宁夏2025届高三8月新起点调研模拟试卷（一）数学试题
2 3 4 3
2025 届高三年级 8 月新起点调研模拟试卷（一）
2 ( ) ln3 1 数 学 f x 试 题 ( ) = x 2 xlnx,a = f ln 2 ,b = f ,c = f 3 e
2024.8 a c b b c a c a b c b a
祝考试顺利 5 2 (0,π) cos = sin( + ) = =
5 10
考生注意： π 3π π π 3π 3π
1. 本试卷分选择题和非选择题两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟. 4 4 4 4 4
4
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应
题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域
内作答，超．出．答．题．区．域．书．写．的．答．案．无．效．，在．试．题．卷．、草．稿．纸．上．作．答．无．效．。 X
4. 本卷命题范围：高考全部内容 Pn
P P1 P P2 3 Pn
n +1 1 1 nP
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 P X = = Pn =
1
2 n n
目要求的．
x 2 2 2nP
1．集合P = x 0, x Z 的真子集个数是（ ）
1
P nP1 1 d =n
x +1 n (n 1)
A．5 B．6 C．7 D．8
3 f (x) = 2sin( x + )( 0,| | π) A(0, 1) B (x0 ,1) f (x) | AB |= 13x
2．函数 g (x) = + x2 2mx 在 R 上是单调递增的充分条件是（ ）
3
1 1 1 1
m m m [ , ] π 5πA． B． C． D．m R = =
2 2 2 2 3 6
1
3．已知定义在R 上的函数 f (x)对任意的实数 x, y都有 f (x + y) = 2 f (x) + f (y)，则 f (ln2025) + f ln = f (x) f (x) [7,11]
2025
（ ）
1
A．2025 B． 2025 C．0 D．1 R f (x) x, y R f (x+ y) = f (x)+ f ( y) f (1) = x 0 f (x) 0
2
x2 y2
4．已知直线 l ： x y +3 = 0与双曲线C： =1(a 0,b 0) 交于A ， B两点，点P (1,4)是弦 AB 的中点，则双曲
a2 b2
线C的渐近线方程是（ ） f (x) R
1 1
A． y = x B． y = 2x C． y = x D． y = 4x
4 2 f (x)
5．已知体积为 4 3π的球O与正四棱锥的底面和 4 个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边长为 4 3 . 则该正四棱锥
体积值是（ ） f x
f (x) ( )g (x) = x = 0
ex
128 3 80 3
A． B．43 3 C．96 3 D．
3 3
f (x) h(x) = f (x) 2sin x 1
6．已知平行四边形 ABCD中， ADC =60 ， E ， F 分别为边 AB ，BC的中点，若DE DF =13，则四边形 ABCD
面积的最大值为（ ）
【高三年级 8 月新起点调研模拟试卷
{#{QQABCQQEogCgApAAARhCQQmaCEGQkAACCSgGQFAEMAAAwAFABCA=}#}
A．2 B．2 3 C．4 D．4 3
2 ( ) ln3 1 7．已知函数 f (x) = x 2 xlnx,a = f ln 2 ,b = f ,c = f ，则（ ）
3 e
A．a c b B．b c a C．c a b D．c b a
5 2
8．已知 ， (0,π)，且cos = ， sin( + ) = ，则 =（ ）
5 10
π 3π π π 3π 3π
A． B． C． 或 D． 或
4 4 4 4 4 4
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对
的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．已知随机变量 X的分布列如右：
X 1 2 3 … n
若数列 Pn 是等差数列，则（ ）
P P1 P P2 3 … Pn
n +1 1 1 nP
A．若 n为奇数，则P X =
1
= B．Pn =
2 n n
x 2 2 2nP
P = x 0, x Z
1
C．若数列 Pn 单调递增，则nP1 1 D．d =
x +1 n (n 1)
3 10．已知函数 f (x) = 2sin( x + )( 0,| | π)的图象如图所示，点 A(0, 1)，B (x ,1)在曲线 f (x)0 上，若 | AB |= 13，x
g (x) = + x2 2mx
3 则（ ）
1 1 1 1
m m m [ , ] π 5πm R A． = B． =
2 2 2 2 3 6
1
R f (x) x, y f (x + y) = 2 f (x) + f (y) f (ln2025) + f 1 ln = C． f (x)2025 的图象关于点( , 0)对称 D． f (x) 在[7,11]上单调递减 2
1
2025 2025 0 1 11．已知定义在R 上的函数 f (x)，对任意 x, y R 有 f (x+ y) = f (x)+ f ( y)，其中 f (1) = ；当 x 0时， f (x) 0，
2
x2 y2 则（ ）
l x y +3 = 0 C =1(a 0,b 0) A B P (1,4) AB
a2 b2
C A． f (x)为R 上的单调递增函数
1 1
y = x y = 2x y = x y = 4x
4 2
B． f (x)为奇函数
4 3π O 4 3
f (x)
C．若函数 f (x)为正比例函数，则函数 g (x) = 在 x = 0处取极小值
ex
128 3 80 3
43 3 96 3
3 3
D．若函数 f (x)为正比例函数，则函数h(x) = f (x) 2sin x 1只有一个非负零点
ABCD ADC =60 E F AB BC DE DF =13 ABCD
卷（一）·数学 第 1 页（共 2 页）】
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．复数 z 满足 z(2+ i) = 7 + i ，则 | z z |= .
[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95] X
N , 2 A B
13．设 Sn 为等差数列 a
( )
n 的前 n项和，若S5 = 4a1， a1 0，则使Sn an 的 n的最大值为
14．已知点 A(1,0)， 为圆 x2 + y2M = 4上一动点，N 为直线2x y + 7 = 0上一点，则2 | AM | + | MN |的最小值为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题 13 分）
在△ ABC中，角 A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 cos2B cos2A = 2sin2C 2sinBsinC
(1)求A ;
(2)若b = 2，c = 3，P，Q分别为边 a，b上的中点，G为 ABC的重心，求 PGQ 的余弦值.
s x
16．（本小题 15 分）
s A
如图所示，半圆柱OO1与四棱锥 A BCDE拼接而成的组合体中，F 是半圆弧BC上（不含B,C ）的动点，
FG 为圆柱的一条母线，点A 在半圆柱下底面所在平面内，OB = 2OO1 = 2, AB = AC = 2 2 .
N ( , 2 )
P( + ) 0.6827, P( 2 + 2 ) 0.9545 P( 3 + 3 ) 0.9973
[45,55)
A
m(1 m 24) B ln(25 m) m
(1)求证：CG⊥ BF；
(2)若DF / /平面 ABE，求平面FOD与平面GOD夹角的余弦值；
(3)求点G到直线OD距离的最大值.
a i, jn i, j
*
N , i j k1
*
N aia j = ak1
17．（本小题 15 分） a
an
i
i, j *i, j *N , i j k N = a2 k aa 2 n j
在平面直角坐标系 xOy中，点T 到点F (2,0)的距离与到直线 x =1的距离之比为 2 ，记T 的轨迹为曲线E ，
直线 l1交 E 右支于A ， B两点，直线 l2交 E 右支于C，D两点， l1//l2． an = 3n 2(1 n 20,n
*
N ) an
(1)求E 的标准方程；
1,a ,a ,8 a2 a2 3 3
(2)若直线 l 过点 (2,0)，直线 l (8,0) Q Q1 2过点 ，记 AB ，CD的中点分别为P， ，过点 作 E 两条渐近线的垂线，
a *
垂足分别为M ，N ，求四边形PMQN
面积的取值范围． n
k k 5,k N an
an
【高三年级 8 月新起点调研模拟试卷
{#{QQABCQQEogCgApAAARhCQQmaCEGQkAACCSgGQFAEMAAAwAFABCA=}#}
18．（本小题 17 分）
z z(2+ i) = 7 + i | z z |= 某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质
量指标值：[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95] .根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值 X 服从正态分布
N ( , 2S a S = 4a a 0 S a )，并把质量指标值不小于 80 的产品称为A 等品，其它产品称为B等品. 现从该品牌芯片的生产线中n n 5 1 1 n n
随机抽取 100 件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.
A(1,0) M x
2 + y2 = 4 N 2x y + 7 = 0 2 | AM | + | MN |
ABC A，B，C a，b，c cos2B cos2A = 2sin2C 2sinBsinC
A
b = 2，c = 3，P，Q a，b G ABC PGQ
(1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差 s的近似值为 11，用样本平均数 x 作为 的近似值，用样
本标准差 s作为 的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A 等品的概率(保留小数点后面两
OO1 A BCDE F BC B,C 位有效数字)；
FG A OB = 2OO1 = 2, AB = AC = 2 2 2
(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量 服从正态分布N ( , )，则
P( + ) 0.6827, P( 2 + 2 ) 0.9545，P( 3 + 3 ) 0.9973 . )
(2)（i）从样本的质量指标值在[45,55)和[85，95]的芯片中随机抽取 3 件，记其中质量指标值在[85，95]的芯
片件数为 ，求 的分布列和数学期望；
（ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按 100 件一箱包装. 已知一件A 等品芯片
的利润是m(1 m 24)元，一件B等品芯片的利润是 ln(25 m)元，根据(1)的计算结果，试求m 的值，使得每
CG⊥ BF 箱产品的利润最大.
DF / / ABE FOD GOD
G OD 19．（本小题 17 分）
a i, j * k *定义：已知数列 n 为有穷数列，①对任意 （ i, j N , i j ），总存在 N ，使得aia = a1 j k ，则称数列1
a
a * in 为“
*
乘法封闭数列”；②对任意 i, j （ i, j N , i j ），总存在 k2 N ，使得 = ak2 ，则称数列 an 为“除a j
xOy T F (2,0) x =1 2 T E 法封闭数列”，
l1 E A B l2 E C D l1//l2 (1)若an = 3n 2(1 n 20,n
*
N )，判断数列 an 是否为“乘法封闭数列”.
E
(2)已知递增数列1,a2 ,a3 ,8，为“除法封闭数列"，求a2和 a3 .
l (2,0) l (8,0)1 2 AB CD P Q Q E
PMQN (3)
*
M N 已知数列
an 是以 1 为首项的递增数列，共有 k 项，k 5,k N ，且为“除法封闭数列”，探究：数列 an
是否为等比数列，若是，请给出说明过程；若不是，请写出一个满足条件的数列 an 的通项公式.
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2025 届高三年级 8 月新起点调研模拟试卷（一）·数学
参考答案、提示及评分标准
x 2
1.C 由 题 意 得 P = x | 0, x Z ={x | 1 x 2, x Z}= 0,1, 2 ， 所 以 集 合 A 的 真 子 集 个 数 为
x +1
23 1= 7 .故选 C.
x3 2
2.B 因为 g (x) = + x2 2mx ，所以 g (x) = x + 2x 2m ．因为函数 g (x)在 R 上单调递增，所以
3
( ) g (x) = x2 + 2x 2m = (x +1)2g x 0恒成立， 1 2m要使 g (x) 0 2恒成立，则 (x +1) 1 2m 0恒成
2 2 1
立 ， 即 (x +1) 1+ 2m 恒 成 立 。 因 为 (x +1) 0 ， 所 以 1+2m 0 ， 解 得 m ， 所 以 函 数
2
x3 1
g (x) = + x2 mx 在 R 上是单调递增的充分条件是 , 的非空子集 .故选 B. 3 2
1 1
3.C 赋值法知道， f (0+ 0) = f (0)+ f (0) ，解得 f (0) = 0 . f (ln2025)+ f ln = f (ln2025+ ln )
2025 2025
= f (ln1) = f (0) = 0，故选 C.
x2 y2 x2 y2 (x x )(x + x ) ( y y )( y + y )
4.B 设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，可得
1 1 =1， 2 2 =1，两式相减可得 1 2 1 2 1 2 1 2= ，
a2
2 2
b2 a b a2 b2
点 P (1,4)是弦 AB 的中点，且直线 l ：x y + 3 = 0，可得 x + x = 2，y1 + y = 41 2 2 ，y1 y2 = x1 x2，即有 b2 = 4a2 ，
即 b = 2a，双曲线的渐近线方程为 y = 2x ．经验证此时直线与双曲线有两个交点 .故选 B.
5.A 设正四棱锥 P ABCD的内切球的半径为 R，H 为底面中心，由体积
4
为 4 3π= πR
3
得 R = 3 ，连接 PH ， PH ⊥平面 ABCD，球心 O 在 PH 上，
3
OH = R，取 CD的中点 F ，连接 HF , PF ，设 O点在侧面 PCD上的投影为 Q 点，
则 Q点在 PF 上，且 OQ ⊥ PF ， POQ∽ PFH ，球心到四棱锥顶点的距离为
PQ PH
= h
2 3 h+ 3 5 3
h ， 所 以 ， = ， 解 得 h = ， 所 以
OQ FH 3 2 3 3
1 1 8 3 128 3
V = SABCDPH = 4 3 4 3 = .故选 A.
3 3 3 3
6. D 以点 D为原点，DA所在直线为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设 DA = a, DC = c ，
c 3c c 3 c 3c a + c 3c
则 D (0,0) , A(a,0) ,C , , B a + , c , E a + , , F , 2 2 2 2
4 4
，
2 2
c 3c a + c 3c c a + c 3c
2 a2 5ac c2
所以 DE = a + , , DF = , ，所以 DE DF = a + + = + + =13，
4 4 2 2 4 2 8 2 8 2
a2 5ac c2
2
ac 5ac 13ac
从而 13 = + + 2 + = ，即 ac 8，等号成立当且仅当 a = c = 2 2 ，
2 8 2 2 8 8
1 3 3ac 3ac
四 边 形 ABCD 面 积 的 表 达 式 为 S = 2 ac = ， 从 而 S = 4 3 ， 等 号 成 立 当 且 仅 当
2 2 2 2
a = c = 2 2 ，所以四边形 ABCD面积的最大值为 4 3 .故选 D.
7. C 因 为 f (x) = x2 2 lnx ， 所 以 f (x) = 2x ln x 1 ， 令 g (x) = 2x ln x 1 对 其 求 导
1 1 1 1 1
g '(x) = 2 ，当 x 时， ′( ) > 0，故函数 g (x)单调递增， g = 2 ln 1= ln 2 0 ，所以
x 2 2 2 2
【高三年级 8 月新起点调研模拟试卷（一）·数学参考答案 第 1 页（共 6 页）】
{#{QQABCQQEogCgApAAARhCQQmaCEGQkAACCSgGQFAEMAAAwAFABCA=}#}
1 1 ln 3 1
f (x) 0, f (x)在 ，+ 上单调递增。比较大小： a = f (ln 2) = f ( 2),b = f ( ),c = f ；
2 2 3 e
ln x 1 ln x 1 1 ln 3
令 h (x) = ,h '(x) = 。当 0 x e 时 ， h '(x) 0,h(x) 单调 递 增 。 h( ) = e,h( ) = 2ln 2,h( )2 又x x e 2 3
1 1 ln 3 1 1 ln 3 1 ( ) ln3 h( ) h( ) h( ) ，所以 ln 2 ，所以 f f ln 2 f ，即 c a b .故选 C.
e 2 3 e 2 3 e 3
5 2 π π 2 5 2 5 5 4
8.A 因为 cos = ,所以 ( , ),则 sin = ,所以 sin 2 = 2sin cos = 2 = ,
5 2 4 2 5 5 5 5
2
2 5 3 π π 3π
cos2 =1 2sin2 =1 2 = 0,则 2 ,π ，因为 (0,π)，所以 +
, ，
5 5 2 4 2
2 2 3π 2 7 2又 0 sin( + ) = ,则 + ,π ，所以 cos( + ) = 1 sin ( + ) = ,
10 2 4 10
4 7 2 3 2 2
故 sin( ) = sin(2 ( + )) = sin2 cos( + ) cos2 sin( + ) = = ,
5 10
5 10 2
π π 3π π π
因为 ( , ), (0,π),所以 , , 则 = .故选 A.
4 2 4 2 4
n (P + P ) 2
9.ACD 由数列 P 是等差数列且 P1 + P2 + + P =1，得
1 n
n n =1，所以 P1 + Pn = ，对于 A，当 n 为
2 n
n +1 P1 + Pn 1 2 2 nP
奇数时， P X = = = ，故 A 正确；对于 B，由 P1 + P = 得 P
1
n n = ，故 B 错误；对于
2 2 n n n
2
P
P 1
+ Pn = 1
C ， 若 数 列 n 单 调 递 增 ， 则 n 可 得 P ， 故 nP1 1 1 ， 故 C 正 确 ； 对 于 D ： 由
n
P1 Pn
P P 2 2nP
kP = k P + (k 1)d = kP + k 2 d = n 1 = 1k 1 1 d kd ，其中 ，故 D 正确 .故选 ACD. n 8 n (n 1)
10. AC 对 于 A ， 由 图 可 知 x0 0 ， 由 | AB |= 2
2 + x2 = 13 ， 解 得 x0 = 30 （ 负 值 舍 去 ）， 所 以
T 1 2π π
= = x0 0 = 3，解得 = ，故 A 正确；对于 B，则 f (x) = 2sin x + ，将点 A(0, 1)代入得，
2 2 3 3
π 1 π
2sin 0 + = 1，即 sin = ，由于 x = 0在 f (x)的增区间上，且 | π，所以 = ，故 B 错误；
3 2 6
π π π π 1
对于 C，因为 f (x) = 2sin x ，令 x = kπ， k Z，解得 x = 3k + ， k Z，取 k = 0，则 f (x) 关于
3 6 3 6 2
1 π π π 3π
点 ( , 0)对称，故 C 正确；对于 D，令 2kπ + x 2kπ + ， k Z，解得 6k +2 x 6k +5， k Z，取
2 2 3 6 2
k =1，则 f (x)在 8,11 上单调递减，故 D 错误 .故选 AC.
11. ABD 对于 A，设 x2 x x = x + t1 ，且 2 1 ， t 0， f (x2 ) = f (x1 )+ f (t )，即 f (x2 ) f (x1 ) = f (t ) 0，故
f (x)单调递增，故 A 正确；对于 B， f (x)是定义在 上的函数，取 x = y = 0，则 f (0) = 0，取 y = x ，
则 f (x)+ f ( x) = 0，即 ( ) = ( )，故 f (x)是奇函数，故 B 正确；对于 C、D，设 f (x) = kx，代入
1 1 f (x) x 1 x
f (1) = ，得 f (x) = x ，其中 C 项， g (x) = = ， g (x) = ，当 x 1时， g (x) 0， g(x) 在区间
2 2 ex 2ex 2e
x
f (x)
( ,1)上单调递增，当 x 1时， g (x) 0， g(x) 在区间 (1,+ ) 上单调递减，函数 g (x) = 在 x =1处取
ex
1
极 大 值 ， 无 极 小 值 , 故 C 错 误 ； 其 中 D 项 ， 函 数 h(x) = x 2sin x 1 ， 其 中
2
π π π π π π
h ( π) = 2sin ( π) 1= 1 0， h = 2sin 1=1 0 ， h(0) = 1 0 ，
2 2 2 4 2 4
π π π π
h (π) = 2sin π 1= 1 0，由零点存在性定理可知，函数 h(x)分别在区间 ( π, ) ， ( ,0) 和 (0, π) 上
2 2 2 2
各至少存在一个零点，故 D 正确；故选 ABD.
【高三年级 8 月新起点调研模拟试卷（一）·数学参考答案 第 2 页（共 6 页）】
{#{QQABCQQEogCgApAAARhCQQmaCEGQkAACCSgGQFAEMAAAwAFABCA=}#}
7 + i (7 + i)(2 i)
12. 2 因为 z(2+ i) = 7 + i ，则 z = = = 3 i ， z = 3+ i 所以 z z = (3 i) (3+ i) = 2i = 2 .
2 + i 5
5 4
13. 21 设等差数列 { }的公差为 d，由 S5 = 4a1，得 5a + d = 4a ，得 a1 = 10d ，由于 a1 0，1 2 1
n (n 1) n (n 1)
得 d 0，由 Sn an ，得 na1 + d a1 + (n 1)d ，得 10nd + d 10d + (n 1)d ，
2 2
n (n 1)
得 10n+ 10+ n 1，得 (n 1)(n 22) 0，得 1 n 22，且 n N*，则 n 的最大值为 21，
2
14. 3 5 不 妨 设 x 轴 上 定 点 B (x0 ,0)使 得 满 足 | BM |= 2 | AM |， ( 1, 1)，
2 2 2
则 (x x ) + y2 = 2 (1 x ) + y2 ， 整 理 得 ， 3x1 +3y
2 2
1 = x0 +8x1 2x x 40 1 1 1 1 1 0 ，
又 3x
2
1 + 3y
2
1 =12
2
，所 以 x0 + 8x1 2x1x0 16 = 0，则 (x0 4)(x0 2x1 + 4) = 0，解
得 x = 4， 所 以 B(4,0)， 使 得 | BM |= 2 | AM |0 ， 要 使 2 | AM | + | MN |最 小 ，
则 | BM | + | MN |最 小 ， 所 以 B， M， N 三 点 共 线 ， 且 MN 垂 直 于 直
线 2x y + 7 = 0时 取 得 最 小 值 ， 如 图 所 示 . 故 2 | AM | + | MN |的 最 小 值
| 2 4 0 + 7 |
为 点 B 到 直 线 2x y + 7 = 0的 距 离 = 3 5 .
22 +12
15.解：（ 1）因为 cos2B cos2A = 2sin2C 2sinBsinC ，
所以 (1 2sin2B) (1 2sin2A) = 2sin2C 2sinBsinC ， ................................ ........................................ 2 分
即 sin2 A = sin2B + sin2C sinBsinC ................................ .................................................................. 3 分
a 2= c 2 2由正弦定理得 +b bc， ................................ ................................................................ 4 分
1 π
由余弦定理得 cosA = ，因为 A (0，π)，A = ................................ ........................................ 6 分
2 3
1
（ 2）设 AB = c，AC = b ， b c = b c cos A = 2 3 = 3 ................................................................... 7 分
2
1 1
依题意可得 AP = (b + c )，BC = b c，BQ = b c ................................ .......................................... 9 分
2 2
1 2 1 2 19所以 AP = b + 2b c + c 2 = 2 + 2 3+ 32 = ...................................................................... 10 分
2 2 2
1 2 2 1BQ = b b c + c = 4 3+9 = 7 ................................................................ ..................... 11 分
4 4
1 1 1
AP BQ = (b + c ) b c = b 2
1 1 4 3 9 17
b c c
2 = = ................................ ........................ 12 分
2 2 4 4 2 4 4 2 4
AP BQ 17 133
所以 cos PGQ = = . .......................................................................................... 13 分
AP BQ 266
16.解：（ 1）取弧 BC中点 H ，则 OH ⊥ BC，以 O为坐标原点，直线 OB,OH ,OO1 分别为 x, y, z 轴建立空间
直角坐标系，连接 OA，在 ABC 中， BC = 4， AB = AC = 2 2,OB =OC，则 AO ⊥ BC, AO = 2， .... 1 分
于是 O(0,0,0) , A(0, 2,0), B (2,0,0),C ( 2,0,0), D ( 2,0,1)， .............................................................. 2 分
设 F (x, y,0)，则 G (x, y,1) 2 2，其中 x + y = 4, y 0， CG = (x+2, y,1),BF = (x 2, y,0)， ....................... 3 分
因此 CG BF = x2 4+ y2 = 0，即 CG ⊥ BF ，所以 CG⊥ BF . ........................................................... 4 分
（ 2）由 BE ⊥平面 ABC, AC 平面 ABC，得 BE ⊥ AC， ............................................................... 5 分
又 AB2 + AC 2 = BC 2 ，则 AB⊥ AC，而 AB BE = B, AB, BE 平面 ABE， ........................................ 6 分
则 AC ⊥平面 ABE，即 AC = ( 2,2,0)为平面 ABE的一个法向量， ................................ ................. 7 分
【高三年级 8 月新起点调研模拟试卷（一）·数学参考答案 第 3 页（共 6 页）】
{#{QQABCQQEogCgApAAARhCQQmaCEGQkAACCSgGQFAEMAAAwAFABCA=}#}
DF = (x + 2, y, 1)，由 DF / /平面 ABE，得 DF AC = 2x 4+ 2y = 0， ............................................. 8 分
x = 0
又 x2 + y2 = 4, y 0，解得 ，此时 F (0,2,0) ,G (0,2,1)， ................................ ......................... 9 分
y = 2
n OF = 2b = 0
设 n = (a,b,c)是平面 FOD的法向量，则 ，取 a =1，得 n = (1,0,2)， .................. 10 分
n OD = 2a + c = 0
m OG = 2 f + g = 0
设 m = (e, f , g )是平面 GOD的法向量，则 ，取 e =1，得 m = (1, 1,2)， ............. 11 分
m OD = 2e+ g = 0
| n m | 5 30
则平面 FOD 与平面 GOD夹角的余弦值为 | cos n,m |= = = . .............................. 12 分
| n || m | 5 6 6
（ 3） OD = ( 2,0,1) ,OG = (x, y,1)， ............................................................................................... 13 分
2 OG OD 2
则点 G到直线 OD的距离 d = OG ( )2
(1 2x)
= 5 ， ................................ .................. 14 分
| OD | 5
1 1 15
当 x = 时，即 F 的坐标为 ( , , 0)时，点 G 到直线 OD的距离取最大值为 5. ....................... 15 分
2 2 2
17.解：（ 1）设点 T (x, y)，因为点 T 到点 F (2,0)的距离与到直线 x =1的距离之比为 2 ，
2
( x 2) + y2 x2 y2
所以 = 2 ，整理得 =1， ................................ ........................................... 2 分
x 1 2 2
x2 y2
所以 E 的标准方程为 =1. ............................................................................................... 3 分
2 2
（ 2）由题意可知直线 l1和直线 l2斜率若存在则斜率大于 1 或小于 1，
且曲线 E 的渐近线方程为 x y = 0，
故可分别设直线 l1和直线 l2的方程为 x = my + 2和 x = my +8，且 0 m
2 1， ................................ 4 分
x = my + 2
2 2
联立 x2 y2 得 (m 1) y + 4my + 2 = 0，设 ( 1, 1)、 ( 2, 2)， .............................................. 5 分
=1
2 2
2
则 Δ = (4m) 4(m2 1) 2 = 8m2 +8 0， ................................................................ ....................... 6 分
4m 2
y1 + y2 = ， y1y2 =2 ， ................................ ................................................................ 7 分 m 1 m2 1
4m 4
故 x1 + x2 = my1 + 2+my2 + 2 = m ( y1 + y2 )+ 4 = m + 4 = 2 2 ， .............................................. 8 分
m 1 m 1
x1 + x2 y1 + y2 2 2m
因为 P 是 AB 中点，所以 P , 即 P , 2 2 ， ............................................ 9 分
2 2 m 1 m 1
8 8m
同理可得 Q , 2 2 ， ................................ ................................................................ . 10 分
m 1 m 1
【高三年级 8 月新起点调研模拟试卷（一）·数学参考答案 第 4 页（共 6 页）】
{#{QQABCQQEogCgApAAARhCQQmaCEGQkAACCSgGQFAEMAAAwAFABCA=}#}
2 2m 2(m 1) 2 2m 2(m+1)
+ 2 2 2 2 2所以 P 到两渐近线的距离分别为 m 1 m2 1 m 1 2 ， m 1 m 1 m 1 2 ，
d1 = = = d2 = = =
2 2 m+1 2 2 m 1
................................ ............................................................................................................... 11 分
8 8m 8(m 1) 8 8m 8(m+1)
+
Q 到两渐近线的距离分别为 m2 1 m2 1 m
2 1 4 2 ， m2 2
2
1 m 1 m 1 4 2 ，
QM = = = QN = = =
2 2 m+1 2 2 m 1
................................ ............................................................................................................... 12 分
由上知两渐近线垂直，故四边形 OMQN 是矩形，连接 OP，
1 1
则四边形 PMQN 面积为 SPMQN = S矩形 S OMP S ONP = QM QN OM dOMQN 1 ON d2
2 2
1 1 4 2 4 2 1 4 2 2 1 4 2 2 24
= QM QN QN d QM d = =1 2 2 ， ............. 13 分
2 2 m+1 m 1 2 m 1 m+1 2 m+1 m 1 m 1
2 2
因为 0 m2 1，所以 m 1 (0,1 ，所以 SPMQN = 24,+ )， ............................................... 14 分
m 1
所以四边形 PMQN 面积的取值范围为 24,+ ) . ................................ ......................................... 15 分
18.解：（ 1）由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取 100 件的平均数为：
x =10 (0.01 50+0.025 60+0.04 70+0.015 80+0.01 90) = 69． ................................ .................... 1 分
2即 x = 69， s 11，所以 X N(69,11 )， ................................ ........................................... 2 分
2
因为质量指标值 X 近似服从正态分布 N(69,11 )，
1 P(69 11 X 69+11) 1 P( X + ) 1 0.6827
所以 P(X 80) = = = 0.15865 0.16， ......... 4 分
2 2 2
所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为 A 等品的概率约为 0.16 . ......................................... 5 分
（ 2）（ i） (0.01+ 0.01) 10 100 = 20 ，所以所取样本的个数为 20 件， .......................................... 6 分
质量指标值在 85,95 的芯片件数为 10 件，故 可能取的值为 0， 1， 2， 3， .......................... 7 分
相应的概率为：
C3 0 2 1
P( = 0) = 10
C10 2 C C 15= ， P( =1) =
10 10 = ，
C320 19 C
3
20 38
C1 C2 C0 310 10 15 10C10 2P( = 2) = = ， P( = 3) = =3 3 ， ................................ ............................................ 9 分 C20 38 C20 19
随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
2 15 15 2
P
19 38 38 19
2 15 15 2 3所以 的数学期望 E( ) = 0 +1 + 2 + 3 = . .............................................................. 11 分
19 38 38 19 2
（ ii）设每箱产品中 A 等品有 Y 件，则每箱产品中 B等品有 (100 Y ) 件，
设每箱产品的利润为 Z 元， ................................ .................................................................... 12 分
由题意知： Z = mY + (100 Y ) ln(25 m) = (m ln(25 m))Y +100ln(25 m) ， ....................................... 13 分
由（ 1）知：每箱零件中 A 等品的概率为 0.16，
所以 Y ~ B(100,0.16)，所以 E(Y ) =100 0.16 =16， ....................................................................... 14 分
所以 E(Z ) = E[(m ln(25 m))Y +100ln(25 m)]
= (m ln(25 m))EY +100ln(25 m) =16(m ln(25 m))+100ln(25 m)
=16m+84ln(25 m) . ................................................................................................ ................... 15 分
84 79
令 f (x) =16x +84ln(25 x)(1 x 24)，由 f (x) =16 = 0 得， x = ， ..................................... 16 分
25 x 4
【高三年级 8 月新起点调研模拟试卷（一）·数学参考答案 第 5 页（共 6 页）】
{#{QQABCQQEogCgApAAARhCQQmaCEGQkAACCSgGQFAEMAAAwAFABCA=}#}
79 79
又 x (1, )， f (x) 0， f (x)单调递增， x ( , 24) ， f (x) 0， f (x)单调递减，
4 4
79 79
所以当 x = (1,24)时， f (x)取得最大值 .所以当 m = 时，每箱产品利润最大 . ..................... 17 分
4 4
19.解：（ 1）由题意知，数列 a 为： 1,4,7,10,13, ,58n . ............................................................. 1 分
由 a3 a4 = 7 10 = 70 ， 70不是数列 an 中的项，故数列 an 不是 “乘法封闭数列 ”； ................... 2 分
a3 8 8
（ 2）由题意数列递增可知 1 a2 a3 8，则 1 a3 ，且 1 8， .................................. 3 分 a2 a3 a2
a3 8 8
又数列 an 为 “除法封闭数列 ”，则 , , 都是数列 an 中的项， a2 a3 a2
a3 8 8= a 2所以 2 ，即 a3 = a2①且 = a2 , = a3，即 a2a3 = 8②， ................................ ........................ 4 分 a2 a3 a2
联立①②解得， a2 = 2,a3 = 4； ................................ ................................................................ 5 分
（ 3）数列 an 是等比数列 . ................................ ....................................................................... 6 分
证明：当 k =5时，设数列 an 为 1,a2 ,a3,a4 ,a5 ， ................................ ........................................ 7 分
a5 a5 a a a 1= 5 5 5由题意数列 an 递增可知 1 a2 a a = a3 4 a5 ，则有 5， .......................... 8 分 a5 a4 a3 a2 a1
a5 a5 a 5
a5 a5
由数列 an 为 “除法封闭数列 ”，则 , , , , 这 5个数都是数列 a 中的项， .................. 9 分 a5 a4 a3 a2 a
n
1
a5 a5 a5 a5 a a a a a
所以有 1= = a1, = a2 , = a3, = a ,
5 = a 2 5 2 4 34 5 ， 则有 a = a a = a a = a ， = , = ③； ...... 10 分
a a a a 5 1 5 2 4 35 4 3 2 a1 a4 a1 a3 a2
a4 a4 a4 a4 a4 a4 a4 a4 a2
同理由 1= = a4，可得 = a2 , = a3 , = a4 则有 a = a a = a a ，即 = ④； ..... 11 分
a 4 1 4 2 34 a3 a2 a1 a3 a2 a1 a3 a1
a a3 a a2 4 5
由③④可得， = = = 1，故 an 是等比数列 . ............................................................ 12 分 a1 a2 a3 a4
当 k 6时，由题意数列 an 递增可知 1 a2 a3 ak 1 ak ，
a a a a a
则有 1=
k k k k k = ak ， ................................................................ ..................... 13 分
ak ak 1 a3 a2 a1
由数列 an 为 “除法封闭数列 ”，则这 k 个数都是数列 an 中的项 .
ak ak a a a
所以有 1= = a1, = a2 , ,
k = ak 2 ,
k = a kk 1, = ak .
ak ak 1 a3 a2 a1
ai+1 ak+1 i
所以有 ak = a1ak = a2ak 1 = = aka1，即 = (1 i k 1)⑤； ................................ .................. 14 分 ai ak i
ak 1 a a1= k 1 k 1
ak 1
同理由 1 a2 a3 a = ak 1 ，可得 k 1， ak 1 ak 2 a2 a1
a a
1= k 1 = a , k 1
a a
所以 1 = a2 , ,
k 1 = a k 1k 2 , = ak 1 . ................................ ........................................... 15 分
ak 1 ak 2 a2 a1
ai+1 ak i
则 ak 1 = a1ak 1 = a2ak 2 = = a a ，即 = (1 i k 2)k 1 1 ⑥， ai ak 1 i
ai+1 a= k+1 i
a
联立⑤⑥得， =
k i (1 i k 2)， ................................ ........................................... 16 分
ai ak i ak 1 i
则 a
2 = a a
2 = a 2 2
k i k i 1ak i+1，所以有 2 1a3,a3 = a2a4, ,ak 1 = ak 2ak ，
a a2 = 3
a a
= 4 = = k 1
a
= k所以 1，故数列 { }是等比数列 .
a1 a2 a3 a
k 2 ak 1
综上所述，数列 { }是等比数列 . ............................................................................................. 17 分
【高三年级 8 月新起点调研模拟试卷（一）·数学参考答案 第 6 页（共 6 页）】
{#{QQABCQQEogCgApAAARhCQQmaCEGQkAACCSgGQFAEMAAAwAFABCA=}#}
