第三章 函数的概念与性质—高一数学人教A版（2019）必修第一册单元检测卷（B卷）
【满分：150分】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知幂函数为偶函数，则( )
A.1 B.-1 C.3 D.-3
2.函数的定义域为R，且与都为奇函数，则下列结论错误的是( )
A.为奇函数 B.为周期函数 C.为奇函数 D.为偶函数
3.已知函数的定义域为，且，，记，，，则( )
A. B. C. D.
4.若，a为大于0的常数，且，则( )
A.1 B. C. D.
5.如图是幂函数的部分图象，已知n取，2，，这四个值，则与曲线，，，相对应的n依次为( )
A.2，，， B.，，，2
C.，，2， D.2，，，
6.已知全集，集合，，那么集合( )
A. B. C. D.
7.幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是( )
A. B.是减函数
C.是奇函数 D.是偶函数
8.已知是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，且，在单调递减，则( )
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的为( )
A.为偶函数 B.为增函数
C.若，则 D.若，则
10.已知函数的定义域为R，满足，则( )
A. B. C.为偶函数 D.为奇函数
11.已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则( )
A. B.为函数图象的一条对称轴
C.函数在上单调递增 D.函数是周期函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知幂函数满足.则____________.
13.定义在R上的函数，满足为偶函数，为奇函数，若，则_________________.
14.定义域为R的函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称.若，则________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.
15.（13分）定义：满足的实数x为函数的“不动点”.已知二次函数，为偶函数，且有且仅有一个“不动点”.
（1）求的解析式.
（2）若函数在上是增函数，求实数k的取值范围.
（3）是否存在区间，使得在区间上的值域为？若存在，请求出m，n的值；若不存在，请说明理由.
16.（15分）已知幂函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）若，a，b均为正数且，求的最小值.
17.（15分）已知函数，
（1）求的定义域；
（2）求，的值；
18.（17分）设函数，其中a为常数.
（1）若对任意，，当时，，求实数a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求在区间上的最小值，并求的最小值.
19.（17分）设是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有.当时，.
(1)当时，求的解析式；
(2)计算的值.
答案以及解析
1.答案：D
解析：因为为幂函数，所以，解得或，又因为是偶函数，所以.故选D.
2.答案：D
解析：①与都为奇函数，①，②，
由①可得，即③，
由②③得，，由及，得，以代换x，得，
即，因而选项A正确.
②在前面已经证明所以的周期为2，因而选项B正确；
③==，所以，所以为奇函数，因而选项C正确.
④，则为奇函数，因而选项D错误.故选：D.
3.答案：A
解析：由，可得，
令，代入可得，即，
令，代入可得，即，
令，，代入可得，即；
由可得，显然可得.故选：A
4.答案：D
解析：因为，所以，所以.又，所以，所以.
5.答案：A
解析：方法一：曲线，过点，，且在第一象限内单调递增，所以，n为，2，观察图象的特征可知对应，对应.，过点，且在第一象限内单调递减，所以，n为，，观察图象的特征可知对应，对应.
方法二：取，分别代入，，，中，可得，，，，比较得，则与曲线，，，相对应的n依次为2，，，.
6.答案：C
解析：，，，，
，，故选：C.
7.答案：C
解析：函数为幂函数，则，解得或.
当时，在区间上单调递增，不满足条件，排除A；
当时，在区间上单调递减，满足题意.函数在和上单调递减，但不是减函数，排除B；
因为函数定义域关于原点对称，且，所以函数是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误.故选：C.
8.答案：BD
解析：因为是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，且两函数在上单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减，在R上单调递减，
所以，，所以，，，所以BD正确，C错误；若，则，A错误.故选：BD.
9.答案：BD
解析：设幂函数，由于图象经过点，所以，即，
所以，故在定义域上单调递增，B正确；
为非奇非偶函数，A不符合题意；当，解得，故C正确；
当时，
故，即成立，D正确.故选：BD
10.答案：AD
解析：对于A：令，得，即，所以或.当时，不恒成立，故，故A正确.
对于B：令，得，又，所以，故，故B错误.
对于C、D：由B选项可知，则，所以为奇函数，故C错误，D正确.故选：AD.
11.答案：ABD
解析：为奇函数，，令，可得，正确；
B.由于为偶函数，，所以的图象关于直线对称，正确；
C.为奇函数，，由，以x替换，所以关于对称，在上单调递增，所以在上单调递增，又关于直线对称，所以在上单调递减，错误；
D.由，所以，所以是周期为8的周期函数，正确.故选：ABD.
12.答案：
解析：由幂函数的定义可知，，即，解得或.
当时，在上单调递减，不满足；当时，在上单调递增，满足.综上，.故答案为：.
13.答案：1
解析：若为偶函数，为奇函数，则，，令，则，即，
令，则，即，又因为，所以.故答案为：1.
14.答案：2499
解析：因为的图象关于点对称，所以，则即，又的图象关于直线对称，则，所以，即，
可得，则是以4为周期的函数.因为，
由，令，得，所以，，，所以
.故答案为：2499.
15.答案：（1）
（2）
（3）存在，，
解析：（1）由为偶函数知图象的对称轴为直线，即，
又方程有唯一解，知，所以.
（2）若在上是增函数，
则，或且对称轴，或且对称轴，解得.
（3）假设存在区间满足条件.
因为，所以，
可知在区间上单调递增，于是，，
即m，n是方程的两个不相等的实根，解得，.
16.答案：（1）
（2）2
解析：（1）幂函数，则，解得或.
当时，，是偶函数，满足题意；
当时，，是奇函数，不满足题意，舍去.
故.
（2），，
即.
，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为2.
17.答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为，
所以，
所以的定义域为
（2）因为，
所以，
18.答案：（1）
（2），的最小值为-36.
解析：（1）因为的对称轴为，且开口向上，
由题意可知，函数在定义域上为增函数，
则实数a应满足，
解得，故实数a的取值范围为.
（2），其图像的对称轴为直线，且开口向下，
由（1）得，
①当，即时，，
因为在上单调递减，
此时；
②当，即时，在上单调递减，
此时，
综上所述，，且的最小值为-36.
19.答案：(1)，
(2)0
解析：（1），，
是周期为4的周期函数.
，，，
，
又，
，即，.
（2），，，，
又是周期为4的周期函数，
，
.
