第 07 讲 积的乘方 幂的运算综合应用（八大题型）
学习目标
1、学会积的乘方运算及其逆用；
2、掌握幂的运算综合及其应用。
一、积的乘方法则
(ab)n = an ×bn (其中 n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
n n n n
【方法规律】（1）公式的推广： (abc) = a ×b ×c ( n 为正整数).
n
n n（2）逆用公式： a b = ab 逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为
1 10 1 10
. 10 倒数时，计算更简便如： 2 ÷
2 = 2÷ =1.
è è 2
二、注意事项
（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式或整式.
（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为 1，计算时不要遗漏.
（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.
（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.
（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.
【即学即练 1】计算：
(1) -5ab 3；
2
(2) - 3x2 y ；
3
(3) -1
1 ab2c3 ÷ ；
è 3
(4) -xm y3m 2．
【即学即练 2】计算：
(1) m3 × m × (m2 )3；
(2) (-a3)2 × (-a2 )3；
3 2
(3) -2x2 + x2 × x4 + -3x3 ；
5 2023(4) -
÷ -2.6
2022
；
è 13
2023 2024
【即学即练 3】计算： -0.5 -2 = ．
【即学即练 4】已知 xm = 2, yn = 5，那么 x2m y2n = ．
【即学即练 5】已知3x = 4，9y = 8，则33x+2 y 的值为 ．
题型 1：积的乘方
【典例 1】．计算：
（1） (2a)3 ；
（2） (-5b)3；
（3） xy 2 2 ；
（4） 4-2 x 3 ．
【典例 2】．计算：
(1（) x3 y3）m ；
(2（) - 3pq）2 ；
(3（) 3 103）2；
3
(4) 4 - ab
2c3
3 ÷
．
è
【典例 3】．计算：
(1) -2x2 y3 4 ；
(2) -3a2 3 2+ -4a3 ；
(3) a × a3 - 22a2 + 4a4 ；
(4) 2a2 3 - 7a6 + a2 ×a4 ．
题型 2：幂的运算综合
【典例 4】．计算
(1) a2 × a4 + -a2 3
(2) ( p - q)4 × (q - p)3 × ( p - q)2
1
(3) (- )2007 2
2
(4) (4 2n )2
【典例 5】．计算：
3 4(1) x × x2；
n
(2) 2 x2 - xn 2 ；
4 2
(3) a3 ×a4 ×a + a2 + 2 a4 ；
3 2 3 2(4) x y × -xy ；
2 3
(5) 2 x3 × x3 - 3x3 + 5x 2 × x7 ；
4
(6) 3 4a × 3 2-a2 + 2 é 2 ù -a × -a
5 ．
题型 3：积的乘方的逆用—因数互为倒数
【典例 6】．计算： 0.25 2024 42024 = ．
5 2023 20227 2【典例 】．计算： -
÷ 2
12 5 ÷
= ．
è è
2023
8 32022 52022 1 【典例 】．计算： - ÷ = ．
è 15
题型 4：幂的运算的应用—求代数式的值
【典例 9】．（1）已知 am = 5， a3n = 8，求 am+6n 的值；
（2）已知10a = 5，10b = 6，求102a+3b 的值．
【典例 10】．（1）已知10m = a ，10n = b，用 a，b 表示102m+3n 的值；
（2）已知 a2m = 2，b3n = 3，求 a3m 2 3- b2n + a2mb3n 的值．
3
【典例 11】．已知 a2m = 2，b3n = 3，求 b2n - a3m ×b3n × a5m的值．
【典例 12】．若 x3n＝3，则（2x3n）3＋（﹣3x2n）3＝ ．
【典例 13】．已知： 2a = x, 2b = y,3a = z .试用含 x，y，z 的代数式表示下列各式：
(1)54a
(2)8a+b
(3) 42a+3b
题型 5：幂的运算的应用—表示关系
【典例 14】．已知 2m=x ，43m=y ，用含有字母 x 的代数式表示 y ，则 y= ．
【典例 15】．若17x = 2023，119y = 2023，则代数式 xy与 x + y 之间关系是 ．
【典例 16】．若 43x = 2021,47 y = 2021，则代数式 xy 与 x + y 之间关系是 ．
题型 6：幂的运算的应用—求参数的值
【典例 17】．已知 27b＝9×3a+3，16＝4×22b﹣2，则 a+b 的值为 ．
【典例 18】．若 am = an （ a > 0且a 1，m 、 n是正整数），则m = n ．
利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果3x = 34，则 x = ___________；
(2)如果8x = 29 ，求 x 的值．
(3)如果5x+2 - 5x+1 = 100，求 x 的值．
【典例 19】．下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题．
东东的作业
计算：45 (-0.25)5 ．
解：原式= (-4 0.25)5 = (-1)5 = -1．
(1)计算：
①82024 (-0.125)2024 ；
② 12
11 5 13 1
12
5 ÷ 6 ÷ ÷è è è 2
(2)若3 9n 81n = 325 ，请求出 n 的值．
【典例 20】．若 am = an （ a > 0且a 1，m，n 都是正整数），则m = n ．
利用上述结论解决下列问题：
(1)若 27 9n+1 32n-1 = 316，求 n 的值；
(2)若 22x+2 - 22x+1 = 32，求 x 的值．
题型 7：幂的运算的应用—比较大小
【典例 21】．阅读：已知正整数 a，b ， c，若对于同底数，不同指数的两个幂 ab和 ac a 1 ，当b > c时，
则有 ab > ac ；若对于同指数，不同底数的两个幂ab和 cb ，当 a > c 时，则有ab > cb ，根据上述材料，回答下
列问题．[注（2），（3）写出比较的具体过程]
(1)比较大小：520 ______ 420 ，961 ______ 2741；（填“>”、“<”或“=”）
(2)比较 233 与322的大小；
(3)比较312 510与310 512的大小．
【典例 22】．在数学兴趣小组中，同学们学到了很多有趣的数学知识，其中有一个数学知识引起了同学们
的兴趣．
（i）阅读和学习下面的材料：
比较355 ， 444 ，533的大小．
分析：小刚同学发现 55，44，33 都是 11 的倍数，于是把这三个数都转化为指数为 11 的幂，然后通过比较
底数的方法，比较了这三个数的大小，解法如下：
11 11 11
解：Q 355 = 35 = 24311， 444 = 44 = 25611，533 = 53 =12511，
\533 < 355 < 444．
（ii）阅读和学习下面的材料：
已知 am = 3， an = 5，求 a3m-2n 的值．
分析：小明同学发现，这些已知的幂和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂的乘方公式，完成
题目的解答．解法如下：
解：Qa3m = am 3 2= 33 = 27， a2n = an = 52 = 25，
\a3m+2n = a3m × a2n = 27 25 = 675．
学习以上解题思路和方法，然后完成下题：
(1)比较 2606，3404 ， 4202 的大小（用“<”号连接起来）．
(2)计算：16506 (-0.5)2023 ．
【典例 23】．阅读下列两则材料，解决问题：
材料一：比较322和 411的大小．
11
解：∵ 411 = 22 = 222 ，且3 > 2
∴ 322 > 222 ，即322 > 411
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小
材料二：比较 28和82 的大小
2
解：∵82 = 23 = 26 ，且8 > 6
∴ 28 > 26，即 28 > 82
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小
【方法运用】
(1)比较344、 433 、522 的大小
(2)比较8131、 2741、961的大小
(3)已知 a2 = 2，b3 = 3，比较 a、b 的大小
题型 8：新定义、阅读材料题
【典例 24】．在数学兴趣小组中，同学们从书上学到了很多有趣的数学知识．其中有一个数学知识引起了
同学们的兴趣．根据 an = b，知道 a，n 可以求 b 的值．如果知道 a，b 可以求 n 的值吗？他们为此进行了研
究，规定：若 an = b，那么 f a,b = n．例如：33 = 27 ，则 f 3，27 = 3．
(1)填空： f 2，4 = ， f 4，64 = ；
(2)计算： f -3，81 - f 5，125 ；
(3)若 f 5，3 = a ， f 5，6 = b， f 5，12 = c，则 a、b、c 满足什么关系式，并证明．
【典例 25】．阅读材料：31的末尾数字是 3，32 的末尾数字是 9，33的末尾数字是 7，34的末尾数字是 1，35的
末尾数字是 3，……，观察规律：
34n+1 = 34 n 3，
Q34 的末尾数字是 1，
4 n\ 3 的末尾数字是 1，
\ 34 n 3的末尾数字是 3，
同理可知，34n+2 的末尾数字是 9，34n+3 的末尾数字是 7．
解答下列问题：
(1)32024的末尾数字是_______，142024 的末尾数字是_______；
(2)求 22024 的末尾数字；
(3)求证：122024 + 372018 能被 5 整除．
【典例 26】．如果 xn = y ，那么我们规定 x, y = n ．例如：因为 42 = 16 ，所以 4,16 = 2．
(1) -2,16 = ______ ；若 2, y = 6，则 y = ______ ；
(2)已知 4,12 = a， 4,5 = b ， 4, y = c ，若 a + b = c，求 y 的值；
(3)若 5,10 = a ， 2,10 = b t 2ab，令 = ．
a + b
① 25
a
求 的值；
16b
②求 t 的值．
一、单选题
1 21 ．计算 - ab
÷ 的结果是（ ）
è 2
1 2 2 1 1 1A． a b B．- a2b2 C a2． b D 2 2． a b
4 4 4 2
2．下列运算正确的是（ ）
A． a4 ×a2 = a8 3 2B． a = a6 C 3． 2a3 + 3a3 = 5a6 D． -2a = 8a3
3 5
2024 4 2023
．计算 - 9 ÷
× -1 ÷ 的结果是（ ）
è è 5
5 5
A． -1 B．1 C．- D．
9 9
4．若 ab = -3，则 a2b2的值为（ ）
A．9 B．－9 C．6 D．－6
5．若 3x = 6，9y = 2，则3x+2y 的值为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．24
6．若 n， k 为正整数，则 (2 + 2 +… +2)
k = （ ）
n个2
A． 2k nk B． k 2n C． 2nk D． 2nk
2 20237 ．计算： 2024 - ÷ (1.5) (-1)
2024 的结果为（ ）
è 3
2 2 3 3A． B．- C． D．-3 3 2 2
8．已知 x y × xy = xm yn ，则mn 的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．已知 2n = a，3n = b，12n = c，那么 a、b 、 c之间满足的等量关系是（ ）
A． c = ab B． c = ab3 C． c = a3b D． c = a2b
10．通常一个“二维码”由 1000 个大大小小的黑白小方格组成，其中大约80%的小方格专门用做纠错码和其
他用途的编码，这相当于 1000 个方格中只有 200 个方格作为数据码．根据相关数学知识，这 200 个方格可
以生成2200 个不同的数据二维码，现有三名同学对2200 的理解如下：
甲：2200 就是 200 个 2 相乘；
乙：2200 的个位数字是 6；
丙：我知道 210 =1024，103 =1000，所以我估计2200 比1060 大．
下列判断正确的是 （ ）
A．只有乙错 B．甲错，丙对 C．乙对，丙错 D．甲、乙、丙都对
二、填空题
2
11．计算： x3 y = ．
3 412．计算 -m - (-m4 )3 = ．
3
13．已知 a3 = 2，b6 = 3，则 ab2 = ．
14．已知 a x = 3， a y = 2，则 a2x + a3 y = ．
15．已知一个正方形的边长是3 103cm ，则它的面积是 cm2 （用科学记数法表示）．
16．已知 a2n = 2，则 2a3n 2 2 2n- 3 a 的值为 ．
17．式子 2520 3521 7522 的值的个位数是 ．
18．已知整数 a、b、c、d 满足 a＜b＜c＜d 且 2a3b4c5d =10000，则 4a + 3b + 2c + d 的值为 ．
三、解答题
19．计算：
3
(1) x2 × x3 + (-x)5 + x2 ；
(2) 3 2 22a2 + -3a3 + a2 × a2 ．
20．计算：
5
(1) 1 1
7
è10 ÷ è10 ÷
(2) x2 3 ；
2004
(3) 22003 1 2 ֏
(4) 3 3 2 4 2 4a × a × a + a + -2a2
2
(5) é
ê a
5 3 2× b3 ùú
(6) a2m × an+1 2 × am ．
21．计算：
(1) 3 102 3 3 4 é(-10) ù ；
(2) é(m + n)2
3 2
ù é-2(m + n)
3 ù ；
6
(3) -2xy2 + -3x2 y4 3 ；
(4) (-2a)6 - -3a2 3 + é-(2a)2 3 ù ．
22．若 am = an （ a > 0且a 1，m、n 是正整数），则m = n ．利用上面的结论解决下面的问题：
(1)如果 2 4x 8x = 221，求 x 的值；
(2)如果3a+2 ×5a+2 =153a-4 ，求 a 的值．
23．比较下列各题中幂的大小：
（1）已知 a = 8131,b = 2741,c = 961，比较 a、b、c 的大小关系；
（2）比较 255 ,344 ,533 ,622 这 4 个数的大小关系；
9 9
（3 P 99）已知 = 99 ,Q
11
= 90 ，比较 P，Q 的大小关系；9 9
24．若 am = an ( a > 0且 a 1,m,n是正整数)，则m = n ，你能利用上面的结论解决下面的问题吗？试试看，
相信你一定行！
(1)如果 2 8x 16x = 222 ，求 x 的值；
-6
(2)如果 27- x 2 = 1 9 ÷ ，求 x 的值；è
(3)已知 p = 57 ， q = 75 ，用含 p ，q的式子表示3535 = ______．
25．规定两数 a，b 之间的一种运算，记作（a，b），如果 am＝b ，则（a，b）＝m．我们叫（a，b）为“雅
对”．例如：因为 23＝8，所以（2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式（3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证
明如下：
设（3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5，故3m g3n＝3m+n＝3 5＝15，则（3，15）＝m + n，即
（3，3）+（3，5）＝（3，15）．
(1)根据上述规定，填空：（5，125）＝__________；（_________，16）＝4；
(2)计算（5，2）+（5，7）＝_________，并说明理由；
(3)利用“雅对”定义说明：（2n，3n）＝（2，3），对于任意非 0 整数 n 都成立．第 07 讲 积的乘方 幂的运算综合应用（八大题型）
学习目标
1、学会积的乘方运算及其逆用；
2、掌握幂的运算综合及其应用。
一、积的乘方法则
(ab)n = an ×bn (其中 n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
n n n n
【方法规律】（1）公式的推广： (abc) = a ×b ×c ( n 为正整数).
n
n n（2）逆用公式： a b = ab 逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为
1 10 10 10 1
倒数时，计算更简便.如： 2 ÷
2 = 2÷ =1.
è è 2
二、注意事项
（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式或整式.
（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为 1，计算时不要遗漏.
（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.
（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.
（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.
【即学即练 1】计算：
(1) -5ab 3；
2
(2) - 3x2 y ；
3
(3) -1
1 ab2c3 ÷ ；
è 3
(4) -xm y3m 2．
【答案】(1) -125a3b3
(2) -9x4 y2
64
(3) - a3b6c9
27
(4) x2m y6m
【分析】本题主要考查积的乘方和幂的乘方．
（1）直接利用积的乘方运算法则进行运算即可；
（2）直接利用积的乘方和幂的乘方运算法则进行运算即可；
（3）直接利用积的乘方和幂的乘方运算法则进行运算即可；
（4）直接利用积的乘方和幂的乘方运算法则进行运算即可
【解析】（1） -5ab 3
= -5 3 a3b3
= -125a3b3；
（2）- 3x2 y 2
= -32 x4 y2
= -9x4 y2；
3
1
（3） -1 ab2 3 c3 ÷è
4 3
= - ab2c3 ÷
è 3
3
=
4 3 6 9
- ÷ a b c
è 3
64
= - a3b6c9
27
2
（4） -xm y3m
= -1 2 x2m y6m
= x2m y6m
【即学即练 2】计算：
(1) m3 × m × (m2 )3；
(2) (-a3)2 × (-a2 )3；
2 3(3) -2x + x2 × x4 + 2-3x3 ；
5 2023(4) - -2.6 2022 ÷ ；
è 13
【答案】(1) m10；
(2) -a12 ；
(3) 2x6 ；
5
(4) - ；
13
【分析】
（1）根据同底数幂的乘法运算法则及幂的乘方的运算法则即可解答；
（2）幂的乘方的运算法则及同底数幂的运算法则即可解答；
（3）先利用积的乘方的运算法则及同底数幂的运算法则计算，再利用整式的加减法则计算即可解答；
（4）利用逆用积的乘方的运算法则化简，再利用积的乘方的运算法则即可解答．
【解析】（1）解：m3 × m × (m2 )3
= m4 × m6
= m10 ；
（2）解： (-a3)2 × (-a2 )3
= a6 × -a6
= -a12 ；
（3）解： -2x2 3 2+ x2 × x4 + -3x3
= -8x6＋x6＋9x6
= 2x6；
5 20234 （ ）解： - ÷ -2.6
2022
è 13
5 2023 26 2022
= - - ÷ ÷
è 13 è 10
5 2023 13 2022
= - ÷
13
- ÷
è è 5
2022
é 5 13 ù 5= ê -
÷
- -
è 13
è 5 ÷ ÷ ú è 13
1 5= -13 ֏
5
= - ．
13
【点睛】本题考查了积的乘方的运算法则，同底数幂测运算法则，幂的乘方运算法则，掌握积的乘方运算
法则是解题的关键．
3 -0.5 2023 2024【即学即练 】计算： -2 = ．
【答案】-2
2023
【分析】此题考查了积的乘方逆运算，根据积的乘方逆运算先将原式化为 é -0.5 -2 ù -2 ，再计算
乘法即可，熟练掌握积的乘方逆运算法则是解题的关键
-0.5 2023 -2 2024 2023【解析】解： = é -0.5 -2 ù -2 =1 -2 = -2 = -1 -2 = 2
故答案为-2
【即学即练 4】已知 xm = 2, yn = 5，那么 x2m y2n = ．
【答案】100
【分析】根据积的乘方的运算法则进行计算即可求解．
【解析】解：∵ xm = 2, yn = 5，
∴ x2m y2n m 2= x yn = 2 5 2 =102 =100，
故答案为：100．
【点睛】本题考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方的运算法则是解题的关键．
【即学即练 5】已知3x = 4，9y = 8，则33x+2 y 的值为 ．
【答案】512
【分析】根据幂的乘方和积的乘方进行运算即可．
【解析】解：∵3x = 4，9y = 8，
∴33x = 43，32 y = 8，
∴33x+2 y = 33x ×32 y = 43 8 = 512．
故答案为：512．
【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方，熟练掌握计算法则是突破本题的关键．
题型 1：积的乘方
【典例 1】．计算：
（1） (2a)3 ；
（2） (-5b)3；
2
（3） xy 2 ；
（4） 4-2 x 3 ．
【答案】（1）8a3；（2）-125b3 ；（3） x2 y4 ；（4）16x12
【分析】分别根据积的乘方的运算法则计算即可．
【解析】解：（1） (2a)3 = 23 × a3 = 8a3 ；
（2） (-5b)3 = (-5)3 ×b3 = -125b3；
2 2 2 2 2（3） xy = x × y = x2 y4 ；
（4） 4 4-2x3 = (-2)4 × x3 = 16x12 ．
【点睛】本题考查了积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【典例 2】．计算：
(1（) x3 y3）m ；
(2（) - 3pq）2 ；
(3（) 3 103）2；
4 3(4) - ab2 3 c ÷ ．
è 3
【答案】(1) x3m y3m
(2)9 p2q2
(3)9 106
64
(4)﹣ a3b6c9
27
【分析】（1）根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算即可得解．
（2）根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算即可得解．
（3）根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算即可得解．
（4）根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算即可得解．
【解析】（1）解：（x3 y3）m = x3m y3m
（2）（- 3pq）2 = 9 p2q2；
（3 103）2，
（3）= 32 103 2，
= 9 106；
4 3
（4） - ab2c3 64= - a3b6 ÷ c
9
è 3 27
【点睛】本题考查积的乘方，掌握积的乘方是解题关键.
【典例 3】．计算：
(1) -2x2 y3 4 ；
3 2
(2) -3a2 + -4a3 ；
2
(3) a × a3 - 2a2 + 4a4 ；
(4) 2a2 3 - 7a6 + a2 ×a4 ．
【答案】(1)16x8 y12
(2) -11a6
(3) a4
(4) 2a6
【分析】（1）根据积的乘方可进行求解；
（2）根据积的乘方及合并同类项可进行求解；
（3）根据同底数幂的乘法、积的乘方及整式的加减运算可进行求解；
（4）根据同底数幂的乘法、积的乘方及整式的加减运算可进行求解．
【解析】（1）解：原式=16x8 y12 ；
（2）解：原式= -27a6 +16a6 = -11a6；
（3）解：原式= a4 - 4a4 + 4a4 = a4 ；
（4）解：原式= 8a6 - 7a6 + a6 = 2a6．
【点睛】本题主要考查积的乘方、同底数幂的乘法及整式的加减运算，熟练掌握各个运算是解题的关键．
题型 2：幂的运算综合
【典例 4】．计算
3
(1) a2 × a4 + -a2
(2) ( p - q)4 × (q - p)3 × ( p - q)2
( 1(3) - )2007 2
2
(4) (4 2n )2
【答案】(1)0
(2) (q - p)9
1
(3) -
22006
(4) 22n+4
【分析】（1）先利用同底数幂的乘法和幂的乘方法则计算，再合并同类项即可．
（2）式子适当变形后，再按照同底数幂的乘法计算即可．
（3）逆运用同底数幂的乘法，再计算乘法，然后按照偶次幂的符号法则即可得出答案．
（4）先利用积的乘方运算法则计算，再利用同底数幂的乘法计算即可．
2 4 2 3【解析】（1）解：a × a + -a
=a6 + -a6
=0
（2）解： ( p - q)4 × (q - p)3 × ( p - q)2
= (q - p)4 × (q - p)3 × (q - p)2
= (q - p)9
( 13 - )2007（ ）解： 2
2
( 1= - )2006 (
1
- ) 2
2 2
1
= -
22006
（4）解： (4 2n )2
= 42 22n
= 22 2 22n
= 22n+4
【点睛】本题考查幂的相关运算．主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方，熟练掌握相关运算法
则是解题关键．
【典例 5】．计算：
(1) x3 4 × x2；
n 2
(2) 2 x2 - xn ；
(3) a3 ×a4 ×a + a2 4 2+ 2 a4 ；
(4) x3 y2 × -xy3 2 ；
2 3
(5) 2 x3 × x3 - 3x3 + 5x 2 × x7 ；
4
(6) 4a3 × -a2 3 2+ 2 é -a 2 ù 5 × -a ．
【答案】(1) x14 ；
(2) x2n ；
(3) 4a8 ；
(4) x5 y8；
(5)0；
(6) a18 ．
【分析】（1）先运算幂的乘方，然后利用同底数的幂的乘法运算解题；
（2）先运算幂的乘方，然后合并解题即可；
（3）先运算幂的乘方，同底数的幂的乘法，然后合并解题即可；
（4）先运算积的乘方，然后利用同底数的幂的乘法运算解题；
（5）先运算幂的乘方，然后同底数的幂的乘法，最后合并解题即可；
（6）先运算幂的乘方，然后同底数的幂的乘法，最后合并解题即可．
【解析】（1）原式= x12 × x2 = x14 ；
（2）原式= 2x2n - x2n = x2n ；
（3）原式= a8 + a8 + 2a8 = 4a8 ；
（4）原式= x3 y2 × x2 y6 = x3+2 y2+6 = x5 y8 ；
（5）原式= 2x6 × x3 - 27x9 + 25x2 × x7 = 2x9 - 27x9 + 25x9 = 0；
（6 12）原式= a × -a6 + 2a8 × a10 = -a18 + 2a18 = a18 ．
【点睛】本题主要考查幂的运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
题型 3：积的乘方的逆用—因数互为倒数
2024
【典例 6】．计算： 0.25 42024 = ．
【答案】1
【分析】根据积的乘方运算法则进行计算即可．
【解析】解： 0.25 2024 42024 = 0.25 4 2024 =1．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握乘方运算法则．
5 2023 2 2022
【典例 7】．计算： - ÷ 2
÷ = ．
è 12 è 5
5
【答案】-
12
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方的逆运算进行计算即可．
5 2023 2022
【解析】解： - ÷ 2
2
÷
è 12 è 5
5 5 2022 12
2022
= - -
12 12 ÷ 5 ÷è è
5 5 12
2022
= - -
12 12 5 ֏
5
= - 1
12
5
= - ，
12
5
故答案为：- ．
12
【点睛】本题考查同底数幂的乘法、积的乘方的逆运算，掌握运算法则是解题的关键．
1 2023
【典例 8】．计算：32022 52022 -
÷ = ．
è 15
1
【答案】-
15
【分析】根据积的乘方的逆运算计算即可．
1 2023
2022
32022 52022 é 1 ù 1 1 1【解析】 -
÷ = ê3 5
-
÷ú
-
= -1 2022 - = - ，
è 15 è 15
÷ ÷
è 15 è 15 15
1
故答案为：- ．
15
【点睛】题考查积的积的乘方逆用，熟练掌握运算法则并能正确运用是解题的关键．
题型 4：幂的运算的应用—求代数式的值
【典例 9】．（1）已知 am = 5， a3n = 8，求 am+6n 的值；
（2）已知10a = 5，10b = 6，求102a+3b 的值．
【答案】（1）320；（2）5400．
【分析】（1）根据同底数幂的除法法则计算即可；
（2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可．
【解析】解：（1）∵ am = 5， a3n = 8，
∴ am+6n = am ×a6n
= am × a3n × a3n
= 5 8 8
= 320 ；
（2）∵10a = 5，10b = 6，
∴102a+3b =102a ×103b
a 2 b 3= 10 × 10
= 52 63
= 5400．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方与积的乘方的逆用，熟记幂的运算法则是解答
本题的关键．
【典例 10】．（1）已知10m = a ，10n = b，用 a，b 表示102m+3n 的值；
（2）已知 a2m = 2，b3n = 3，求 a3m 2 - 3b2n + a2mb3n 的值．
【答案】（1） a2b3
（2）5．
【分析】（1）根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，逆用法则可得102m+3n = 210m 10n 3 ．再将
10m = a ，10n = b，代入，即可解决此题．
3 2
（2）先根据幂的乘方得到 a2m - b3n + a2mb3n ，再将 a2m = 2，b3n = 3代入，即可解决此题．
【解析】解：（1）Q10m = a，10n = b，
2
\102m+3n = 10m 10n 3 = a2b3 .
（2）Qa2m = 2，b3n = 3，
2m 3\原式= a - b3n 2 + a2mb3n = 8 - 9 + 6 = 5 .
【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方与积的乘方、同底数幂
的乘法法则是解决本题的关键．
3
【典例 11】．已知 a2m = 2，b3n = 3，求 b2n - a3m ×b3n × a5m的值．
【答案】-39
【分析】由幂的乘方的逆运算，同底数幂的逆运算进行计算，即可得到答案．
【解析】解：∵ a2m = 2，b3n = 3，
∴ b2n 3 - a3m ×b3n × a5m
3n 2= b - a8m ×b3n
= 32 - a2m 4 3
= 32 - 24 3
= 9 -16 3
= -39．
【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的逆运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
【典例 12】．若 x3n＝3，则（2x3n）3＋（﹣3x2n）3＝ ．
【答案】-27
【分析】将原式转化为（2x3n）3﹣27（x3n）2，再将 x3n＝3 整体代入计算即可．
【解析】解：∵x3n＝3，
∴（2x3n）3＋（﹣3x2n）3
＝（2x3n）3﹣27（x3n）2
=（2×3）3﹣27×32
=216-243
=-27
故答案为：-27．
【点睛】本题考查积的乘方的逆运算及代数式求值，解题关键是运用整体代入思想．
【典例 13】．已知： 2a = x, 2b = y,3a = z .试用含 x，y，z 的代数式表示下列各式：
(1)54a
(2)8a+b
(3) 42a+3b
【答案】(1)x z3
(2)x3 y3
(3)x4 y6
【分析】(1)把所求的式子进行整理，使其含有已知条件的形式，从而可求解；
(2)把所求的式子进行整理，使其含有已知条件的形式，从而可求解；
(3)把所求的式子进行整理，使其含有已知条件的形式，从而可求解．
【解析】（1）解：54a=(2×27)a
=2a×27a=2a×33a
=2a×(3a)3
=xz3；
（2）解：8a+b=8a×8b
=(2a)3×(2b)3
=x3y3；
（3）解：42a+3b=42a×43b
=24a×26b
=(2a)4×(2b)6
=x4 y6．
【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与灵活运用．
题型 5：幂的运算的应用—表示关系
【典例 14】．已知 2m=x ，43m=y ，用含有字母 x 的代数式表示 y ，则 y= ．
【答案】 y = x6
【解析】∵y= 43m = 26m = (2m )6 ，又∵ 2m =x
∴y= x6 .
故答案为 x6 .
【典例 15】．若17x = 2023，119y = 2023，则代数式 xy与 x + y 之间关系是 ．
【答案】 xy = x + y
【分析】本题主要考查幂的乘方和积的乘方，解题的关键是熟练掌握以上知识点．利用幂的乘方和积的乘
方的运算法则进行计算即可．
【解析】解：∵17x = 2023，119y = 2023，
∴ 17x y = 2023y ， x119y = 2023x ，
∴ 17x y x× 119y
=17xy ×119xy
= 17 119 xy
= 2023xy ，
∵ 2023y × 2023x = 2023x+ y ，
∴ 2023xy = 2023x+ y ，
∴ xy = x + y．
故答案为： xy = x + y．
【典例 16】．若 43x = 2021,47 y = 2021，则代数式 xy 与 x + y 之间关系是 ．
【答案】 xy = x + y
【分析】由条件可得 (43x ) y = 2021y , (47 y )x = 2021x ,可得 43xy × 47xy = (43x ) y (47 y )x = 2021y 2021x = 2021x+ y ,
43xy 47xy = 43 47 xy而 = 2021xy ,从而可得答案．
【解析】解：∵ 43x = 2021,47 y = 2021，
∴ (43x ) y = 2021y , (47 y )x = 2021x ,
∴ 43xy × 47xy = (43x ) y (47 y )x = 2021y 2021x = 2021x+ y ,
43xy 47xy = 43 47 xy而 = 2021xy ,
∴ 2021xy = 2021x+ y ,
∴ xy = x + y.
故答案为： xy = x + y.
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法运算，积的乘方的逆运算，掌握“利用幂的运算与逆运算进行变形”是
解本题的关键．
题型 6：幂的运算的应用—求参数的值
【典例 17】．已知 27b＝9×3a+3，16＝4×22b﹣2，则 a+b 的值为 ．
【答案】3
【分析】根据“27b＝9×3a+3”可得 3b=a+5，根据“16＝4×22b-2”可得 2b=4，分别解出 a，b 的值即可得出答案.
【解析】∵ 27b＝9 3a+3 ，即33b = 32 3a+3 = 3a+5
∴3b=a+5①
∵16＝4 22b﹣2，即 24 =22 22b-2 = 22b
∴2b=4②
由②得 b=2，代入①中解得 a=1
∴a+b=1+2=3
故答案为 3.
【点睛】本题考查的是幂的乘方和同底数幂的乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂相乘和幂的乘方的运算法
则是解题的关键.
【典例 18】．若 am = an （ a > 0且a 1，m 、 n是正整数），则m = n ．
利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果3x = 34，则 x = ___________；
(2)如果8x = 29 ，求 x 的值．
(3)如果5x+2 - 5x+1 = 100，求 x 的值．
【答案】(1)4
(2) x = 3
(3) x =1
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方
对式子进行变形．
（1）根据 am = an （ a > 0且a 1，m、n是正整数），则m = n 即可求解；
（ 2）根据幂的乘方法则计算即可；
（3）根据同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方法则计算即可；
【解析】（1）解：∵3x = 34，
∴ x = 4，
故答案为：4
（2）∵8x = 29 ，
∴ 3 x2 = 29 ，
∴ 23x = 29，
∴3x = 9 ，
解得： x = 3；
（3）5x+2 - 5x+1 = 100
∵5x+2 - 5x+1 = 100，
∴5 5x+1 - 5x+1 =100，
4 5x+1 =100，
∴5x+1 = 25 = 52 ，
∴ x +1 = 2，
解得： x =1．
【典例 19】．下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题．
东东的作业
计算：45 (-0.25)5 ．
解：原式= (-4 0.25)5 = (-1)5 = -1．
(1)计算：
①82024 (-0.125)2024 ；
12 11 5
13 12
1
② 5 ÷
6 ÷ ÷è è è 2
(2)若3 9n 81n = 325 ，请求出 n 的值．
25
【答案】(1)①1；② ；
72
(2) n = 4
【分析】本题考查的是积的乘方运算的逆运算，同底数幂的乘法运算的逆运算，幂的乘方运算，熟记运算
法则是解本题的关键；
11 2
1 -0.125 8 2024 12 5 1 5 1（ ）①先把原式化为 ，再计算即可；② 先把原式化为 ，再计算即可；
è 5 6 2 ÷ è 6 ÷ 2
（2）先把原式化为36n+1 = 325 ，可得6n +1 = 25，再解方程即可.
【解析】（1）解：①82024 (-0.125)2024 = -0.125 8 2024 = -1 2024 =1；
12 11 5
13 1 12
② 5 ÷ 6 ÷
÷
è è è 2
12 5 1 11 2
=
5 1
5 6 2 ÷
6 ÷
è è 2
1 25 1=
36 2
25
= ；
72
（2）∵3 9n 81n = 325 ，
∴3 32n 34n = 325，
∴36n+1 = 325 ，
∴6n +1 = 25，
解得： n = 4 .
【典例 20】．若 am = an （ a > 0且a 1，m，n 都是正整数），则m = n ．
利用上述结论解决下列问题：
(1)若 27 9n+1 32n-1 = 316，求 n 的值；
(2)若 22x+2 - 22x+1 = 32，求 x 的值．
【答案】(1)3
(2)2
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方逆运算法则，解题的关键是熟练利用
幂的乘方与积的乘方对式子进行变形．
（1）根据幂的乘方逆运算法则把 27与9n+1化为底数为 3 的幂，再根据同底数幂的乘除法法则解答即可；
（2）根据同底数幂的乘法逆运算法则把 22x+2 - 22x+1 = 32变形为 22x+1 = 25 即可解答．
【解析】（1）解： 27 9n+1 32n-1 = 33 32(n+1) 32n-1 = 33+2(n+1)+2n-1 = 316，
\34n+4 = 316 ，
即 4n + 4 =16，解得 n = 3．
\n 的值为 3．
（2）解： 22x+2 - 22x+1 = 2 22x+1 - 22x+1 = 22x+1 = 32，
\22x+1 = 25 ，
即 2x +1 = 5，
解得 x = 2．
\x 的值为 2．
题型 7：幂的运算的应用—比较大小
【典例 21】．阅读：已知正整数 a，b ， c，若对于同底数，不同指数的两个幂ab和 ac a 1 ，当b > c时，
则有 ab > ac ；若对于同指数，不同底数的两个幂ab和 cb ，当 a > c 时，则有ab > cb ，根据上述材料，回答下
列问题．[注（2），（3）写出比较的具体过程]
(1)比较大小：520 ______ 420 ，961 ______ 2741；（填“>”、“<”或“=”）
(2)比较 233 与322的大小；
(3)比较312 510与310 512的大小．
【答案】(1)>，<
(2) 233 <322
(3)312 510 <310 512
【分析】（1）根据“同指数，不同底数的两个幂ab和 cb ，当 a > c 时，则有ab > cb ，”即可比较520和 420 的大
小；根据“对于同底数，不同指数的两个幂ab和 ac a 1 ，当b > c时，则有 ab > ac ，即可比较961和 2741的
大小；
（2）据“对于同底数，不同指数的两个幂ab和 ac a 1 ，当b > c时，则有 ab > ac ”，即可比较 233 与322的大
小；
（3）利用作商法，即可比较312 510和310 512的大小．
【解析】（1）解：Q5 > 4，
∴520 > 420 ，
∵961 = (32 )61 = 3122， 2741 = (33)41 = 3123，122<123，
∴961 < 2741，
故答案为：>，<；
（2）解：∵ 233 = (23)11 = 811 ，322 = (32 )11 = 911，8<9，
∴ 233 <322．
12
3 3 5
10 32 9
（ ）解：∵ 10 = = <1，3 512 52 25
∴312 510 <310 512．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方及有理数大小比较，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题
的关键．
【典例 22】．在数学兴趣小组中，同学们学到了很多有趣的数学知识，其中有一个数学知识引起了同学们
的兴趣．
（i）阅读和学习下面的材料：
比较355 ， 444 ，533的大小．
分析：小刚同学发现 55，44，33 都是 11 的倍数，于是把这三个数都转化为指数为 11 的幂，然后通过比较
底数的方法，比较了这三个数的大小，解法如下：
解：Q 355 = 35 11 = 24311， 444 11= 44 = 25611，533 = 1153 =12511，
\533 < 355 < 444．
（ii）阅读和学习下面的材料：
已知 am = 3， an = 5，求 a3m-2n 的值．
分析：小明同学发现，这些已知的幂和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂的乘方公式，完成
题目的解答．解法如下：
3 2
解：Qa3m = am = 33 = 27， a2n = an = 52 = 25，
\a3m+2n = a3m × a2n = 27 25 = 675．
学习以上解题思路和方法，然后完成下题：
(1)比较 2606，3404 ， 4202 的大小（用“<”号连接起来）．
(2)计算：16506 (-0.5)2023 ．
【答案】(1) 4202 < 2606 < 3404
(2) -2
【分析】本题考查了积的乘方法则逆用、同底数幂的乘法逆用与幂的乘方法则的逆用，读懂材料并逆用这
三个法则是关键；
（1）发现指数 606，404，202 都是 101 的倍数，于是把这三个数都转化为指数为 101 的幂，然后通过比较
底数的方法，即可比较大小；
（2）把16化为 24 后，再利用幂的乘方及逆用同底数幂的法则、逆用积的乘方即可求解．
【解析】（1）解：Q2606 = (26 )101 = 64101，3404 = (34 )101 = 81101 ， 4202 = (42 )101 = 16101，
而16 < 64 < 81，
\4202 < 2606 < 3404 ；
（2）解：16506 (-0.5)2023
= (24 )506 (-0.5)2023
= 22024 (-0.5)2023
= 2 22023 (-0.5)2023
= 2 (-0.5 2)2023
= -2．
【典例 23】．阅读下列两则材料，解决问题：
材料一：比较322和 411的大小．
11
解：∵ 411 = 22 = 222 ，且3 > 2
∴322 > 222 ，即322 > 411
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小
材料二：比较 28和82 的大小
解：∵82 = 223 = 26 ，且8 > 6
∴ 28 > 26，即 28 > 82
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小
【方法运用】
(1)比较344、 433 、522 的大小
(2)比较8131、 2741、961的大小
(3)已知 a2 = 2，b3 = 3，比较 a、b 的大小
【答案】(1)344 > 433 > 522
(2)8131 > 2741 > 961
(3) a < b
【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方
法．
44 11 11（1）根据3 = 34 = 8111， 433 = 43 = 6411，522 11= 52 = 2511 ，再比较底数的大小即可；
（2）根据8131 31= 34 = 3124 41， 2741 = 33 = 3123，961 = 6132 = 3122 ，再比较底数的大小即可；
3 2
（3）根据 a2 = a6 = 8， b3 = b6 = 9，即可得出结论．
【解析】（1）解：∵344 = 34 11 = 8111，
433 = 43 11 = 6411，
522
11
= 52 = 2511 ，
∵81 > 64 > 25，
∴8111 > 6411 > 2511 ，
即344 > 433 > 522 ；
31
（2）解：∵8131 = 34 = 3124 ，
41
2741 = 33 = 3123，
61 2 619 = 3 = 3122 ，
∵124 >123 >122，
∴3124 > 3123 > 3122 ，
即8131 > 2741 > 961；
（3）解：∵ a2 3 2= a6 = 8， b3 = b6 = 9，
又∵8 < 9，
∴ a < b ．
题型 8：新定义、阅读材料题
【典例 24】．在数学兴趣小组中，同学们从书上学到了很多有趣的数学知识．其中有一个数学知识引起了
同学们的兴趣．根据 an = b，知道 a，n 可以求 b 的值．如果知道 a，b 可以求 n 的值吗？他们为此进行了研
究，规定：若 an = b，那么 f a,b = n．例如：33 = 27 ，则 f 3，27 = 3．
(1)填空： f 2，4 = ， f 4，64 = ；
(2)计算： f -3，81 - f 5，125 ；
(3)若 f 5，3 = a ， f 5，6 = b， f 5，12 = c，则 a、b、c 满足什么关系式，并证明．
【答案】(1)2，3；
(2)1；
(3) 2b = a + c，证明见解析．
【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，熟记有理数乘方运算法则是解答本题的关键．
（1）结合有理数的乘方，根据新定义运算即可；
（2）结合有理数的乘方，根据新定义运算即可；
（3）结合有理数的乘方，根据新定义运算先求出 a，b 的值然后解题即可．
【解析】（1）解：Q22 = 4，
∴ f 2，4 = 2；
∵ 43 = 64，
∴ f 4，64 = 3；
故答案为：2，3；
（2）解：∵ (-3)4 = 81，53 =125，
∴ f -3，81 - f 5，125 = 4 - 3 =1；
（3）解：b2 = a + c．
∵ f 5，3 = a ， f 5，6 = b ， f 5，12 = c，
∴5a = 3,5b = 6,5c =12 ，
∵62 = 3 12，
∴52b = 5a+c ，
∴ 2b = a + c．
【典例 25】．阅读材料：31的末尾数字是 3，32 的末尾数字是 9，33的末尾数字是 7，34的末尾数字是 1，35
的末尾数字是 3，……，观察规律：
34n+1 = 34 n 3，
Q34 的末尾数字是 1，
\ 34 n 的末尾数字是 1，
n\ 34 3的末尾数字是 3，
同理可知，34n+2 的末尾数字是 9，34n+3 的末尾数字是 7．
解答下列问题：
(1)32024的末尾数字是_______，142024 的末尾数字是_______；
(2)求 22024 的末尾数字；
(3)求证：122024 + 372018 能被 5 整除．
【答案】(1)3，6；
(2)6；
(3)见解析．
【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知32024的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，可得142n+1的末尾
数字是 4，142n的末尾数字是 6，于是得解；
4 506（2）先将 22024 化成 2 ，再利用 24 的末尾数字是 6，从而得出结论；
（3）分别证明122024 =124 506 的末尾数字为 6 和372018 = 374 504+2 的末尾数字 9 推出122024 + 372018 的末尾数字是
5，则命题即可得证．
【解析】（1）解：Q32021 = 34 505+1，
\32021的末尾数字为 3；
Q141 的末尾数字是 4，142的末尾数字是 6，143 的末尾数字是 4，…
\142n+1的末尾数字是 4，142n的末尾数字是 6，
\142022 的末尾数字是 6；
故答案为：3，6；
（2）解： 22024 = 24 506 ，
Q24 的末尾数字是 6，
\22024 的末尾数字是 6；
（3）证明：Q121的末尾数字是 2，122的末尾数字是 4，123 的末尾数字是 8，124的末尾数字是 6，125 的末
尾数字是 2，…
\124n+1的末尾数字是 2，124n+2 的末尾数字是 4，124n+3的末尾数字是 8，124n的末尾数字是 6，
\122024 =124 506 的末尾数字为 6；
同理可得：
374n+1的末尾数字 7，374n+2 的末尾数字 9，374n+3的末尾数字 3，374n 的末尾数字 1；
\372018 = 374 504+2 的末尾数字 9，
\122024 + 372018 的末尾数字是 5，
\122024 + 372018 能被 5 整除．
【点睛】此题是一道阅读理解题，主要考查了幂的运算、数的整除，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方
与积的乘方法则是解答此题的关键．
【典例 26】．如果 xn = y ，那么我们规定 x, y = n ．例如：因为 42 = 16 ，所以 4,16 = 2．
(1) -2,16 = ______ ；若 2, y = 6，则 y = ______ ；
(2)已知 4,12 = a， 4,5 = b ， 4, y = c ，若 a + b = c，求 y 的值；
2ab
(3)若 5,10 = a ， 2,10 = b，令 t = ．
a + b
25a
①求 b 的值；16
②求 t 的值．
【答案】(1)4，64
(2) y = 60
a
(3) 25 1① b = ；② t = 216 100
【分析】（1）由 (-2)4 =1，可直接得出 -2,16 = 4 ；由 26 = 64 ，可得出 y = 64；
（2）由题意可得出 4a =12， 4b = 5， 4c = y．根据 a + b = c，得出 4a+b = 4c ，即 4a × 4b = 4c ，进而即可求出
y =12 5 = 60；
a
（3）①由题意可得出5a =10， 2b =10，再根据 25a = 52 = 5a 2 b 4 b b 4=100，16 = 2 = 2 =10000 ，即可
25a 1
求出 = ；②根据 (5ab )
b =10b b，即得出5ab =10b ，结合题意可得出 5,10 ù a b
16 100
= ab．由①知5 = 2 =10，
2ab
即得出5a+b = 5a ×5b = 2b 5b =10b ，进而得出 5,10b ù = a + b，即说明 ab = a + b ，代入 t = 中求值即可．a + b
【解析】（1）解：Q(-2)4 =16，
\ -2,16 = 4；
Q 2, y = 6，且 26 = 64 ，
\ y = 64．
故答案为： 4，64 ；
（2）解：Q 4,12 = a ， 4,5 = b ， 4, y = c ，若 a + b = c，
\4a =12， 4b = 5， 4c = y．
Qa + b = c ，
\4a+b = 4c，即 4a × 4b = 4c ，
\ y =12 5 = 60 ；
（3）解：①Q 5,10 = a， 2,10 = b，
\5a =10， 2b =10，
a 2 b 4
\25a = 52 = 5a =102 =100，16b = 24 = 2b = 10 4 =10000 ，
25a 100 1
\ b = = ；16 10000 100
②Q (5a )b =10b ，
\5ab =10b ，
\ 5,10b ù = ab．
由①知：5a = 2b =10，
\5a+b = 5a ×5b = 2b 5b =10b ，
\ 5,10b ù = a + b ，
\ab = a + b，
t 2ab\ = = 2．
a + b
【点睛】本题考查有理数的乘方，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关
键．
一、单选题
1 21 ．计算 - ab
÷ 的结果是（ ）
è 2
A 1． a2
1 1 1
b2 B 2．- a b2 C 2． a b D a2． b2
4 4 4 2
【答案】A
【分析】本题考查积的乘方，根据积的乘方的法则，进行计算即可．
1
2
【解析】解： - ab
1= a2b2÷ ；
è 2 4
故选 A．
2．下列运算正确的是（ ）
2
A 3． a4 ×a2 = a8 B． a3 = a6 C． 2a3 + 3a3 = 5a6 D． -2a = 8a3
【答案】B
【分析】本题考查了同底数幂，幂的乘方，合并同类项，积的乘方，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据整式混合运算的法则进行判断即可．
【解析】解：A、根据同底数幂相乘底数不变，指数相加，可得 a4 ×a2 = a6 ，故错误；
2
B、根据幂的乘方时底数不变，指数相乘，可得 a3 = a6，故正确；
C、根据合并同类项，可得2a3 +3a3 = 5a3，故错误；
D -2a 3、根据积的乘方可得， = -8a3，故错误．
故选：B．
3 5
2024
4
2023
．计算 - ×9 ÷
-1 ÷ 的结果是（ ）
è è 5
5 5
A． -1 B．1 C．- D．
9 9
【答案】C
5
2024
【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，积的乘法运算，先按照同底数幂的乘法的逆用将 - ÷ 转
è 9
5 5
2023 5 2023 9 2023 5
化为 -
- ÷ ÷ ，然后根据积的乘法运算先计算 - ÷ × -
，最后再乘以- 即可．
è 9 è 9 è 9 è 5 ÷ 9
5
2024 4 2023
【解析】解： - × -1
è 9 ÷ ÷ è 5
5 5
2023 9 2023
= - ÷ -9 9 ÷
× - ÷
è è è 5
2023
5 é 5 9 ù= - ÷ -
9 ÷
- ÷ ×
è ê è 9 è 5
ú
5
= - 1
9
5
= - ，
9
故选：C．
4．若 ab = -3，则 a2b2的值为（ ）
A．9 B．－9 C．6 D．－6
【答案】A
【分析】本题考查了求代数式的值，积的乘方的逆运算，熟练掌握积的乘方的逆运算是解题的关键．
【解析】∵ ab = -3，
∴ a2b2 = ab 2 = -3 2 = 9．
故选：A．
5．若 3x = 6，9y = 2，则3x+2y 的值为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．24
【答案】C
【分析】首先根据9y = 2，可得32 y = 2 ，然后根据 3x = 6，求出3x+2y 的值即可．此题主要考查了幂的乘方与
积的乘方的运算方法，同底数幂的乘法的运算方法，解答此题的关键是要明确：（1）① (am )n = amn (m， n是
正整数）；② (ab)n = anbn (n是正整数）；（2）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
【解析】解：Q9y = 2，
\32 y = 2，
Q3x = 6，
\3x+2 y = 3x ×32 y = 6 2 = 12．
故选：C．
k
6．若 n， k 为正整数，则 (2 + 2 +… +2) = （ ）
n个2
A． 2k nk B． k 2n C． 2nk D． 2nk
【答案】A
【分析】首先依据乘法的意义 n个 2相加得到 2n，然后根据积的乘方的运算法则计算即可．
【解析】解：Q(2 + 2 +… +2) = 2n，
n个2
\(2n)k = 2k nk ，A 选项符合题意，
故选：A ．
【点睛】本题考查了积的乘方的运算法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键：积的乘方等于把积中的
每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
2 20237 - ．计算： (1.5)2024 (-1)2024 ÷ 的结果为（ ）
è 3
A 2
2 3 3
． 3 B．- C． D．-3 2 2
【答案】D
2023
2 2023
【分析】本题考查了同底数幂相乘以及积的乘方的逆运用，先整理原式得 - ÷ 1.5 1.5 (-1)2024 ，
è 3
再结合积的乘方的逆运用进行运算，即可作答．
2 2023
【解析】解： - ÷ (1.5)
2024 (-1)2024
è 3
2 2023
= -
÷ 1.5
2023 1.5 (-1)2024
è 3
2 3 2023 3= - -1 2024 ÷
è 3 2 2
= -1 2023 3 (-1)2024
2
3
= -
2
8．已知 x y × xy = xm yn ，则mn 的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】先把左右两边分别计算，再对应字母指数相等求值即可．
【解析】∵ x y × xy4 = xm yn ,
∴ x4 y6 = x2m y2n ，
∴ 2m = 4，2n = 6，
解得m = 2，n = 3，
∴mn = 6；
故选：C．
【点睛】本题考查单项式的乘法，幂的综合运算，熟记同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方运算法则是
解题的关键．
9．已知 2n = a，3n = b，12n = c，那么 a、b 、 c之间满足的等量关系是（ ）
A． c = ab B． c = ab3 C． c = a3b D． c = a2b
【答案】D
【分析】直接利用积的乘方、幂的乘方运算法则将原式变形得出答案．
【解析】A 选项： ab = 2n ×3n = 6n 12n，即 c ab ，A 错误；
B 选项： ab3 = 2n × 3n 3 = 2n ×33n = 2n ×27n = 54n 12n ，即 c ab3，B 错误；
3
C 选项： a3b = 2n ×3n = 8n ×3n = 24n 12n ，即 c a3b，C 错误；
2 n 2D 选项： a b = 2 ×3n = 4n ×3n =12n = c ，D 正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了积的乘方运算，幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．
10．通常一个“二维码”由 1000 个大大小小的黑白小方格组成，其中大约80%的小方格专门用做纠错码和其
他用途的编码，这相当于 1000 个方格中只有 200 个方格作为数据码．根据相关数学知识，这 200 个方格可
以生成2200 个不同的数据二维码，现有三名同学对2200 的理解如下：
甲：2200 就是 200 个 2 相乘；
乙：2200 的个位数字是 6；
丙：我知道 210 =1024，103 =1000，所以我估计2200 比1060 大．
下列判断正确的是 （ ）
A．只有乙错 B．甲错，丙对 C．乙对，丙错 D．甲、乙、丙都对
【答案】D
【分析】由乘方的定义可知，2200 就是 200 个 2 相乘；通过计算可得2n 的尾数 2，4，8，6 循环，由循环规
20 20
律可确定2200 20的个位数字是 6；由积的乘方运算可得 2200 = 210 = 1024 ，1060 = 103 = 100020，由此可得
2200 > 1060 ，从而可求解．
【解析】解：∵2200 就是 200 个 2 相乘，
∴甲的判断正确；
∵ 21 = 2 ， 22 = 4， 23 = 8 ，24 = 16， 25 = 32，…，
∴2n 的尾数 2，4，8，6 循环，
∵ 200 4 = 50 ，
∴2200 的个位数字是 6，
∴乙的判断正确；
∵ 210 =1024，103 =1000，
20 20
∴ 2200 = 210 = 1024 20 ，1060 = 103 = 100020，
∵1024 > 1000，
∴ 2200 > 1060 ，
∴丙的判断正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，掌握乘方的性质，积的乘方运算法则，尾数的循环规律是关键．
二、填空题
11．计算： x3 y 2 = ．
【答案】 x6 y2 / y2x6
【分析】本题考查了积的乘方运算，解题的关键是掌握积的乘方运算法则．
直接根据积的乘方运算法则计算即可．
【解析】解： x3 y 2 = x6 y2，
故答案为： x6 y2
4
12．计算 -m3 - (-m4 )3 = ．
【答案】 2m12
【分析】本题考查了积的乘方，合并同类项．熟练掌握积的乘方与合并同类项的法则是解题的关键．
先计算积的乘方，然后合并同类项即可．
【解析】解： -m3 4 - (-m4 )3 = m12 - -m12 = 2m12，
故答案为： 2m12．
3
13．已知 a3 = 2，b6 = 3，则 ab2 = ．
【答案】6
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则，进行计算即可解答．本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌
握幂的乘方与积的乘方的法则是解题的关键．
【解析】解：Qa3 = 2 ，b6 = 3，
\(ab2 )3 = a3b6
= 2 3
= 6，
故答案为：6．
14．已知 a x = 3， a y = 2，则 a2x + a3 y = ．
【答案】17
n
【分析】此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，解答此题的关键是要明确：① am = amn（m,n 是正整数）；
② ab n = anbn（n 是正整数）．
将 a2x + a3 y 变形为 a x 2 + a y 3 ，然后代入 a x = 3， a y = 2，计算即可．
2 3
【解析】解： a2x + a3 y = a x + a y = 32 + 23 = 9 + 8 =17，
故答案为：17．
15．已知一个正方形的边长是3 103cm ，则它的面积是 cm2 （用科学记数法表示）．
【答案】9 106
【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，以及积的乘方计算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
2
【解析】解： 3 103 = 9 106 cm2
故答案为：9 106
2 2n
16．已知 a2n = 2，则 2a3n - 3 a2 的值为 ．
【答案】20
【分析】本题考查了幂的运算．利用积的乘方和幂的乘方化简，再整体代入即可求解．
【解析】解：∵ a2n = 2，
∴ 2 2n 3 22a3n - 3 a2 = 22 × a2n - 3 a2n
= 22 23 - 3 22
= 20 ．
故答案为：20．
17．式子 2520 3521 7522 的值的个位数是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了积的乘方运算，以及数字的规律，解题的关键是正确找到 2520 7的个位数．
根据题意，分别找出2n 和3 72的个位数即可．
【解析】解：原式＝ 2 3 7 520 3 72 = 42520 3 72 ，
∵ 21 = 2,22 = 4,23 = 8,24 =16,25 = 32 ……，
∴2n 的个位数是每四个数一个循环，即 2、4、8、6、2……，
∵520 4 =130
∴ 2520 的末位数是 6；
∵3 72 = 3 49 =147
∵6 7 = 42
∴ 2520 7的个位数为 2
故答案为：2．
18．已知整数 a、b、c、d 满足 a＜b＜c＜d 且 2a3b4c5d =10000，则 4a + 3b + 2c + d 的值为 ．
【答案】2
【分析】根据 3 不是 10000 的公约数，可得 b=0，由
10000 = 24 54 = 42 54 = 20 42 54 = 2-2 43 54 = 24 40 54 和 a＜b＜c＜d 即可得到 a，b，c，d 的值，故可
求解．
【解析】∵10000 = 24 54 = 42 54 = 20 42 54 = 2-2 43 54 = 24 40 54 ，3 不是 10000 的公约数，
∴3b =1
则 b=0
∴ 2a 4c 5d =10000
∵整数 a、b、c、d 满足 a＜b＜c＜d
∴10000 = 2-2 43 54 符合题意
∴a=-2，b=0，c=3，d=4
∴ 4a + 3b + 2c + d =-8+0+6+4=2
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算法则及特点．
三、解答题
19．计算：
3
(1) x2 × x3 + (-x)5 + x2 ；
2 3 2(2) 2a + -3a3 + a2 2 × a2 ．
【答案】(1) x6
(2)18a6
【解析】解：（1）原式= x5 - x5 + x6 = x6 ．
（2）原式= 23
3 2 2
× a2 + (-3)2 × a3 + a2 ×a2
= 8a6 + 9a6 + a6
= (8 + 9 +1)a6
=18a6 ．
20．计算：
1 5 1 7(1) 10 ÷ 10 ÷è è
(2) 3x2 ；
(3) 22003 1
2004
2 ֏
(4) a3 × a3 × a2 + 4 2a + 4-2a2
2
(5) éê
3 2
a5 × b3 ù ú
(6) a2m 2× an+1 × am ．
1 12
【答案】(1) 10 ÷è
(2) x6
(3) 12
(4)18a8
(5) a30b12
(6) a5m+2n+2
【分析】本题主要考查了整式的混合运算，注意：（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除
的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采
用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看作整体的代数式通常要用括号括
起来．同时考查了实数的运算．
（1）根据同底数幂的乘法法则计算即可求解；
（2）根据幂的乘方计算即可求解；
（3）逆用积的乘方计算即可求解；
（4）先算同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，再合并同类项即可求解；
（5）先算幂的乘方，再算积的乘方；
（6）先算积的乘方，再根据同底数幂的乘法法则计算即可求解．
1 5 1 7 1 5+71 1
12
【解析】（ ）解： =10 ÷ 10 ÷ 10 ÷
= ÷ ；
è è è è10
3
（2）解： x2 = x2 3 = x6 ；
2004
3 22003 1 （ ）解： 2 ÷è
2 1
2003
=
1
÷
è 2 2
=1 1
2
1
= ；
2
2 4
（4）解： a3 ×a3 ×a2 + a4 + -2a2
= a8 + a8 +16a8
=18a8 ；
2
（5）解： é a5 ê
3
× b3 2 ùú
= a15 ×b6 2
= a30b12 ；
2
（6）解： a2m ×an+1 ×am ．
= a4m × a2n+2 × am
= a5m+2n+2 ．
21．计算：
3
(1) 3 102 é(-10)3 4 ù ；
3 2
(2) é (m + n)
2 ù é-2(m + n)
3 ù ；
6 3
(3) -2xy2 + -3x2 y4 ；
6 3 3(4) (-2a) - -3a2 + é-(2a)2 ù ．
【答案】(1) 2.7 1019
(2) 4(m + n)12
(3) 37x6 y12
(4) 27a6
【分析】此题考查了积的乘方，再算幂的乘方、同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．
按顺序进行计算，先算积的乘方，再算幂的乘方、同底数幂的乘法，最后算加减．
（1）先算积的乘方，再算幂的乘方、同底数幂的乘法；
（2）先算积的乘方，再算幂的乘方、同底数幂的乘法；
（3）先算积的乘方，再算幂的乘方、同底数幂的乘法，最后算加减；
（4）先算积的乘方，再算幂的乘方、同底数幂的乘法，最后算加减．
3 4
【解析】（1） 3 102 é(-10)3 ù
3 4 4
= 33 102 é(-1)3 ù 103
= 27 106 1012
= 27 1018
= 2.7 1019 ．
3 2
（2） é (m + n)
2 ù é-2(m + n)
3
ù
2
= (m + n)6 × (-2)2 × é(m + n)3 ù
= 4 × (m + n)6 × (m + n)6
= 4(m + n)12 ．
（3） -2xy2 6 3+ -3x2 y4
6 3 3
= (-2)6 × x6 × y2 + (-3)3 × x2 × y4
= 64x6 y12 - 27x6 y12
= 37x6 y12．
6 2 3 3（4） (-2a) - -3a + é-(2a)2 ù
3 3
= (-2)6 ×a6 - (-3)3 × a2 + (-1)3 × é 2 (2a) ù
= 64a6
3 3
- -27 a6 + (-1)3 × 22 a2
= 64a6 + 27a6 - 64a6
= 27a6 ．
22．若 am = an （ a > 0且a 1，m、n 是正整数），则m = n ．利用上面的结论解决下面的问题：
(1)如果 2 4x 8x = 221，求 x 的值；
(2)如果3a+2 ×5a+2 =153a-4 ，求 a 的值．
【答案】(1)4
(2)3
【分析】（1）根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答；
（2）根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答．
【解析】（1）解：（1）Q2 4x 8x = 221，
\2 22 x 3 x2 = 221 ，
\2 22x 23x = 221 ，
\21+2x+3x = 221，
\21+5x = 221 ，
\1 + 5x = 21，
解得： x = 4，
\ x 的值为 4．
（2）解：Q3a+2 × 5a+2 = 153a-4，
\（3 5）a+2 = 153a-4 ，
\15a+2 = 153a-4，
\a + 2 = 3a - 4 ，
解得： a = 3，
\a 的值为 3．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
23．比较下列各题中幂的大小：
（1）已知 a = 8131,b = 2741,c = 961，比较 a、b、c 的大小关系；
（2）比较 255 ,344 ,533 ,622 这 4 个数的大小关系；
9 9
（3 99 11）已知P = 99 ,Q = 90 ，比较 P，Q 的大小关系；9 9
【答案】（1）a＞b＞c；（2） 255 < 622 < 344 < 533；（3）P=Q
【分析】（1）根据幂的乘方公式，化为底数是 3 的形式进行比较；
（2）根据幂的乘方公式，化为指数是 11 的形式进行比较；
（3）利用作商法，结合积的乘方法则计算，根据结果判断．
31
【解析】解：（1）∵ a = 8131 = 34 = 3124 ，
b = 2741 = 3 413 = 3123，
61
c = 961 = 32 = 3122 ，
∴a＞b＞c；
（2） 255 = 25 11 = 3211，
344 11= 34 = 8111，
33 115 = 53 =12511，
22 2 116 = 6 = 3611，
∵3211 < 3611 < 8111 < 12511，
∴ 255 < 622 < 344 < 533；
P 999 119 999 990 99 119 990
（3）∵ = 99 = = =1，Q 9 990 999 119 999 119
∴P=Q．
【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方，灵活运用运算法则是解题的关键．
24．若 am = an ( a > 0且 a 1,m,n是正整数)，则m = n ，你能利用上面的结论解决下面的问题吗？试试看，
相信你一定行！
(1)如果 2 8x 16x = 222 ，求 x 的值；
1 -62(2)如果 27- x = ÷ ，求 x 的值；
è 9
(3)已知 p = 57 ， q = 75 ，用含 p ，q的式子表示3535 = ______．
【答案】(1) x = 3
(2) x = -2
(3) p5q7
【分析】（1）根据题意利用幂的乘方为底数为 2，根据同底数幂的乘方进行计算，根据等式相等，指数相
等，得出关于 x 的一元一次方程，解方程即可求解．
（2）根据题意，化为指数相等的两个数，进而根据底数相等，根据负整数指数幂进行计算即可求解；
（3）根据幂的乘法与积的乘方运算化为含有57 ，75的式子，进而即可求解．
x x
【解析】（1）解：∵ 2 8x 16x = 2 23 24 = 21+3x+4x = 222 ，
∴1+ 3x + 4x = 22，
解得： x = 3，
-6
（2）解：∵ 2 2 -627- x = 3-3x = 3x 1= ÷ ，
è 9
∴3x
1
= ，
9
3-2 1∵ = ，
9
∴ x = -2，
（3）∵ p = 57 ， q = 75 ，
∴3535 = (357 )5 = 57 77 5 = 57 5 7 75 ，
= p5q7．
故答案为： p5q7 ．
【点睛】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方运算，积的乘方运算法则，负整
数指数幂是解题的关键．
25．规定两数 a，b 之间的一种运算，记作（a，b），如果 am＝b ，则（a，b）＝m．我们叫（a，b）为“雅
对”．例如：因为 23＝8，所以（2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式（3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证
明如下：
设（3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5，故3m g3n＝3m+n＝3 5＝15，则（3，15）＝m + n，即
（3，3）+（3，5）＝（3，15）．
(1)根据上述规定，填空：（5，125）＝__________；（_________，16）＝4；
(2)计算（5，2）+（5，7）＝_________，并说明理由；
(3)利用“雅对”定义说明：（2n，3n）＝（2，3），对于任意非 0 整数 n 都成立．
【答案】(1)3，±2
(2（) 5，2）+（5，7）＝（5，14），理由见解析
(3)见解析
【分析】（1）由于53＝125，（± 2）4＝16，根据“雅对”的定义可得（5，125）＝3，（± 2，16）＝4；
（2）设（5，2）＝m ，（5，7）＝n，利用新定义得到5m＝2 ，5n＝7，根据同底数幂的乘法得到
5m g5n＝5m+n＝2 7＝14 ，然后根据“雅对”的定义得到（5，14）＝m + n，从而得到（5，2）+（5，7）＝（5，14）；
（3）设：（2n，3n）＝a ，（2，3）＝b，利用新定义得到（2n）a＝3n ， 2b＝3，根据幂的乘方得到（2n）a＝（2b）n ，
从而得到 a＝b ，所以（2n，3n）＝（2，3），对于任意自然数 n 都成立．
【解析】（1）解：∵53＝125，
∴（5，125）＝3；
∵（± 2）4＝16，
∴（± 2，16）＝4；
故答案为：3，±2；
（2）（5，2）+（5，7）＝（5，14）；
理由如下：
设（5，2）＝m ，（5，7）＝n，则5m＝2 ，5n＝7，
∴5m g5n＝5m+n＝2 7＝14 ，
∵（5，14）＝m + n，
∴（5，2）+（5，7）＝（5，14）；
故答案为：（5，14）
（3）设（2n，3n）＝a ，（2，3）＝b，
∴（2n）a＝3n ， 2b＝3，
∴（2n）a＝（2b）n ，
即 2an＝2bn ，
∴ an＝bn，
∴ a＝b ，
即（2n，3n）＝（2，3），对于任意自然数 n 都成立．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方：幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即（am）n＝amn （m，n 是
正整数）．
