2023-2024学年广东省湛江市雷州市十校联考九年级（上）第三次月考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在下列各数中，是无理数的是（ ）
A．﹣1 B． C．3.14 D．
2．（3分）党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位．将2800000000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.28×1013 B．2.8×1011 C．2.8×1012 D．28×1011
3．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2x2+x2＝2x4 B．x3 x3＝2x3
C．（x5）2＝x7 D．2x7÷x5＝2x2
5．（3分）x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．4 D．﹣6
6．（3分）把函数y＝x2的图象向右平移1个单位，所得函数表达式为（ ）
A．y＝x2+1 B．y＝（x+1）2 C．y＝x2﹣1 D．y＝（x﹣1）2
7．（3分）如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠OAB＝20°，则∠C的度数是（ ）
A．40° B．70° C．110° D．140°
8．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3均过点（﹣1，y1）、（2，y2）、（4，y3），则y1，y2，y3三者之间的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
9．（3分）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（ ）
A． x（x﹣1）＝36 B． x（x+1）＝36
C．x（x﹣1）＝36 D．x（x+1）＝36
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
①abc＜0；
②b2﹣4ac＞0；
③a﹣b+c＜0；
④当y＞0时，﹣1＜x＜3；
⑤2a+b＞0．
A．①②③ B．①②④⑤ C．①③④ D．①②④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）若实数x1，x2分别满足x2﹣4x+3＝0的两个根，则＝ ．
13．（3分）抛物线y＝（x+I）2﹣2与y轴的交点坐标是 ．
14．（3分）若点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称，则（m+n）2023＝ ．
15．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OB，垂足为E，CD＝6cm，则直径AB的长为______________cm．
16．（3分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3，则△ABD的面积为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．（4分）解方程：x2+6x﹣7＝0．
18．（4分）解不等式组：．
19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°．
（1）尺规作图：作边AB的垂直平分线DE，交AB于点D，交BC于点E．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）证明：BE＝2CE．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，2）．请解答下列问题：
（1）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A1B1C1，并写出A1的坐标；
（2）画出△A1B1C1于原点O成中心对称的△A2B2C2，并写出A2的坐标．
21．（8分）已知抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m．
（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；
（2）若此抛物线与直线y＝x﹣3m+3的一个交点在y轴上，求m的值．
22．（10分）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．
（1）求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，⊙O的切线BD交OC的延长线于点D．
（1）求证：∠DBC＝∠OCA；
（2）若∠BAC＝30°，AC＝2．求CD的长．
24．（12分）问题：如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为 ．
探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD的长．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，其中点B的坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c和直线BC的函数表达式；
（2）点P是直线BC上方的抛物线上一个动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
（3）连接B和（2）中求出点P，点Q为抛物线上的一点，直线BP下方是否存在点Q使得∠PBQ＝45°？若存在，求出点Q的坐标．
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．解：A、﹣1是有理数，不是无理数，不符合题意；
B、是有理数，不是无理数，不符合题意；
C、3.14是有理数，不是无理数，不符合题意；
D、是无理数，符合题意；
故选D．
2．解：2800000000000＝2.8×1012．
故选：C．
3．解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
4．解：A、2x2+x2＝3x2，故此选项错误；
B、x3 x3＝x6，故此选项错误；
C、（x5）2＝x10，故此选项错误；
D、2x7÷x5＝2x2，正确．
故选：D．
5．解：把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得1+a+2b＝0，
所以a+2b＝﹣1，
所以2a+4b
＝2（a+2b）
＝2×（﹣1）
＝﹣2．
故选：A．
6．解：把函数y＝x2的图象向右平移1个单位，所得函数表达式为y＝（x﹣1）2，
故选：D．
7．解：∵OA＝OB，∠OAB＝20°，
∴∠OAB＝∠OBA＝20°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝140°，
∴∠C＝∠AOB＝70°，
故选：B．
8．解：∵y＝x2﹣2x﹣3，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝1，
∴对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3均过点（﹣1，y1）、（2，y2）、（4，y3），
∴点（﹣1，y1）关于直线x＝1的对称点是（3，y1）在函数的图象上，
∵1＜2＜3＜4，
∴y2＜y1＜y3，
故选：D．
9．解：根据题意得： x（x﹣1）＝36．
故选：A．
10．解：∵抛物线开口向下，则a＜0，对称轴为直线，则b＝﹣2a＞0，抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故②正确；
∵抛物线过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，故③不正确；
∵抛物线过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，则抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
根据函数图象可得当y＞0时，﹣1＜x＜3，故④正确；
∵b＝﹣2a，则2a+b＝0，故⑤错误，
故选：D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．解：由题意得：x﹣2023≥0，
解得：x≥2023，
故答案为：x≥2023．
12．解：由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝3，
∴原式＝
＝，
故答案为：．
13．解：将x＝0代入抛物线可得：y＝1，
∴抛物线与y轴的交点是（0，﹣1），
故答案为：（0，﹣1）．
14．解：∵点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称，
∴m＝﹣3，n＝2，
∴（m+n）2023＝（﹣3+2）2023＝﹣1，
故答案为：﹣1．
15．解：连接OD，
∵弦CD垂直平分半径OB，垂足为E，CD＝6cm，
∴．
设AB＝4x，则OD＝OB＝2x cm，OE＝x cm，
∴x2+32＝（2x）2，
解得，
∴．
故答案为：．
16．解：∵四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3，
∴E（2，3），C（0，3），
把E（2，3），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3．
∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D点坐标为（1，4），
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），
∴S△ABD＝×（3+1）×4＝8．
故答案为8．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．解：∵x2+6x﹣7＝0，
∴（x+7）（x﹣1）＝0，
∴x1＝﹣7或x2＝1．
18．解：，
解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x≤，
则不等式组的解集为1＜x≤．
19．解：（1）如图所示，DE即为所求；
（2）证明：如图所示，连接AE，
∵DE为线段AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B＝30°，
∵∠C＝90°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠CAE＝30°，
∴AE＝2CE，
∴BE＝2CE．
20．解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，A1的坐标为：（4，0）；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，A2的坐标为：（﹣4，0）．
21．（1）证明：令y＝0得：x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0，
∵△＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣m）×1
＝（4m2﹣4 m+1）﹣（4m2﹣4m）
＝1＞0，
∴方程有两个不等的实数根，
∴原抛物线与x轴有两个不同的交点；
（2）解：令x＝0，根据题意有：m2﹣m＝﹣3m+3，
解得m＝﹣3或1．
22．解：（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得：
50（1﹣a）2＝32，
解得：a＝1.8（舍）或a＝0.2，
答：每次下降的百分率为20%；
（2）设每千克应涨价x元，由题意，得
（10+x）（500﹣20x）＝6000，
整理，得 x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10，
因为要尽快减少库存，所以x＝5符合题意．
答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．
23．（1）证明：∵DB是⊙O的切线，
∴BD⊥AB，
∴∠OBD＝∠OBC+∠DBC＝90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°．
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB．
∴∠DBC＝∠OCA；
（2）解：在Rt△ACB中，∵∠A＝30°，AC＝2，
∴CB＝AC＝，
∵∠A＝30°，
∴∠COB＝2∠A＝60°，
∴∠D＝90°﹣∠COB＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝30°．
∴∠DBC＝∠OCA＝30°，
∴∠D＝∠DBC．
∴CB＝CD．
∴CD＝．
24．解：（1）BC＝DC+EC，
理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，
∴BC＝BD+CD＝EC+CD，
故答案为：BC＝DC+EC；
（2）BD2+CD2＝2AD2，
理由如下：连接CE，
由（1）得，△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，∠ACE＝∠B，
∴∠DCE＝90°，
∴CE2+CD2＝ED2，
在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，又AD＝AE，
∴BD2+CD2＝2AD2；
（3）过点A作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，
∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE＝9，
∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，
∴∠EDC＝90°，
∴DE＝＝＝6，
∵∠DAE＝90°，
∴AD＝AE＝DE＝6．
25．解：（1）把B（4，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+2；
设直线BC的函数表达式为y＝mx+2，把B（4，0）代入得：
4m+2＝0，
解得m＝﹣，
∴直线BC的函数表达式为y＝﹣x+2；
（2）过P作PH∥y轴交BC于H，如图：
设P（t，﹣ t2+t+2），则H（t，﹣ t+2），
∴PH＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t，
∴S△PBC＝PH OB＝×（﹣t2+2t）×4＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当t＝2时，S△PBC取最大值4，
此时P的坐标为（2，3）；
（3）直线BP下方存在点Q，使得∠PBQ＝45°，理由如下：
过P作PM⊥PB交BQ的延长线于M，过P作TK∥x轴，过B作BK⊥TK于K，过M作MT⊥TK于T，如图：
由（2）知P（2，3），
∵B（4，0），
∴PK＝2，BK＝3，
∵∠PBQ＝45°，
∴△PBM是等腰直角三角形，
∴∠MPB＝90°，PB＝PM，
∴∠KPB＝90°﹣∠TPM＝∠TMP，
∵∠K＝∠T＝90°，
∴△BPK≌△PMT（AAS），
∴PK＝MT＝2，BK＝PT＝3，
∴M（﹣1，1），
由M（﹣1，1），B（4，0）得直线BM函数表达式为y＝﹣x+，
联立，解得或，
∴Q的坐标为（﹣，）．
