第 11 讲 整式的除法（九大题型）
学习目标
1、 会用同底数幂的除法性质进行计算．
2、会进行单项式除以单项式的计算．
3、会进行整式除以单项式的计算．
一、同底数幂的除法法则
m n m-n
同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 a a = a （ a ≠0，m、n都是正整数，并且m > n ）
要点：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.
（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0 不能作除式.
（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.
（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或整式.
要点：底数 a 0不能为 0，0 无意义.任何一个常数都可以看作与字母 0 次方的积.因此常数项也叫 0 次单
项式.
三、单项式除以单项式法则
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的
指数作为商的一个因式.
要点：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同
它的指数作为商的一个因式.
（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单
项式的结果仍为单项式.
四、整式除以单项式法则
整 式 除 以 单 项 式 ： 先 把 整 式 的 每 一 项 除 以 这 个 单 项 式 ， 再 把 所 得 的 商 相 加 . 即
am + bm + cm m = am m + bm m + cm m = a + b + c
要点：（1）由法则可知，整式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个
单项式除以单项式.
（2）利用法则计算时，整式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化.
【即学即练 1】计算
(1) a7 a4 ；
(2) (-x)6 (-x)3；
(3) (xy)4 (xy)；
(4) b2m+2 b2
【答案】(1) a3
(2) -x3
(3) x3 y3
(4) b2m
【分析】（1）运用同底数幂的法则除法计算即可求解；
（2）运用同底数幂的法则除法计算即可求解；
（3）运用同底数幂的法则除法计算即可求解；
（4）运用同底数幂的法则除法计算即可求解．
【解析】（1） a7 a4
= a7-4
= a3 ；
6 3
（2） -x -x
= -x 6-3
= -x 3
= -x3 ；
（3） xy 4 xy
= xy 4-1
= xy 3
= x3 y3 ；
（4）b2m+2 b2
= b2m+2-2
= b2m．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握计算法则是解题关键．
【即学即练 2】计算：
(1) -5a5b3c 15a4b；
-a2x4 y3 5(2) - axy
2
÷；
è 6
2
(3) 6x2 y5 3xy2 .
1
【答案】(1) - ab2c
3
6
(2) ax3 y
5
2
(3) y
3
【分析】（1）利用单项式除以单项式法则进行计算即可；
（2）利用单项式除以单项式法则进行计算即可；
（3）先计算积的乘方，再利用单项式除以单项式法则进行计算即可．
5 3 4
【解析】（1）-5a b c 15a b
1
= - ab2c
3
-a2x4 y3 5 - axy2 6 3（2） 6 ÷
= ax y
è 5
（3）6x2 y5 23xy2
= 6x2 y5 9x2 y4
2
= y
3
【点睛】本题考查了单项式除以单项式法则和积的乘方，单项式除以单项式法则：把系数、相同底数的幂
分别相除作为商的因式，对于只在被除数里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．
2
【即学即练 3】（1） 9a - 6ab 3a = ．
（2） -4a2 +12a3b -4a2 = ．
【答案】 3a - 2b 1- 3ab
【分析】（1）利用整式的除法法则计算各题即可；
（2）利用整式的除法法则计算各题即可．
2
【解析】解：（1） 9a - 6ab 3a = 3a - 2b，
故答案为：3a - 2b ；
（2） -4a2 +12a3b -4a2 = =1- 3ab，
故答案为：1- 3ab ．
【点睛】本题考查整式的除法，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
【即学即练 4】先化简，再求值： é 3x + 2y 3x - 2y - x + 2y 5x - 2y ù 4x，其中 x =1， y = 2 ．
【答案】 x - 2y ，-3
【分析】先根据平方差公式和整式乘以整式的计算法则去小括号，然后合并同类项，再计算整式除以单项
式，最后代值计算即可．
【解析】解： é 3x + 2y 3x - 2y - x + 2y 5x - 2y ù 4x
= 2 2 é 9x - 4 y - 5x2 +10xy - 2xy - 4 y2 ù 4x
= 9x2 - 4y2 - 5x2 -10xy + 2xy + 4y2 4x
= 4x2 -8xy 4x
= x - 2y ，
当 x =1， y = 2 时，原式= 1- 2 2 = 1- 4 = -3．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟知整式的混合计算法则是解题的关键．
题型 1：同底数幂的除法
【典例 1】．计算： x7 x2 = ．
【答案】 x5
【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可
【解析】∵ x7 x2 = x5 ,
故答案为: x5 ．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算的法则是解题的关键．
【典例 2】．（1） a5 a = ；（2） (-x)5 (-x)2 = ；
（3） y16 = y11 ；（4） b5 = b2 ；
（5） (x - y)9 (x - y)6 = ．
【答案】 a4 -x3 y5 b7 (x - y)3
【分析】（1）根据同底数幂的除法计算法则求解即可；
（2）根据同底数幂的除法计算法则求解即可；
（3）根据 y16 y11 = y16-11 = y5 即可得到 y16 y5 = y11；
（4）根据b5 ×b2 = b2+5 = b7 即可得到b7 b5 = b2 ；
（5）根据同底数幂的除法计算法则求解即可．
【解析】解：（1） a5 a = a5-1 = a4 ；
（2） (-x)5 (-x)2 = -x5 x2 = -x5-2 = -x3；
（3）∵ y16 y11 = y16-11 = y5 ，
∴ y16 y5 = y11；
（4）∵ b5 ×b2 = b2+5 = b7 ，
∴ b7 b5 = b2 ；
（5） (x - y)9 (x - y)6 = (x - y)9-6 = (x - y)3 ．
故答案为：（1） a4 ；（2）-x3；（3） y5；（4）b7 ；（5） (x - y)3．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则
进行求解．
【典例 3】．计算： 22n+1 4n = ．
【答案】2
【分析】根据同底数幂的除法法则进行解答即可．
【解析】解：原式=22n+1÷22n
=22n+1-2n
=2．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂相除，底数不变指数相减是解题的关键．
题型 2：幂的混合运算
【典例 4】．计算： a3 × a2 a = ．
【答案】 a4 ．
【分析】根据同底数幂的乘法法则及除法法则计算即可解答．
【解析】 a3 × a2 a = a5 a = a4 ．
故答案为： a4 ．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则及除法法则，熟练运用法则是解决问题的关键．
【典例 5 6 2 2】．计算： -a -a -a ．
【答案】 a2
【分析】先根据有理数乘方运算法则将原式化简，再根据同底数幂的除法法则计算即可．
【解析】解： -a 6 -a 2 -a 2
= a6 a2 a2
= a4 a2
= a2．
【点睛】本题考查整式的除法运算，掌握相应的运算法则是解题的关键．
【典例 6】．计算：
(1) -x2 5 2-x3 ；
(2) é a2 5 × -a2 3 ù 4ê ú -a4 ．
【答案】(1) -x4
(2) -1
【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法和除法，解答本题的关键是掌握幂的乘方运算法则．
（1）原式利用积的乘方以及同底数幂的除法法则进行计算，即可得到结果；
（2）原式利用积的乘方以及同底数幂的乘法和除法法则进行计算，即可得到结果．
5 2
【解析】（1）解： -x2 -x3
= -x10 x6
= -x4；
5 3 4
（2 2 2 4）解： éê a × -a ùú -a
= éa10· -a6 ù a16
= -a16 a16
= -1．
【典例 7】．计算：
3
(1) x3 y2 × xy2 xy 2；
3
(2) a5 × a2 4 5 a12 a2 ．
【答案】(1) x4 y6
(2) a
【分析】（1）根据积的乘方，同底数幂的乘除法进行计算即可；
（2）根据幂的乘方和同底数幂的乘除法进行计算即可．
【解析】（1）解：原式= x3 y2 × x3 y6 x2 y2
= x3+3-2 × y2+6-2
= x4 y6 ；
（2）解：原式= a15 ×a8 a12 a10
= a23 a12 a10
= a23-12-10
= a．
【点睛】本题考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法和除法，熟练掌握以上运算法则是解题的关
键．
【典例 8】．计算：
(1) (-a)5 a3．
(2) xm x x ．
(3) -x11 (-x)6 × (-x)5 ．
(4) x - 2y 4 2y - x 2 x - 2y ．
(5) a4 a2 + a × a - (3a)2 ．
【答案】(1) -a 2
(2) xm-2
(3) x10
(4) x - 2y
(5) -7a2
【分析】（1）先算乘方，再根据同底数幂的除法法则进行计算即可；
（2）根据同底数幂的除法法则进行计算即可；
（3）先算乘方，再根据同底数幂的除法法则进行计算即可；
（4）先变形，再根据同底数幂的除法法则进行计算即可；
（5）先算乘法、除法、乘方，再合并同类项即可．
【解析】（1）解：原式= -a5 3 = -a2 ；
（2）原式= xm-1-1 = xm-2；
（3）原式= -x11 x6 × (-x5 )
= x11-6+5
= x10 ；
（4）原式= (x - 2y)4 (x - 2y)2 (x - 2y)
= (x - 2y)1
= x - 2y ；
（5）原式= a2 + a2 - 9a2
= -7a2．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法法则，幂的乘方和积的乘方的应用，注意：同底数的幂相除，底数不
变，指数相减．
题型 3：同底数幂除法的逆用
【典例 9】．已知3a = 6，9b = 2，则3a-2b = （ ）
A．3 B．18 C．6 D．1.5
【答案】A
【分析】利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则进行求解即可．
【解析】解：当3a = 6，9b = 2时，
3a-2b = 3a 32b
= 3a 9b
= 6 2
= 3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【典例 10】．已知 xa = 2， xb = 6．
(1)求 xa-b 的值；
(2)求 x2a-b 的值．
1
【答案】(1)
3
2
(2)
3
【分析】（1）逆运用同底数幂的除法的性质解答即可；
（2）逆运用幂的乘方与同底数幂的除法进行计算即可得解．
【解析】（1）解：Q xa = 2， xb = 6，
\ xa-b 1= xa xb = 2 6 =
3 ；
（2）Q xa = 2， xb = 6，
\ x2a-b = (xa )2 2 xb = 22 6 =
3 ．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方的性质，熟记性质并灵活运用是解题的关键．
【典例 11】．已知10a = 2 ，10b = 5，10c = 3，求103a-2b+c 的值．
24
【答案】
25
【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法和除法进行计算即可．
【解析】解：∵10a = 2 ，10b = 5，10c = 3，
∴103a-2b + c =103a 102b ×10c
= 3 210a 10b ×10c
= 23 52 3
24
= ．
25
【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法和除法，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
【典例 12】．已知5a = 3，5b = 8，5c = 72 ．
2
(1)求 5a 的值；
(2)求5a +b-c 的值；
(3)直接写出字母 a、b 、 c之间的数量关系为______．
【答案】(1)9
1
(2)
3
(3) c = 2a + b
【分析】（1）根据幂的乘方法则解答即可；
（2）根据同底数幂的乘、除法逆运算进行解答即可；
（3）根据32 8 = 72 ，结合幂的乘方，同底数相乘法则即可得出结论．
【解析】（1）解：∵ 5a =3，
a 2∴ 5 = 32 = 9；
（2）解：∵ 5a =3，5b =8，5c =72，
∴ 5a+b-c = 5a 5b
1
5c = 3 8 72 = ；
3
2
（3）解：∵ 5a 5b = 32 8 = 72 = 5c，
∴ 52a+b = 5c ，
即 c = 2a + b ．
【点睛】本题考查了同底数的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法等知识，熟练掌握运算性质和法则是解题
的关键．
【典例 13】．（1）已知 am = 2， an = 3，求
① am+n 的值；
② a3m-2n 的值
（2）已知3 9x 27 = 322，求 x 的值．
8
【答案】（1）6； ；（2）9
9
【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则和除法法则求解即可；
（2）把各个数字化为以 3 为底数的形式，按照同底数幂的乘法法则，求解即可．
【解析】解：（1）①∵ am = 2， an = 3，
∴ am+n = am × an
= 2 3
= 6；
②∵ am = 2， an = 3，
∴ a3m-2n = a3m a2n
= am 3 2 an
= 23 32
8
= ；
9
（2）∵ 3 9x 27 = 322
∴ 3 32 x 33 = 322 ，
∴ 3 32x 33 = 322 ，
∴31+2x+3 = 322，
∴1+ 2x + 3 = 22，
解得： x = 9 ．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、除法运算，幂的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，
准确计算．
题型 4：根据幂的运算求参数或代数式的值
3
【典例 14】．若 x2 xm = x4 ，则m = ．
【答案】2
【分析】利用幂的乘方以及同底数幂的除法即可求解．
3
【解析】解： x2 xm = x4
x6 xm = x4，
x6-m = x4 ，
\6 - m = 4 ，
\m = 2 ．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法，掌握相关运算法则是解题的关键．
【典例 15】．已知3a 3b = 9 ， ab = 3，则 a + b 的值为（ ）
A．16 B．4 C．-4 D．±4
【答案】D
【分析】本题考查了同底数幂的除法，完全平方公式的变形求值，根据已知可得3a-b = 32，得出 a - b = 2，
进而根据完全平方公式变形求值即可求解．
【解析】解：∵ 3a 3b = 9 ， ab = 3
∴ 3a-b = 32
∴ a - b = 2，
∴ a + b 2 = a - b 2 + 4ab = 22 +12 =16
∴ a + b = ±4
故选：D．
【典例 16】．若10a = 20，100b = 50，则 2a + 4b -1的值是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】B
【分析】先根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算求出102a = 400，102b = 2500，再根据同底数幂的乘除法逆运算
求出102a+4b-1 = 105 即可得到答案．
【解析】解：∵10a = 20，100b = 50，
∴102a = 10a 2 b= 400，100b = 102 = 102b = 50，
2
∴104b = 102b = 2500 ，
∴102a+4b-1 = 102a 104b 10 = 100000 = 105 ，
∴ 2a + 4b -1 = 5，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂乘除法的逆运算，代数式求值，熟知相关计算法则是
解题的关键．
【典例 17】．已知 4m+3 ×8m+1 24m+7 =16 ，求m 的值.
【答案】m=2
【分析】将 4m+3 ×8m+1 24m+7 变形为以 2 为底的幂进行比较列出方程计算即可；
【解析】解：∵ 4m+3 ×8m+1 24m+7 = 22（m+3）×2（3 m+1） 24m+7 =22m+6+3m+3-4m-7 = 2m+2
又∵ 4m+3 ×8m+1 24m+7 =16
∴ 2m+2 =16
∴ m+2=4
∴ m=2
【点睛】本题考查了幂的运算，灵活进行幂之间的转化是解题的关键.
【典例 18】．若 2a = 6， 4b = 5，8c =15，则 a + 2b - 3c = ．
【答案】1
【分析】此题主要考查求代数式的值，熟练掌握同底数幂的乘法逆运算、同底数幂的除法逆运算、幂的乘
方逆运算是解题关键．
利用同底数幂的乘法逆运算、同底数幂的除法逆运算、幂的乘方逆运算得出 2a 4b 8c = 2a+2b-3c即可求
解．
【解析】∵ 2a = 6， 4b = 5，8c =15
∴ 4b = 22b = 5，8c = 23c =15，
∴ 2a 4b 8c = 2a+2b-3c = 2 ，
∴ a + 2b - 3c = 1
故答案为：1．
题型 4：根据幂的运算求参数或代数式的值
【典例 19】．计算：
(1)8a3b5c -2ab 3 ；
(2) -4xy 3 -2xy ．
【答案】(1) -b2c
(2) 32x2 y2
【分析】本题考查的是积的乘方运算，单项式除以单项式，掌握运算法则是解本题的关键；
（1）先计算积的乘方运算，再按照单项式除以单项式计算即可；
（2）先计算积的乘方运算，再按照单项式除以单项式计算即可；
【解析】（1）解：8a3b5c (-2ab)3 = 8a3b5c (-8a3b3) = -b2c；
（2） (-4xy)3 (-2xy) = -64x3 y3 (-2xy) = 32x2 y2 ．
【典例 20】．计算：
(1) -5a5b3c 15a4b；
(2) -a2x4 y3
5
- axy2 6 ÷
；
è
2 5 2 2(3) 6x y 3xy .
1 2
【答案】(1) - ab c
3
6
(2) ax3 y
5
2
(3) y
3
【分析】（1）利用单项式除以单项式法则进行计算即可；
（2）利用单项式除以单项式法则进行计算即可；
（3）先计算积的乘方，再利用单项式除以单项式法则进行计算即可．
1
【解析】（1）-5a5b3c 15a4b = - ab2c
3
2 2 4 3
5 2 6 3
（ ）-a x y - axy ÷ = ax y
è 6 5
（3）6x2 y5 23xy2
= 6x2 y5 9x2 y4
2
= y
3
【点睛】本题考查了单项式除以单项式法则和积的乘方，单项式除以单项式法则：把系数、相同底数的幂
分别相除作为商的因式，对于只在被除数里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．
【典例 21】．下列计算不正确的是（ ）
A 3 2． 6a b 3a = 2a2b2 B． 2x4 x2 = 2x2
C． a4b3 ab = a3b3 D．8a2 a = 8a
【答案】C
【分析】利用单项式除以单项式得运算法则．
3 2
【解析】解：A、 6a b 3a = 2a2b2 ，运算正确，不符合题意；
B、 2x4 x2 = 2x2 ，运算正确，不符合题意；
C、 a4b3 ab = a3b2，运算错误，符合题意；
D、8a2 a = 8a，运算正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式除以单项式，解题的关键是掌握同底数幂的除法，底不变，指数相减．
2 2
【典例 22】．已知 x3 y-2 -xy-3 = 6，则 x4 y2 的值为（ ）
A．6 B．36 C．12 D．3
【答案】A
【分析】根据积的乘方，单项式与单项式的除法法则把左边化简后可得答案．
2 2
【解析】∵ x3 y-2 -xy-3 = 6，
∴ x6 y-4 x2 y-6 = 6，
∴ x4 y2 = 6，
故选：A．
【点睛】本题考查了积的乘方，以及单项式与单项式的除法法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
题型 6：整式除以单项式
【典例 23】．计算：
(1) 3x2 y2 - 2xy2 + xy 1 xy .
è 2 ÷
(2) 12a4 - 4a3 -8a2 (2a)2 .
【答案】(1) 6xy - 4 y + 2
(2) 3a2 - a - 2
【分析】（1）根据整式除以单项式法则计算即可；
（2）先计算乘方，再根据整式除以单项式法则计算即可．
1 3x2 y2【解析】（ ）解： - 2xy2 + xy 1 xy2 ÷ = 6xy - 4y + 2；è
12a4 - 4a3 -8a2 2a 2（2）解：
= 12a4 - 4a3 -8a2 4a2
= 3a2 - a - 2．
【点睛】本题考查整式除以单项式．掌握整式除以单项式法则是解题关键．
【典例 24】．计算：
2
(1) 2 a5 b
8 - 2a2b6 1÷
3
3
ab ÷ ；
è è 3
2
(2) 3 6 m n
2 1 m5n4 1 1+ - m4n2 2
10 2 3 ÷
- m n÷
è è 2
【答案】(1) 6a3b2 -18
6 m2 2mn2 4(2) + -
5 3
【分析】本题考查的是积的乘方运算，整式除以单项式的运算，熟记运算法则是解本题的关键；
（1）先计算积的乘方运算，再计算整式除以单项式的运算即可；
（2）先计算积的乘方运算，再计算整式除以单项式的运算即可；
2 1
2
【解析】（1）解： 5 8 2 6 3 a b - 2a b ÷ ab ÷
è 3 è 3
2 a5b8 2a2b6 1= - a2b6 ÷ ÷
è 3 è 9
= 6a3b2 -18；
2 3 m6n2 1 1
2
+ m5n4 - m4n2 1- m2n （ ）
è10 2 3 ÷ ÷ è 2
3 1 1
= m6n2 + m5n4 - m4 2 1 4 2 n 10 2 3 ÷
m n ÷
è è 4
6 4
= m2 + 2mn2 - ．
5 3
【典例 25】．下列运算正确的是（ ）
① 12x12 - 6x6 3x3 = 4x4 - 2x2；
② 3a2b 1- 6ab 6ab = a ；2
③ 36x6 - 24x5 6x3 × x2 = 6x - 4 ；
④ 21m5n2 - 9m4n3 3m3n2 = 7m2 - 3mn．
A．①② B．③④
C．①②③ D．②③④
【答案】B
【分析】本题主要考查整式除以单项式，本题要依照整式除以单项式的法则逐题进行检查计算即可．
12
【解析】解：① 12x - 6x6 3x3 =12x12 3x3 - 6x6 3x3 = 4x9 - 2x3 ，故①计算错误，不符合题意；
② 3a2b - 6ab 6ab 1= 3a2b 6ab - 6ab 6ab = a -1，故②计算错误，不符合题意；2
③ 36x6 - 24x5 6x3 × x2 = 36x6 - 24x5 6x5 = 36x6 6x5 - 24x5 6x5 = 6x - 4，故③计算正确，符合题意；
④ 21m5n2 - 9m4n3 3m3n2 = 21m5n2 3m3n2 - 9m4n3 3m3n2 = 7m2 - 3mn ，故④计算正确，符合题意．
所以，运算正确的是③④，
故选：B
题型 7：整式的混合运算及其求值问题
【典例 26】．化简： é 3x - y
2 + x + y x - y + xyù 5x．
【答案】 2x - y
【分析】先利用平方差公式和完全平方公式计算括号内的，再计算除法可得结果．
【解析】解：原式= 9x2 - 6xy + y2 + x2 - y2 + xy 5x
= 10x2 - 5xy 5x
= 2x - y ．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则及平方差公
式和完全平方公式．
【典例 27 2】．已知 a -1 + b +1 = 0 2，求 a b - 2ab2 - b3 b - a - 2b b - 2a 的值．
【答案】3a2 - 7ab + b2 ，11
【分析】本题主要考查了非负数与代数式求值综合．解决问题的关键是熟练掌握非负数的性质，整式除以
单项式法则，整式相乘的法则．
根据条件结合非负数的性质求出 a、b 的值，而后化简原式，代入求值即可．
2
【解析】∵ a -1 + b +1 = 0，
∴ a -1 = 0，b +1 = 0，
解得 a =1，b = -1，
∵ a2b - 2ab2 - b3 b - a - 2b b - 2a
= a2 - 2ab - b2 - ab - 2a2 - 2b2 + 4ab
= a2 - 2ab - b2 - ab + 2a2 + 2b2 - 4ab
= 3a2 - 7ab + b2，
∴当 a =1，b = -1时，
原式= 3 12 - 7 1 -1 + -1 2 =11．
2
【典例 28】．先化简，再求值： é x - 2y + x + 2y x - 2y ù 2x ，其中 x = 2, y = -3．
【答案】 x - 2y ，8
【分析】先利用完全平方公式和平方差公式进行运算，再按照整式加减法则和整式除法法则完成化简，然
后代入求值即可．
【解析】解：原式= (x2 - 4xy + 4y2 + x2 - 4y2 ) 2x
= (2x2 - 4xy) 2x
= x - 2y ，
当 x = 2, y = -3时，
原式= 2 - 2 (-3)
= 8．
【点睛】本题主要考查了整式混合运算及代数式求值，熟练掌握完全平方公式、平方差公式及相关运算法
则是解题关键．
2
【典例 29】．先化简，再求值： é a - 2b + a - 2b 2b + a - 2a 2a - b ù 2a ，其中 a、b 满足
a - 2 + b +1 2 = 0
【答案】-a- b ，-1
【分析】根据整式的运算法则及绝对值和偶次方的非负性即可求出答案．
2
【解析】解：原式= é a - 4ab + 4b
2 + a2 - 4b2 - 4a2 - 2ab ù 2a
= a2 - 4ab + 4b2 + a2 - 4b2 - 4a2 + 2ab 2a
= 2a2 - 4ab - 4a2 + 2ab 2a
= -2a2 - 2ab 2a
= -a - b ，
∵ a - 2 + b +1 2 = 0，
∴ a - 2 = 0，b +1 = 0，
∴ a = 2，b = -1，
当 a = 2，b = -1时，原式= -2 - -1 = -1．
【点睛】本题考查整式的运算及绝对值和偶次方的非负性，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题
属于基础题型．
题型 8：整式的除法代数应用（含看错，遮挡问题）
【典例 30】．已知 A = 2x，B 是一个整式，在计算B + A时，小马同学把B + A看成了B A，结果得
x 1+ ，则B＋A = ．
2
【答案】 2x2 + 3x
【分析】本题考查的是单项式乘以整式的运算，整式除以单项式的含义，整式的加减运算，由除法的意义
1
列式B = A × x + ÷，求解 B 后，再进一步计算即可．
è 2
1 1 2
【解析】解：根据题意得B = A × x + = 2x x +2 ÷ 2 ÷
= 2x + x ，
è è
∴ B + A = 2x2 + x + 2x = 2x2 + 3x ．
故答案为： 2x2 + 3x
【典例 31】．整式 A 与单项式 2a2b的积为38a4b5 - 22a7b2 ，则整式 A 为 ．
【答案】19a2b4 -11a5b
【分析】直接利用整式除以单项式运算法则计算得出答案．
【解析】解：∵整式 A 与单项式 2a2b的积为38a4b5 - 22a7b2 ，
∴整式 A 为： 38a4b5 - 22a7b2 2a2b
= 38a4b5 2a2b - 22a7b2 2a2b
=19a2b4 -11a5b．
故答案为：19a2b4 -11a5b．
【点睛】本题主要考查了整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
1
【典例 32】．一个整式除以- x ，商为-6x + 2y -1，这个整式为 ．
2
【答案】3x2 - xy
1
+ x
2
1
【分析】把商-6x + 2y -1乘以- x 可以得这个整式．
2
【解析】解∶由题意，得这个整式为∶
( 6x 1 1- + 2y -1) - x
÷ = 3x
2 - xy + x.
è 2 2
2
故应填∶ 3x - xy
1
+ x．
2
【点睛】本题考查了整式的除法，属于基础题型，解决本题的关键应熟练掌握整式与单项式的乘法运算．
【典例 33】．小明的作业本上有一道题不小心被沾上了墨水：
24x4 y3 -■+6x2 y2 -6x2 y = -4x2 y2 + 3xy - y，通过计算，这道题的■处应是 ．
【答案】18x3 y2
【分析】根据整式的四则运算法则求解即可．
∵ 24x4 y3 -■+6x2【解析】解： y2 -6x2 y = -4x2 y2 + 3xy - y
∴ 24x4 y3 -■+6x2 y2 = -6x2 y (-4x2 y2 + 3xy - y) = 24x3 y3 -18x3 y2 + 6x2 y2
∴ 24x4 y3 -■+6x2 y2 = 24x3 y3 -18x3 y2 + 6x2 y2
∴■=18x3 y2
故答案为：18x3 y2．
【点睛】题目主要考查整式的四则运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
【典例 34】．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个整式，形式如下：
2x = 4x2 - 6xy + 2x ，则所指的整式为 ．
【答案】 2x - 3y +1
【分析】直接利用整式除以单项式的运算法则计算得出答案．
【解析】由题意可得，所捂整式是： 4x2 - 6xy + 2x 2x
= 4x2 2x - 6xy 2x + 2x 2x
= 2x - 3y +1
故答案为： 2x - 3y +1．
【点睛】本题主要考查了整式除以单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【典例 35】．已知整式 2x3 - 4x2 -10除以一个整式A ，得商式为 2x，余式为 x -10，求这个整式A
是 ．
2 1
【答案】 x - 2x -
2
【分析】根据整式的加减运算及乘除运算法则即可求出答案．
【解析】由题意可知：
A = é2x3 - 4x2 -10 - (x -10)ù 2x
(2x3 - 4x2 -10 - x +10) 2x
= x2 2x 1- -
2
2 1
故答案为： x - 2x -
2
【点睛】本题考查整式的除法，解题的关键是熟练运用整式的乘除运算以及加减运算．
【典例 36】．已知，A 是一个整式，小明在计算 A + 3x2 时，错将“ + ”抄成了“÷”，运算结果得 x2 - 3x -1，
那么，原来算式 A + 3x2 的计算结果应为 ．
【答案】3x4 - 9x3
【分析】根据整式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．
【解析】解：由题意可知： A 3x2 = x2 - 3x -1，
∴ A = x2 - 3x -1 ×3x2
= 3x4 - 9x3 - 3x2
∴ A + 3x2
= 3x4 - 9x3 - 3x2 + 3x2
= 3x4 - 9x3 ．
【点睛】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题
属于基础题型．
1
【典例37】．已知 A = 3x ， B 是整式，在计算B + A时，小马虎同学把B + A 2看成了B A，结果得 2x - x +1，
3
细心的小明同学计算正确，那么小明计算出B + A的值为 ．
【答案】6x3 - x2 + 6x
2 1
【分析】根据题意得出B A = 2x - x +1，即可求出整式 B ，进而求出 A + B ．
3
2 1
【解析】解：QB A = 2x - x +1， A = 3x ，
3
1
\B = 3x 2x
2 - x +1 = 6x3 - x2÷ + 3x ，
è 3
\B + A = 6x3 - x2 + 3x + 3x = 6x3 - x2 + 6x，
故答案为：6x3 - x2 + 6x．
【点睛】本题考查了整式的乘除以及整式加减运算，解题的关键是得出整式 B ．
题型 9：整式的除法，整式的混合运算的几何应用
【典例 38 2】．面积为 a - 2ab 的长方形，若它的宽为 a，则它的长为 ．
【答案】 a - 2b / -2b + a
【分析】根据长方形的面积公式列除法算式，再由整式除法法则计算可求解．
【解析】解：由题意得： (a2 - 2ab) a = a(a - 2b) a = a - 2b．
故答案为： a - 2b ．
【点睛】本题主要考查整式的除法，掌握整式的除法法则是解题的关键．
【典例 39】．已知VABC 的面积为6m4 - 3m3 + m2 ，一边长为3m2 ，则这条边上的高为 ．
4m2 2m 2【答案】 - +
3
【分析】本题考查的是整式除以单项式的应用，直接利用面积的 2 倍除以这条边的边长列式计算即可．
【解析】解：由题意得这条边上的高为
2(6m4 - 3m3 + m2 ) 3m2 = (12m4 - 6m3 + 2m2 ) 3m2 2= 4m2 - 2m + ；3
2 2
故答案为： 4m - 2m + ．
3
【典例 40】．如图，一个长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示），留下一个“T”型
的图形（阴影部分）
(1)用含 x，y 的代数式表示“T”型图形的面积并化简．
(2)若 y = 3x = 21米，“T”型区域铺上价格为每平方米 20 元的草坪，请计算草坪的造价．
【答案】(1) 2x2 + 5xy
(2)16660 元
【分析】（1）用大长方形面积减去两个小正方形面积；
（2）先求出 x，然后将 x、y 的值代入即可．
【解析】（1）解： 2x + y x + 2y - 2y2
= 2x2 + 4xy + xy + 2 y2 - 2 y2
= 2x2 + 5xy；
（2）解：∵ y = 3x = 21，
∴ x = 7，
∴ 2x2 + 5xy = 2 72 + 5 7 21 = 833（平方米）
20 833 = 16660（元）
答：草坪的造价为 16660 元．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，正确运用运算法则计算是解题的关键．
【典例 41】．如图，把一张长方形纸板裁去两个边长为 6cm 的小正方形和两个全等的小长方形，再把剩余
部分（阴影部分）四周折起，恰好做成一个有底有盖的长方体纸盒，纸盒底面长方形的长为3kcm，宽为
2kcm，则：
（1）裁去的每个小长方形面积为 cm2．（用 k 的代数式表示）
（2）若长方体纸盒的表面积是底面积的偶数倍，则正整数 k 的值为 ．
【答案】 12k + 36 1 或 5
【分析】（1）求出小长方形的长与宽，再根据面积公式进行计算即可得到答案；
（2）先表示出长方体纸盒的底面积和表面积，再根据长方体纸盒的表面积是底面积的偶数倍得到
12k 2 + 60k = n ×6k 2 ，整理得 n - 2 k =10，最后由 n 为偶数， k 为正整数即可得到答案．
【解析】解：（1）由题意得，
小长方形的长为 6 + 2k cm，宽为6cm，
\ 2裁去的每个小长方形面积为：6 6 + 2k = 12k + 36 cm ，
故答案为： 12k + 36 ；
（2）长方体纸盒的底面积为： 2k ×3k = 6k 2cm2，
长方体纸盒的表面积为： 2 2k ×3k + 2k 6 + 3k 6 = 12k 2 + 60k cm2，
Q长方体纸盒的表面积是底面积的偶数倍，
\12k 2 + 60k = n ×6k 2 （ n 为偶数），
整理得： n - 2 k =10，
Q n 为偶数， k 为正整数，
\k =1，n =12；或 k = 5，n = 4 ，
\正整数 k 的值为 1 或 5，
故答案为：1 或 5．
【点睛】本题考查了列代数式，整式的乘除运算，长方体表面积的计算，解题的关键是学会利用参数解决
问题．
一、单选题
1 3．计算 (-x) × x2 -x 的结果为（ ）
A．-x4 B．-x5 C． x4 D． x5
【答案】C
【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法和除法计算即可．
【解析】解： (-x)3 × x2 (-x) = (-x)5 (-x) = (-x)4 = x4 ，
故选：C．
【点睛】此题考查同底数幂的除法和乘法，掌握同底数幂的乘法（底数不变，指数相加）和同底数幂的除
法（底数不变，指数相减）的运算法则是解题关键．
2．下列计算不正确的是（ ）
A 6a3． b2 3a = 2a2b2 B． 2x4 x2 = 2x2
C． a4b3 ab = a3b3 D．8a2 a = 8a
【答案】C
【分析】利用单项式除以单项式得运算法则．
A 6a3b2【解析】解： 、 3a = 2a2b2 ，运算正确，不符合题意；
B、 2x4 x2 = 2x2 ，运算正确，不符合题意；
C、 a4b3 ab = a3b2，运算错误，符合题意；
D、8a2 a = 8a，运算正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式除以单项式，解题的关键是掌握同底数幂的除法，底不变，指数相减．
2
3．计算 é a + b - a - b
2 ù
4ab 的结果是（ ）．
a + b
A B a - b． ． C．1 D． 2ab
4 4
【答案】C
【分析】直接运用整式的混合运算法则计算即可．
2 2
【解析】解： é a + b - a - b ù 4ab
= é a
2 + b2 + 2ab - a2 + b2 - 2ab ù 4ab ，
= 4ab 4ab
=1．
故选 C．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，整式混合运算法则以及完全平方公式是解答本题的关键．
4．若10y = 5，则102-2 y 等于（ ）
4
A．75 B．4 C． -5或 5 D．
5
【答案】B
【分析】根据同底数幂除法的逆运算以及幂的乘方的逆运算，对式子进行化简，求解即可．
2 2
102-2 y 10 10 100【解析】解： = 2 y = = = 410 2 210y 5
故选：B
【点睛】此题考查了同底数幂除法的逆运算以及幂的乘方的逆运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法
则．
5．如图，墨迹污染了等式中的运算符号，则污染的是（ ）
A．＋ B．－ C．× D．÷
【答案】D
【分析】根据整式的加减乘除计算法则逐一判断可求解．
【解析】解：∵ 32x3与 4x不是同类项，不能进行加减计算，
∴A、B 选项不符合题意；
∵ 32x3 4x =128x4 ，
∴C 选项不符合题意；
∵ 32x3 4x = 8x2 ，
∴D 选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查整式的四则运算，掌握相关计算法则是解题的关键．
6．一个长方形的面积为 4a2 - 2ab，且一边长为 2a，则该长方形的周长为（ ）．
A． 2a - b B． 4a - b C． 4a2 - 2ab D．8a - 2b
【答案】D
【分析】根据整式除以单项式求得另一边，进而求得长方形的周长．
【解析】解：Q一个长方形的面积为 4a2 - 2ab，且一边长为 2a，
\ 2该长方形另一边的长为： 4a - 2ab 2a = 2a - b，
\长方形的周长为： 2 2a + 2a - b = 8a - 2b ，
故选 D
【点睛】本题考查了整式除以单项式，整式的加减，求得另一边的长是解题的关键．
7．计算 2x4 - x3 - 6x2 +15 4 - x2 得到的余式是（ ）
A．-4x - 23 B．-4x + 23 C． 4x - 23 D． 4x + 23
【答案】B
【分析】将 2x4 - x3 - 6x2 +15分组通过因式分解变形即可得到答案.
2x4 - x3 - 6x2【解析】解： +15 4 - x2
= 2x4 -16x2 + 32 - x3 +10x2 -17 4 - x2
=[2(x2-4)2-x3+4x+10x2-40-4x+23] 4 - x2
=[2(x2-4)2-x(x2-4)+10(x2-4) -4x+23] 4 - x2
={(4-x2)[2(4-x2)+x-10] -4x+23} 4 - x2
=(-2x2+x-2)+( -4x+23) 4 - x2
故选 B.
【点睛】此题主要考查了整式的除法及因式分解，正确地将 2x4 - x3 - 6x2 +15进行变形是解决问题的关键.
8．若 a 为正整数，且 x2a=5，则(2x3a)2÷4x4a 的值为（ ）
A．5 B．2.5 C．25 D．10
【答案】A
【分析】根据积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘计算；再根据单项式除以
单项式的法则计算，然后将 x2a=5 代入即可求出原代数式的值．
【解析】(2x3a)2÷4x4a =4 x6a 4x4a = x2a ，
∵x2a=5，∴原式= x2a=5.
故选 A.
【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，解题的关键是根据单项式除以单项式的法则化简原式.
9 é 17x2 - 3x + 4 - ax2．将整式 + bx + c ù除以5x + 6后得商式 2x +1，余式为 0，则 a - b - c 的值为（ ）
A．3 B．23 C．25 D．29
【答案】D
【分析】先把整式化简，然后由整式的乘法、除法运算进行运算，求出 a、b、c 的值，即可得到答案．
2 2
【解析】解： é 17x - 3x + 4 - ax + bx + c ù
= (17 - a)x2 - (3 + b)x + 4 - c ；
∵ (5x + 6)(2x +1) =10x2 +17x + 6，
∴17 - a =10，-(3 + b) =17 ， 4 - c = 6，
∴ a = 7，b = -20， c = -2，
∴ a - b - c = 7 - (-20) - (-2) = 7 + 20 + 2 = 29 ；
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的加减乘除混合运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．
10．观察： x -1 x +1 = x2 -1， x -1 x2 + x +1 = x3 -1， x -1 x3 + x2 + x +1 = x4 -1，……据此规律，当
x -1 x5 + x4 + x3 + x2 + x +1 = 0 7时，代数式 x - 2x x 的值为（ ）
A．-3 B．-2 C．-1 D．0
【答案】C
5 4 3 2 6
【分析】根据规律得到 x -1 x + x + x + x + x +1 = x -1，进而得到 x6 - 1 = 0，得到 x6 =1，再代入
x7 - 2x x 即可求解．
【解析】解：根据规律得 x -1 x5 + x4 + x3 + x2 + x +1 = x6 -1，
∵ x -1 x5 + x4 + x3 + x2 + x +1 = 0 ，
∴ x6 - 1 = 0，
∴ x6 =1，
∴ x7 - 2x x = x6 - 2 =1- 2 = -1．
故选：C
【点睛】本题考查了探索规律，平方差公式，整式乘整式，整式除以单项式并求值，解题的关键是得到
x6 =1．
二、填空题
11．计算： a5 a2 ÷ a3 = ．
【答案】 a4 ．
【分析】整式的乘除法混合运算，从左至右进行．
【解析】解： a5 a2 ÷ a3
= a7 a3
= a4
故答案为： a4 ．
【点睛】此题主要考查整式的乘除法混合运算，解题的关键是熟练掌握混合运算的顺序．
6
12．计算： -m2n3 -m2n3 2 = ．
【答案】m8n12 / n12m8
【分析】先根据积的乘方进行运算，再根据单项式除以单项式运算法则进行计算即可．
6 2
【解析】解： -m2n3 -m2n3
= m12n18 m4n6
= m8n12 ．
故答案为：m8n12．
【点睛】本题主要考查了整式混合运算，解题的关键是熟练掌握积的乘方和单项式除以单项式运算法则，
准确计算．
13．（1） a5 a = ；（2） (-x)5 (-x)2 = ；
（3） y16 = y11 ；（4） b5 = b2 ；
（5） (x - y)9 (x - y)6 = ．
【答案】 a4 -x3 y5 b7 (x - y)3
【分析】（1）根据同底数幂的除法计算法则求解即可；
（2）根据同底数幂的除法计算法则求解即可；
（3）根据 y16 y11 = y16-11 = y5 即可得到 y16 y5 = y11；
（4）根据b5 ×b2 = b2+5 = b7 即可得到b7 b5 = b2 ；
（5）根据同底数幂的除法计算法则求解即可．
【解析】解：（1） a5 a = a5-1 = a4 ；
（2） (-x)5 (-x)2 = -x5 x2 = -x5-2 = -x3；
（3）∵ y16 y11 = y16-11 = y5 ，
∴ y16 y5 = y11；
（4）∵ b5 ×b2 = b2+5 = b7 ，
∴ b7 b5 = b2 ；
（5） (x - y)9 (x - y)6 = (x - y)9-6 = (x - y)3 ．
故答案为：（1） a4 ；（2）-x3；（3） y5；（4）b7 ；（5） (x - y)3．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则
进行求解．
14．（ ） -2xy = 4x2 y - 2xy ．
【答案】-2x +1
【分析】本题主要考查整式除单项式，熟练掌握整式除单项式的除法法则是解决本题的关键．根据整式除
单项式的除法法则解决此题．
2
【解析】解：由题意得： 4x y - 2xy -2xy = -2x +1，
故答案为：-2x +1．
15．已知5m = a，5n = b，则52m+n = ，52m-3n = ．（请用含有 a，b 的代数式表示）
2
【答案】 a2b / ba2
a
b3
【分析】逆用同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法运算法则，进行计算即可．
【解析】解：∵5m = a，5n = b，
∴ 52m+n = 52m
2
×5n = 5m ×5n = a2b；
2
52m-3n = 52m 53n = 5m 2 3 5n = a2 b3 a= ．b3
2
故答案为： a2
a
b； 3 ．b
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握同底数幂
的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法运算法则．
16．小明与小亮在做游戏时，两人各报一个整式，将小亮报的整式作为除式，小明报的整式作为被除式，
要求商必须为 2xy ．若小明报的整式是 x3 y - 2xy3 ，则小亮应报的整式是 ．
1 x2 - y2【答案】
2
【分析】根据被除式、除式和商的关系列出代数式，再利用整式除法运算法则求解即可．
【解析】解：根据题意，小亮报的整式为
x3 y - 2xy3 2xy
= x3 y 2xy - 2xy3 2xy
1
= x2 - y2 ，
2
1 x2 2故答案为： - y ．
2
【点睛】本题考查整式的除法，熟练掌握整式除法运算法则，正确列出代数式是解答的关键．
17．正整数 k 2022，那么 22k -1 -1- 2 -… - 2022 除以 3 的余数是 ．
【答案】2
【分析】先求出1+ 2 + 3 +… + 2022 除以 3 的余数是 0，再得到 k 2022时， 22k -1 除以 3 的余数是 2，依此即
可得到 22k -1 -1- 2 -… - 2022 除以 3 的余数．
1 2 3 2022 1【解析】解：∵ + + +… + = 1+ 2022 2022 =1011 2023 = 3 337 2023，
2
∴1+ 2 + 3 +… + 2022 除以 3 的余数是 0，
22k -1 1由 = 4k 知：
2
1 1 1 1
当 k 2022 2k -1 k时， 2 = 4 = 4 4 4k -2 , 22k -1 = 4k = 4 4 4k -2除以 3 的余数是 2，
2 2 2 2
∴ 22k -1 - 1+ 2 + 3+… + 2022 除以 3 的余数是 2，
即 22k -1 -1- 2 -… - 2022 除以 3 的余数是 2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了同余问题，解题的关键是 22k -1 -1- 2 -… - 2022 变形为
22k -1 - 1+ 2 + 3+… + 2022 ．
18．如图，正方形卡片 A 类，B 类和长方形卡片 C 类若干张，如果要拼一个长为 3a + b ，宽为 a + 3b 的
大长方形，则需要 C 类卡片张数为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了整式乘整式的应用，单项式除以单项式等知识．熟练掌握整式乘整式的应用，单项式
除以单项式是解题的关键．
由题意知，大长方形的面积为 3a + b a + 3b = 3a2 +10ab + 3b2 ，根据大长方形的面积为 A、B、C 类卡片面
积的和求解作答即可．
2
【解析】解：由题意知，大长方形的面积为 3a + b a + 3b = 3a +10ab + 3b2 ，
∵10ab ab =10，
∴需要 C 类卡片张数为10张，
故答案为：10．
三、解答题
19．计算：
（1） x7 x5 ；
（2）m8 m8 ；
（3） (-a)10 (-a)7；
（4） (xy)5 (xy)3 ．
【答案】（1） x2；（2）1；（3）-a3 ；（4） x2 y2
【分析】（1）根据同底数幂的除法法则计算即可；
（2）根据同底数幂的除法法则计算即可；
（3）根据同底数幂的除法法则计算即可；
（4）根据同底数幂的除法法则和积的乘方法则计算即可．
【解析】解：（1）原式= x7-5
= x2；
（2）原式= m8-8
= m0
=1；
（3）原式= (-a)10-7
= (-a)3
= -a3 ；
（4）原式= (xy)5-3
= (xy)2
= x2 y2 ．
【点睛】本题考查同底数幂的除法和积的乘方法则．同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．积的乘
方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
20．计算：
5
2
（1） (ab)4 ab； （2）-y3m-3 yn+1； （3 1） 2 - x -0.25x2 ；
è 4 ÷
2
（4） é (-5mn)
6 (-5mn)4 ù ； （5） (x - y)
8 (y - x)4 × (x - y) ．
【答案】（1） a3b3 3m-n-4
1
；（2）-y ；（3）- x6 ；（4）625m4n4 ；（5） (x - y)5．
64
【分析】（1）先计算同底数幂的除法，然后计算积的乘方即可；
（2）利用同底数幂的除法计算法则求解即可；
5
2 1 5 1
（3
1
）先得到 2 - x -0.25x2 = - × x10 x4 ，然后利用同底数幂的除法计算法则求解即可；
è 4 ÷
÷
è 4 4
（4）先计算同底数幂的除法，然后计算积的乘方即可；
（5）直接根据同底数幂的乘除法计算法则求解即可．
【解析】解：（1） (ab)4 ab
= ab 4-1
= a3b3 ；
（2）-y3m-3 yn+1
= - y3m-3-n-1
= - y3m-n-4 ；
1 5 2
（3） - x
2
÷ -0.25x2
è 4
1 5 é 1 2 ù
= -
× x10 ÷ ê
4
÷ x ú
è 4 êè 4 ú
1 3
= 6 - ÷ × x
è 4
1
= - x6 ；
64
2
（4） é (-5mn)
6 (-5mn)4 ù
2
= é -5mn
2 ù
2
= 25m2n2
= 625m4n4 ；
（5） (x - y)8 (y - x)4 × (x - y)
= (x - y)4 × (x - y)
= (x - y)5 ．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．
21．计算： -36x4 y3 - 24x3 y2 + 6xy 6xy ．
【答案】-6x3 y2 - 4x2 y +1．
【分析】本题考查了整式除以单项式，根据整式除以单项式法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关
键．
-36x4 y3 - 24x3 y2【解析】解： + 6xy 6xy
= -36x4 y3 6xy - 24x3 y2 6xy + 6xy 6xy
= -6x3 y2 - 4x2 y +1．
22．计算下列各题：
(1) 2x2 3y × -7xy2 14x4 y3；
(2) é 2x + y x - y + y
2
ù 2x．
【答案】(1) -4x3 y2
1
(2) x - y
2
【分析】（1）原式利用器的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘除单项式法则计算即可得到结
果；
（2）原式中括号里利用整式乘整式法则计算，去括号合并后利用整式除以单项式法则计算即可得到结
果．
【解析】（1）解： 2x2 y 3 × -7xy2 14x4 y3
= 8x6 y3 × -7xy2 14x4 y3
= -56x7 y5 14x4 y3
= -4x3 y2
（2）解： é 2 2x + y x - y + y ù 2x
= 2x2 - 2xy + xy - y2 + y2 2x
= 2x2 - xy 2x
x 1= - y
2
【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．先化简，再求值， (a + 4b)(a - b) - (a - 2b)(a 2b) ( 1 5 2+ - a)，其中 a = ，b = -
3 3 3
【答案】-9b，6
5 2
【分析】先根据整式的混合运算法则化简，再将 a = ，b = - 代入化简以后的式子当中求值即可．
3 3
本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
【解析】解： (a + 4b)(a b) (a 2b)(a 2b) ( 1- - - + - a)
3
= é a2 - ab + 4ab - 4b2 - a2 - 4b2 ù
1
(- a)3
= (a2 + 3ab - 4b2 - a2 + 4b2 ) 1 (- a)
3
= 3ab ( 1 - a)
3
= -9b．
a 5 2当 = ，b = - 时，
3 3
9 2= - - 原式 ÷
è 3
= 6．
24．小明在做练习册上的一道整式除以单项式的习题时，一不小心，一滴墨水污染了这道习题，只看见了
被除式中第一项是-8x3 y3及中间的“ ”，污染后习题形式如下： (-8x3 y3 ) ，小明翻看了书
后的答案是“ 4x2 y2 - 3xy + 6x ”，你能够复原这个算式吗 请你试一试．
3 3 2
【答案】复原后的算式为 -8x y + 6x y2 -12x2 y -2xy
【分析】先根据被除式的首项和商式的首项可求得除式，然后根据除式乘商式等于被除式求解即可．
【解析】解：Q -8x3 y3 对应的结果为： 4x2 y2，
\除式为：-8x3 y3 4x2 y2 = -2xy ，
2 2
根据题意得： 4x y - 3xy + 6x × -2xy = -8x3 y3 + 6x2 y2 -12x2 y ，
\ -8x3 y3 + 6x2 y2 2复原后的算式为 -12x y -2xy ．
【点睛】本题主要考查的是整式的除法和乘法，掌握运算法则是解题的关键．
25 2 2．已知 A、B 均为整式， A = xy +1 xy - 2 - 2x y + 2，小马在计算 A B时，误把“÷”抄成了“ - ”，这样
他计算的正确结果为-x2 y2 ．
(1)将整式 A 化为最简形式；
(2)求整式 B；
(3)求 A B的正确结果．
【答案】(1) -x2 y2 - xy
(2) -xy
(3) xy +1
【分析】（1）根据整式混合运算的运算顺序和运算法则进行化简即可；
（2）根据题意可得 A - B = -x2 y2 ，则B = A - -x2 y2 ，根据整式混合运算顺序和运算法则进行计算即可；
（3）根据（2）中求出 B 的值，列出式子进行计算即可．
2 2
【解析】（1）解： A = xy +1 xy - 2 - 2x y + 2
= x2 y2 - 2xy + xy - 2 - 2x2 y2 + 2
= -x2 y2 - xy ，
（2）解：根据题意可得： A - B = -x2 y2 ，
∴ B = A - -x2 y2 ，
= -x2 y2 - xy - -x2 y2
= -x2 y2 - xy + x2 y2
= -xy ；
（3）解： A B = -x2 y2 - xy -xy
A B = -x2 y2 - xy -xy
= xy +1．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则．
26．整式 a2n+1 + a2n+2 + a2n+3 + a2n+4 + a2n+5 + ×××+ a2n+m 一共有m 项，它除以单项式 （ n 为正整数），其商式
是几项式？写出商式.
【答案】m 项式 an+1 + an+2 + an+3 + ×××+ an+m .
【分析】根据整式除以单项式的法则计算即可.
【解析】解：依题意得：其商式是m 项式
a2n+1 + a2n+2 + a2n+3 + a2n+4 + a2n+5 + ×××+ a2n+m an
=a2n+1-n + a2n+2-n + a2n+3-n + a2n+4-n + a2n+5-n + ×××+ a2n+m-n
= an+1 + an+2 + an+3 + an+4 +an+5 + × × × +an+m
【点睛】本题主要考查了整式除以单项式的法则，熟练掌握运算法则是解题的关键.
27．本学期我们学习了“同底数幂除法”的运算，
ì
当m > n时, am an = am-n
m n
运算法则如下： a a = í当m = n时, am an =1 ．
当m 1< n时,am an =
an-m
根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题：
(1) 1
5 2
1
填空： 3 5 2 ÷ 2 ÷
= ___________， 4 4 = ___________；
è è
(2)如果3x-1
1
33x-4 = ，求出 x 的值；
27
(3)如果 (x -1)2x+2 (x -1)x+6 =1，请直接写出 x 的值．
1 1
【答案】(1) ；
8 16
(2)3
(3) x = 4或 x = 2或 x = 0
【分析】（1）直接利用例题的方法计算；
（2）利用例题方法得出 (3x - 4) - (x -1) = 3，解方程即可；
（3）分类讨论，指数相等时， x -1 = 1时， x -1 = -1时，分别计算即可．
1 51 1
2 1 5-2 1
【解析】（ ）解： ÷ ÷ = ÷ = ；
è 2 è 2 è 2 8
43 45 1 1=
45-3
= ；
16
1 1
故答案为 ； ；
8 16
（2）解：3x-1 33x-4
1
= ，
27
3(x -1) - (3x - 4) 1= ，
33
3(x -1) - (3x - 4) = 3-3 ，
(3x - 4) - (x -1) = 3，
解得： x = 3，
\ x = 3；
（3）解： (x -1)2x+2 (x -1)x+6 =1，
当 2x + 2 = x + 6时， x = 4；
当 x -1 = 1时， x = 2；
当 x -1 = -1时， x = 0．
\ x = 4或 x = 2或 x = 0．
【点睛】本题主要考查同底数幂除法,熟练掌握同底数幂除法的运算法则是解题的关键．
28 n n-1．我们把形如anx + an-1x + + a1x + a0 an 0 的整式称为关于 x 的一元 n 次整式，记作 f x ， g x …
等等. 将整数的带余除法类比到一元整式，我们可类似地得到带余式的大除法，其关系式为：
f x = g x ×q x + r x ，其中 f x 表示被除式， g x 表示除式， q x 表示商式， r x 表示余式，且 r x
的次数小于 g x 的次数.
我们来举个例子对比整式除法和整数除法，如下左式中，13579除以112，商为121，余数为 27：而如下右
式中，整式 x 4 + 3x3 + 5x 2 + 7 x + 9 除以 x2 + x + 2 ，商式为 x2 + 2x +1，余式为 2x + 7 .
请根据以上材料，解决下面的问题：
(1)整式 2x 4 + 3x 2 - x + 2 除以 x2 - 2x + 3，请补全下面的计算式
所以， 2x 4 + 3x 2 - x + 2 除以 x2 - 2x + 3所得的商式为 ，余式为 ．
(2) x4若整式 + px2 +x+q除以 x2 + 3x + 4所得的余式为 x -1，求 p2 + q2 的值．
【答案】(1)补全见解析， 2x2 + 4x + 5，-3x -13；
(2) 226．
【分析】（1）根据整式的除法运算即可得出答案；
（2）设商式为 x2 + mx + n ，根据关系式： f x = g x ×q x + r x ，表示出被除式、除式、商式、余式之间
的等式，根据整式相等的条件，求出m、n的值，进而求出 p、q 的值，代入 p2 + q2 中即可求得答案．
【解析】（1）解：如图，
∴ 2x 4 + 3x 2 - x + 2 除以 x2 - 2x + 3 除以 的商式为 2x2 + 4x + 5，余式为-3x -13，
故答案为： 2x2 + 4x + 5，-3x -13；
（2）由题意设商式为 x2 + mx + n ，
则有： x2 + 3x + 4 x2 + mx + n + x -1 = x4 + px2 + x + q，
x4 + m + 3 x3等式左边整理得， + 3m + n + 4 x2 + 4m + 3n +1 x + 4n -1 = x4 + px2 + x + q，
∴ m + 3 = 0， 4m + 3n +1 =1，
解得m = -3， n = 4，
∴ p = 3m + n + 4 = -1， q = 4n -1 =15，
∴ p2 + q2 = -1 2 +152 = 226．
【点睛】此题考查了整式的除法运算，熟练掌握整式的除法运算法则是解题的关键．第 11 讲 整式的除法（九大题型）
学习目标
1、 会用同底数幂的除法性质进行计算．
2、会进行单项式除以单项式的计算．
3、会进行整式除以单项式的计算．
一、同底数幂的除法法则
m n m-n
同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 a a = a （ a ≠0，m、n都是正整数，并且m > n ）
要点：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.
（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0 不能作除式.
（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.
（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或整式.
0
要点：底数 a 不能为 0，0 无意义.任何一个常数都可以看作与字母 0 次方的积.因此常数项也叫 0 次单
项式.
三、单项式除以单项式法则
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的
指数作为商的一个因式.
要点：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它
的指数作为商的一个因式.
（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单
项式的结果仍为单项式.
四、整式除以单项式法则
整 式 除 以 单 项 式 ： 先 把 整 式 的 每 一 项 除 以 这 个 单 项 式 ， 再 把 所 得 的 商 相 加 . 即
am + bm + cm m = am m + bm m + cm m = a + b + c
要点：（1）由法则可知，整式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个
单项式除以单项式.
（2）利用法则计算时，整式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化.
【即学即练 1】计算
(1) a7 a4 ；
(2) (-x)6 (-x)3；
(3) (xy)4 (xy)；
(4)b2m+2 b2
【即学即练 2】计算：
(1) -5a5b3c 15a4b；
(2) -a2x4 y3
5
- axy
2
÷；
è 6
2
(3) 6x2 y5 3xy2 .
2
【即学即练 3】（1） 9a - 6ab 3a = ．
2
（2） -4a +12a3b -4a2 = ．
【即学即练 4】先化简，再求值： é 3x + 2y 3x - 2y - x + 2y 5x - 2y ù 4x，其中 x =1， y = 2 ．
题型 1：同底数幂的除法
【典例 1】．计算： x7 x2 = ．
【典例 2】．（1） a5 a = ；（2） (-x)5 (-x)2 = ；
（3） y16 = y11 ；（4） b5 = b2 ；
（5） (x - y)9 (x - y)6 = ．
【典例 3】．计算： 22n+1 4n = ．
题型 2：幂的混合运算
【典例 4】．计算： a3 × a2 a = ．
6 2 2
【典例 5】．计算： -a -a -a ．
【典例 6】．计算：
(1) -x2 5 2-x3 ；
(2) éê
5 3 4
a2 × -a2 ù ú -a
4 ．
【典例 7】．计算：
(1) x3 y2 × xy2 3 xy 2；
3
(2) a5 × a2 4 a12 a2 5．
【典例 8】．计算：
(1) (-a)5 a3．
(2) xm x x ．
(3) -x11 (-x)6 × (-x)5 ．
(4) x - 2y 4 2y - x 2 x - 2y ．
(5) a4 a2 + a × a - (3a)2 ．
题型 3：同底数幂除法的逆用
【典例 9】．已知3a = 6，9b = 2，则3a-2b = （ ）
A．3 B．18 C．6 D．1.5
【典例 10】．已知 xa = 2， xb = 6．
(1)求 xa-b 的值；
(2)求 x2a-b 的值．
【典例 11】．已知10a = 2 ，10b = 5，10c = 3，求103a-2b+c 的值．
【典例 12】．已知5a = 3，5b = 8，5c = 72 ．
(1)求 5a 2 的值；
(2)求5a +b-c 的值；
(3)直接写出字母 a、b 、 c之间的数量关系为______．
【典例 13】．（1）已知 am = 2， an = 3，求
① am+n 的值；
② a3m-2n 的值
（2）已知3 9x 27 = 322，求 x 的值．
题型 4：根据幂的运算求参数或代数式的值
3
【典例 14】．若 x2 xm = x4 ，则m = ．
【典例 15】．已知3a 3b = 9 ， ab = 3，则 a + b 的值为（ ）
A．16 B．4 C．-4 D．±4
【典例 16】．若10a = 20，100b = 50，则 2a + 4b -1的值是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【典例 17】．已知 4m+3 ×8m+1 24m+7 =16 ，求m 的值.
【典例 18】．若 2a = 6， 4b = 5，8c =15，则 a + 2b - 3c = ．
题型 5：单项式除以单项式
【典例 19】．计算：
(1)8a3b5c -2ab 3 ；
(2) -4xy 3 -2xy ．
【典例 20】．计算：
(1) -5a5b3c 15a4b；
(2) -a2x4 y3
5
- axy
2
6 ÷
；
è
2
(3) 6x2 y5 3xy2 .
【典例 21】．下列计算不正确的是（ ）
A． 6a3b2 3a = 2a2b2 B． 2x4 x2 = 2x2
C． a4b3 ab = a3b3 D．8a2 a = 8a
2 2
【典例 22】．已知 x3 y-2 -xy-3 = 6，则 x4 y2 的值为（ ）
A．6 B．36 C．12 D．3
题型 6：整式除以单项式
【典例 23】．计算：
1
(1) 3x2 y2 - 2xy2 + xy xy 2 ÷ .è
(2) 12a4 - 4a3 -8a2 (2a)2 .
【典例 24】．计算：
2
(1) 2 a5b8 - 2a2b6 1 ab3 3 ÷ 3 ÷
；
è è
3 2(2) m6n2 1 m5n4 1 1 + - m
4n2 ÷
- m
2n
è10 2 3 è 2 ÷
【典例 25】．下列运算正确的是（ ）
① 12x12 - 6x6 3x3 = 4x4 - 2x2；
② 3a2b - 6ab 6ab 1= a ；2
③ 36x6 - 24x5 6x3 × x2 = 6x - 4 ；
④ 21m5n2 - 9m4n3 3m3n2 = 7m2 - 3mn．
A．①② B．③④
C．①②③ D．②③④
题型 7：整式的混合运算及其求值问题
2
【典例 26】．化简： é 3x - y + x + y x - y + xyù 5x．
27 a -1 2 + b +1 = 0 a2b - 2ab2【典例 】．已知 ，求 - b3 b - a - 2b b - 2a 的值．
2
【典例 28】．先化简，再求值： é x - 2y + x + 2y x - 2y ù 2x ，其中 x = 2, y = -3．
2
【典例 29】．先化简，再求值： é a - 2b + a - 2b 2b + a - 2a 2a - b ù 2a ，其中 a、b 满足
a - 2 + b +1 2 = 0
题型 8：整式的除法代数应用（含看错，遮挡问题）
1
【典例 30】．已知 A = 2x，B 是一个整式，在计算 B + A时，小马同学把 B + A看成了 B A，结果得 x + ，
2
则B＋A = ．
【典例 31】．整式 A 与单项式 2a2b的积为38a4b5 - 22a7b2 ，则整式 A 为 ．
1
【典例 32】．一个整式除以- x ，商为-6x + 2y -1，这个整式为 ．
2
【典例 33】．小明的作业本上有一道题不小心被沾上了墨水：
24x4 y3 -■+6x2 y2 -6x2 y = -4x2 y2 + 3xy - y，通过计算，这道题的■处应是 ．
【典例 34】．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个整式，形式如下：
2x = 4x2 - 6xy + 2x ，则所指的整式为 ．
【典例 35】．已知整式 2x3 - 4x2 -10除以一个整式A ，得商式为 2x，余式为 x -10，求这个整式A
是 ．
【典例 36】．已知，A 是一个整式，小明在计算 A + 3x2 时，错将“ + ”抄成了“÷”，运算结果得 x2 - 3x -1，那
么，原来算式 A + 3x2 的计算结果应为 ．
【典例 37】．已知 A = 3x ， B 是整式，在计算B + A时，小马虎同学把B + A看成了B A，结果得
2x2 1- x +1，细心的小明同学计算正确，那么小明计算出B + A的值为 ．
3
题型 9：整式的除法，整式的混合运算的几何应用
2
【典例 38】．面积为 a - 2ab 的长方形，若它的宽为 a，则它的长为 ．
【典例 39】．已知VABC 的面积为6m4 - 3m3 + m2 ，一边长为3m2 ，则这条边上的高为 ．
【典例 40】．如图，一个长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示），留下一个“T”型的
图形（阴影部分）
(1)用含 x，y 的代数式表示“T”型图形的面积并化简．
(2)若 y = 3x = 21米，“T”型区域铺上价格为每平方米 20 元的草坪，请计算草坪的造价．
【典例 41】．如图，把一张长方形纸板裁去两个边长为 6cm 的小正方形和两个全等的小长方形，再把剩余
部分（阴影部分）四周折起，恰好做成一个有底有盖的长方体纸盒，纸盒底面长方形的长为3kcm，宽为
2kcm，则：
（1）裁去的每个小长方形面积为 cm2．（用 k 的代数式表示）
（2）若长方体纸盒的表面积是底面积的偶数倍，则正整数 k 的值为 ．
一、单选题
1 (-x)3 × x2．计算 -x 的结果为（ ）
A．-x4 B．-x5 C． x4 D． x5
2．下列计算不正确的是（ ）
A． 6a3b2 3a = 2a2b2 B． 2x4 x2 = 2x2
C． a4b3 ab = a3b3 D．8a2 a = 8a
3．计算 é a + b
2 - a - b 2 ù 4ab 的结果是（ ）．
a + b
A． B a - b． C．1 D． 2ab
4 4
4．若10y = 5，则102-2 y 等于（ ）
4
A．75 B．4 C． -5或 5 D．
5
5．如图，墨迹污染了等式中的运算符号，则污染的是（ ）
A．＋ B．－ C．× D．÷
6．一个长方形的面积为 4a2 - 2ab，且一边长为 2a，则该长方形的周长为（ ）．
A． 2a - b B． 4a - b C． 4a2 - 2ab D．8a - 2b
7 4 3 2．计算 2x - x - 6x +15 4 - x2 得到的余式是（ ）
A．-4x - 23 B．-4x + 23 C． 4x - 23 D． 4x + 23
8．若 a 为正整数，且 x2a=5，则(2x3a)2÷4x4a的值为（ ）
A．5 B．2.5 C．25 D．10
9 2 2．将整式 é 17x - 3x + 4 - ax + bx + c ù除以5x + 6后得商式 2x +1，余式为 0，则 a - b - c 的值为（ ）
A．3 B．23 C．25 D．29
10．观察： x -1 x +1 = x2 -1， x -1 x2 + x +1 = x3 -1 3 2， x -1 x + x + x +1 = x4 -1，……据此规律，
当 x -1 x5 + x4 + x3 + x2 + x +1 = 0 7时，代数式 x - 2x x 的值为（ ）
A．-3 B．-2 C．-1 D．0
二、填空题
11．计算： a5 a2 ÷ a3 = ．
6 2
12．计算： -m2n3 -m2n3 = ．
13．（1） a5 a = ；（2） (-x)5 (-x)2 = ；
（3） y16 = y11 ；（4） b5 = b2 ；
（5） (x - y)9 (x - y)6 = ．
14．（ ） -2xy = 4x2 y - 2xy ．
15．已知5m = a，5n = b，则52m+n = ，52m-3n = ．（请用含有 a，b 的代数式表示）
16．小明与小亮在做游戏时，两人各报一个整式，将小亮报的整式作为除式，小明报的整式作为被除式，
要求商必须为 2xy ．若小明报的整式是 x3 y - 2xy3 ，则小亮应报的整式是 ．
17．正整数 k 2022，那么 22k -1 -1- 2 -… - 2022 除以 3 的余数是 ．
18．如图，正方形卡片 A 类，B 类和长方形卡片 C 类若干张，如果要拼一个长为 3a + b ，宽为 a + 3b 的
大长方形，则需要 C 类卡片张数为 ．
三、解答题
19．计算：
（1） x7 x5 ；
（2）m8 m8 ；
（3） (-a)10 (-a)7；
（4） (xy)5 (xy)3 ．
20．计算：
5
2
（1） (ab)4 ab； （2）-y3m-3 yn+1； （3 1） 2 - x ÷ -0.25x2 ；
è 4
（4） é(-5mn)6 (-5mn)4
2
ù ； （5） (x - y)
8 (y - x)4 × (x - y) ．
21 -36x4 y3 - 24x3 y2．计算： + 6xy 6xy ．
22．计算下列各题：
(1) 2x2 y 3 × -7xy2 14x4 y3；
(2) é 2x + y x - y + y2 ù 2x．
(a 4b)(a b) (a 2b)(a 2b) 1 5 223．先化简，再求值， + - - - + (- a)，其中 a = ，b = -
3 3 3
24．小明在做练习册上的一道整式除以单项式的习题时，一不小心，一滴墨水污染了这道习题，只看见了
被除式中第一项是-8x3 y3及中间的“ ”，污染后习题形式如下： (-8x3 y3 ) ，小明翻看了书
后的答案是“ 4x2 y2 - 3xy + 6x ”，你能够复原这个算式吗 请你试一试．
25．已知 A、B 均为整式， A = xy +1 xy - 2 - 2x2 y2 + 2，小马在计算 A B时，误把“÷”抄成了“ - ”，这样
他计算的正确结果为-x2 y2 ．
(1)将整式 A 化为最简形式；
(2)求整式 B；
(3)求 A B的正确结果．
26．整式 a2n+1 + a2n+2 + a2n+3 + a2n+4 + a2n+5 + ×××+ a2n+m 一共有m 项，它除以单项式 （ n 为正整数），其商式是
几项式？写出商式.
27．本学期我们学习了“同底数幂除法”的运算，
ì
当m > n时, am an = am-n
m n
运算法则如下： a a = í当m = n时, am an =1 ．
当m < n时,am an 1=
an-m
根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题：
5
(1) 1 1
2
填空： ÷ ÷ = ___________， 43 45 = ___________；
è 2 è 2
3x-1 33x-4 1(2)如果 = ，求出 x 的值；
27
(3)如果 (x -1)2x+2 (x -1)x+6 =1，请直接写出 x 的值．
28．我们把形如anx
n + a xn-1n-1 + + a1x + a0 an 0 的整式称为关于 x 的一元 n 次整式，记作 f x ， g x …
等等. 将整数的带余除法类比到一元整式，我们可类似地得到带余式的大除法，其关系式为：
f x = g x ×q x + r x ，其中 f x 表示被除式， g x 表示除式， q x 表示商式， r x 表示余式，且 r x
的次数小于 g x 的次数.
我们来举个例子对比整式除法和整数除法，如下左式中，13579除以112，商为121，余数为 27：而如下右
式中，整式 x 4 + 3x3 + 5x 2 + 7 x + 9 除以 x2 + x + 2 ，商式为 x2 + 2x +1，余式为 2x + 7 .
请根据以上材料，解决下面的问题：
(1)整式 2x 4 + 3x 2 - x + 2 除以 x2 - 2x + 3，请补全下面的计算式
所以， 2x 4 + 3x 2 - x + 2 除以 x2 - 2x + 3所得的商式为 ，余式为 ．
(2) 4 2若整式 x + px +x+q除以 x2 + 3x + 4所得的余式为 x -1，求 p2 + q2 的值．
