2024年内蒙古呼和浩特市中考数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．﹣2024的相反数是（ ）
A．2024 B．﹣2024 C． D．
2．如图，直线l1和l2被直线l3和l4所截，∠1＝∠2＝130°，∠3＝75°，则∠4的度数为（ ）
A．75° B．105° C．115° D．130°
3．下列运算正确的是（ ）
A．（3x）3＝9x3 B．（x﹣2）2＝x2﹣4
C．（﹣2ab2）2＝4a2b4 D．3a+4b＝7ab
4．如图所示的几何体，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
5．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（ ）
A．x 864 B．x（60+x）＝864
C．x（60﹣x）＝864 D．x（30﹣x）＝864
6．为了解某小区居民的家庭月平均用水量的情况，物业公司从该小区1500户家庭中随机抽取150户家庭进行调查，统计了他们的月平均用水量，将收集的数据整理成如下的统计图表：
月平均用水量x（吨） 频数
5≤x＜7 15
7≤x＜9 a
9≤x＜11 32
11≤x＜13 40
13≤x＜15 33
总计 150
根据统计图表得出以下四个结论，其中正确的是（ ）
A．本次调查的样本容量是1500
B．这150户家庭中月平均用水量为7≤x＜9的家庭所占比例是30%
C．在扇形统计图中，月平均用水量为11≤x＜13的家庭所对应圆心角的度数是95°
D．若以各组组中值（各小组的两个端点的数的平均数）代表各组的实际数据，则这150户家庭月平均用水量的众数是12
7．如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于点M，则∠AMF的度数为（ ）
A．26° B．27° C．28° D．30°
8．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax﹣b（a≠0）和y（c≠0）的图象大致如图所示，则函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在△ABD中，∠ABD＝30°，∠A＝105°，将△ABD沿BD翻折180°得到△CBD，将线段DC绕点D顺时针旋转30°得到线段DF，点E为AB的中点，连接EF，ED．若EF＝1，则△BED的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．下列说法中，正确的个数有（ ）
①二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过（2，1），（﹣4，1）两点，m，n是关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣k＝0（0＜k≤1）的两个实数根，且m＜n，则﹣4＜m＜n＜2恒成立．
②在半径为r的⊙O中，弦AB，CD互相垂直于点P，当OP＝m时，则AB2+CD2＝8r2﹣4m2．
③△ABC为平面直角坐标系中的等腰直角三角形且∠ABC＝90°，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，5），点C是反比例函数y（k≠0）的图象上一点，则k＝±30．
④已知矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程x2﹣2（a+1）x+a2﹣1＝0的两个实数根，且矩形的周长值与面积值相等，则矩形的对角线长是4．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分。本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不需要解答过程）
11．2023年呼和浩特市政府工作报告中指出，我市主要经济指标增速达到十年来最好水平，地区生产总值完成3802亿元，数据“3802亿”用科学记数法表示为 ．
12．如图，有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．现将这4张卡片（除图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出1张卡片，然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为 ．
13．如图是平行四边形纸片ABCD，BC＝36cm，∠A＝110°，∠BDC＝50°，点M为BC的中点，若以M为圆心，MC为半径画弧交对角线BD于点N，则∠NMC＝ 度；将扇形MCN纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为 cm．
14．关于x的不等式1的解集是 ，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式2x﹣1≤x+m的解大，则m的取值范围是 ．
15．2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为 元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为 元．
16．如图，正方形ABCD的面积为50，以AB为腰作等腰△ABF，AB＝AF，AE平分∠DAF交DC于点G，交BF的延长线于点E，连接DE．若BF＝2，则DG＝ ．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）计算：tan30°+（3﹣π）0+|1|；
（2）解方程：5．
18．（7分）如图，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝FE，AB平分∠CAE，AB∥DF．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）过点B作BG⊥AE于点G，若CB＝AF，请直接写出四边形BGED的形状．
19．（10分）近年来，近视的青少年越来越多且年龄越来越小．研究表明：这与学生长期不正确的阅读、书写姿势和长时间使用电子产品等有很大的关系．呼和浩特市某校为了解九年级学生右眼视力的情况，计划采用抽样调查的方式来估计该校九年级840名学生的右眼视力情况，制定以下两种抽样方案：
①从九年级的一个班级中随机抽取42名学生（九年级每个班级至少有50名学生）；
②从九年级中随机抽取42名学生．
你认为更合理的方案是 （填“①”或“②”）
该校用合理的方案抽取了42名学生进行右眼视力检查，检查结果如下：
4.5 4.8 4.9 4.4 4.5 4.2 5.0
4.0 4.2 4.3 5.0 4.2 4.4 4.9
4.2 4.4 4.5 4.6 4.8 4.9 4.1
5.0 4.9 4.8 4.7 4.5 4.8 5.0
4.9 4.5 4.3 4.9 4.3 5.0 4.9
4.8 4.9 5.0 4.1 4.9 4.3 4.2
整理上面的数据得到如下表格：
右眼视力 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
人数 1 2 5 4 3 m 1 1 5 n 6
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）计算该样本的平均数；（结果精确到0.1，参考数据：4.0×1+4.1×2+4.2×5+4.3×4+4.4×3＝63.6）
（3）若该校九年级小明同学右眼视力为4.5，请你用调查得到的数据中位数推测他在九年级全体学生中的右眼视力状况；
（4）根据样本数据，估计该校九年级学生右眼视力在4.7及4.7以上的学生人数．
20．（7分）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管AB＝24cm，BEAB，试管倾斜角∠ABG为12°．
（1）求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）
（2）实验时，导气管紧靠水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE＝28cm，MN＝8cm，∠ABM＝147°，求线段DN的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示）
21．（8分）某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮1000kg，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少100kg，其中“丰收1号”小麦种植在边长为am（a＞1）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为（a﹣1）m的正方形试验田中．
（1）请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量；
（2）哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A（﹣2，0），B（0，1）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）已知变量x，y2的对应关系如下表已知值呈现的对应规律．
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 …
y2 … ﹣1 ﹣2 ﹣4 ﹣8 8 4 2 1 …
写出y2与x的函数关系式，并在本题所给的平面直角坐标系中画出函数y2的大致图象；
（3）一次函数y1的图象与函数y1的图象相交于C，D两点（点C在点D的左侧），点C关于坐标原点的对称点为点E，点P是第一象限内函数y2图象上的一点，且点P位于点D的左侧，连接PC，PE，CE．若△PCE的面积为15，求点P的坐标．
23．（10分）如图，△ACD内接于⊙O，直径AB交CD于点G，过点D作射线DF，使得∠ADF＝∠ACD，延长DC交过点B的切线于点E，连接BC．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若CDCG，BE＝3CE＝3．
①求DE的长；
②求⊙O的半径．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2bx﹣4经过点（﹣1，m）．
（1）若m＝1，则b＝ ，通过配方可以将其化成顶点式为 ；
（2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，其中x1＜x2，若m＞0且2x1+2x2≤5，比较y1与y2的大小关系，并说明理由；
（3）若b＝0，将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线y＝kx交于A，B两点，直线与y轴交于点C，点E为AC中点，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，连接AF，CF．求证：CF2CE．
2024年内蒙古呼和浩特市中考数学试题参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．A 2．B 3．C 4．A 5．C
6．D 7．B 8．D 9．A 10．B
二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分。本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不需要解答过程）
11．3.802×1011 12． 13．40，2 14．x＞8；m≤7
15．55，1260 16．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）解：（1）tan30°+（3﹣π）0+|1|
1+（）
＝1+1
＝1；
（2）5，
3+5（2x﹣2）＝2x，
3+10x﹣10＝2x，
10x﹣2x＝10﹣3，
8x＝7，
x，
经检验，x是原方程的解．
18．（7分）（1）证明：∵AB平分∠CAE，
∴∠CAB＝∠BAE，
∵AB∥DF．
∴∠BAE＝∠DFE，
∴∠CAB＝∠EFD，
在△CAB和△EFD中，
，
∴△CAB≌△EFD（ASA），
∴AB＝FD，又AB∥FD，
∴四边形ABDF是平行四边形；
（2）解：四边形BGED是正方形，理由如下：
由（1）可知，BC＝DE，四边形ABDF是平行四边形，
∴BD＝AF，
∵AB平分∠CAE，BC⊥AC，BG⊥AE，
∴BC＝BG，
∵BC＝AF，
∴BD＝DE＝BG，且∠BGE＝∠GED＝90°
∵BG∥DE，BG＝DE，
∴四边形BGED是平行四边形，
∵BD＝DE，
∴四边形BGED是菱形，
∵∠BGE＝∠GED＝90°，
∴四边形BGED是正方形．
19．（10分）解：更合理的方案是②，
故答案为：②；
（1）根据抽取的42名学生进行右眼视力检查结果可得：m＝5，n＝9，
故答案为：5，9；
（2）该样本的平均数（4.0×1+4.1×2+4.2×5+4.3×4+4.4×3+4.5×5+4.6×1+4.7×1+4.8×5+4.9×9+5.0×6）
（63.6+129.9）
193.5
≈4.6，
答：该样本的平均数约为4.6；
（3）∵这42个数据从小到大的顺序排列后，其中第21个数是4.6，第22个数是4.7，
∴这组数据的中位数是4.65，
∵小明同学右眼视力为4.5，
∴根据中位数推测他在九年级全体学生中的右眼视力状况偏低；
（4）该校九年级学生右眼视力在4.7及4.7以上的学生人数＝840420（人），
答：该校九年级学生右眼视力在4.7及4.7以上的学生人数为420人．
20．（7分）解：（1）∵AB＝24cm，BEAB，
∴BE8，
∵，
∴BG＝8cos12°（cm）；
（2）∵sin12°，
∴EG＝8sin12°（cm），
延长GB，NM交于点H，
∴四边形DNHG是矩形，
∴NH＝DG＝DE﹣EG＝28﹣8sin12°（cm），
∴HM＝NH﹣MN＝20﹣8sin12°（cm），
∵∠ABG＝12°，∠ABM＝147°，
∴∠FBG＝135°，
∴∠MBH＝45°，
∴BH＝HM＝20﹣8sin12°（cm），
∴DN＝GH＝BG+BH＝8cos12°+20﹣8sin12°（cm）．
21．（8分）解：（1）设种植“丰收2号”小麦的产粮量为x kg，则“丰收1号”小麦的产粮量为（1.2x﹣100）kg，根据题意得：
x+1.2x﹣100＝1000，
解得：x＝500，
∴“丰收1号”的产粮量：1000﹣500＝500（kg）．
答：种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量都为500kg；
（2）“丰收1号”的单位面积产量为：，
“丰收2号”的单位面积产量为：，
∵（a2﹣1）﹣（a﹣1）2＝a2﹣1﹣a2+2a﹣1＝2a﹣2＞0，
∴，
∴“丰收2号”小麦单位面积产量高，
∴
，
即高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍．
答：“丰收2号”小麦单位面积产量高，高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍．
22．（8分）解：（1）∵一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A（﹣2，0），B（0，1）两点，
，解得，
∴一次函数解析式为：y1；
（2）根据表格数据可知y2是反比例函数，k＝4，
∴y2，
函数图象如下：
（3）联立方程组，解得，，
∴C（﹣4，﹣1），
∵点C关于坐标原点的对称点为点E，
∴E（4，1），
如图，连接OP，作PM⊥x轴，EN⊥x轴，
∵△PCE的面积为15，
∴S△POE，
∵点P、E在反比例函数图象上，
∴S△POE＝S梯形PMNE，
设点P（m，），
∴．
解得m＝1或﹣16（舍去），
∴P（1，4）．
23．（10分）（1）证明：连接OD，
∵∠ADF＝∠ACD，∠AOD＝2∠ACD，
∴2∠ADF＝∠AOD，
设∠ADF＝x，则∠AOD＝2x，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODF＝∠ODA+∠ADF＝90°﹣x+x＝90°，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：①连接BD，
∵BE＝3CE＝3，
∴CE＝1，
∵BE是切线，
∴∠ABE＝90°＝∠CBE+∠ABC，
∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠BAC＝∠BDC，
∴∠CBE＝∠BDC，
∵∠E＝∠E，
∴△BCE∽△DBE，
∴，
∴，
∴DE＝9；
②∵DE＝9，
∵CD＝DE﹣CE＝8，
∵CDCG，
∴CG＝3，DG＝5，
∴GE＝CG+CE＝4，
在Rt△BGE中，BG，
∵∠BCG＝∠DAG，∠BGC＝∠DGA，
∴△ADG∽△CBG，
∴，
∴，
∴AG，
∴AB＝AG+BG，
∴⊙O的半径．
24．（12分）（1）解：∵抛物线y＝x2﹣2bx﹣4经过点（﹣1，1），
∴1＝（﹣1）2﹣2b×（﹣1）﹣4，
解得：b＝2，
∴y＝x2﹣4x﹣4，
化成顶点式为y＝（x﹣2）2﹣8，
故答案为：2，y＝（x﹣2）2﹣8；
（2）解：将（﹣1，m）代入y＝x2﹣2bx﹣4得m＝1+2b﹣4＝2b﹣3，
∵m＝2b﹣3＞0，
∴b，
∵y＝x2﹣2bx﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线xb，
∵2x1+2x2≤5，
∴，
∵x1＜x2，
∴y1＞y2；
（3）证明：如图，
∵直线y＝kx与y轴交于点C，
∴C（0，），
当b＝0时，原抛物线解析式为y＝x2﹣4，向上平移4个单位得到的新抛物线解析式为y＝x2，
与直线y＝kx联立得，
解得：，，
当A（，） 时，
∵点E为AC中点，
∴E（，），
∵EF⊥x轴，
∴F（，0），
根据两点间距离公式得CF2＝（）2+（）2，
CE，
∴CF2CE；
当A（，）时，
∵点E为AC中点，∴E（，），F（，0），
根据两点间距离公式得CF2＝（）2+（）2，
CE，
∴CF2CE．
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