湖南省常德市2024届九年级中考一模数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各数中,是无理数的是( )
A. B. C.0.24 D.2024
2．下列图形中,是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3．下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
4．长沙市2023年1月至9月地区生产总值约为10674亿元,同比增长.其中数据10674亿用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
5．已知三角形的两边长分别为5,8,另一边长可能是( )
A. B.14 C.2 D.5
6．如图,,,若,则的度数为( )
A. B. C. D.
7．若二次根式有意义,则x的取值范围为( )
A. B. C. D.
8．下列一次函数中,y随x的增大而减小的函数是( )
A. B. C. D.
9．如图1所示的是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板,该展板的部分示意图如图2所示,它是以点O为圆心,分别以,的长为半径,圆心角的扇面.若,,则阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
10．刀削面堪称天下一绝,传统的操作方法是一手托面,一手拿刀,直接将面削到开水锅里.如图,面刚被削离时与开水锅的高度差,与锅的水平距离,锅的半径.若将削出的小面圈的运动轨迹视为抛物线的一部分,要使其落入锅中(锅的厚度忽略不计),则其水平初速度不可能为(提示：,,水平移动距离)( )
A. B. C. D.
二、填空题
11．分解因式：______.
12．睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一,也是学校教育重点关注的内容.某老师了解到班上某位学生的7天睡眠时间(单位：小时)如下：10,9,9,8,8,10,9,则该学生这7天的平均睡眠时间是_____小时.
13．关于x的一元二次方程有实数根,则k的取值范围为______.
14．如图,已知,以点O为圆心,以适当长度为半径画弧,分别交,于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线,过点P作交于点Q,则的度数是______度.
15．已知a,b为一元二次方程的两实根,则______.
16．如图,在平面直角坐标系中,点A在反比例函数(k为常数,,)的图像上,过点A作x轴的垂线,垂足为B,连接.若的面积为5,则______.
17．如图,点A,B,C在半径为R的上,,,垂足为E,交于点D,连接,已知,则______.
18．如图,已知点A是第一象限内的一个定点,若点P是以点O为圆心,4为半径的圆上的一个动点,连接,过点A作,且.当点P在上运动一周时,点B运动的路径长是______.
三、解答题
19．先化简,再求值：,其中.
20．2023年5月30日9点31分,“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射,成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入中国空间站.如图,在发射的过程中,飞船从地面O处发射,当飞船到达A处时,从位于地面C处的雷达站测得仰角为；后飞船到达B处,此时从C处测得仰角为.已知飞船从A处到B处的平均速度为,求雷达站C到飞船发射点O的距离.(结果精确到,)
21．2023年11月7日,世界互联网大会“互联网之光”博览会在浙江乌镇开幕,大会主题为“建设包容、普惠、有韧性的数字世界——携手构建网络空间命运共同体”.为增强学生网络常识及安全意识,某校举行了一次全校6000名学生参加的安全知识竞赛.从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行了分析,把成绩(满分100分,所有竞赛成绩均不低于60分)分成四个等级(D：；C：；B：；A：),并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图.
请根据以上信息,解答下列问题：
(1)填空：______,______；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数为______；
(4)若把A等级定为“优秀”等级,请你估计该校参加竞赛的6000名学生中达到“优秀”等级的学生人数.
22．如图,是的直径,点A和点D是上的两点,延长到点C,连接,,,且.
(1)求证：为的切线；
(2)若,求阴影部分的面积.
23．党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系,发展素质教育”.某校为响应二十大报告的育人精神,进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作,有效开展“阳光体育”活动,该校计划从体育用品商场购买乒乓球拍和羽毛球拍用于“阳光体育大课间”和学生社团活动.已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍多30元,且用1000元购买乒乓球拍的数量和用2000元购买羽毛球拍的数量一样.
(1)求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的价格；
(2)学校计划采购乒乓球拍和羽毛球拍共计100副,且乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍数量的2倍,求最多购买乒乓球拍多少副.
24．如图,四边形是正方形,点G为边上一点,连接并延长,交的延长线于点F,连接交于点E,连接.
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)已知,求.
25．如图,为的直径,点P为半径上异于点O和点A的一个点,过点P作与直径垂直的弦,连接,作,连接,,交于点F,且与相切于点D.
(1)求证：；
(2)若的半径为5,,求的长；
(3)已知,,求y与x之间的函数关系.
26．中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》以“龙行龘龘,欣欣家国”为主题,引领全球华人迈向生机盎然、充满希望的甲辰龙年.若抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且恰好是直角三角形,并满足(O为坐标原点),则称抛物线是“龘龘欣欣抛物线”,其中较短直角边所在直线为“龘龘线”,较长直角边所在直线为“欣欣线”.
(1)若“龘龘欣欣抛物线”的“龘龘线”为直线,求抛物线解析式；
(2)已知“龘龘欣欣拋物线”与轴的一个交点为,其“欣欣线”与反比例函数的图象仅有一个交点,求反比例函数解析式；
(3)已知“龘龘欣欣抛物线”的“龘龘线”“欣欣线”及轴围成的三角形面积的取值范围是,令,且P有最大值t,求t的值.
参考答案
1．答案：B
解析：A.是有理数,故不符合题意；
B.是无理数,故符合题意；
C.0.24是有理数,故不符合题意；
D.2024是有理数,故不符合题意；
故选：B.
2．答案：C
解析：根据中心对称图形的定义可知：
A,不是中心对称图形,不合题意；
B,不是中心对称图形,不合题意；
C,是中心对称图形,符合题意；.
D,不是中心对称图形,不合题意；
故选C.
3．答案：A
解析：A.,结论正确,故符合题意；
B.,结论错误,故不符合题意；
C.,结论错误,故不符合题意；
D.,结论错误,故不符合题意；
故选：A.
4．答案：A
解析：10674亿
故选：A
5．答案：D
解析：设另一边长为x,则有
,
,
故选：D.
6．答案：B
解析：如图,
∵,,
∴,
∵,
∴,
∴的度数为.
故选：B.
7．答案：C
解析：∵二次根式有意义,
∴,
解得：.
故选：C.
8．答案：D
解析：A.,,y随x的增大而增大,故不符合题意；
B.,,y随x的增大而增大,故不符合题意；
C.,,y随x的增大而增大,故不符合题意；
D.,,y随x的增大而减小,故符合题意；
故选：D.
9．答案：B
解析：∵如图是以点O为圆心,分别以,的长为半径,圆心角的扇面,且,,
∴
,
∴阴影部分的面积为.
故选：B.
10．答案：D
解析：由题意得
,
解得：,(舍去),
要使其落入锅中,
,
,
,
,
,
不可能；
故选：D.
11．答案：
解析：,
故答案为：.
12．答案：9
解析：由题意得
(小时),
故答案：9.
13．答案：且
解析：由题意得
,
一元二次方程有实数根,
,,
即：
解得：,
且.
故答案为：且.
14．答案：20
解析：由作法得：
平分,
,
,
,
故答案：20.
15．答案：2024
解析：,
a,b为一元二次方程的两实根,
,
原式；
故答案：2024.
16．答案：10
解析：∵点A在反比例函数的图像上,轴于B,
∴,
∴,
∵的面积为5,
∴,
∵,
∴.
故答案为：10.
17．答案：4
解析：如图,连接,
,
,
,
,
,
,
,
；
故答案：4.
18．答案：
解析：如图,连接,过点A作,且,连接,,以点C为圆心,长为半径作圆,
,,
,
,即,
又,,
,
,
,
,
以点C为圆心,长为半径的圆即为点B运动的轨迹,
点B运动的路径长为：,
故答案为：.
19．答案：,
解析：
,
当时,
原式.
20．答案：
解析：由题意得
,
()
(),
,
,
,
设,
在中,
,
,
,
解得：；
故雷达站C到飞船发射点O的距离.
21．答案：(1)150,36
(2)图见解析
(3)
(4)估计960人
解析：(1)由频数分布直方图和扇形统计图得
A等级有24人占,
,
,
；
故答案：150,36；
(2)由题意得
D等级的人数为：
(人)；
补全图,如下：
(3)由题意得
,
故答案：；
(4)由题意得
(人),
答：估计该校参加竞赛的6000名学生中达到“优秀”等级的学生人数为960人.
22．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：如图,连接,
,
,
,
,
,
,
,
是直径,
,
,
,
,
,
为的切线；
(2),
,
,
,
,,
,
是等边三角形,
,
；
23．答案：(1)每副乒乓球拍的价格是30元,每副羽毛球拍的价格是60元
(2)最多购买乒乓球拍66副
解析：(1)设每副乒乓球拍的价格是x元,则每副羽毛球拍的价格是元,
根据题意得：,
解得：,
经检验,是所列方程的解且符合题意,
∴(元).
答：每副乒乓球拍的价格是30元,每副羽毛球拍的价格是60元；
(2)设购买乒乓球拍m副,则购买羽毛球拍副,
根据题意得：,
解得：,
又∵m为正整数,
∴m的最大值为66.
答：最多购买乒乓球拍66副.
24．答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
解析：(1)证明：四边形是正方形,
,
,
在和中
,
()；
(2)证明：四边形是正方形,
,
,
由(1)得：,
,
,
,
；
(3)证明：四边形是正方形,
,
,
,
设,则有,
,
,
,
,
,
；
故.
25．答案：(1)证明见解析
(2)6
(3)
解析：(1)证明：如图,连接,
,,
与相切于点D,
,
,
,
在和中
,
(),
,
,
,
；
(2),,
,,
设,则,
,
在中,,
,
整理得：,
解得：,(舍去),
,
；
(3),,
,
,
,
,
,
,,
,
,
,
,
,
,
.
26．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)∵,
∴当时,,当时,,
∴不妨设,,
∴,,
∵,
∴,
∴或
∵为直角三角形,
∴,
∵抛物线经过A,B,C三点,
∴设抛物线的解析式为：,将代入,得：
,
解得：,
∴；
(2)∵与x轴的一个交点为,
∴,对称轴为直线,
∴,抛物线与x轴的另一个交点为,
当时,,
∴,
∵,
∴,
∴,
解得：(不合题意,舍去)或或,
∴或,
∴抛物线与坐标轴的交点坐标为,,或,,,
∵为直角三角形,
∴交点坐标为,,；
设,,,
则,
∴“欣欣线”为所在直线,
设直线的解析式为,把代入,得：,解得：,
∴,
令,整理得：,
∵直线和双曲线只有一个交点,
∴,
∴,
∴反比例函数的解析式为；
(3)∵,
∴当时,,
∴,
设抛物线与x轴的两个交点坐标为,,
则：,
∴,
∵,
∴,解得：(舍去)或或,
∵抛物线的开口向上,当时,抛物线与x轴的两个交点均在x轴的正半轴,不是直角三角形,
∴,
∴,
令,则：,,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴
∵,
当时,则当时,P有最大值为：,解得：；
当时,则：当时,P有最大值为：,解得：或(均舍去)；
当时,则：当时,P有最大值为：,解得：(不满足题意,舍去)；
综上：.
