十 两数和乘以这两数的差
【A层 基础夯实】
知识点1 平方差公式
1.下列各式能用平方差公式计算的是( )
A.(3x+2y)(2x-3y)
B.(3x+2y)(3x-y)
C.(3x+2y)(3x-2y)
D.(3x-2y)(2x-3y)
2.计算:(2x+1)(2x-1)-x(4x-1)= .
3.若m2-n2=28,m+n=7,则m-n= .
4.计算:(1)(3x+y)(3x-y);
(2)(5+6x)(5-6x);
(3)(ab+8)(ab-8);
(4)(-1+2a)(-1-2a).
5.(2024·南阳质检)试说明式子(-a+3)(a+3)-a(1-a)+a的值与a的取值无关.
知识点2 平方差公式的应用
6.一个长方形的长为2x-y,宽为2x+y,则这个长方形的面积是( )
A.4x2-y2 B.4x2+y2
C.2x2-y2 D.2x2+y2
7.已知M=2 0222,N=2 021×2 023,则M与N的大小关系是( )
A.M>N B.M
8.用乘法公式计算:
(1)198×202;
(2)5002-501×499.
【B层 能力进阶】
9.如图,阴影部分是在一个边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后得到的图形,将阴影部分通过割、拼,形成新的图形.给出下列四种割拼方法,每种割拼方法都能够验证平方差公式,其中用到的数学思想是( )
A.数形结合思想 B.整体思想
C.公理化思想 D.方程思想
10.(易错警示题·概念不清)为了应用平方差公式计算(x+3y-1)(x-3y+1),下列变形正确的是( )
A.[x-(3y+1)]2
B.[x+(3y+1)]2
C.[x+(3y-1)][x-(3y-1)]
D.[(x-3y)+1][(x-3y)-1]
11.对于任意正整数m,能整除式子(m+3)(m-3)-(m+2)(m-2)的整数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
12.(2024·衡阳质检)(a2+b2-1)(a2+b2+1)=80,则a2+b2= .
13.三个连续偶数,若中间一个数是n,则它们的积为 .
14.有A,B两种规格的长方形纸板,如图①,无重合无缝隙地拼成如图②所示的正方形,已知该正方形的边长为2x cm,A种长方形的宽为2 cm,则B种长方形的面积是 cm2(用含x的代数式表示).
15.如果两个连续奇数的积为99,那么这两个连续奇数的和为 .
16.(2024·宿州期末)a,b,c是三个连续的正整数,以b为边长作正方形,分别以c,a为长和宽作长方形,哪个图形的面积大 大多少
【C层 创新挑战(选做)】
17.(推理能力、运算能力)阅读下列材料:
某同学在计算3(4+1)(42+1)时,发现把3写成4-1后,可以连续运用平方差公式计算,
3(4+1)(42+1)
=(4-1)(4+1)(42+1)
=(42-1)(42+1)
=44-1
=256-1
=255.
请借鉴该同学的经验,计算下列式子的值:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1).十 两数和乘以这两数的差
【A层 基础夯实】
知识点1 平方差公式
1.下列各式能用平方差公式计算的是(C)
A.(3x+2y)(2x-3y)
B.(3x+2y)(3x-y)
C.(3x+2y)(3x-2y)
D.(3x-2y)(2x-3y)
2.计算:(2x+1)(2x-1)-x(4x-1)= x-1 .
3.若m2-n2=28,m+n=7,则m-n= 4 .
4.计算:(1)(3x+y)(3x-y);
(2)(5+6x)(5-6x);
(3)(ab+8)(ab-8);
(4)(-1+2a)(-1-2a).
【解析】(1)原式=9x2-y2;
(2)原式=25-36x2;
(3)原式=(ab)2-64=a2b2-64;
(4)原式=(-1)2-(2a)2=1-4a2.
5.(2024·南阳质检)试说明式子(-a+3)(a+3)-a(1-a)+a的值与a的取值无关.
【解析】原式=9-a2-(a-a2)+a
=9-a2-a+a2+a
=9,
∵计算结果中不含字母a,
∴式子(-a+3)(a+3)-a(1-a)+a的值与a的取值无关.
知识点2 平方差公式的应用
6.一个长方形的长为2x-y,宽为2x+y,则这个长方形的面积是(A)
A.4x2-y2 B.4x2+y2
C.2x2-y2 D.2x2+y2
7.已知M=2 0222,N=2 021×2 023,则M与N的大小关系是(A)
A.M>N B.M
8.用乘法公式计算:
(1)198×202;
【解析】(1)198×202=(200-2)(200+2)=2002-22=40 000-4=39 996;
(2)5002-501×499.
【解析】(2)5002-501×499
=5002-(500+1)(500-1)
=5002-(5002-1)
=5002-5002+1
=1.
【B层 能力进阶】
9.如图,阴影部分是在一个边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后得到的图形,将阴影部分通过割、拼,形成新的图形.给出下列四种割拼方法,每种割拼方法都能够验证平方差公式,其中用到的数学思想是(A)
A.数形结合思想 B.整体思想
C.公理化思想 D.方程思想
10.(易错警示题·概念不清)为了应用平方差公式计算(x+3y-1)(x-3y+1),下列变形正确的是(C)
A.[x-(3y+1)]2
B.[x+(3y+1)]2
C.[x+(3y-1)][x-(3y-1)]
D.[(x-3y)+1][(x-3y)-1]
11.对于任意正整数m,能整除式子(m+3)(m-3)-(m+2)(m-2)的整数是(D)
A.2 B.3 C.4 D.5
12.(2024·衡阳质检)(a2+b2-1)(a2+b2+1)=80,则a2+b2= 9 .
13.三个连续偶数,若中间一个数是n,则它们的积为 n3-4n .
14.有A,B两种规格的长方形纸板,如图①,无重合无缝隙地拼成如图②所示的正方形,已知该正方形的边长为2x cm,A种长方形的宽为2 cm,则B种长方形的面积是 (x2-9) cm2(用含x的代数式表示).
15.如果两个连续奇数的积为99,那么这两个连续奇数的和为 20或-20 .
16.(2024·宿州期末)a,b,c是三个连续的正整数,以b为边长作正方形,分别以c,a为长和宽作长方形,哪个图形的面积大 大多少
【解析】∵a,b,c是三个连续的正整数,
∴a=b-1,c=b+1,
∴以b为边长的正方形面积为b2,以c,a为长和宽的长方形面积为(b+1)(b-1),
则b2-(b+1)(b-1)=b2-b2+1=1>0,那么以b为边长的正方形面积大,它比以c,a为长和宽的长方形面积大1.
【C层 创新挑战(选做)】
17.(推理能力、运算能力)阅读下列材料:
某同学在计算3(4+1)(42+1)时,发现把3写成4-1后,可以连续运用平方差公式计算,
3(4+1)(42+1)
=(4-1)(4+1)(42+1)
=(42-1)(42+1)
=44-1
=256-1
=255.
请借鉴该同学的经验,计算下列式子的值:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1).
【解析】原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(24-1)(24+1)(28+1)
=(28-1)(28+1)
=216-1.
