广东省深圳市宝安区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（2024七下·宝安期末）下列深圳建筑剪影中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】、是轴对称图形，故A正确，不符合题意；
、不是轴对称图形，故B错误，符合题意；
、是轴对称图形，故C正确，不符合题意；
、是轴对称图形，故D正确，不符合题意；
故选：．
【分析】根据轴对称图形的定义逐一判断即可；即：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称．
2．（2024七下·宝安期末）科技日新月异，我国科学家研发出无需“插电”的发光发电纤维，其直径可在0.0002米至0.0005米之间精确调控，0.0005米用科学记数法可表示为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故选：A.
【分析】根据科学记数法的形式进行表示即可，即一般形式为，其中.，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
3．（2024七下·宝安期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，故A错误；
B.，故B错误；
C.，故C错误；
D.，故D正确．
故选：D．
【分析】由同底数幂的乘除法运算法则判断A，B，完全平方公式判断C，积的乘方运算法则判断D，逐一分析计算判断即可；
4．（2024七下·宝安期末）如图是一个照片拼接模板，已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵，，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【分析】由平行线的性质和邻补角性质由已知条件角逐步推理往目标角靠拢即可推理得出目标角度数.
5．（2024七下·宝安期末）酗酒对人体有害吗？下表是某实验小组探究不同浓度的酒精对某种水蚤心率影响的实验数据（心率是心脏每分钟跳动的次数，因水蚤心跳太快，为减少误差，实验中计算10秒内心跳次数）．根据表格，下列结论错误的是（ ）
酒精浓度 0
内心跳次数 33 30 24 18 15 0
A．酒精浓度越高，水蚤心率越低
B．自变量是水蚤心率，因变量是酒精溶液浓度
C．酒精浓度达到时水蚤内心跳次数为0
D．酗酒对人体的心跳可能有不利影响
【答案】B
【知识点】函数的概念；函数的表示方法
6．（2024七下·宝安期末）小周学习完“平方差公式和完全平方公式”后，发现这两个公式能使计算变得简便，例如计算“”，运用公式，可得，请运用所学知识求得“”的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
；
故选.：B
【分析】理解材料观察式子数值2023与2025的均值为2024，直接利用平方差公式，逐步计算即可；
7．（2024七下·宝安期末）如图，已知四条线段a，b，m，n中的一条与挡板另一侧的线段l平行，请判断该线段是（ ）
A．a B．b C．m D．n
【答案】B
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：用直尺分别作a，b，l，m，n的延长线，
其中只有b的延长线不与l相交，
∴．
故选：B．
【分析】根据平行线的定义，对原有直线进行延长视觉上判断是否相交即可，即同一平面内，两条不相交的直线，叫做平行线.
8．（2024七下·宝安期末）如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与全等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】全等三角形的概念
【解析】【解答】解：根据题意可得：AB为2×2格点形成的直角三角形斜边，AC为1×1格点形成的直角三角形斜边，∠BAC=90°，
A．两条直角边分别为，图中的三角形（阴影部分）与不全等．
B．三角形不是直角三角形，图中的三角形（阴影部分）与不全等．
C．三角形不是直角三角形，图中的三角形（阴影部分）与不全等．
D．两条直角边与已知条件吻合，图中的三角形（阴影部分）与全等．
故答案为：D．
【分析】根据全等的定义，利用格点先判断已知△ABC的特点，逐一分析三角形的边角是否对应相等即可.
9．（2024七下·宝安期末）如图，在中，D、E分别是，边上的点，连接、相交于点F，若，，下列等量关系不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，，∴
∴，故A正确；
∴
∵
∴
∴
∴
∴，故D正确；
∵
∴
∴，故B正确；
由题意无法证明出．
∴不一定成立．
故选：C．
【分析】根据题意条件及全等的判定定理，由图分析易证，进而利用全等的性质及等腰的判定和性质进行边角分析逐一判断选项即可.
10．（2024七下·宝安期末）如图，将线段沿着射线折叠得到，延长到E，连接，点F是射线上的一个动点，连接，，若，，的周长的最小值为22，则长为（ ）
A．18 B．16 C．14 D．12
【答案】C
【知识点】轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
∵线段沿着射线折叠得到，
∴，
∵，
∴，
当共线时，
，此时周长最短；
∴，
∴；
故选：C.
【分析】结合轴对称分析目标△DEF的周长最小，即利用已知线段分析，DE为定值，只需求EF+DF的最小值，根据轴对称转换原理，即EF+BF，由两点之间线段最短分析此时最小值，并由周长最短推理计算出目标BE的结果.
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2024七下·宝安期末）已知方程，则整式的值为 ．
【答案】4
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴；
故答案为：
【分析】观察目标代数式与已知条件的关系，利用整体代入即可计算目标结果.
12．（2024七下·宝安期末）一个不透明的书箱中有4本《海底两万里》和2本《钢铁是怎样炼成的》，从书箱中任意拿出n本书，其中拿出的书中至少有一本《海底两万里》是一个必然事件，则n的最小值是 ．
【答案】3
【知识点】事件的分类；抽屉原理（奥数类）
【解析】【解答】解：从书箱中任意拿出n本书，其中拿出的书中至少有一本《海底两万里》是一个必然事件，
当时，拿出的书中至少有一本《海底两万里》是一个必然事件，
则n的最小值是3，
故答案为：3．
【分析】根据必然事件的定义，结合抽屉原理(最不利原则)分析即可得出结果．
13．（2024七下·宝安期末）如图，这是一台放置在水平桌面上的电脑显示屏，将其侧面抽象成平面几何图形，测得，，则为 度．
【答案】75
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵，，
，
∴，
解得：，
故答案为：.
【分析】根据已知条件的三个角关系，可以直接利用三角形的外角的性质可得建立等量关系，解之即可，不熟练的情况也可以通过设元表示更为直观.
14．（2024七下·宝安期末）魔术爱好者小丽设计了一个数学魔术．小丽请观众在之间任意选择两个数，按如下步骤进行运算：①第一个数乘以第二个数的10倍；②加上第二个数的平方；③除以第二个数；④再加上10，得到结果．小丽根据结果推测观众之前选择的数，如果结果是84，那么观众选择的第一个数是 ．
【答案】7
【知识点】二元一次方程的解；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：设观众选择的第一个数是x，第二个数是y根据题意得，
∴
∴
∵x，y都是之间的数
∴
解得
∴
∴观众选择的第一个数是7．
【分析】根据题意分析计算解方程即可，即将文字信息利用代数式表示建立等量关系，最后利用个位数整数解进行不等式分析即可得出结果.
15．（2024七下·宝安期末）如图，点A是线段的垂直平分线上任意一点，连接，，作的垂直平分线分别交、于点G、H，若，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵是的垂直平分线，
∴，，而，
∴，
∴，
∴，而，
∴，
取关于的对称点，连接，则，
∵，是的垂直平分线，
∴由轴对称的性质可得：，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，而，
∴，
故答案为：.
【分析】由垂直平分线的性质，易连接辅助线AH，根据已知条件的面积比例，利用等积分析即可得出等高或同高下的底边BH，HQ，CQ的比值，利用特殊比值(1：2)直接分析或构造特殊点连线(等边)证得特殊角，利用特殊角即可求出目标GH与已知线段BH的关系即可得出答案.
三、解答题（本题共7小题，其中第16题10分，第17题6分，第18题6分，第19题7分，第20题8分，第21题8分，第22题10分，共55分）
16．（2024七下·宝安期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
【知识点】整式的混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）根据乘方、负整数指数幂、零次幂的运算法则逐步计算，合并即可；
（2）根据同底数幂的乘法运算法则计算，再合并同类项即可；
17．（2024七下·宝安期末）先化简，再求值： ，其中 ，
【答案】解：原式
将 ， 代入得.
原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】利用完全平方公式，平方差公式将括号里展开并合并，然后利用多项式除以单项式即得结论，最后将x、y的值代入计算即可.
18．（2024七下·宝安期末）某购物商场为促进顾客消费，特设一可自由转动的转盘．顾客凡购物满200元，即有机会转动转盘一次．转盘分为多个区域，每个区域对应不同的优惠券．下表是活动进行中的一组统计数据（结果精确到0.001）：
转动转盘的次数n 50 100 150 200 500 800 1000 2000
落在“减免20元券”区域的次数m 19 39 55 81 b 318 403 800
落在“减免20元券”区域的频率为 a 0.390 0.367 0.405 0.39 0.398 0.403 0.400
请根据表格完成以下问题：
（1）______；
（2）上表中，当转动转盘的次数为500时，落在“减免20元券”区域的频率被墨迹遮挡了部分数字，请估计b的值是______（填写一个值）；
（3）落在“减免20元券”区域的频率的变化有什么规律？
（4）请估计落在“减免20元券”区域的概率是______．
【答案】（1）
（2）
（3）解：落在“减免20元券”区域的频率的变化稳定在附近；
（4）
【知识点】频数与频率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）；
故填：0.38.
（2）；
故填：198.
（4）解：由（3）可知，估计落在“减免20元券”区域的概率趋于，
故填：0.40.
【分析】（1）根据频率频数总数，计算即可得出答案；
（2）由频数乘以频率即可得到答案；
（3）利用频率估计概率求解即可．
（4）由稳定的频率可得概率
19．（2024七下·宝安期末）如图，已知和射线，作于E．
（1）仅用无刻度的直尺和圆规完成以下作图：在射线上作一点F（异于点B），使得（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下，若平分，证明：．
【答案】（1）解：如图，点即为所求；
（2）证明：∵，∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：（1）如图，点即为所求；
∵，，
∴；
【分析】（1）通过目标等角进行分析，利用等腰三线合一或全等原理进行推理，将作等角直接转换为作等腰；
（2）利用等腰和角平分线的条件进行角度推理即可直接判定平行.
20．（2024七下·宝安期末）如图，在四边形中，，动点P沿的路径运动，速度为．记的面积为，S与运动时间的关系如图2所示，请回答下列问题．
（1）图1中______；
（2）当时，的面积S与运动时间t的关系式是______．
（3）当的面积为时，求运动时间t的值．
【答案】（1）12
（2）
（3）解：当时，∴；
当时，设S与t的表达式为
∴
解得
∴
∴当的面积为时，
∴
综上所述，当的面积为时，或．
【知识点】动点问题的函数图象；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解（1）∵动点P沿的路径运动，速度为∴点P运动的路程为，
由图象可得，当时，S达到最大值30，
∵当点P运动到点D时，S最大
∴；
（2）∵当点P运动到点D时，S最大∴
∴
∴
∴当时，；
【分析】（1）结合图1和图2，根据动点P运动后△ABP面积变化最大值运动经过的时间及动点运动速度，即可分析计算此时AD的长；
（2）同理，利用△ABP面积最大值即可建立等量关系先求出定线段AB的长，进而可以用含t的式子表示△ABP的面积；
（3）由图2可知，函数值为15有两种情况，前者可根据（2）建立等量关系解之即可；后者需先求得后半段函数解析式，后代入解析式求出运动时间t即可.
21．（2024七下·宝安期末）利用三角形全等测距离．
任务1 目测出操场上与你距离相等的两个点
方案 第一步：在C点处面向B点的方向站好，调整帽子，使视线从A点通过帽檐正好落在B点； 第二步：转过一个角度，保持刚才的姿态，视线从D点通过帽檐正好落在F点．
示意图
原理 ∵，，∴______， 又∵，，∴（______），∴______．
任务2 测量输电线路长度 任务简介：如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A、B处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出A、B间的距离，请你设计一个方案，测出A、B间的距离，并作出示意图．
方案 第一步：______； 第二步：______； （可适当添加步骤）……
示意图（请按方案补充完整）
【答案】解：任务一：∠DEF；ASA；EF.
任务二：
方案：
第一步：在平地上取一个可以到达的点；
第二步：连接，并延长，使，，连接；
如图，则的长度即为的长度；
理由：∵，，，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；全等三角形的应用
【解析】【解答】任务一：解：∵，，
∴，
又∵，，
∴（），
∴．
故填：∠DEF；ASA；EF.
【分析】任务一：根据题干信息的提示，逐步完善推理过程与推理依据即可；
任务二：根据全等三角形的性质设计方案，利用全等的性质将不能直接测量的线段进行转换：即先再全等草图，最后证明即可；
22．（2024七下·宝安期末）【初识图形】
数学爱好者小明观察图形，并选取图形的一部分如图进行研究，发现，，他在的内部作一条射线，过点作于点，过点作于点，小明猜想．请问猜想是否正确，并说明理由；
【迁移应用】
如图，是等腰直角三角形，，，，求的面积；
【拓展延伸】
如图，在四边形中，，，，过点作于点，，，以线段为直角边构造等腰，请直接写出三角形的面积．
【答案】 【初识图形】解：如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
【迁移应用】
如图，过点作 于点，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴；
【拓展延伸】
如图，当时，
过作，使得，连接，过作交延长线于点，交于点，
∴，
同上理：，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
如图，过作于点交于点，
同（）理，
∴，
又，
∴，
∴，
如图，过作交延长线于点，过作交BA延长线于点，则
同（）理，
∴，，
∵，
∴由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
综上可知：的面积为或或．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】【初识图形】由全等的判定定理及角度推理得出等量关系证得全等即可；
【迁移应用】根据已知条件将目标△ADB的面积转换为已知其底边AD求其高即可，故辅助线为作AD为底的△ADB的高，结合“初识图形”全等的判定及其性质即可得出结果.
【拓展延伸】由直角顶点对应字母不同进行分类讨论，逐一画出对应分类草图，结合勾股定理计算出底边AP，同理（2）作高辅助线并结合（1）中全等逐一分析对应情况并求出其高即可.
广东省深圳市宝安区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（2024七下·宝安期末）下列深圳建筑剪影中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024七下·宝安期末）科技日新月异，我国科学家研发出无需“插电”的发光发电纤维，其直径可在0.0002米至0.0005米之间精确调控，0.0005米用科学记数法可表示为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
3．（2024七下·宝安期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024七下·宝安期末）如图是一个照片拼接模板，已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2024七下·宝安期末）酗酒对人体有害吗？下表是某实验小组探究不同浓度的酒精对某种水蚤心率影响的实验数据（心率是心脏每分钟跳动的次数，因水蚤心跳太快，为减少误差，实验中计算10秒内心跳次数）．根据表格，下列结论错误的是（ ）
酒精浓度 0
内心跳次数 33 30 24 18 15 0
A．酒精浓度越高，水蚤心率越低
B．自变量是水蚤心率，因变量是酒精溶液浓度
C．酒精浓度达到时水蚤内心跳次数为0
D．酗酒对人体的心跳可能有不利影响
6．（2024七下·宝安期末）小周学习完“平方差公式和完全平方公式”后，发现这两个公式能使计算变得简便，例如计算“”，运用公式，可得，请运用所学知识求得“”的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
7．（2024七下·宝安期末）如图，已知四条线段a，b，m，n中的一条与挡板另一侧的线段l平行，请判断该线段是（ ）
A．a B．b C．m D．n
8．（2024七下·宝安期末）如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与全等的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024七下·宝安期末）如图，在中，D、E分别是，边上的点，连接、相交于点F，若，，下列等量关系不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024七下·宝安期末）如图，将线段沿着射线折叠得到，延长到E，连接，点F是射线上的一个动点，连接，，若，，的周长的最小值为22，则长为（ ）
A．18 B．16 C．14 D．12
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2024七下·宝安期末）已知方程，则整式的值为 ．
12．（2024七下·宝安期末）一个不透明的书箱中有4本《海底两万里》和2本《钢铁是怎样炼成的》，从书箱中任意拿出n本书，其中拿出的书中至少有一本《海底两万里》是一个必然事件，则n的最小值是 ．
13．（2024七下·宝安期末）如图，这是一台放置在水平桌面上的电脑显示屏，将其侧面抽象成平面几何图形，测得，，则为 度．
14．（2024七下·宝安期末）魔术爱好者小丽设计了一个数学魔术．小丽请观众在之间任意选择两个数，按如下步骤进行运算：①第一个数乘以第二个数的10倍；②加上第二个数的平方；③除以第二个数；④再加上10，得到结果．小丽根据结果推测观众之前选择的数，如果结果是84，那么观众选择的第一个数是 ．
15．（2024七下·宝安期末）如图，点A是线段的垂直平分线上任意一点，连接，，作的垂直平分线分别交、于点G、H，若，，则的长为 ．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题10分，第17题6分，第18题6分，第19题7分，第20题8分，第21题8分，第22题10分，共55分）
16．（2024七下·宝安期末）计算：
（1）；
（2）．
17．（2024七下·宝安期末）先化简，再求值： ，其中 ，
18．（2024七下·宝安期末）某购物商场为促进顾客消费，特设一可自由转动的转盘．顾客凡购物满200元，即有机会转动转盘一次．转盘分为多个区域，每个区域对应不同的优惠券．下表是活动进行中的一组统计数据（结果精确到0.001）：
转动转盘的次数n 50 100 150 200 500 800 1000 2000
落在“减免20元券”区域的次数m 19 39 55 81 b 318 403 800
落在“减免20元券”区域的频率为 a 0.390 0.367 0.405 0.39 0.398 0.403 0.400
请根据表格完成以下问题：
（1）______；
（2）上表中，当转动转盘的次数为500时，落在“减免20元券”区域的频率被墨迹遮挡了部分数字，请估计b的值是______（填写一个值）；
（3）落在“减免20元券”区域的频率的变化有什么规律？
（4）请估计落在“减免20元券”区域的概率是______．
19．（2024七下·宝安期末）如图，已知和射线，作于E．
（1）仅用无刻度的直尺和圆规完成以下作图：在射线上作一点F（异于点B），使得（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下，若平分，证明：．
20．（2024七下·宝安期末）如图，在四边形中，，动点P沿的路径运动，速度为．记的面积为，S与运动时间的关系如图2所示，请回答下列问题．
（1）图1中______；
（2）当时，的面积S与运动时间t的关系式是______．
（3）当的面积为时，求运动时间t的值．
21．（2024七下·宝安期末）利用三角形全等测距离．
任务1 目测出操场上与你距离相等的两个点
方案 第一步：在C点处面向B点的方向站好，调整帽子，使视线从A点通过帽檐正好落在B点； 第二步：转过一个角度，保持刚才的姿态，视线从D点通过帽檐正好落在F点．
示意图
原理 ∵，，∴______， 又∵，，∴（______），∴______．
任务2 测量输电线路长度 任务简介：如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A、B处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出A、B间的距离，请你设计一个方案，测出A、B间的距离，并作出示意图．
方案 第一步：______； 第二步：______； （可适当添加步骤）……
示意图（请按方案补充完整）
22．（2024七下·宝安期末）【初识图形】
数学爱好者小明观察图形，并选取图形的一部分如图进行研究，发现，，他在的内部作一条射线，过点作于点，过点作于点，小明猜想．请问猜想是否正确，并说明理由；
【迁移应用】
如图，是等腰直角三角形，，，，求的面积；
【拓展延伸】
如图，在四边形中，，，，过点作于点，，，以线段为直角边构造等腰，请直接写出三角形的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】、是轴对称图形，故A正确，不符合题意；
、不是轴对称图形，故B错误，符合题意；
、是轴对称图形，故C正确，不符合题意；
、是轴对称图形，故D正确，不符合题意；
故选：．
【分析】根据轴对称图形的定义逐一判断即可；即：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称．
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故选：A.
【分析】根据科学记数法的形式进行表示即可，即一般形式为，其中.，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，故A错误；
B.，故B错误；
C.，故C错误；
D.，故D正确．
故选：D．
【分析】由同底数幂的乘除法运算法则判断A，B，完全平方公式判断C，积的乘方运算法则判断D，逐一分析计算判断即可；
4．【答案】A
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵，，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【分析】由平行线的性质和邻补角性质由已知条件角逐步推理往目标角靠拢即可推理得出目标角度数.
5．【答案】B
【知识点】函数的概念；函数的表示方法
6．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
；
故选.：B
【分析】理解材料观察式子数值2023与2025的均值为2024，直接利用平方差公式，逐步计算即可；
7．【答案】B
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：用直尺分别作a，b，l，m，n的延长线，
其中只有b的延长线不与l相交，
∴．
故选：B．
【分析】根据平行线的定义，对原有直线进行延长视觉上判断是否相交即可，即同一平面内，两条不相交的直线，叫做平行线.
8．【答案】D
【知识点】全等三角形的概念
【解析】【解答】解：根据题意可得：AB为2×2格点形成的直角三角形斜边，AC为1×1格点形成的直角三角形斜边，∠BAC=90°，
A．两条直角边分别为，图中的三角形（阴影部分）与不全等．
B．三角形不是直角三角形，图中的三角形（阴影部分）与不全等．
C．三角形不是直角三角形，图中的三角形（阴影部分）与不全等．
D．两条直角边与已知条件吻合，图中的三角形（阴影部分）与全等．
故答案为：D．
【分析】根据全等的定义，利用格点先判断已知△ABC的特点，逐一分析三角形的边角是否对应相等即可.
9．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，，∴
∴，故A正确；
∴
∵
∴
∴
∴
∴，故D正确；
∵
∴
∴，故B正确；
由题意无法证明出．
∴不一定成立．
故选：C．
【分析】根据题意条件及全等的判定定理，由图分析易证，进而利用全等的性质及等腰的判定和性质进行边角分析逐一判断选项即可.
10．【答案】C
【知识点】轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
∵线段沿着射线折叠得到，
∴，
∵，
∴，
当共线时，
，此时周长最短；
∴，
∴；
故选：C.
【分析】结合轴对称分析目标△DEF的周长最小，即利用已知线段分析，DE为定值，只需求EF+DF的最小值，根据轴对称转换原理，即EF+BF，由两点之间线段最短分析此时最小值，并由周长最短推理计算出目标BE的结果.
11．【答案】4
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴；
故答案为：
【分析】观察目标代数式与已知条件的关系，利用整体代入即可计算目标结果.
12．【答案】3
【知识点】事件的分类；抽屉原理（奥数类）
【解析】【解答】解：从书箱中任意拿出n本书，其中拿出的书中至少有一本《海底两万里》是一个必然事件，
当时，拿出的书中至少有一本《海底两万里》是一个必然事件，
则n的最小值是3，
故答案为：3．
【分析】根据必然事件的定义，结合抽屉原理(最不利原则)分析即可得出结果．
13．【答案】75
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵，，
，
∴，
解得：，
故答案为：.
【分析】根据已知条件的三个角关系，可以直接利用三角形的外角的性质可得建立等量关系，解之即可，不熟练的情况也可以通过设元表示更为直观.
14．【答案】7
【知识点】二元一次方程的解；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：设观众选择的第一个数是x，第二个数是y根据题意得，
∴
∴
∵x，y都是之间的数
∴
解得
∴
∴观众选择的第一个数是7．
【分析】根据题意分析计算解方程即可，即将文字信息利用代数式表示建立等量关系，最后利用个位数整数解进行不等式分析即可得出结果.
15．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵是的垂直平分线，
∴，，而，
∴，
∴，
∴，而，
∴，
取关于的对称点，连接，则，
∵，是的垂直平分线，
∴由轴对称的性质可得：，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，而，
∴，
故答案为：.
【分析】由垂直平分线的性质，易连接辅助线AH，根据已知条件的面积比例，利用等积分析即可得出等高或同高下的底边BH，HQ，CQ的比值，利用特殊比值(1：2)直接分析或构造特殊点连线(等边)证得特殊角，利用特殊角即可求出目标GH与已知线段BH的关系即可得出答案.
16．【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
【知识点】整式的混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）根据乘方、负整数指数幂、零次幂的运算法则逐步计算，合并即可；
（2）根据同底数幂的乘法运算法则计算，再合并同类项即可；
17．【答案】解：原式
将 ， 代入得.
原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】利用完全平方公式，平方差公式将括号里展开并合并，然后利用多项式除以单项式即得结论，最后将x、y的值代入计算即可.
18．【答案】（1）
（2）
（3）解：落在“减免20元券”区域的频率的变化稳定在附近；
（4）
【知识点】频数与频率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）；
故填：0.38.
（2）；
故填：198.
（4）解：由（3）可知，估计落在“减免20元券”区域的概率趋于，
故填：0.40.
【分析】（1）根据频率频数总数，计算即可得出答案；
（2）由频数乘以频率即可得到答案；
（3）利用频率估计概率求解即可．
（4）由稳定的频率可得概率
19．【答案】（1）解：如图，点即为所求；
（2）证明：∵，∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：（1）如图，点即为所求；
∵，，
∴；
【分析】（1）通过目标等角进行分析，利用等腰三线合一或全等原理进行推理，将作等角直接转换为作等腰；
（2）利用等腰和角平分线的条件进行角度推理即可直接判定平行.
20．【答案】（1）12
（2）
（3）解：当时，∴；
当时，设S与t的表达式为
∴
解得
∴
∴当的面积为时，
∴
综上所述，当的面积为时，或．
【知识点】动点问题的函数图象；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解（1）∵动点P沿的路径运动，速度为∴点P运动的路程为，
由图象可得，当时，S达到最大值30，
∵当点P运动到点D时，S最大
∴；
（2）∵当点P运动到点D时，S最大∴
∴
∴
∴当时，；
【分析】（1）结合图1和图2，根据动点P运动后△ABP面积变化最大值运动经过的时间及动点运动速度，即可分析计算此时AD的长；
（2）同理，利用△ABP面积最大值即可建立等量关系先求出定线段AB的长，进而可以用含t的式子表示△ABP的面积；
（3）由图2可知，函数值为15有两种情况，前者可根据（2）建立等量关系解之即可；后者需先求得后半段函数解析式，后代入解析式求出运动时间t即可.
21．【答案】解：任务一：∠DEF；ASA；EF.
任务二：
方案：
第一步：在平地上取一个可以到达的点；
第二步：连接，并延长，使，，连接；
如图，则的长度即为的长度；
理由：∵，，，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；全等三角形的应用
【解析】【解答】任务一：解：∵，，
∴，
又∵，，
∴（），
∴．
故填：∠DEF；ASA；EF.
【分析】任务一：根据题干信息的提示，逐步完善推理过程与推理依据即可；
任务二：根据全等三角形的性质设计方案，利用全等的性质将不能直接测量的线段进行转换：即先再全等草图，最后证明即可；
22．【答案】 【初识图形】解：如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
【迁移应用】
如图，过点作 于点，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴；
【拓展延伸】
如图，当时，
过作，使得，连接，过作交延长线于点，交于点，
∴，
同上理：，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
如图，过作于点交于点，
同（）理，
∴，
又，
∴，
∴，
如图，过作交延长线于点，过作交BA延长线于点，则
同（）理，
∴，，
∵，
∴由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
综上可知：的面积为或或．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】【初识图形】由全等的判定定理及角度推理得出等量关系证得全等即可；
【迁移应用】根据已知条件将目标△ADB的面积转换为已知其底边AD求其高即可，故辅助线为作AD为底的△ADB的高，结合“初识图形”全等的判定及其性质即可得出结果.
【拓展延伸】由直角顶点对应字母不同进行分类讨论，逐一画出对应分类草图，结合勾股定理计算出底边AP，同理（2）作高辅助线并结合（1）中全等逐一分析对应情况并求出其高即可.
