2022-2023学年度第二学期二模检测
初四数学试题
注意事项：
1．本科目试卷分试题卷和答题卡两部分，共100分。考试时间为120分钟。
2．答题前，考生务必在答题卡的密封区内填写校名、姓名和准考证号。
3．所有答案都务必做在答题卡标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应。
4．考试结束后，只需上交答题卡。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．的绝对值是（ ）
A． B．7 C． D．
2．下列图形中，为圆柱的侧面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列熟悉的几何图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．等腰直角三角形 B．正五边形 C．平行四边形 D．矩形
4．若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，，点D在AC边上，以CB，CD为边作E，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x，y的二元一次方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，边QR在数轴上．点Q表示的数为1，点R表示的数为3，以Q为圆心，QP的长为半径画弧交数轴负半轴于点，则表示的数是（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，已知点，，在该抛物线上．若，则，，的大小为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，一架梯子AB靠墙而立，梯子顶端B到地面的距离BC为，梯子中点处有一个标记，在梯子顶端B竖直下滑的过程中，该标记到地面的距离y与顶端下滑的距离x满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系
10．在平面直角坐标系中，点A在直线上l上，以A为圆心，OA为半径的圆与y轴的另一个交点为E，给出如下定义：若线段OE，和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形ABCD是矩形（点A，B，C，D顺时针排列），则称矩形ABCD为直线的“理想矩形”．例如，图中的矩形ABCD为直线l的“理想矩形”，若点，则直线的“理想矩形”的面积为（ ）
A．12 B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．将数字31400000000用科学记数法可表示为________．
12．已知一组数据从小到大依次，0，4，x，6，15，其中位数为5，则其众数为________．
13．某圆锥底面半径为，母线长为，则该圆锥侧面展开图的面积为________．（结果保留）
14．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为，OA，OC分别落在x轴和y轴上，OB是矩形的对角线．将绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到，OD与CB相交于点F，反比例函数的图象经过点F，交AB于点G．点P为x轴正半轴上一动点，当取最小值时，则点P的坐标为________．
15．将数1个1，2个，3个，…，n个（n为正整数）顺次排成一列：1，，，，，，…，，，…，记，，，，，…，，，…，，，则________．
三、解答题（本大题共55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤）
16．（本题满分6分）
先化简，再求值：，其中．
17．（本题满分7分）
某校九年级开展征文活动，征文主题只能从“爱国”“敬业”“诚信”“友善”四个主题中选择一个，九年级每名学生按要求都上交了一份征文，学校为了解选择各种征文主题的学生人数，随机抽取了部分征文进行了调查，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
学生选择征文主题条形统计图 学生选择征文主题扇形统计图
（1）求本次调查共抽取了多少名学生的征文；
（2）将上面的条形统计图和扇形统计图补充完整；
（3）如果该校九年级共有1200名学生，请估计选择以“友善”为主题的九年级学生有多少名；
（4）本次抽取的3份以“诚信”为主题的征文分别是小义、小玉和大力的，若从中随机选取2份以“诚信”为主题的征文进行交流，请用画树状图法或列表法求小义和小玉同学的征文同时被选中的概率．
18．（本题满分7分）
我国为了维护钓鱼岛P的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航．在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（），当轮船航行到距钓鱼岛的A处时，飞机在B处测得轮船的俯角是；当轮船航行到C处时，飞机在轮船正上方的E处，此时．轮船到达钓鱼岛P时，测得D处的飞机的仰角为．试求飞机的飞行距离BD（结果保留根号）．
19．（本题满分8分）
随着某市养老机构（养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等）建设稳步推进，拥有的养老床位及养老建筑不断增加．
（1）该市的养老床位数从2020年底的2万个增长到2022年底的2.88万个，求该市这两年（从2020年底到2022年底）拥有的养老床位数的平均年增长率；
（2）该市某社区今年准备新建一养老中心，如果计划赡养200名老人，建筑投入平均5万元/人，且计划赡养的老人每增加5人，建筑投入平均减少1000元/人，那么新建该养老中心需申报的建筑最高投入是多少？
20．（本题满分8分）
如图，BC为的直径，点D在上，连接BD，CD，过点D的切线AE与CB的延长线交于点A，，OE与CD交于点F．
（1）求证：；
（2）当的半径为10，时，求EF的长．
21．（本题满分9分）
在正方形ABCD中，E为BC上一点，点M在AB上，点N在DC上，且，垂足为点F．
图1 图2
（1）如图1，当点N与点C重合时，求证：；
（2）将图1中的MN向上平移，使得F为DE的中点，此时MN与AC相交于点H．
①依题意补全图2；
②用等式表示线段MH，HF，FN之间的数量关系，并证明．
22．（本题满分10分）
如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当和相似时，求此时点P的坐标；
（3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标．
2022-2023学年度第二学期二模检测
初四数学试题参考答案及评分标准
（仅供参考）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．B 2．C 3．C 4．A 5．D 6．B 7．C 8．B 9．B 10．B
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1． 12．6 13． 14． 15．
三、解答题（本大题共55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤）
16．（本题满分6分）
，2
17．（本题满分7分）
解：（1）本次调查共抽取的学生有（名）；
（2）选择“友善”的人数有（名），占，“爱国”占，“敬业”占．条形统计图和扇形统计图如图所示：
学生选择征文主题条形统计图 学生选择征文主题扇形统计图
（3）该校九年级共有1200名学生，请估计选择以“友善”为主题的九年级学生有名；
（4）记小义、小玉和大力分别为A、B、C，
树状图如图所示：
共有6种情形，小义和小玉同学的征文同时被选中的有2种情形，小义和小玉同学的征文同时被选中的概率．
18．（本题满分7分）
解：作，，垂足分别为F、G，
由题意得：，，
在中，，
则，
∴．
∵，
∴，
在中，，即，
∴．
则．
答：飞机的飞行距离BD为．
19．（本题满分8分）
解：（1）设该市这两年（从2020年底到2022年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该市这两年（从2020年底到2022年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为20%．
（2）设在200人的基础上增加m人时，建筑总投入为w元，
依题意，得：，
∵，
∴当时，w取得最大值，最大值为10125000．
答：新建该养老中心需申报的最高建筑投入为10125000元．
20．（本题满分8分）
（1）证明：连接OD，如图，
∵AE与相切，
∴，
∴，
∵BC为直径，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
而，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴．
21．（本题满分9分）
（1）证明：∵四边形ABCD是长方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴；
（2）①过DE的中点F作，分别与AB、AC、CD交于点M、H、N，如图即为补全的图形；
图2
②，理由如下：
如图，在FH上截取，连接EG交AC于点K，作交AB于点T，
∵，
∴四边形MTCN是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
由（1）知：，，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
22．（本题满分10分）
（1）在中，
令，得：，
解得：，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为：；
（2）设直线BC解析式为，
∵，，
∴，解得：，
∴直线BC解析式为：，
设M点坐标为，
∵轴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，
若和相似，分两种情况：
①当，
∴，即，
解得：，
∴；
②当，
∴，即，
解得：，
∴；
综上所述，点P的坐标为或；
（3）设M点坐标为，
当点P在M的上方时，由（2）知，，
∵沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
解得：（舍去），，
∴当时，，
∴．
当点P在M点下方时，，
同理可得，
解得（舍去），，
∴，
综上所述，点P的坐标为或．
