新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市新市区教育集团2023-2024学年九年级下学期开学数学试题
一、选择题（共9小题，每小题4分，共36分．）
1．（2024九下·新市区开学考）-17的相反数是（ ）
A．-17 B．17 C． D．
2．（2024九下·新市区开学考）下列图形中，为圆柱的侧面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024九下·新市区开学考）已知点与点关于x轴对称，那么a、b的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九下·新市区开学考）如图，下列条件中能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠4
C．∠1=∠3 D．∠B+∠BCD=180°
5．（2024九下·新市区开学考）下列计算正确的是（ ）
A．x2＋x3＝x5 B．x2 x4＝x8 C．x6÷x2＝x3 D．（x2）3＝x6
6．（2024九下·新市区开学考）若一元二次方程x2+2x+m=0有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．m≤-1 B．m≤1 C．m≤1 D．m≤4
7．（2024九下·新市区开学考）抛物线的最低点的坐标是（ ）
A． B． C．(3. -5) D．
8．（2024九下·新市区开学考）为迎接中秋佳节的到来，时代超市某品牌的月饼零售价经过两次降价后的价格为降价前的81％，则平均每次降价（ ）
A．19% B．9.5% C．10% D．20%
9．（2024九下·新市区开学考）下列图形都是有几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有2个黑色正方形，图②中有5个黑色正方形，图③中有8个黑色正方形，图④中有11个黑色正方形，…，按此规律，图⑩中黑色正方形的个数是（ ）
A．32 B．29 C．28 D．26
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分．）
10．（2024九下·新市区开学考）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
11．（2024九下·新市区开学考）若反比例函数 的图象经过点 ，则k的值是 .
12．（2024九下·新市区开学考）如图是一个游戏转盘，连续自由转动转盘两次（如果落在分隔线上，则重新转动，直至转到其中一块区域），则两次转动指针都落在数字“蓝色”所示区域内的概率是 ．
13．（2024九下·新市区开学考） 已知 中， 直径 ， 弦 A C 的长为 3cm， 则弦 A C的长为3cm，则弦AC所对圆周角的度数为 ．
14．（2024九下·新市区开学考）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论正确的是 ：
①小球在空中经过的路程是40m；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；
③小球抛出3秒时，速度为0m/s；
④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s．
15．（2024九下·新市区开学考）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由平移得到，若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：
①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；
②无论点M运动到何处，都有DM＝HM；
③在点M的运动过程中，四边形CEMD不可能成为菱形；
④无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．
以上结论正确的有 （把所有正确结论的序号都填上）．
三、解答题（共8小题，共90分．）
16．（2024九下·新市区开学考）计算
（1）
（2）
17．（2024九下·新市区开学考）
（1）解不等式组：
（2）某超市销售A、B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元，用480元购买B款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同．求：A、B两款保温杯的销售单价各是多少元？
18．（2024九下·新市区开学考）如图，点E，F在BC上，BE=CF， 与 D E 交于点O．
（1）求证：；
（2）若， 求 的度数
19．（2024九下·新市区开学考）垃圾的分类回收不仅能够减少环境污染、美化家园，甚至能够变废为宝、节约资源．为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园，赤峰市某中学组织全校1565名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”（满分为100分）．该校数学兴趣小组为了解全校学生竞赛分数情况，采用简单随机抽样的方法（即每名学生的竞赛分数被抽到的可能性相等的抽样方法）抽取部分学生的竞赛分数进行调查分析．
（1）以下三种抽样调查方案中，抽取的样本最具有代表性和广泛性的一种抽样调查方案是 （填“方案一”“方案二”或“方案三”）
方案一：从七年级、八年级、九年级中指定部分学生的竞赛分数作为样本；
方案二：从七年级、八年级中随机抽取部分男生的竞赛分数以及在九年级中随机抽取部分女生的竞赛分数作为样本；
方案三：从全校1565名学生的竞赛分数中随机抽取部分学生的竞赛分数作为样本．
（2）该校数学兴趣小组根据简单随机抽样方法获得的样本，绘制出如下统计表（90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”，学生竞赛分数记为x分）
分数段 50≤x＜60 60≤x＜70 8 50≤x＜90 90≤x≤100
频数 5 7 18 30 40
结合上述信息解答下列问题：
①样本数据的中位数所在分数段为 ▲ ；
②估计全校学生中竞赛分数达到“优秀”的学生有多少人．
（3）样本数据中，九（1）班的竞赛分数为“优秀”的学生有4人，其中3名男生、1名女生，现要从这4名学生中随机抽取2人给全校学生进行垃圾分类知识宣讲，请用画树状图或列表的方法，求抽到的2名学生为一男一女的概率．
20．（2024九下·新市区开学考）某合作社为尽快打开市场，对芸豆进行线上和线下销售相结合的模式，具体销售模式如下：
线下销售模式，标价5元/千克，八折出售；
线上销售模式：标价5元/千克，九折出售，超过6千克的，超出部分每千克再让利1.5元．
设购买威宁芸豆x千克，所需费用为y元，y与x之间的函数关系如图所示．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）求两种销售模式分别对应的函数表达式；
（2）求出图中点C的坐标，并说明其实际意义；
（3）若想购买10千克威宁芸豆，请问选择哪种模式购买更省钱？
21．（2024九下·新市区开学考）某乡镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在某山旁的一条河上修建一座步行观光桥，因此要先测量河宽CD．如图，在河岸C处测得山顶B的仰角为45°，在对岸D处测得山顶B的仰角为33 °．已知山高，BA-100m点A与河岸C，D在同一水平线上，求河宽CD（结果精确到1m．参考数据：）．
22．（2024九下·新市区开学考）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为的中点，AD交BC于点E．AB=5，．
（1）求证：；
（2）求线段BE的长．
23．（2024九下·新市区开学考）如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，∠C=90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F．设CM=a，CN=b，若ab=8．
（1）判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；
（2）①当a=b时，求∠ECF的度数；
②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：-17的相反数是17，
故答案为：B.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数。
2．【答案】D
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上，
得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形；
又有母线垂直于上下底面，故可得是矩形.
故答案为：D.
【分析】从圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，可以得到长方形，据此判断.
3．【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A（a+2b，1）与点P（5，a-b）关于x轴对称，
∴，
解得．
故答案为：B.
【分析】关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数．直接利用关于x轴对称点的特征分析得出答案。
4．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、根据角∠1=∠2，可以的得到AD∥BC，但不能证得AB∥CD；
B、∠2=∠4，不能判定AB∥CD，选项错误；
C、∠1=∠3，不能判定AB∥CD，选项错误；
D、∠B+∠BCD=180°，根据同旁内角互补两直线平行，可以判定AB∥CD，选项正确．
故选D．
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、x2与x3不是同类项，不能合并，A选项错误；
B、x2 x4=x6≠x8，B选项错误；
C、x6÷x2=x4≠x3，C选项错误．
D、（x2）3=x6，D选项正确．
故答案为：D.
【分析】分别根据同底数幂的乘法与除法法则、幂的乘方与积的乘方法则及合并同类项的法则对各选项进行逐一判断即可。
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2+2x+m=0有实数解，
∴b2-4ac=22-4m≥0，
解得：m≤1，
则m的取值范围是m≤1．
故答案为：B.
【分析】由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围。
7．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：y=x2-6x+4=（x-3）2-5，
∴抛物线y=x2-6x+4的顶点坐标是（3，-5），
∵抛物线y=x2-6x+4开口向上，
∴最低点的坐标是 （3，-5）.
故答案为：C.
【分析】直接利用配方法将二次函数写成顶点式进而得出其顶点坐标即可。
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每次降价率为x，根据题意得
（1-x）2=81%，
1-x=±0.9，
解得x=0.1或1.9，
x=1.9不符合题意，舍去．
故平均每次降价10%．
故答案为：C.
【分析】降价后的价格=降价前的价格×（1-降低率），如果设平均每次降价x，原价是1，则第一次降低后的价格是（1-x），那么第二次后的价格是（1-x）2，即可列出方程求解。
9．【答案】B
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】根据给出的几个图形我们可以得到黑色正方形的个数的一般规律为：2+3（n－1）=3n－1，则当n=10时，原式=30－1=29，
故答案为：B.
【分析】观察已知图形可得第n个图形黑色正方形的个数的规律为（3n－1）个，再将n=10代入计算即可.
10．【答案】x≥-22
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x+22≥0，
解得x≥-22．
故答案为：x≥-22．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可得到答案。二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键。
11．【答案】1
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把（，2）代入解析式得：2=，解得：k=1，
故答案为：1．
【分析】把点（，2）代入函数解析式，即可求得k的值。
12．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：由题意画树状图如下：
共有16种等可能的结果，两次转动指针都落在数字“蓝色”所示区域内的结果有4种，
∴两次转动指针都落在数字“蓝色”所示区域内的概率为.
故答案为：.
【分析】画出树状图，找出总情况数以及两次转动指针都落在数字“蓝色”所示区域内的结果数，然后根据概率公式进行计算.
13．【答案】30°或150°
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，在优弧和劣弧上分别取点D、E，再连接AD、CD、AE、CE，
则AC所对的圆周角是∠ADC或∠AEC，
∵AB=6cm，
∴OA=OC=3cm，
∵AC的长为3cm，
∴OA=OC=AC，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∴∠ADC=∠AOC=30°，
∴∠AEC=180°-∠ADC=150°，
∴弦AC所对的圆周角的度数为：30°或150°，
故答案为：30°或150°．
【分析】先根据题意画出图形，然后在优弧和劣弧上分别取点D、E，再连接AD、CD、AE、CE，求出△AOC是等边三角形，再利用圆周角定理，即可求得答案。
14．【答案】②③
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点，速度为0，故③正确；
④设函数解析式为：h=a（t-3）2+40，
把O（0，0）代入得0=a（0-3）2+40，解得a=-，
∴函数解析式为h=-（t-3）2+40，
把h=30代入解析式得，30=-（t-3）2+40，
解得：t=4.5或t=1.5，
∴小球的高度h=30m时，t=1.5s或4.5s，故④错误；
故答案为：②③．
【分析】①从图象可以看出小球上升的的最大高度是40m；
②③从图象可以看出小球抛出3秒时上升到最大高度，此时速度为0，3秒后，速度越来越快；
④用待定系数法求出二次函数的解析式后代入求值即可。
15．【答案】①②③④
【知识点】含30°角的直角三角形；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接DH，HM．
由题可得，AM＝BE，
∴AB＝EM＝AD，
∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC，
∴EM＝AD，∠AHE＝90°，∠MEH＝∠DAH＝45°＝∠EAH，
∴EH＝AH，
∴△MEH≌△DAH（SAS），
∴∠MHE＝∠DHA，MH＝DH，
∴∠MHD＝∠AHE＝90°，△DHM是等腰直角三角形，
∴DM＝HM，故②正确；
当∠DHC＝60°时，∠ADH＝60°-45°＝15°，
∴∠ADM＝45°-15°＝30°，
∴Rt△ADM中，DM＝2AM，
即DM＝2BE，故①正确；
∵CD∥EM，EC∥DM，
∴四边形CEMD是平行四边形，
∵DM＞AD，AD＝CD，
∴DM＞CD，
∴四边形CEMD不可能是菱形，故③正确，
∵点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，
∴∠AHM＜∠BAC＝45°，
∴∠CHM＞135°，故④正确；
由上可得正确结论的序号为①②③．
故答案为：①②③④．
【分析】①求出∠ADM=30°，可得DM＝2AM，即可判断；②△DHM是等腰直角三角形，可得DM＝HM，即可判断；③先证得四边形CEMD是平行四边形，由DM＞AD，AD＝CD可知DM＞CD，根据菱形的判定即可判断；④由于∠AHM＜∠BAC＝45°，可得∠CHM＞135°，即可判断.
16．【答案】（1）解：（-2）2+-
=4+3-8
=-1；
（2）3+|-|
=3+-
=2+．
【知识点】二次根式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）直接利用乘方及开方化简即可得出答案；
（2）直接利用绝对值的性质化简及二次根式的加法得出答案。
17．【答案】（1）解：，
解不等式①得，x＜2
解不等式②得，x＞0
∴不等式组的解集为0＜x≤2；
（2）解：设A款保温杯的单价是x元，则B款保温杯的单价是（x+10）元，
依题意得=，
解得，x=30，
经检验，x=30是原分式方程的解，
则x+10=40，
答：A、B两款保温杯的销售单价分别是30元、40元．
【知识点】解一元一次不等式组；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先根据不等式的性质分别解出每个不等式，再确定不等式组的解集即可；
（2）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得A、B两款保温杯的销售单价，注意分式方程要检验。
18．【答案】（1）证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
即BF=CE．
又∵∠A=∠D，∠B=∠C，
∴△ABF≌△DCE（AAS）；
（2）解：∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC，
∵∠AOE=80°，
∴∠OEF=∠OFE=∠AOE=40°．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）根据BE=CF得到BF=CE，又∠A=∠D，∠B=∠C，利用AAS即可证明△ABF≌△DCE；
（2）根据三角形全等得∠AFB=∠DEC，再根据三角形外角的性质即可得到结论。
19．【答案】（1）方案三
（2）①80≤x＜90；
②由题意得，1565×=626（人），
答：估计全校学生中竞赛分数达到“优秀”的学生有626人；
（3）解：画树状图：
共有12种等可能的结果数，其中抽到的2名学生为一男一女的结果数为6，
所以抽到的2名学生为一男一女的概率为=．
【知识点】抽样调查的可靠性；用样本估计总体；频数（率）分布表；用列表法或树状图法求概率；中位数
【解析】【解答】解：（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可得，方案三：从全校1565名学生的竞赛分数中随机抽取部分学生的竞赛分数作为样本进行调查分析，是最符合题意的．
故答案为：方案三；
（2）①样本总数为：5+7+18+30+40=100（人），
成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都在80≤x＜90，因此中位数在80≤x＜90组中；
故答案为：①80≤x＜90；
【分析】（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可知，方案三符合题意；
（2）①根据中位数的定义，估计总体中位数所在的范围；
②用总人数乘以“优秀”的学生所占的百分比即可；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出符合条件的结果数，然后根据概率公式计算即可。
20．【答案】（1）解：线下销售：y1=5×0.8x=4x.
线上销售：当0≤x≤6时，y2=5×0.9x=4.5x；
当x＞6时，y2=5×0.9×6+（x-6）×（5×0.9-1.5）=27+3（x-6）=3x+9．
故线下销售y与x之间的函数表达式为y1=4x，
线上销售y与x之间的函数表达式为y2=
（2）解：由题意，知图中射线OA为线下销售，折线OBD为线上销售．
由图象，得4x=3x+9，
解得x=9，
∴y=4×9=36，
∴C（9，36），
∴图中点C的实际意义为：当购买9千克威宁荟豆时，线上线下所花的钱数相同，都为36元．
（3）解：根据图象，可知当x＞9时，选择线上购买更省钱．
∴购买10千克威宁芸豆，选择线上购买更省钱．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据线上与线下的付费方式计算费用即可；
（2）由C为射线OA，折线OBD的交点，再建立方程求解即可，同时可得其实际意义；
（3）根据图象，可知当x＞9时，线上购物的函数图象在下方，即选择线上购买更省钱，从而可得答案。
21．【答案】解：由题意得：BA⊥AD，
在Rt△BAC中，∠ACB=45°，AB=100m，
∴AC==100（m），
在Rt△ABD中，∠ADB=33°，
∴AD=≈≈153.8（m），
∴CD=AD-AC=153.8-100≈54（m），
∴河宽CD约为54m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意可得：BA⊥AD，然后分别在Rt△BAC和Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AC和AD的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答。
22．【答案】（1）证明：∵D是BC的中点．
∴=，
∴∠CAD=∠DAB=∠CBD，
∵∠D=∠D，
∴△DBE∽△DAB；
（2）解：由（1）知∠CAD=∠DAB=∠CBD，
∵tan∠CAD=，
∴tan∠CBD=tan∠DAB=tan∠DBE=，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠D=90°，
∴==，
∴AD=2DB，
∵AB=5，
∴（2DB）2+DB2=52，
∴BD=，
∵=，
∴DE=
∴BE===．
答：线段BE的长为．
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）由D是BC的中点，可得∠CAD=∠DAB=∠CBD，又∠D=∠D，故△DBE∽△DAB；
（2）根据tan∠CAD=，AB为⊙O的直径，可得∠D=90°，于是有==，又AB=5，可得BD=，DE=，从而BE==．
23．【答案】（1）解：线段AE，EF，BF组成的是直角三角形，理由如下：
∵AM=AC-CM=4-a，BN=4-b，
∴AE=AM= (4 a)，BE= (4 b)，
∴AE2+BF2=2（4-a）2+2（4-b）2=2（a2+b2-8a-8b+32），AC=4，
∴EF=AB-AE-BF= [4-（4-a）-（4-b）]，
∵ab=8，EF2=2（a+b-4）2=2（a2+b2-8a-8b+16+2ab）=2（a2+b2-8a-8b+32），
∴AE2+BF2=EF2，
∴线段AE，EF，BF组成的是直角三角形；
（2）解：①如图1，连接PC交EF于G，
∵a=b，
∴ME=AM=BN=NF，
∵四边形CNPM是矩形，
∴矩形CNPM是正方形，
∴PC平分∠ACB，
∴CG⊥AB，
∴∠PEG=90°，
∵CM=CN=PM=PN，
∴PE=PF，
∵△AEM，△BNF，△PEF是等腰直角三角形，EF2=AE2+BF2，EF2=PE2+PF2，
∴PE=AE=PF=BF，
∴ME=EG=FG=FN，
∴∠MCE=∠GCE，∠NCF=∠GCF，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECG+∠FCG=∠ACB=45°；
②如图2，仍然成立，理由如下：将△BCF逆时针旋转90°至△ACD，连接DE，
∴∠DAC=∠B=45°，AD=BF，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAB=90°，
∴DE2=AD2+AE2=BF2+AE2，
∵EF2=BF2+AE2，
∴DE=EF，
∵CD=CF，CE=CE，
∴△DCE≌△FCE（SSS），
∴∠ECF=∠DCF=∠DCF=×90°=45°．
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SSS；四边形的综合
【解析】【分析】（1）利用勾股定理计算求解即可；
（2）①先求出 ME=AM=BN=NF， 再求出 ∠PEG=90°， 最后求解即可；
②利用勾股定理，全等三角形的判定与性质求解即可。
新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市新市区教育集团2023-2024学年九年级下学期开学数学试题
一、选择题（共9小题，每小题4分，共36分．）
1．（2024九下·新市区开学考）-17的相反数是（ ）
A．-17 B．17 C． D．
【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：-17的相反数是17，
故答案为：B.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数。
2．（2024九下·新市区开学考）下列图形中，为圆柱的侧面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上，
得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形；
又有母线垂直于上下底面，故可得是矩形.
故答案为：D.
【分析】从圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，可以得到长方形，据此判断.
3．（2024九下·新市区开学考）已知点与点关于x轴对称，那么a、b的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A（a+2b，1）与点P（5，a-b）关于x轴对称，
∴，
解得．
故答案为：B.
【分析】关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数．直接利用关于x轴对称点的特征分析得出答案。
4．（2024九下·新市区开学考）如图，下列条件中能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠4
C．∠1=∠3 D．∠B+∠BCD=180°
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、根据角∠1=∠2，可以的得到AD∥BC，但不能证得AB∥CD；
B、∠2=∠4，不能判定AB∥CD，选项错误；
C、∠1=∠3，不能判定AB∥CD，选项错误；
D、∠B+∠BCD=180°，根据同旁内角互补两直线平行，可以判定AB∥CD，选项正确．
故选D．
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
5．（2024九下·新市区开学考）下列计算正确的是（ ）
A．x2＋x3＝x5 B．x2 x4＝x8 C．x6÷x2＝x3 D．（x2）3＝x6
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、x2与x3不是同类项，不能合并，A选项错误；
B、x2 x4=x6≠x8，B选项错误；
C、x6÷x2=x4≠x3，C选项错误．
D、（x2）3=x6，D选项正确．
故答案为：D.
【分析】分别根据同底数幂的乘法与除法法则、幂的乘方与积的乘方法则及合并同类项的法则对各选项进行逐一判断即可。
6．（2024九下·新市区开学考）若一元二次方程x2+2x+m=0有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．m≤-1 B．m≤1 C．m≤1 D．m≤4
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2+2x+m=0有实数解，
∴b2-4ac=22-4m≥0，
解得：m≤1，
则m的取值范围是m≤1．
故答案为：B.
【分析】由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围。
7．（2024九下·新市区开学考）抛物线的最低点的坐标是（ ）
A． B． C．(3. -5) D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：y=x2-6x+4=（x-3）2-5，
∴抛物线y=x2-6x+4的顶点坐标是（3，-5），
∵抛物线y=x2-6x+4开口向上，
∴最低点的坐标是 （3，-5）.
故答案为：C.
【分析】直接利用配方法将二次函数写成顶点式进而得出其顶点坐标即可。
8．（2024九下·新市区开学考）为迎接中秋佳节的到来，时代超市某品牌的月饼零售价经过两次降价后的价格为降价前的81％，则平均每次降价（ ）
A．19% B．9.5% C．10% D．20%
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每次降价率为x，根据题意得
（1-x）2=81%，
1-x=±0.9，
解得x=0.1或1.9，
x=1.9不符合题意，舍去．
故平均每次降价10%．
故答案为：C.
【分析】降价后的价格=降价前的价格×（1-降低率），如果设平均每次降价x，原价是1，则第一次降低后的价格是（1-x），那么第二次后的价格是（1-x）2，即可列出方程求解。
9．（2024九下·新市区开学考）下列图形都是有几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有2个黑色正方形，图②中有5个黑色正方形，图③中有8个黑色正方形，图④中有11个黑色正方形，…，按此规律，图⑩中黑色正方形的个数是（ ）
A．32 B．29 C．28 D．26
【答案】B
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】根据给出的几个图形我们可以得到黑色正方形的个数的一般规律为：2+3（n－1）=3n－1，则当n=10时，原式=30－1=29，
故答案为：B.
【分析】观察已知图形可得第n个图形黑色正方形的个数的规律为（3n－1）个，再将n=10代入计算即可.
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分．）
10．（2024九下·新市区开学考）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x≥-22
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x+22≥0，
解得x≥-22．
故答案为：x≥-22．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可得到答案。二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键。
11．（2024九下·新市区开学考）若反比例函数 的图象经过点 ，则k的值是 .
【答案】1
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把（，2）代入解析式得：2=，解得：k=1，
故答案为：1．
【分析】把点（，2）代入函数解析式，即可求得k的值。
12．（2024九下·新市区开学考）如图是一个游戏转盘，连续自由转动转盘两次（如果落在分隔线上，则重新转动，直至转到其中一块区域），则两次转动指针都落在数字“蓝色”所示区域内的概率是 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：由题意画树状图如下：
共有16种等可能的结果，两次转动指针都落在数字“蓝色”所示区域内的结果有4种，
∴两次转动指针都落在数字“蓝色”所示区域内的概率为.
故答案为：.
【分析】画出树状图，找出总情况数以及两次转动指针都落在数字“蓝色”所示区域内的结果数，然后根据概率公式进行计算.
13．（2024九下·新市区开学考） 已知 中， 直径 ， 弦 A C 的长为 3cm， 则弦 A C的长为3cm，则弦AC所对圆周角的度数为 ．
【答案】30°或150°
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，在优弧和劣弧上分别取点D、E，再连接AD、CD、AE、CE，
则AC所对的圆周角是∠ADC或∠AEC，
∵AB=6cm，
∴OA=OC=3cm，
∵AC的长为3cm，
∴OA=OC=AC，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∴∠ADC=∠AOC=30°，
∴∠AEC=180°-∠ADC=150°，
∴弦AC所对的圆周角的度数为：30°或150°，
故答案为：30°或150°．
【分析】先根据题意画出图形，然后在优弧和劣弧上分别取点D、E，再连接AD、CD、AE、CE，求出△AOC是等边三角形，再利用圆周角定理，即可求得答案。
14．（2024九下·新市区开学考）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论正确的是 ：
①小球在空中经过的路程是40m；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；
③小球抛出3秒时，速度为0m/s；
④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s．
【答案】②③
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点，速度为0，故③正确；
④设函数解析式为：h=a（t-3）2+40，
把O（0，0）代入得0=a（0-3）2+40，解得a=-，
∴函数解析式为h=-（t-3）2+40，
把h=30代入解析式得，30=-（t-3）2+40，
解得：t=4.5或t=1.5，
∴小球的高度h=30m时，t=1.5s或4.5s，故④错误；
故答案为：②③．
【分析】①从图象可以看出小球上升的的最大高度是40m；
②③从图象可以看出小球抛出3秒时上升到最大高度，此时速度为0，3秒后，速度越来越快；
④用待定系数法求出二次函数的解析式后代入求值即可。
15．（2024九下·新市区开学考）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由平移得到，若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：
①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；
②无论点M运动到何处，都有DM＝HM；
③在点M的运动过程中，四边形CEMD不可能成为菱形；
④无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．
以上结论正确的有 （把所有正确结论的序号都填上）．
【答案】①②③④
【知识点】含30°角的直角三角形；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接DH，HM．
由题可得，AM＝BE，
∴AB＝EM＝AD，
∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC，
∴EM＝AD，∠AHE＝90°，∠MEH＝∠DAH＝45°＝∠EAH，
∴EH＝AH，
∴△MEH≌△DAH（SAS），
∴∠MHE＝∠DHA，MH＝DH，
∴∠MHD＝∠AHE＝90°，△DHM是等腰直角三角形，
∴DM＝HM，故②正确；
当∠DHC＝60°时，∠ADH＝60°-45°＝15°，
∴∠ADM＝45°-15°＝30°，
∴Rt△ADM中，DM＝2AM，
即DM＝2BE，故①正确；
∵CD∥EM，EC∥DM，
∴四边形CEMD是平行四边形，
∵DM＞AD，AD＝CD，
∴DM＞CD，
∴四边形CEMD不可能是菱形，故③正确，
∵点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，
∴∠AHM＜∠BAC＝45°，
∴∠CHM＞135°，故④正确；
由上可得正确结论的序号为①②③．
故答案为：①②③④．
【分析】①求出∠ADM=30°，可得DM＝2AM，即可判断；②△DHM是等腰直角三角形，可得DM＝HM，即可判断；③先证得四边形CEMD是平行四边形，由DM＞AD，AD＝CD可知DM＞CD，根据菱形的判定即可判断；④由于∠AHM＜∠BAC＝45°，可得∠CHM＞135°，即可判断.
三、解答题（共8小题，共90分．）
16．（2024九下·新市区开学考）计算
（1）
（2）
【答案】（1）解：（-2）2+-
=4+3-8
=-1；
（2）3+|-|
=3+-
=2+．
【知识点】二次根式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）直接利用乘方及开方化简即可得出答案；
（2）直接利用绝对值的性质化简及二次根式的加法得出答案。
17．（2024九下·新市区开学考）
（1）解不等式组：
（2）某超市销售A、B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元，用480元购买B款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同．求：A、B两款保温杯的销售单价各是多少元？
【答案】（1）解：，
解不等式①得，x＜2
解不等式②得，x＞0
∴不等式组的解集为0＜x≤2；
（2）解：设A款保温杯的单价是x元，则B款保温杯的单价是（x+10）元，
依题意得=，
解得，x=30，
经检验，x=30是原分式方程的解，
则x+10=40，
答：A、B两款保温杯的销售单价分别是30元、40元．
【知识点】解一元一次不等式组；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先根据不等式的性质分别解出每个不等式，再确定不等式组的解集即可；
（2）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得A、B两款保温杯的销售单价，注意分式方程要检验。
18．（2024九下·新市区开学考）如图，点E，F在BC上，BE=CF， 与 D E 交于点O．
（1）求证：；
（2）若， 求 的度数
【答案】（1）证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
即BF=CE．
又∵∠A=∠D，∠B=∠C，
∴△ABF≌△DCE（AAS）；
（2）解：∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC，
∵∠AOE=80°，
∴∠OEF=∠OFE=∠AOE=40°．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）根据BE=CF得到BF=CE，又∠A=∠D，∠B=∠C，利用AAS即可证明△ABF≌△DCE；
（2）根据三角形全等得∠AFB=∠DEC，再根据三角形外角的性质即可得到结论。
19．（2024九下·新市区开学考）垃圾的分类回收不仅能够减少环境污染、美化家园，甚至能够变废为宝、节约资源．为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园，赤峰市某中学组织全校1565名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”（满分为100分）．该校数学兴趣小组为了解全校学生竞赛分数情况，采用简单随机抽样的方法（即每名学生的竞赛分数被抽到的可能性相等的抽样方法）抽取部分学生的竞赛分数进行调查分析．
（1）以下三种抽样调查方案中，抽取的样本最具有代表性和广泛性的一种抽样调查方案是 （填“方案一”“方案二”或“方案三”）
方案一：从七年级、八年级、九年级中指定部分学生的竞赛分数作为样本；
方案二：从七年级、八年级中随机抽取部分男生的竞赛分数以及在九年级中随机抽取部分女生的竞赛分数作为样本；
方案三：从全校1565名学生的竞赛分数中随机抽取部分学生的竞赛分数作为样本．
（2）该校数学兴趣小组根据简单随机抽样方法获得的样本，绘制出如下统计表（90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”，学生竞赛分数记为x分）
分数段 50≤x＜60 60≤x＜70 8 50≤x＜90 90≤x≤100
频数 5 7 18 30 40
结合上述信息解答下列问题：
①样本数据的中位数所在分数段为 ▲ ；
②估计全校学生中竞赛分数达到“优秀”的学生有多少人．
（3）样本数据中，九（1）班的竞赛分数为“优秀”的学生有4人，其中3名男生、1名女生，现要从这4名学生中随机抽取2人给全校学生进行垃圾分类知识宣讲，请用画树状图或列表的方法，求抽到的2名学生为一男一女的概率．
【答案】（1）方案三
（2）①80≤x＜90；
②由题意得，1565×=626（人），
答：估计全校学生中竞赛分数达到“优秀”的学生有626人；
（3）解：画树状图：
共有12种等可能的结果数，其中抽到的2名学生为一男一女的结果数为6，
所以抽到的2名学生为一男一女的概率为=．
【知识点】抽样调查的可靠性；用样本估计总体；频数（率）分布表；用列表法或树状图法求概率；中位数
【解析】【解答】解：（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可得，方案三：从全校1565名学生的竞赛分数中随机抽取部分学生的竞赛分数作为样本进行调查分析，是最符合题意的．
故答案为：方案三；
（2）①样本总数为：5+7+18+30+40=100（人），
成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都在80≤x＜90，因此中位数在80≤x＜90组中；
故答案为：①80≤x＜90；
【分析】（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可知，方案三符合题意；
（2）①根据中位数的定义，估计总体中位数所在的范围；
②用总人数乘以“优秀”的学生所占的百分比即可；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出符合条件的结果数，然后根据概率公式计算即可。
20．（2024九下·新市区开学考）某合作社为尽快打开市场，对芸豆进行线上和线下销售相结合的模式，具体销售模式如下：
线下销售模式，标价5元/千克，八折出售；
线上销售模式：标价5元/千克，九折出售，超过6千克的，超出部分每千克再让利1.5元．
设购买威宁芸豆x千克，所需费用为y元，y与x之间的函数关系如图所示．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）求两种销售模式分别对应的函数表达式；
（2）求出图中点C的坐标，并说明其实际意义；
（3）若想购买10千克威宁芸豆，请问选择哪种模式购买更省钱？
【答案】（1）解：线下销售：y1=5×0.8x=4x.
线上销售：当0≤x≤6时，y2=5×0.9x=4.5x；
当x＞6时，y2=5×0.9×6+（x-6）×（5×0.9-1.5）=27+3（x-6）=3x+9．
故线下销售y与x之间的函数表达式为y1=4x，
线上销售y与x之间的函数表达式为y2=
（2）解：由题意，知图中射线OA为线下销售，折线OBD为线上销售．
由图象，得4x=3x+9，
解得x=9，
∴y=4×9=36，
∴C（9，36），
∴图中点C的实际意义为：当购买9千克威宁荟豆时，线上线下所花的钱数相同，都为36元．
（3）解：根据图象，可知当x＞9时，选择线上购买更省钱．
∴购买10千克威宁芸豆，选择线上购买更省钱．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据线上与线下的付费方式计算费用即可；
（2）由C为射线OA，折线OBD的交点，再建立方程求解即可，同时可得其实际意义；
（3）根据图象，可知当x＞9时，线上购物的函数图象在下方，即选择线上购买更省钱，从而可得答案。
21．（2024九下·新市区开学考）某乡镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在某山旁的一条河上修建一座步行观光桥，因此要先测量河宽CD．如图，在河岸C处测得山顶B的仰角为45°，在对岸D处测得山顶B的仰角为33 °．已知山高，BA-100m点A与河岸C，D在同一水平线上，求河宽CD（结果精确到1m．参考数据：）．
【答案】解：由题意得：BA⊥AD，
在Rt△BAC中，∠ACB=45°，AB=100m，
∴AC==100（m），
在Rt△ABD中，∠ADB=33°，
∴AD=≈≈153.8（m），
∴CD=AD-AC=153.8-100≈54（m），
∴河宽CD约为54m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意可得：BA⊥AD，然后分别在Rt△BAC和Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AC和AD的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答。
22．（2024九下·新市区开学考）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为的中点，AD交BC于点E．AB=5，．
（1）求证：；
（2）求线段BE的长．
【答案】（1）证明：∵D是BC的中点．
∴=，
∴∠CAD=∠DAB=∠CBD，
∵∠D=∠D，
∴△DBE∽△DAB；
（2）解：由（1）知∠CAD=∠DAB=∠CBD，
∵tan∠CAD=，
∴tan∠CBD=tan∠DAB=tan∠DBE=，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠D=90°，
∴==，
∴AD=2DB，
∵AB=5，
∴（2DB）2+DB2=52，
∴BD=，
∵=，
∴DE=
∴BE===．
答：线段BE的长为．
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）由D是BC的中点，可得∠CAD=∠DAB=∠CBD，又∠D=∠D，故△DBE∽△DAB；
（2）根据tan∠CAD=，AB为⊙O的直径，可得∠D=90°，于是有==，又AB=5，可得BD=，DE=，从而BE==．
23．（2024九下·新市区开学考）如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，∠C=90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F．设CM=a，CN=b，若ab=8．
（1）判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；
（2）①当a=b时，求∠ECF的度数；
②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由．
【答案】（1）解：线段AE，EF，BF组成的是直角三角形，理由如下：
∵AM=AC-CM=4-a，BN=4-b，
∴AE=AM= (4 a)，BE= (4 b)，
∴AE2+BF2=2（4-a）2+2（4-b）2=2（a2+b2-8a-8b+32），AC=4，
∴EF=AB-AE-BF= [4-（4-a）-（4-b）]，
∵ab=8，EF2=2（a+b-4）2=2（a2+b2-8a-8b+16+2ab）=2（a2+b2-8a-8b+32），
∴AE2+BF2=EF2，
∴线段AE，EF，BF组成的是直角三角形；
（2）解：①如图1，连接PC交EF于G，
∵a=b，
∴ME=AM=BN=NF，
∵四边形CNPM是矩形，
∴矩形CNPM是正方形，
∴PC平分∠ACB，
∴CG⊥AB，
∴∠PEG=90°，
∵CM=CN=PM=PN，
∴PE=PF，
∵△AEM，△BNF，△PEF是等腰直角三角形，EF2=AE2+BF2，EF2=PE2+PF2，
∴PE=AE=PF=BF，
∴ME=EG=FG=FN，
∴∠MCE=∠GCE，∠NCF=∠GCF，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECG+∠FCG=∠ACB=45°；
②如图2，仍然成立，理由如下：将△BCF逆时针旋转90°至△ACD，连接DE，
∴∠DAC=∠B=45°，AD=BF，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAB=90°，
∴DE2=AD2+AE2=BF2+AE2，
∵EF2=BF2+AE2，
∴DE=EF，
∵CD=CF，CE=CE，
∴△DCE≌△FCE（SSS），
∴∠ECF=∠DCF=∠DCF=×90°=45°．
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SSS；四边形的综合
【解析】【分析】（1）利用勾股定理计算求解即可；
（2）①先求出 ME=AM=BN=NF， 再求出 ∠PEG=90°， 最后求解即可；
②利用勾股定理，全等三角形的判定与性质求解即可。
