7.1 正弦函数的图像与性质（同步练习）-高中数学沪教版（2020）必修第二册
一、单选题
1．若函数是奇函数，则（ ）
A．1 B．0 C．2 D．－1
2．函数，若f(a)=2，则f(-a)的值为
A．3 B．0 C．-1 D．-2
3．下列关系式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于点（1，0）对称，则tanφ=（ ）
A．﹣ B．﹣2 C． D．2
5．函数y=sinx在其定义域上的奇偶性是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．既奇且偶的函数 D．非奇非偶的函数
6．下列函数中，是奇函数且在其定义域上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
7．函数y=sinx的定义域为[a，b]，值域为[0，1]，则b﹣a的值不可能是（ ）
A． B． C．π D．2π
8．将函数 的图象向右平移 个单位长度，再将横坐标缩短为原来的 得到函数 的图象，若 在 上的最大值为 ，则 的取值个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．已知函数f（x）＝sin（x+ ），则以下判断正确的是（ ）
A．2π是f（x）的最小正周期
B．（ ，0）是f（x）图象的一个对称中心
C．x＝﹣ 是f（x）图象的一条对称轴
D． 是f（x）的一个单调递减区间
10．下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数在处取得最大值，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．若函数 的最小正周期为 ，将 的图像向左平移 个单位后，所得图像关于 轴对称，则 的最小正值为 .
13．写出一个最小正周期为的奇函数： .
14．以下说法正确的是 ．（填写所有正确的序号）
①若两非零向量 ，若 ，则 的夹角为锐角；②若 ，则 ，反之也对；③在 中，若 ，则 ，反之也对；④在锐角 中，若 ，则
四、解答题
15．已知函数 ，满足 的 的最小值是 .
（1）求 的单调递增区间；
（2）求 在 上的最大值和最小值.
16．函数 的部分图象如图所示：
（1）求图中a，b的值及函数 的递增区间；
（2）若 ，且 ，求 的值．
17．已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期及单调增区间；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位，再将横坐标扩大为原来的2倍得到 的图象，求函数 在 上的值域.
18．已知函数 ．
(Ⅰ)求 的最小正周期及对称轴；
(Ⅱ)求函数 在区间[0， ]上的值域．
19．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为 为参数 以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 ．
（1）当 时，求曲线C上的点到直线l的距离的最大值；
（2）若曲线C上的所有点都在直线l的下方，求实数t的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【点评】因为函数是奇函数，所以。选A
【点评】熟记奇函数的性质：若是奇函数，且x=0有意义，则f（0)一定为0.
2．【答案】B
【解析】【点评】因为所以所以.选B.
3．【答案】B
【解析】因为，又上单调递增，所以，即。
【点评】本题直接考查三角函数的单调性，属于基础题。要比较函数值的大小，要把自变量放在同一个单调区间上。
4．【答案】D
【解析】解：∵函数y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于点（1，0）对称，
∴sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）=﹣sinφ+2cosφ=0，则tanφ= =2，
故选：D．
【点评】利用三角函数的图象的对称性，求得tanφ的值．
5．【答案】A
【解析】解：对于函数y=f（x）=sinx 的定义域为R，由于满足f（﹣x）=sin（﹣x）=﹣sinx=﹣f（x），
故该函数在其定义域上的奇偶性是奇函数，
故选：A．
【点评】根据函数满足定义域为R，且满足f（﹣x）=﹣f（x），根据函数的奇偶性的定义可得结论．
6．【答案】B
【解析】解：对于A中，函数为奇函数，但不是单调函数，所以A符合题意；
对于B中，函数，由图象易得函数为奇函数，且为单调递增函数，所以B符合题意；
对于C中，函数的定义域为，所以函数为非奇非偶函数，所以C不符合题意；
对于D中，函数为奇函数，但在定义域上不是单调函数，所以D不符合题意；
故答案为：B.
【点评】根据函数的奇偶性的定义和函数初等函数的单调性的判定方法，逐项判定，即可求解.
7．【答案】D
【解析】解: ∵y=sinx在[a，b]上的值域为[0，1]，
∴≤b﹣a≤π．
故选：D．
【点评】借助于正弦函数图象可发现当值域为[0，1]时，对于的区间长度大于周期，小于周期．
8．【答案】B
【解析】解：将函数 的图象向右平移 个单位长度，可得 的图象．
再将横坐标缩短为原来的 得到函数 的图象，
， 上， ， ，
当 ，即 时，则 ，求得 ．
当 ，即 时，由题意可得 ，
作出函数 与 的图象如图：
由图可知，此时函数 与 的图象有唯一交点，则 有唯一解．
综上， 的取值个数为2．
故答案为：B．
【点评】 利用函数图象的平移与伸缩变换求得f（x）的解析式，再由x的范围求得 的范围，结合y=f（x）在 上的最大值为 分类讨论即可解得出答案。
9．【答案】A,B,D
【解析】由函数f（x）＝sin（x+ ），
对于A， ，A符合题意；
对于B，当 时， ，B符合题意；
对于C，当x＝﹣ 时， ，C不正确；
对于D， ，
解得 ，
当 时， ，D符合题意；
故答案为：ABD
【点评】 根据题意首先求出函数的周期，判断函数的对称性，以及函数的单调区间，推出选项即可．
10．【答案】A,D
【解析】解：A、根据二次函数的性质可知，函数在区间上单调递增，故A符合；
B、根据正弦函数的图象可知，函数在上不单调，故B不符合；
C、根据对勾函数的单调性可知，函数在区间上不单调，故C不符合；
D、由对数函数的性质可知，函数在区间上单调递增，故D符合.
故答案为：AD.
【点评】根据基本初等函数的单调性逐项判断即可.
11．【答案】A,C
【解析】解：
由得．
于是时，；时，.
故答案为：AC．
【点评】 直接利用三角函数的诱导公式的应用和正弦型函数的性质的应用求出 的值 .
12．【答案】
【解析】解：因为函数 的最小正周期为 ，
所以 ，
所以其图像向左平移 个单位后，可得 的图像，
因为所得图像关于 轴对称，
所以 ，即 ，
所以 的最小正值为 ，
故答案为：
【点评】 利用函数的图象变换规律，正弦函数的周期性、图象的对称性，求得w和，由此即可得解.
13．【答案】(答案不唯一)
【解析】最小正周期为的奇函数，有如：、()等.
故答案为：(答案不唯一).
【点评】由函数周期的定义和奇函数的性质，结合正弦函数的性质，即可得出答案。
14．【答案】③④
【解析】对于①， 与 同向时，若 ，夹角为 ，不是锐角，故①错误；
对于②，若 时，则 ， 与 平行，故②错误；
对于③，由正弦定理得， ，故③正确；
对于④，由 ，可得 ，即 ，故④正确，
故答案为③④.
【点评】利用向量共线与数量积的关系、正弦定理中的边角关系、三角形中角之间的关系式找出说法正确的序号。
15．【答案】（1）解：
又 ， ， ，
或 ，同理 或 ，
，又 的最小值是 ，
令 ，解得
所以 的单调递增区间为
（2）解： ， ，
利用正弦函数的性质可知 ，则
所以 在 上的最大值为 ，最小值为
【解析】【点评】(1)首先由二倍角的正、余弦公式以及两角和的正弦公式整理化简函数的解析式，由正弦函数的图象和性质即可得出函数的单调区间。
(2)首先由角的取值范围即可得出，结合正弦函数的单调性即可求出函数的最值。
16．【答案】（1）解：由图可得 ， ，则 ， ，
，
，则 ，
则 ， ， ，
，
， ，
令 ，解得 ，
的递增区间为
（2）解： ，即 ，
， ，
或 ，则 或
【解析】【点评】(1)根据题意由已知条件就可求出函数的周期，结合函数的周期公式即可计算出的值，再由点的坐标代入到函数的解析式即可求出由此求出函数的解析式；然后由特殊值法代入计算出a与b的值，结合正弦函数的单调性由整体思想即可求出函数的单调递增区间。
(2)首先已知条件把数值代入计算出，再由角的取值范围利用整体思想即可得出的取值范围，由此即可求出 或 ，进而得到答案。
17．【答案】（1）解： ，
所以函数 的最小正周期为 ，
由 ，得单调增区间为
（2）解：函数 的图象向右平移 个单位，
得到 ，再将横坐标扩大为原来的2倍得到 ，
令 ，
【解析】【点评】(1)根据题意由两角和的正弦公式整理化简函数的解析式，然后由正弦函数的周期公式和单调性利用整体思想即可得出答案。
(2)由函数平移的性质即可得出函数g(x)的解析式，然后由正弦函数的单调性即可得出，由此即可得出函数的值域。
18．【答案】解：（Ⅰ）
所以
对称轴 即
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
因为 ，所以 ，
所以 ，因此
所以f(x)的值域 ．
【解析】【点评】(1)利用二倍角的正余弦公式和辅助角公式化简函数为三角型函数，再利用三角型函数的最小正周期公式求出三角型函数的最小正周期，再利用换元法将三角型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数图象求出三角型函数的对称轴。
（2）利用函数f(x)中x的取值范围求出的取值范围，再利用换元法将三角型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数图象求出三角型函数的值域。
19．【答案】（1）解：直线 的直角坐标方程为 .
曲线 上的点到直线 的距离，
，
当 时， ，
即曲线 上的点到直线 的距离的最大值为
（2）解：∵曲线 上的所有点均在直线 的下方，
∴对 ，有 恒成立，
即 （其中 ）恒成立，
∴ .
又 ，∴解得 ，
∴实数 的取值范围为
【解析】【点评】（1）本题利用极坐标与直角坐标的互化公式求出直线l的直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式求出d，再借助辅助角公式化简点到直线的距离d，最后借助三角型函数图象求出d的最大值，从而求出点到直线距离的最大值。
（2）本题利用已知条件转化为不等式恒成立问题，再利用不等式恒成立问题的解决方法借助三角型函数图象求出t的取值范围。
