苏科版九年级数学上册1.1 一元二次方程 同步测试
一、选择题
1．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1 B．－1 C．1或－1 D．0
2．一元二次方程的二次项系数是（ ）
A． B． C． D．
3．已知一元二次方程的一个根是1，则b的值是（ ）
A． B． C． D．
4．已知关于x的方程的一个根为，则实数b的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
5．关于x的方程的一个根是4，那么m的值是（ ）
A．-3或4 B．或7 C．3或4 D．3或7
6．若是关于x的一元二次方程的一个根，则k的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
7．“读万卷书，行万里路.”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字.设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知x=3是关于x的一元二次方程的一个解，则a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
10．受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势.已知某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升.设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．若m是方程的一个根，则的值为 .
12．若m是方程的一个根，则代数式的值等于 .
13．已知是一元二次方程的一个解，则m的值为 .
14．若，是关于x的方程的两个实数根，则代数式的值是 .
15．已知是的根，则代数式的值为 .
三、解答题
16．已知关于x的一元二次方程有一个根是-3，求另一个根及k值.
17．已知关于x的一元二次方程有一个实根为-2，求m的值及方程的另一个实根．
18．若a是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，求代数式a2﹣2019a+的值．
19．关于的一元二次方程，其根的判别式的值为，求的值及该方程的解．
四、综合题
20．已知关于x的一元二次方程：x2-（m-3）x-m＝0.
（1）证明：无论m为何值，原方程有两个不相等的实数根；
（2）当方程有一根为1时，求m的值及方程的另一根.
21．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论k为何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）若方程有一个根为-2，求k的值．
22．已知关于的方程．
（1）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根；
（2）求证：二次函数的图象与轴有两个交点．
23．定义：关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）是关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的“友好”方程．例如：是的“友好”方程．
（1）【概念感知】的“友好”方程是 ；
（2）【问题探究】若关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好”方程的一个解？若是，请证明；若不是，请说明理由．
（3）【拓展提升】若关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的解为，且也是其“友好”方程的解，求a，c之向的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：把代入一元二次方程得，
解得，
而，
的值为.
故答案为：B.
【分析】将x=0代入方程中可得a的值，由一元二次方程的概念可得a-1≠0，据此可得a的值.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：∵一元二次方程中的二次项为： ，
∴一元二次方程的二次项系数是.
故答案为：.
【分析】一元二次方程一般形式（a≠0），其中a为二次项系数，据此解答即可.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的一个根是，
∴，
∴，
故答案为：C
【分析】将x=1代入方程中即可求出b值.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵关于x的方程的一个根为，
∴，解得：，
故答案为：D.
【分析】根据方程解的概念，将x=1代入方程中进行计算可得b的值.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵关于x的方程的一个根是4，
∴，
即，
即
解得，
故答案为：B.
【分析】根据方程根的概念，将x=4代入方程中可得关于m的方程，求解可得m的值.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：∵方程的一根为-1，
∴，解得，
当=-1时，原方程为，有实数根x=-1.
故答案为：A.
【分析】根据方程解的概念，将x=-1代入方程中可得k的值.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，
根据题意即可列出方程：.
故答案为：A.
【分析】设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，由题意可得八年级人均阅读量为100(1+x)万字，九年级人均阅读量为100(1+x)2万字，然后根据九年级每年121万字即可列出方程.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：∵ x=3是关于x的一元二次方程x2-3a=0的一个解 ，
∴32-3a=0，
解得a=3.
故答案为：D.
【分析】根据方程根的概念，将x=3代入方程，可得一个关于未知数a的方程，求解即可.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有一个根为0，
∴m=0，
故答案为：C．
【分析】将x=0代入求出m的值即可。
10．【答案】A
【解析】【解答】由分析可知，根据题意可列出方程为 ；
故答案为：A。
【分析】五月底的价格=三月底的价格×（1+每月的增长率）2。
11．【答案】2026
【解析】【解答】解：是方程的一个根，
，，
则
，
故答案为：.
【分析】将x=m代入方程可得，将原式变形为，然后整体代入计算即可.
12．【答案】2023
【解析】【解答】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴.
故答案为：2023.
【分析】根据方程根的概念得m2+m=2023，进而将待求式子去括号后整体代入可得答案.
13．【答案】3
【解析】【解答】解：将代入方程中得，，
解得：，
故答案为：3.
【分析】根据方程解的概念，将x=-1代入方程中进行计算可得m的值.
14．【答案】7
【解析】【解答】解：∵，是关于x的方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：7.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=2，根据方程根的概念可得x12-2x1=5，将待求式变形为x12-2x1-(x1+x2)+4，然后代入进行计算.
15．【答案】
【解析】【解答】解：∵是方程的根，
∴，
∴，
∴.
故答案为：-5.
【分析】根据方程解的概念可得a2-3a=6，将待求式变形为7-2(a2-3a)，然后代入计算即可.
16．【答案】解：设它的另一个根是a，则
，
解得，
把代入方程，得
，
解得.
答：它的另一个根是7，k的值为4.
【解析】【分析】设它的另一个根是a，根据根与系数的关系可得-3a=-21，求出a的值，根据方程解的概念，将x=-3代入方程中可得k的值.
17．【答案】解：关于x的一元二次方程有一个实根为-2，
∴，解得：；
∴方程为：，
，
解得：，
∴方程的另一个根为：1．
【解析】【分析】将x=-2代入方程中可求出m的值，据此可得关于x的方程，然后利用因式分解法求解即可.
18．【答案】解：把x＝a代入方程，可得：a2﹣2018a+1＝0，
所以a2﹣2018a＝﹣1，a2+1＝2018a，
所以a2﹣2019a＝﹣a﹣1，
所以a2﹣2019a+＝﹣a﹣1+＝﹣1，即a2﹣2019a+＝﹣1．
【解析】【分析】 把x＝a代入方程，可得 a2﹣2018a＝﹣1，a2+1＝2018a， 从而求出a2﹣2019a＝﹣a﹣1， 再代入原式即可求解.
19．【答案】解：由题意知，，，
，
，
，
舍去，，
即，
当时，原方程化为：，
解得：，．
【解析】【分析】根据题意可得m≠0且△=1，代入求解可得m的值，据此可得对应的一元二次方程，然后利用因式分解法求解即可.
20．【答案】（1）证明：△ ，
，
，
，
，
，即△ ，
方程有两个不相等的两个实数根；
（2）解： 是方程 的一个根，
，
解得： ，
则方程为： ，
解得： ， ，
方程的另一根为-2.
【解析】【分析】（1）根据方程可得△=b2-4ac=(m-1)2+8，然后结合偶次幂的非负性进行证明；
（2）将x=1代入方程中可得关于m的方程，求出m的值，然后代入方程中利用因式分解法就可求出方程的另一根.
21．【答案】（1）证明：∵，
∴无论k为何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：把代入方程，可得，
整理得，
解得，．
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）将代入方程可得，再求出k的值即可。
22．【答案】（1）解：把代入得，
解得，
原方程为，
，
．
（2）证明：令，则，
，
二次函数图象与轴有2个交点．
【解析】【分析】（1）将代入方程求出，可得方程，再求出方程的根即可；
（2）利用根的判别式求解即可。
23．【答案】（1）
（2）解：是．
证明：由题意知的“友好”方程为
∵是的一个解
∴
将代入得
∵
∴
∴是的一个解．
（3）解：由题意知， 既是的解，又是的解
∴，
即
解得
∴a，c之向的数量关系为．
【解析】【解答】解：（1）由题意知的“友好”方程为
故答案为：．
【分析】（1）根据“友好”方程的定义求解即可；
（2）将代入得，再结合，可得，即可得到是的一个解；
（3）根据根与系数的关系可得 ， ，所以，化简可得，从而得解。
