2024-2025学年度湘教版八年级上册数学第三章 实数测试
第三章 实数模拟试卷（一）
考试范围：湘教版七年级上册，；考试时间：120分钟
一、单选题（共30分）
1．的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．等于 B．都是的立方根
C．的算术平方根是 D．的立方根是
3．的立方根是（ ）
A．3 B． C． D．
4．设的整数部分为，小数部分为，的值是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，一块面积为16平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．下列说法错误的是（ ）
A．无理数的相反数还是无理数 B．无限不循环小数都是无理数
C．正数、负数统称有理数 D．实数与数轴上的点一一对应
7．如图，数轴上，，三点所表示的数分别是，，，已知，，且是关于的一元一次方程的解的立方根，则的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．6
8．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C．1 D．
10．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数），已知．并规定：，，．则①；②；③对于任意正整数，成立，以上结论中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（共24分）
11．化简： ．
12．若实数，满足，则的值是 ．
13．已知的立方根是，是的算术平方根，则 ．
14．若，，且，则的值为 ；
15．给出下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数；④非负数就是正数；⑤无限小数不都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的说法是 ．
16．有一个数值转换器，原理如图：
当输入的时，输出的等于 ．
17．在实数范围内因式分解： ．
18．已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第100个数是
三、解答题（共66分）
19．（本题6分）计算：．
20．（本题6分）已知，是实数，且与互为相反数，求实数的倒数．
21．（本题8分）解方程：
(1)； (2)
22．（本题8分）已知实数a，b，c，d，e，若a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的算术平方根为3，求的平方根．
23．（本题8分）如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形．
(1)求拼成的大正方形纸片的边长；
(2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？
24．（本题10分）规定：如果分式A和分式B满足（n为正整数），则称n为分式A与分式B的“差值”．例如：，则与的“差值”为5．
(1)求与的“差值”；
(2)若与的“差值”为2，
①代数式______（用含x的代数式表示）；
②当分式的值为正整数，且x为正整数时，求分式的值；
(3)若与的“差值”为4，且（其中x、y为正数），求的值．
25．（本题10分）阅读下列材料：
小高在学习中遇到一个有趣的问题：如何比较与的大小
请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题
(1)
由此可归纳出结论： _________．
(2)根据上面的结论计算：
类似的：
__________；
(3)类比应用：__________；
(4)请你根据以上总结的结论，比较与的大小．
26．（本题10分）【综合与实践】如图1，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题：
(1)所得到的面积为的大正方形的边就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为___________；
(2)由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图2中，两点表示的数为___________；
(3)通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图3所示的一个正方形．请用（2）中相同的方法在数轴上找到表示的点．（作图过程中标出必要线段长）
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024-2025学年度湘教版八年级上册数学第三章 实数测试
第三章 实数模拟试卷（一）
参考答案：
1．D
2．D
3．C
4．D
5．B
6．C
7．A
8．C
9．D
10．D
11．4
12．1
13．
14．或
15．2
16．
17．
18．
19．7
【分析】先根据乘方的意义、算术平方根的意义以及零指数幂法则求出、、的值，再加减即可．
【详解】解：原式＝
＝7．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握乘方的意义、算术平方根的意义以及零指数幂法则是解决本题的关键．
20．2
【分析】根据平方的非负性以及算术平方根的非负性，列出关于的方程组，进而求得的值，再求得代数式的值．
【详解】解：∵ 与互为相反数，
∴ ，
∴ ，
解得，
所以，，
所以，实数的倒数．
【点睛】本题考查了平方的非负性以及算术平方根的非负性，解二元一次方程组，负整指数幂，求得的值是解题的关键．
21．(1)
(2)或
【分析】此题考查了解分式方程和用平方根的意义解方程，熟练掌握分式方程的解法和平方根的意义是解题的关键.
（1）去分母化为整式方程，解方程并检验即可；
（2）变形后利用平方根的意义得到，解一元一次方程即可.
【详解】（1）解：
两边都乘以得，，
解得，
当时，，
∴分式方程的解为
（2）
则
开平方得，
即或
解得或
22．
【分析】本题主要考查了非负数的性质及实数的运算等知识点，掌握倒数、相反数及算术平方根的意义是解决本题的关键．
根据倒数、相反数及算术平方根的意义，先求出、、，再代入计算即可．
【详解】解：∵a，b互为倒数，
∴．
∵c，d互为相反数，
∴．
∵e的算术平方根为3，
∴，
∴，
∴4的平方根为．
23．(1)
(2)解：不同意小明的说法，我认为小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片，理由见解析
【分析】本题考查平方根的实际应用，读懂题意，由算术平方根及平方根定义列式求解即可得到答案，读懂题意，由平方根定义列式求解是解决问题的关键．
（1）根据题意，利用算术平方根列式求解即可得到答案；
（2）设长方形纸片的长为，宽为，由题意得到求解即可得到答案．
【详解】（1）解：用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形，
大正方形的边长为；
（2）解：不同意小明的说法；我认为小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片．
理由如下：
设长方形纸片的长为，宽为，根据题意得，解得或（负值，舍去），即长方形的长为，宽为，
∵，不符合题意，
∴小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片．
24．(1)3
(2)①；②6或3或2
(3)
【分析】（1）根据题意作差求解即可；
（2）①根据题意作差得，再利用分式的性质化简得，即，再进行移项、合并同类项即可求解；
②由分式的值是正整数及分式有意义的条件确定x的值，再分别代入求值即可；
（3）根据“差值的定义”得出，由求得x、y的值，再代入求值即可．
【详解】（1）解：①，
∴与的“差值”为3；
（2）解：∵与的“差值”为2，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：；
②当时，分式，
∵分式的值为正整数，
∴或或或，
∴或或或，
∵，即，
∴或或，
当时，分式，
当时，，
当时，，
∴分式的值为6或3或2；
（3）解：∵与的“差值”为4，
∴，
∴，
∴，
∵（其中x、y为正数），
∴，
∴．
【点睛】本题考查分式的加减运算、分式有意义的条件、代数式求值及新定义，熟练掌握“差值的定义”和分式的加减运算方法是解题的关键．
25．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了实数的运算，与实数有关的规律探索，实数比较大小等等：
（1）根据题意可得规律；
（2）根据结合题意求解即可；
（3）先求出，再由进行求解即可；
（4）仿照（3）求出，，再利用作差法求解即可．
【详解】（1）解：
以此类推可得， ，
故答案为：．
（2）解：
，
故答案为：；
（3）解：∵，
∴，
故答案为：；
（4）解：∵，
，
∴，
，
∵，
∴．
26．(1)
(2)，
(3)作图见解析
【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数与数轴是一一对应的，正确理解算术平方根的定义、实数与数轴的关系及正确进行实数运算是解题关键．
（1）直接利用算术平方根的定义解答；
（2）先表示出线段的长度，再通过计算得出点所表示的数；
（3）先确定长为的线段表示方法，再在数轴上找表示的点．
【详解】（1）∵面积为的大正方形的边就是原先边长为的小正方形的对角线长，
∴小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，即，
故答案为：；
（2）如图，设数轴原点为，数1表示的点为，
∵图中小正方形对角线长为，
∴，
∴，，
∴，两点表示的数分别为和，
故答案为：，；
（3）根据图3作法，可得利用图3拼成的大正方形面积为5，
则大正方形边长为，
即图3裁出的长方形的对角线长为，
则可利用如下图所示作图：
其中，，，
∴，
∴点表示的数为．
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