广东省湛江市2023-2024学年高二下学期期末调研考试数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高二下·湛江期末）过和两点的直线的斜率是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的斜率
【解析】【解答】解：因为直线过点和，所以直线的斜率.
故答案为：A.
【分析】根据斜率公式计算即可.
2．（2024高二下·湛江期末）用最小二乘法得到一组数据的线性回归方程为，若，则（ ）
A．11 B．13 C．63 D．78
【答案】D
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为线性回归方程为，且回归方程必过点，所以，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据线性回归方程一定过点，求出，代入回归方程即可得出，即可得的值.
3．（2024高二下·湛江期末）若圆被直线平分，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：易知圆心，因为圆C被直线平分，所以圆心在直线上，
则，解得.
故答案为：D.
【分析】求圆心，由圆被直线平分，将圆心坐标代入直线方程求解即可.
4．（2024高二下·湛江期末） 函数的导函数的图像如图所示，以下命题正确的是（ ）
A．在处的切线的斜率大于0
B．是函数的极值
C．在区间上不单调
D．是函数的最小值
【答案】A
【知识点】导数的几何意义；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A、由图象可知：，即在处的切线的斜率大于0，故A正确；
BCD、当时，；当时，；则在内单调递减，
在内单调递增，则为的最小值，也是极小值，无最大值，故BCD错误；
故答案为：A.
【分析】根据导数的几何意义分析即可判断A；由图像判断的单调性和最值，即可判断BCD；
5．（2024高二下·湛江期末）某学校对本校学生的课外阅读进行抽样调查，抽取25名女生，25名男生调查，结果形成以下列联表，通过数据分析，认为喜欢课外阅读与学生性别之间（ ）
喜欢课外阅读 不喜欢课外阅读 合计
男生 5 20 25
女生 15 10 25
合计 20 30 50
参考数据及公式如下：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
A．不能根据小概率的的独立性检验认为两者有关
B．根据小概率的的独立性检验认为两者有关
C．根据小概率的的独立性检验认为两者有关
D．根据小概率的的独立性检验认为两者无关
【答案】B
【知识点】独立性检验的应用
【解析】【解答】解：，
因为，所以根据小概率值的独立性检验认为两者有关．
故答案为：B.
【分析】计算的观测值，再与临界值比较判断即可.
6．（2024高二下·湛江期末）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙2名同学每人从中选一种或两种，且两人之间不会互相影响，则不同的选法种数为（ ）
A．20 B．25 C．225 D．450
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：甲同学选一种菜有种方法，选两种菜有种方法，则甲的不同选法有种；
同样乙同学也有种方法，则甲和乙不同的选择方法有种.
故答案为：C.
【分析】根据分步计数原理，结合组合数公式求解即可.
7．（2024高二下·湛江期末）如图，在三棱锥中，为的中点，为的中点，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：，
则，
，即.
故答案为：C.
【分析】由题意，先表示，再平方求解即可.
8．（2024高二下·湛江期末）定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差.设是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前24项和为（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】D
【知识点】等差数列概念与表示；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为数列是由正数组成的等方差数列 ，所以，即是公差为2的等差数列，又因为，
所以，即，
则，
所以数列的前24项和为：.
故答案为：D.
【分析】由题意推出数列是以2为公差的等差数列，求出数列的通项，进而求出，再利用裂项相消法求和即可.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024高二下·湛江期末）已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为等比数列，满足，所以，
解得，故A错误，B正确；
因为，所以，，故C错误，D正确.
故答案为：BD.
【分析】由题意，利用等比数列的性质以及等比数列的通项公式、求和公式计算即可.
10．（2024高二下·湛江期末）已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同. 先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球. 记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：A、甲口袋中装有3个红球，1个白球，则，故A正确；
B、若从甲口袋中取出的球是白球，则乙口袋中有2个红球，2个白球，再从乙口袋中取出的球是红球的概率为，
故B错误；
C、若从甲口袋中取出的球是红球，则乙口袋中有3个红球，1个白球，
从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为，所以，故C正确；
D、甲口袋中装有4个球，其中有1个白球，则，
，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据古典概型概率公式求，，，，即可判断A；再结合条件概率公式和全概率公式即可判断BCD.
11．（2024高二下·湛江期末）如图，在棱长为2的正方体中，点P是线段上的点，点E是线段上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点E，使得平面
B．当点E为线段的中点时，点到平面的距离为2
C．点E到直线的距离的最小值为
D．当点E为棱的中点，存在点，使得平面与平面所成角为
【答案】A,B,D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；平面的法向量；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：A、以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，0，，，0，，，0，，，2，，，
设，2，，则，，，
假设存在点，使得平面，
则，，解得，
所以存在点，使得平面，此时点与点重合，故A正确；
B、点E为线段的中点时，，，，
设平面的法向量为，则，取，则，
，故点到平面的距离为，故B正确，
C、，2，，，
点到直线的距离为，
故当时，即点为中点时，此时点到直线的距离的最小值为，故C错误；
D、点E为线段的中点时，，，，
设平面的法向量为，
则，取，则，
设，，，
设平面的法向量为，
则，取，则，
若存在点，使得平面与平面所成角为，
则，化简得，
解得或，由于，所以，故D正确.
故答案为：ABD．
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量垂直即可判断A；求解平面法向量，即可根据点面距离，以及点线距离即可判断BC；利用两平面的法向量的夹角即可判断D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分.
12．（2024高二下·湛江期末）展开式中项的系数为 .
【答案】30
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：的展开式的通项为，
令，，.
故答案为：30.
【分析】利用二项式展开式的通项公式，即可得解.
13．（2024高二下·湛江期末）已知，若为奇函数，则 .
【答案】0
【知识点】函数的奇偶性；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
因为为奇函数，所以，即，
化简可得，因为，所以.
故答案为：0.
【分析】先求导，由为奇函数，得到，代入计算再结合指数函数的性质求解即可.
14．（2024高二下·湛江期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若，，则C的离心率为 ．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质；解三角形
【解析】【解答】解：由题意，作出图形，如图所示：
在中，设，由正弦定理，可得，
由双曲线的定义可知，，故，
在中，由余弦定理可得，解得，
则在中，，，，
又因为，解得，所以离心率．
故答案为：.
【分析】在中，设，结合双曲线定义、正弦定理表示出，，，，，在中，利用余弦定理可得，在中，利用余弦定理可得出，结合离心率公式求解即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．（2024高二下·湛江期末）记等差数列的前项和为，已知，且．
（1）求和；
（2）设，求数列前项和．
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，因为，所以，
又因为，所以，解得，
则，
；
（2）解：由（1）可得，
则．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）由题意，利用等差数列性质求出通项公式和前项和即可；
（2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和即可.
（1）设的公差为，因为，所以，
又，所以，解得，
所以，
．
（2），
所以
．
16．（2024高二下·湛江期末）四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一点．
（1）求证： 平面平面；
（2）当为中点时， 求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明：因为底面是正方形，所以，
又因为平面，平面，
所以，又，，平面，
所以平面，又平面，
则平面平面；
（2）解：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，取，
设平面的法向量为，则，取，
设二面角为，由图可知二面角为锐二面角，则，
即，即二面角的正弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究平面与平面的位置关系；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得，再由线面垂直的性质得，推出平面，根据面面垂直的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标，利用空间向量法计算即可.
（1）底面是正方形，，
平面，平面，
，又，，平面，
平面，又平面，
平面平面．
（2）如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，取，
设平面的法向量为，则，取，
设二面角为，由图可知二面角为锐二面角，
所以，
所以，即二面角的正弦值为.
17．（2024高二下·湛江期末）已知F1，F2分别为椭圆W：的左、右焦点，M为椭圆W上的一点．
（1）若点M的坐标为（1，m）（m>0），求△F1MF2的面积；
（2）若点M的坐标为（x0，y0），且∠F1MF2是钝角，求横坐标x0的范围．
【答案】（1）解：因为点在椭圆上，所以，解得，
又因为，所以，即焦点，，
则；
（2）解：因为点M在椭圆上，所以，
由余弦定理得cos∠F1MF2＝，
因为∠F1MF2是钝角，所以，
又因为，所以，解得，
故横坐标x0的范围为.
【知识点】椭圆的简单性质；余弦定理
【解析】【分析】（1）由点M在椭圆上，代入法求得值，再求出焦点坐标，利用三角形面积公式求解即可；
（2）由题意，利用余弦定理求解即可．
（1）因为点M（1，m）在椭圆上，
所以，
因为m>0，所以，
因为a＝2，b＝1，所以，所以，，
所以
（2）因为点M在椭圆上，所以－2≤x0≤2，
由余弦定理得
cos∠F1MF2＝＝，
因为∠F1MF2是钝角，所以，
又因为，所以，解得，
故横坐标x0的范围为.
18．（2024高二下·湛江期末）学校师生参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动.
（1）求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；
（2）记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望；
（3）若志愿活动共有卫生清洁员 交通文明监督员 科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为，求的期望.
【答案】（1）解：设“有女生参加活动”为事件A，”恰有一名女生参加活动“为事件，
则，则；
（2）解：由题意，可知服从超几何分布，且，
，
则的分布列为：
0 1 2
；
（3）解：设一名女生参加活动可获得工时数为，一名男生参加活动可获得工时数为，
则的所有可能取值为，的所有可能取值为，
，，
，，
有名女生参加活动，则男生有名参加活动.，
所以，
即两人工时之和的期望为13个工时.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；条件概率
【解析】【分析】（1）由题意，利用条件概率公式，结合组合的定义、古典概型公式求解即可；
（2）根据超几何分布的概率公式，结合数学期望公式求解即可；
（3）根据数学期望公式和性质求解即可.
（1）设“有女生参加活动”为事件A，”恰有一名女生参加活动“为事件.
则，
所以.
（2）依题意知服从超几何分布，且，
，
所以的分布列为：
0 1 2
；
（3）设一名女生参加活动可获得工时数为，一名男生参加活动可获得工时数为，
则的所有可能取值为，的所有可能取值为，
，，
，，
有名女生参加活动，则男生有名参加活动.，
所以.
即两人工时之和的期望为13个工时.
19．（2024高二下·湛江期末）已知函数.
（1）若曲线在处的切线为x轴，求a的值；
（2）在（1）的条件下，判断函数的单调性；
（3），若是的极大值点，求a的取值范围.
【答案】（1）解：函数定义域为，，则，
因为曲线在处的切线为x轴，所以，即；
（2）解：由（1）可得，令，则，
当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，
又当时，恒成立，，，
所以当时，时，，所以在上单调递减，在上单调递增；
（3）解：由已知，
令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
又当时，恒成立，且，
当时，，即在上有且只有一个零点，设为，
当，即，解得，
此时若，解得，在上单调递减，
若，解得或，在上单调递增，
此时在处取极小值，不符合题意，舍去；
当，即，解得，
此时若，解得，在上单调递减，
若，解得或，在上单调递增，
此时在处取极大值，符合是的极大值点，
当时，即，解得，
此时恒成立，无极值点，
综上所述：a的取值范围为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求导，根据列式计算即可；
（2）求导，根据二次求导确定导函数的正负，确定函数的单调性即可；
（3）求导，然后因式分解，确定导函数的零点，讨论零点大小，确定极值点即可.
（1）由已知，则，
由于曲线在处的切线为x轴，
所以，
所以；
（2）当时，，令，
则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
又当时，恒成立，，，
所以当时，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
（3）由已知，
令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
又当时，恒成立，且，
当时，，即在上有且只有一个零点，设为，
当，即，解得，
此时若，解得，在上单调递减，
若，解得或，在上单调递增，
此时在处取极小值，不符合题意，舍去；
当，即，解得，
此时若，解得，在上单调递减，
若，解得或，在上单调递增，
此时在处取极大值，符合是的极大值点，
当时，即，解得，
此时恒成立，无极值点，
综上所述：a的取值范围为.
广东省湛江市2023-2024学年高二下学期期末调研考试数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高二下·湛江期末）过和两点的直线的斜率是（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2024高二下·湛江期末）用最小二乘法得到一组数据的线性回归方程为，若，则（ ）
A．11 B．13 C．63 D．78
3．（2024高二下·湛江期末）若圆被直线平分，则（ ）
A． B．1 C． D．2
4．（2024高二下·湛江期末） 函数的导函数的图像如图所示，以下命题正确的是（ ）
A．在处的切线的斜率大于0
B．是函数的极值
C．在区间上不单调
D．是函数的最小值
5．（2024高二下·湛江期末）某学校对本校学生的课外阅读进行抽样调查，抽取25名女生，25名男生调查，结果形成以下列联表，通过数据分析，认为喜欢课外阅读与学生性别之间（ ）
喜欢课外阅读 不喜欢课外阅读 合计
男生 5 20 25
女生 15 10 25
合计 20 30 50
参考数据及公式如下：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
A．不能根据小概率的的独立性检验认为两者有关
B．根据小概率的的独立性检验认为两者有关
C．根据小概率的的独立性检验认为两者有关
D．根据小概率的的独立性检验认为两者无关
6．（2024高二下·湛江期末）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙2名同学每人从中选一种或两种，且两人之间不会互相影响，则不同的选法种数为（ ）
A．20 B．25 C．225 D．450
7．（2024高二下·湛江期末）如图，在三棱锥中，为的中点，为的中点，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·湛江期末）定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差.设是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前24项和为（ ）
A． B．3 C． D．6
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024高二下·湛江期末）已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高二下·湛江期末）已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同. 先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球. 记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高二下·湛江期末）如图，在棱长为2的正方体中，点P是线段上的点，点E是线段上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点E，使得平面
B．当点E为线段的中点时，点到平面的距离为2
C．点E到直线的距离的最小值为
D．当点E为棱的中点，存在点，使得平面与平面所成角为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分.
12．（2024高二下·湛江期末）展开式中项的系数为 .
13．（2024高二下·湛江期末）已知，若为奇函数，则 .
14．（2024高二下·湛江期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若，，则C的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．（2024高二下·湛江期末）记等差数列的前项和为，已知，且．
（1）求和；
（2）设，求数列前项和．
16．（2024高二下·湛江期末）四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一点．
（1）求证： 平面平面；
（2）当为中点时， 求二面角的正弦值．
17．（2024高二下·湛江期末）已知F1，F2分别为椭圆W：的左、右焦点，M为椭圆W上的一点．
（1）若点M的坐标为（1，m）（m>0），求△F1MF2的面积；
（2）若点M的坐标为（x0，y0），且∠F1MF2是钝角，求横坐标x0的范围．
18．（2024高二下·湛江期末）学校师生参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动.
（1）求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；
（2）记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望；
（3）若志愿活动共有卫生清洁员 交通文明监督员 科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为，求的期望.
19．（2024高二下·湛江期末）已知函数.
（1）若曲线在处的切线为x轴，求a的值；
（2）在（1）的条件下，判断函数的单调性；
（3），若是的极大值点，求a的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】直线的斜率
【解析】【解答】解：因为直线过点和，所以直线的斜率.
故答案为：A.
【分析】根据斜率公式计算即可.
2．【答案】D
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为线性回归方程为，且回归方程必过点，所以，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据线性回归方程一定过点，求出，代入回归方程即可得出，即可得的值.
3．【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：易知圆心，因为圆C被直线平分，所以圆心在直线上，
则，解得.
故答案为：D.
【分析】求圆心，由圆被直线平分，将圆心坐标代入直线方程求解即可.
4．【答案】A
【知识点】导数的几何意义；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A、由图象可知：，即在处的切线的斜率大于0，故A正确；
BCD、当时，；当时，；则在内单调递减，
在内单调递增，则为的最小值，也是极小值，无最大值，故BCD错误；
故答案为：A.
【分析】根据导数的几何意义分析即可判断A；由图像判断的单调性和最值，即可判断BCD；
5．【答案】B
【知识点】独立性检验的应用
【解析】【解答】解：，
因为，所以根据小概率值的独立性检验认为两者有关．
故答案为：B.
【分析】计算的观测值，再与临界值比较判断即可.
6．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：甲同学选一种菜有种方法，选两种菜有种方法，则甲的不同选法有种；
同样乙同学也有种方法，则甲和乙不同的选择方法有种.
故答案为：C.
【分析】根据分步计数原理，结合组合数公式求解即可.
7．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：，
则，
，即.
故答案为：C.
【分析】由题意，先表示，再平方求解即可.
8．【答案】D
【知识点】等差数列概念与表示；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为数列是由正数组成的等方差数列 ，所以，即是公差为2的等差数列，又因为，
所以，即，
则，
所以数列的前24项和为：.
故答案为：D.
【分析】由题意推出数列是以2为公差的等差数列，求出数列的通项，进而求出，再利用裂项相消法求和即可.
9．【答案】B,D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为等比数列，满足，所以，
解得，故A错误，B正确；
因为，所以，，故C错误，D正确.
故答案为：BD.
【分析】由题意，利用等比数列的性质以及等比数列的通项公式、求和公式计算即可.
10．【答案】A,C,D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：A、甲口袋中装有3个红球，1个白球，则，故A正确；
B、若从甲口袋中取出的球是白球，则乙口袋中有2个红球，2个白球，再从乙口袋中取出的球是红球的概率为，
故B错误；
C、若从甲口袋中取出的球是红球，则乙口袋中有3个红球，1个白球，
从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为，所以，故C正确；
D、甲口袋中装有4个球，其中有1个白球，则，
，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据古典概型概率公式求，，，，即可判断A；再结合条件概率公式和全概率公式即可判断BCD.
11．【答案】A,B,D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；平面的法向量；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：A、以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，0，，，0，，，0，，，2，，，
设，2，，则，，，
假设存在点，使得平面，
则，，解得，
所以存在点，使得平面，此时点与点重合，故A正确；
B、点E为线段的中点时，，，，
设平面的法向量为，则，取，则，
，故点到平面的距离为，故B正确，
C、，2，，，
点到直线的距离为，
故当时，即点为中点时，此时点到直线的距离的最小值为，故C错误；
D、点E为线段的中点时，，，，
设平面的法向量为，
则，取，则，
设，，，
设平面的法向量为，
则，取，则，
若存在点，使得平面与平面所成角为，
则，化简得，
解得或，由于，所以，故D正确.
故答案为：ABD．
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量垂直即可判断A；求解平面法向量，即可根据点面距离，以及点线距离即可判断BC；利用两平面的法向量的夹角即可判断D.
12．【答案】30
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：的展开式的通项为，
令，，.
故答案为：30.
【分析】利用二项式展开式的通项公式，即可得解.
13．【答案】0
【知识点】函数的奇偶性；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
因为为奇函数，所以，即，
化简可得，因为，所以.
故答案为：0.
【分析】先求导，由为奇函数，得到，代入计算再结合指数函数的性质求解即可.
14．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质；解三角形
【解析】【解答】解：由题意，作出图形，如图所示：
在中，设，由正弦定理，可得，
由双曲线的定义可知，，故，
在中，由余弦定理可得，解得，
则在中，，，，
又因为，解得，所以离心率．
故答案为：.
【分析】在中，设，结合双曲线定义、正弦定理表示出，，，，，在中，利用余弦定理可得，在中，利用余弦定理可得出，结合离心率公式求解即可.
15．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，因为，所以，
又因为，所以，解得，
则，
；
（2）解：由（1）可得，
则．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）由题意，利用等差数列性质求出通项公式和前项和即可；
（2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和即可.
（1）设的公差为，因为，所以，
又，所以，解得，
所以，
．
（2），
所以
．
16．【答案】（1）证明：因为底面是正方形，所以，
又因为平面，平面，
所以，又，，平面，
所以平面，又平面，
则平面平面；
（2）解：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，取，
设平面的法向量为，则，取，
设二面角为，由图可知二面角为锐二面角，则，
即，即二面角的正弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究平面与平面的位置关系；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得，再由线面垂直的性质得，推出平面，根据面面垂直的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标，利用空间向量法计算即可.
（1）底面是正方形，，
平面，平面，
，又，，平面，
平面，又平面，
平面平面．
（2）如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，取，
设平面的法向量为，则，取，
设二面角为，由图可知二面角为锐二面角，
所以，
所以，即二面角的正弦值为.
17．【答案】（1）解：因为点在椭圆上，所以，解得，
又因为，所以，即焦点，，
则；
（2）解：因为点M在椭圆上，所以，
由余弦定理得cos∠F1MF2＝，
因为∠F1MF2是钝角，所以，
又因为，所以，解得，
故横坐标x0的范围为.
【知识点】椭圆的简单性质；余弦定理
【解析】【分析】（1）由点M在椭圆上，代入法求得值，再求出焦点坐标，利用三角形面积公式求解即可；
（2）由题意，利用余弦定理求解即可．
（1）因为点M（1，m）在椭圆上，
所以，
因为m>0，所以，
因为a＝2，b＝1，所以，所以，，
所以
（2）因为点M在椭圆上，所以－2≤x0≤2，
由余弦定理得
cos∠F1MF2＝＝，
因为∠F1MF2是钝角，所以，
又因为，所以，解得，
故横坐标x0的范围为.
18．【答案】（1）解：设“有女生参加活动”为事件A，”恰有一名女生参加活动“为事件，
则，则；
（2）解：由题意，可知服从超几何分布，且，
，
则的分布列为：
0 1 2
；
（3）解：设一名女生参加活动可获得工时数为，一名男生参加活动可获得工时数为，
则的所有可能取值为，的所有可能取值为，
，，
，，
有名女生参加活动，则男生有名参加活动.，
所以，
即两人工时之和的期望为13个工时.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；条件概率
【解析】【分析】（1）由题意，利用条件概率公式，结合组合的定义、古典概型公式求解即可；
（2）根据超几何分布的概率公式，结合数学期望公式求解即可；
（3）根据数学期望公式和性质求解即可.
（1）设“有女生参加活动”为事件A，”恰有一名女生参加活动“为事件.
则，
所以.
（2）依题意知服从超几何分布，且，
，
所以的分布列为：
0 1 2
；
（3）设一名女生参加活动可获得工时数为，一名男生参加活动可获得工时数为，
则的所有可能取值为，的所有可能取值为，
，，
，，
有名女生参加活动，则男生有名参加活动.，
所以.
即两人工时之和的期望为13个工时.
19．【答案】（1）解：函数定义域为，，则，
因为曲线在处的切线为x轴，所以，即；
（2）解：由（1）可得，令，则，
当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，
又当时，恒成立，，，
所以当时，时，，所以在上单调递减，在上单调递增；
（3）解：由已知，
令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
又当时，恒成立，且，
当时，，即在上有且只有一个零点，设为，
当，即，解得，
此时若，解得，在上单调递减，
若，解得或，在上单调递增，
此时在处取极小值，不符合题意，舍去；
当，即，解得，
此时若，解得，在上单调递减，
若，解得或，在上单调递增，
此时在处取极大值，符合是的极大值点，
当时，即，解得，
此时恒成立，无极值点，
综上所述：a的取值范围为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求导，根据列式计算即可；
（2）求导，根据二次求导确定导函数的正负，确定函数的单调性即可；
（3）求导，然后因式分解，确定导函数的零点，讨论零点大小，确定极值点即可.
（1）由已知，则，
由于曲线在处的切线为x轴，
所以，
所以；
（2）当时，，令，
则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
又当时，恒成立，，，
所以当时，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
（3）由已知，
令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
又当时，恒成立，且，
当时，，即在上有且只有一个零点，设为，
当，即，解得，
此时若，解得，在上单调递减，
若，解得或，在上单调递增，
此时在处取极小值，不符合题意，舍去；
当，即，解得，
此时若，解得，在上单调递减，
若，解得或，在上单调递增，
此时在处取极大值，符合是的极大值点，
当时，即，解得，
此时恒成立，无极值点，
综上所述：a的取值范围为.
