线交于A,B两点,且,求a的值.
22．已知圆,圆,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求.
参考答案
1．答案：B
解析：设直线的倾斜角为.
因为,,,所以,.
又,则.
当时,单调递增,解,可得;
当时,单调递增,解,可得.
综上所述,.
故选：B.
2．答案：D
解析：如下图所示：
不妨设,,则满足;
易知,
又线段的中点为M,可得,;
即,,代入方程可得,
整理得.
故选：D.
3．答案：B
解析：显然或时两条直线不平行,
则由题意可得,解得.
故选：B．
4．答案：C
解析：直线变形为．
令解得
如图所示,故动直线l恒过定点．
而,
设圆心到直线的距离为d,则弦长为,故当d最大时,弦长最小,
而当垂直直线l时,此时d最大为,故弦长最小．
最小值为．
故选：C.
5．答案：B
解析：圆的圆心为,半径为3,
圆心到直线的距离,
与直线距离为2的两条直线中一条与圆相交,另一条与圆相离,
圆上到直线的距离为2的点有2个.
故选：B.
6．答案：D
解析：根据光的反射原理知,反射光线的反向延长线必过点关于y轴的对称点,
设反射光线所在直线的斜率为k,
则反射光线所在直线方程,即,
又由反射光线与圆相切,可得,
整理得,解得或.
故选：D.
7．答案：A
解析：圆关于x轴的对称圆的圆心坐标,半径为1,圆的圆心坐标为,半径为3,
若与M关于x轴对称,则,即,
由图易知,当P,N,三点共线时取得最小值,
的最小值为圆A与圆的圆心距减去两个圆的半径和,
.
故选：A.
8．答案：A
解析：曲线即,,表示以为圆心,
以2为半径的圆位于直线上方的部分（包含圆与直线的交点C和D）,
是一个半圆,如图：
直线过定点,设半圆的切线BE的切点为E,
则BC的斜率为．
设切线BE的斜率为,,则切线BE的方程为,
根据圆心A到线BE距离等于半径得
,,
由题意可得,,
故选：A．
9．答案：CD
解析：因为直线l的一个方向向量为,
所以直线l的斜率为,
又l经过点,
所以直线l的方程为：,整理得.
对于A,由于直线l的斜率为,所以其倾斜角为,故A选项不正确;
对于B,在直线方程中令,解得,
所以l在x轴上的截距等于,故B选项不正确;
对于C,将直线方程变形得,所以其斜率为,
又直线l的斜率为,所以,
所以l与直线垂直,故C选项正确;
对于D,由于原点到直线的距离为,
这表明了原点到直线上的任意一点的距离至少是,
因为,所以,,即,
因此l上不存在与原点距离等于的点,故D选项正确.
故选：CD.
10．答案：AC
解析：如图所示：
因为,有公共焦点,
所以通过可得,,从而,
由题意以的长轴为直径的圆的直径为,
又因为恰好将线段三等分,
所以截椭圆的弦长为;
由双曲线得其一条渐近线方程,
将其与椭圆方程联立得,
所以,
利用弦长公式可得,
整理得,
又因为,
所以解得：.
故选：AC.
11．答案：ABD
解析：不妨设椭圆的焦距、长轴长分别为、,
由题意,得,
解得,
则长轴长为,即选项A正确;
焦距为,即选项B正确;
短轴长为,
即选项C错误;
离心率为,即选项D正确.
故选：ABD.
12．答案：ACD
解析：圆的圆心为,半径为4,
直线的方程为,即,
圆心M到直线的距离为,
所以,点P到直线的距离的最小值为,最大值为,A选项正确,B选项错误;
如下图所示：
当最大或最小时,与圆M相切,连接、,可知,
,,由勾股定理可得,CD选项正确.
故选：ACD.
13．答案：
解析：由方程组可得．
,,
直线l的方程为,
即．
故答案为：.
14．答案：6
解析：圆,即,
表示以为圆心、半径等于2的圆．
由题意可得,直线经过圆C的圆心,
故有,,点．
,,
切线的长．
故答案为：6．
15．答案：
解析：设,在双曲线中,渐近线为,
即,故,,,
不妨设P在第一象限,则由椭圆定义可得：,
由双曲线定义可得：,
因为,,
而,
代入可得：, .
故答案为：.
16．答案：
解析：设点,由可得,化简可得,
由题意可知,直线l与曲线有公共点,
联立,消去x可得,①
当时,可得,此时方程①为,解得,不合乎题意;
当时,,化简得,
得且,解得.
故答案为：.
17．答案：(1);
(2).
解析：(1)A点不在两条高线上,由两条直线垂直的条件可设,．
AB、AC边所在的直线方程为,．
由得．
由得．
BC边所在的直线方程．
(2),A点到BC边的距离,
．
18．答案：证明见解析.
解析：根据已知条件画出平面直角坐标系,如下图所示：
设点E,F,G分别为AB,BC,AC的中点,
易得坐标为,,.
所以得中线AF所在直线的方程为,
中线BG所在直线的方程
中线CE所在的直线方程为
联立,解得交点
校验可知满足中线CE所在直线的方程,
故的三条中线交于一点.
19．答案：(1)
(2)或
解析：(1)设,圆C的半径为r,由题设,,
从而,故C的轨迹方程为．
(2)设,由已知得,又C点在双曲线上,
从而得．由,得,此时,圆C的半径,
由,得,此时,圆C的半径,
故圆C的方程为或．
20．答案：(1),,;
(2).
解析：(1)圆的标准方程为,
所以圆心,.
设圆C的切线在x轴和y轴上的截距分别为a,b,
①当时,切线方程可设为,即,
由点到直线的距离公式,得.
所以切线方程为.
②当时,切线方程为,即.
由点到直线的距离公式,得,.
所以切线方程为,.
综上,所求切线方程为,,.
(2)由圆的切线性质可知：,
,.
即.
整理得.
.
当时,最小,此时,
.
21．答案：(1)
(2)-1
解析：(1)曲线与坐标轴的交点为,,
由题意可设圆C的圆心坐标为,
,解得,
圆C的半径为,
圆C的方程为.
(2)设点A、B的坐标分别为A,B,其坐标满足方程组,
消去y得到方程,
由已知得,判别式①,
由根与系数的关系得,②,
由得.
又,,可化为③,
将②代入③解得,经检验,满足①,即,
.
22．答案：(1);
(2)见解析.
解析：(1)依题意,圆M圆心,圆N的圆心,故,
由椭圆定理可知,曲线C是以M、N为左右焦点的椭圆（左顶点除外）,
其方程为;
(2)对于曲线C上任意一点,由于（R为圆P的半径）,
所以,所以当圆P的半径最长时,其方程为;
若直线l垂直于x轴,易得;
若直线l不垂直于x轴,设l与x轴的交点为Q,则,解得,故直线;有l与圆M相切得,解得;当时,直线,
联立直线与椭圆的方程解得;同理,当时,.
