模型01 绝对值化简与最值问题答案
板块一：绝对值代数意义及化简
⑴ 下列各组判断中，正确的是 ( )
A．若，则一定有 B．若，则一定有
C. 若，则一定有 D．若，则一定有
⑵ 如果＞，则 ( )
A． B．＞ C． D ＜
⑶ 下列式子中正确的是 ( )
A． B． C． D．
⑷ 对于，下列结论正确的是 ( )
A． B． C． D．
⑸若，求的取值范围．
已知：⑴，且；⑵，分别求的值
已知，求的取值范围
（4级）若且，则下列说法正确的是（ ）
A．一定是正数 B．一定是负数 C．一定是正数 D．一定是负数
求出所有满足条件的非负整数对
非零整数满足，所有这样的整数组共有
如果有理数、、在数轴上的位置如图所示，求的值.
已知，那么
是一个五位自然数，其中、、、、为阿拉伯数码，且，则的最大值是 ．
已知，其中，那么的最小值为
设为整数，且，求的值
已知且，那么
（6级）（1）已知，则 ．
（2）满足（）有理数、，一定不满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
（3）已知有理数、的和及差在数轴上如图所示，化简．
这道题目体现了一种重要的“先估算+后化简+再代入求值”的思想．
（2）为研究问题首先要先将题干中条件的绝对值符号通过讨论去掉，
若时，，
若时，，
从平方的非负性我们知道，且，所以，则答案A一定不满足．
（3）由图可知，，
两式相加可得：，进而可判断出，此时，，
所以．
若，则
．
，
，
故．
【补充】（8级）若，求的值．
法1：∵，则
原式
法2：由，可得，则
原式
点评：解法二的这种思维方法叫做构造法．这种方法对于显示题目中的关系，简化解题步骤有着重要作用．
设，其中，试证明必有最小值
因为，所以进而可以得到：
，所以的最小值为
（8级）若的值是一个定值，求的取值范围.
要想使的值是一个定值，就必须使得，且，
原式，即时，原式的值永远为3.
若的值为常数，试求的取值范围．
要使式子的值为常数，得相消完，当时，满足题意．
（2级）数在数轴上对应的点如右图所示，试化简
．
（2级）实数在数轴上的对应点如图，化简
由题意可知：，所以原式
（2级）若且，化简.
若且，，
（8级）设为非零实数，且，，．化简．
，，；，；，，
所以可以得到，，；
．
（6级）如果并且，化简.
.
（2级）化简：
⑴； ⑵
⑴原式；⑵原式
（6级）若，求的值.
.
（8级）若，，那么等于 ．
，，可得：，所以，，．
（2级）已知，化简
因为，所以，原式
（8级）已知，化简.
当时，.
（8级）已知，化简．
由的几何意义，我们容易判断出．
所以．
（8级）若，化简．
．
（8级）已知，，化简．
∵，∴，又∵，∴，
∴，∴
又∵，∴
又∵，∴
∴原式
点评：详细的过程要先判断被绝对值的式子，再去绝对值的符号．、
（8级）已知是有理数，且，求的值
因，故，又因为
，所以，故原式
板块二：关于的探讨应用
（6级）已知是非零有理数，求的值.
若，那么；
若，那么.
（10级）已知，且都不等于，求的所有可能值
或或
（10级）已知是非零整数，且，求的值
因为是非零有理数，且，所以中必有一正二负，不妨设，则原式
（2级）若，则；若，则.
；.重要结论一定要记得.
（6级）当时，化简
，，
当，即时，，所以；
当，即时，，所以.
（8级）若，，则
的值是（ ）
A． B． C． D．
⑴ C．特殊值法：取, 代入计算即可．
（2级）下列可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
选D．排除法比较好或特殊值法，，，．
（6级）如果，则等于（ ）
A． B． C． D．
B
（8级）如果，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
易知，所以原式，故选择A
（8级）已知，求的值．
∵，∴、、三个数都不为零．
若、、三个数都是正数，则、、也都是正数，故原式值为．
若、、中两正、一负，则、、中一正、两负，故原式值为．
若、、中一正、两负，则、、中一正、两负，故原式值为．
若 、、中三负，则、、中三正，故原式值为．
（6级）若，，均不为零，求.
若，，，全为正数，则原式；若，，，两正一负，则原式；
若，，，一正两负，则原式；若，，，全为负数，则原式.
（6级）如果，求的值．
由得，进而有，
若，则，
若，则．
（6级）若，，均不为零，且，求.
根据条件可得，，有1个负数或2个负数，所以所求式子的值为或
（8级），，为非零有理数，且，则的值等于多少？
由可知，，里存在两正一负或者一正两负；
若两正一负，那么；
若一正两负，那么．
综上所得．
（10级）三个数，，的积为负数，和为正数，且，
求的值.
，，中必为一负两正，不妨设，则；
，所以原式＝1.
(8级)（希望杯培训试题）
如果，，，求的值．
由，，，两两相加可得：，，，所以原式结果为1．若将此题变形为：非零有理数、、，求等于多少？
从总体出发：，所以原式．
（8级）（“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题）设实数，，满足，及，若，，那么代数式的值为______．
由及，知实数，，中必有两个负数，一个正数，从而有．
又=，则．
（8级）有理数均不为零，且，设，则代数式
的值为多少？
由易知中必有一正两负或两正一负，不妨设或
所以或者，所以，所以原式
（8级）有理数均不为零，且，设，则代数式的值为多少？
由易知中必有一正两负或两正一负，不妨设或
所以或者，所以当时，原式
当时，原式
（8级）已知、、互不相等，求的值．
由题意可得且，把，，当成整体分类讨论：① 两正一负，原式值为；② 两负一正，原式值为．
（8级）（希望杯试）若有理数、、满足，求的值．
由可得：有理数、、中两正一负，所以，所以，．
（6级）已知有理数满足，则（ ）
A． B． C． D．不能确定
提示：其中两个字母为正数，一个为负数，即
（8级）有理数，，，满足，求的值．
由知，所以，，，里含有1个负数或3个负数：
若含有1个负数，则；若含有3个负数，．
（6级）已知，求的值
⑴若异号，则
⑵若都是正数，则
⑶若都是负数，则
（6级）已知，求的值．
分类讨论：
当，时，． 当，时，．
当，时，． 当，时，．
综上所述，的值为，，．
（6级）若均为非零的有理数，求的值
⑴当都是正数时，原式
⑵当都是负数时，原式
⑶当有两个正数一个负数时，原式
⑷当有两个负数一个正数时，原式
（6级）（希望杯培训试题）若，求的值．
由可得，、、中有个负数或个负数，
当、、中有个负数时，原式；
当、中有个是负数时，原式；
当是负数时，原式．
板块三：零点分段讨论法（中考高端，可选讲）
（4级）（ 云南省中考试题）阅读下列材料并解决相关问题：
我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得（称分别为与的零点值），在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下中情况：·
⑴当时，原式
⑵当时，原式
⑶当时，原式
综上讨论，原式
通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：
⑴分别求出和的零点值
⑵化简代数式
⑴分别令和，分别求得和，所以和的零点值分别为和
⑵当时，原式；当时，原式
；当时，原式
所以综上讨论，原式
（6级）求的值．
先找零点，，，，解得，，．
依这三个零点将数轴分为四段：，，，．
当时，原式；
当时，原式；
当时，原式；
当时，原式．
（4级）化简：
由题意可知：零点为
当时，原式
当时，原式
当时，原式
（4级）( 淮安市中考题)化简．
先找零点.， ； ，零点可以将数轴分成三段．
当，，，；
当，，，；
当，，，．
（6级）(北京市中考模拟题)化简：.
先找零点.，．，．
，，或，可得或者；
综上所得零点有1，-1，3 ，依次零点可以将数轴分成四段．
⑴ ，，，，；
⑵ ，，，，；
⑶ ，，，，；
⑷ ，，，，．
（6级）（选讲）（北京市中考题）已知，求的最大值与最小值．
法1：根据几何意义可以得到，当时，取最大值为；当时，取最小值为．
法2：找到零点、，结合可以分为以下两段进行分析：
当时，，有最值和；
当时，；综上可得最小值为，最大值为．
（8级）（希望杯试）已知，那么的最大值等于 ．
（法1）：我们可以利用零点，将的范围分为段，分类讨论
（先将此分类讨论的方法，而后讲几何意义的方法，让学生体会几何方法的优越性）
（1）当时，，当时达到最大值；
（2）当时，
（3）当时，，当时，达到最大值
综合可知，在上，的最大值为
（法2）：我们可以利用零点，将的范围分为段，利用绝对值得几何意义分类讨论，很
容易发现答案：当时达到最大值．
（6级）如果，且，求的最大值和最小值
当时，有，所以；
当时，有，所以
综上所述，的最大值为，最小值为
（6级）（大同市中考题）已知，求取何值时的最大值与最小值．
法1：表示到点和的距离差，画出数轴我们会发现当，两
者的距离
差最小为，即；当时，两者的距离差最大为4，即．
法2：分类讨论：先找零点，根据范围分段，
当时，；当时，，当有最小值；当有最大值．综上所得，当时，最大值为4；当时，最小值为．
1.（2级）若，则下列结论正确的是 ( )
A. B. C. D.
答案不完善，选择．
2.（2级）(人大附期中考试)如果有理数、、在数轴上的位置如图所示，求的值.
原式
3.（6级）已知，求的值.
由可得：，又，可得：；
原式.
4.（8级）（希望杯培训试题）
若，则 ．
因为，所以，原式．
5.（6级）（七台河市中考题）设，其中，求的最小值.
，
则时，有最小值为.
6.（4级）若，化简.
.
7.（6级）若，试化简．
．
8. （6级）若的值恒为常数，则应满足怎样的条件？此常数的值为多少？
要使的值恒为常数，那么须使，，
即，原式.
9.（8级）希望杯试）
、、的大小关系如图所示，求的值．
从图中可知且，，，
所以，，，，，
所以，原式．
10.（8级）若，，则 ．
∵，，∴、、中一正二负，∴．
11.（6级）求的最大值和最小值．
法1：根据几何意义可以得答案；
法2：找到零点，1，可以分为以下三段进行讨论：
当时，；
当时，；
当时，；
综上所得最小值为，最大值为．
12.（6级）（希望杯试）如果，求代数式的值．
当时，，，，原式．
()
模型 01 绝对值化简与最值问题
【知识精讲】
（1）绝对值的几何意义：一个数 a的绝对值就是数轴上表示数 a的点与原点的距离.数 a的
绝对值记作 a .
（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0
的绝对值是 0.
注意：
①取绝对值也是一种运算，运算符号是“ ”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对
值符号.
②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对
值是 0 .
③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或 0.
④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如： 5符号是负号，绝对值是 5 .
（3）求字母 a的绝对值：
a(a 0)
a(a 0) a(a 0)
① a 0(a 0)
② a ③ a
a(a 0)
a(a 0)
a(a 0)
（4）利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.
（5）绝对值非负性：
如果若干个非负数的和为 0，那么这若干个非负数都必为 0.
例如：若 a b c 0，则 a 0，b 0， c 0
（6）绝对值的其它重要性质：
①任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即 a a，且 a a；
a a
②若 a b ，则 a b或 a b； ③ ab a b ； (b 0)；
b b
④ | a |2 | a2 | a2 ； ⑤ a b a b a b ，
对于 a b a b ，等号当且仅当 a、 b同号或 a、 b中至少有一个 0时，等号成立；
对于 a b a b ，等号当且仅当 a、b异号或 a、b中至少有一个 0时，等号成立．
绝对值最值模型大招：奇点偶断法
()
【典例解析】
板块一：绝对值代数意义及化简
【例 1】（1）下列各组判断中，正确的是（ ）
A．若 a b，则一定有 a b B．若 a b ，则一定有 a b
C. 若 a 2 b，则一定有 a b D．若 a b，则一定有 a2 b
（2）如果 a2 ＞ b2，则（ ）
A． a b B． a ＞ b C． a b D a ＜ b
（3）下列式子中正确的是（ ）
A． a a B． a a C． a a D． a a
（4）对于 m 1，下列结论正确的是（ ）
A． m 1≥|m | B． m 1≤|m | C． m 1≥|m | 1 D． m 1≤|m | 1
（5）若 x 2 x 2 0，求 x的取值范围．
2 1 a 5 b 2 a b 2 a 1 2【例 】已知：（ ） ， ，且 ； （ ） b 2 0 ，分别求 a，b的值.
【例 3】已知 2x 3 3 2x，求 x的取值范围
【巩固】若 a b且 a b ，则下列说法正确的是（ ）
A． a一定是正数 B． a一定是负数 C． b一定是正数 D．b一定是负数
【例 4】求出所有满足条件 a b ab 1的非负整数对（a，b）
【巩固】非零整数m，n满足 m n 5 0，所有这样的整数组 m，n 共有
如果有理数 a、 b、 c在数轴上的位置如图所示，求 a b b 1 a c 1 c 的值.
ab0c1
()
【巩固】已知 x 0 z，xy 0，y z x ，那么 x z y z x y
【例 5】 abcde是一个五位自然数，其中 a、b、 c、 d、 e为阿拉伯数码，且 a b c d ，
则 a b b c c d d e 的最大值是 ．
【例 6】已知 y x b x 20 x b 20 ，其中 0 b 20，b≤ x≤20，那么 y的最小值
为
【例 7】设 a，b，c为整数，且 a b c a 1，求 c a a b b c 的值
【巩固】已知 a 1，b 2，c 3，且 a b c，那么 a b c
【例 8】（1）已知 x 1999，则 4x2 5x 9 4 x2 2x 2 3x 7 ．
（2）满足 (a b)2 (b a) a b ab（ ab 0）有理数 a、b，一定不满足的关系是（ ）
A． ab 0 B． ab 0 C． a b 0 D． a b 0
（3）已知有理数 a、 b的和 a b及差 a b在数轴上如图所示，化简 2a b 2 a b 7 ．
【巩固】若m 1998，则 m2 11m 999 m2 22m 999 20 ．
()
【补充】若 x 0.239，求 x 1 x 3 x 1997 x x 2 x 1996 的值．
【例 9】设 A x b x 20 x b 20 ，其中 0 b≤ x≤20，试证明 A必有最小值
【巩固】若 x 1 x 2 x 3 x 2008 的值为常数，试求 x的取值范围．
【例 10】若 2a 4 5a 1 3a 的值是一个定值，求 a的取值范围.
【巩固】若 x 1 x 2 x 3 x 2008 的值为常数，试求 x的取值范围．
【例 11】数 a,b在数轴上对应的点如右图所示，试化简 a b b a b a a
【巩固】实数 a，b，c在数轴上的对应点如图，化简 a c b a b a c
()
a
【巩固】若 a b且 0，化简 a b a b ab .
b
【例 12】设 a,b,c为非零实数，且 a a 0， ab ab， c c 0．化简：
b a b c b a c ．
．
【例 13】如果 0 m 10并且m≤ x≤10，化简 x m x 10 x m 10 .
【巩固】化简：
（1） 3 x （2） x 1 x 2
【巩固】若 a b，求 b a 1 a b 5 的值.
【巩固】若 a 0， ab 0，那么 b a 1 a b 5 等于 ．
【巩固】已知1≤ x 5，化简 1 x x 5
()
【例 14】已知 x 3，化简 3 2 1 x .
【巩固】已知 x 1 x 1 2，化简 4 2 x 1 ．
x 2x
【例 15】若 x 0，化简 ．
x 3 x
2a 4b
【巩固】已知 a a 4 2 ，b 0，化简
(a 2b)2
．
a 2b 4b 3 2a 3
【例 16】已知 a，b，c，d 是有理数， a b ≤9，c d ≤16，且 a b c d 25，求
b a d c 的值
a
板块二：关于 的探讨应用
a
a a2 3
【例 17 a】已知 a是非零有理数，求 的值.
a a2 a3
()
a b c abc
【例 18】已知 x ，且 a，b，c都不等于 0，求 x的所有可能值
a b c abc
【巩固】已知 a，b，c是非零整数，且 a b c 0 a b c abc ，求 的值
a b c abc
a a
【巩固】若 a 0，则 _____；若 a 0，则 _____ .
a a
m 3
【巩固】当m 3时，化简
m 3
.
a 1 b 2 a b
【例 19】若 0 a 1， 2 b 1，则 的值是（ ）
a 1 b 2 a b
A． 0 B． 1 C． 3 D． 4
【巩固】下列可能正确的是（ ）
a b a b cA． 1 B． 2
a b a b c
a b c d a b c dC 3 D a b c d． ． 4
a b c d a b c d abcd
a a
【巩固】如果 2a b 0 ，则 1 2 等于（ ）
b b
A． 2 B．3 C． 4 D．5
()
2002 2002 2002
a b c
【例 20】如果 a b c 0，a b c 0， a b c 0 ，则 的值
a b c
等于（ ）
A．1 B． 1 C． 0 D． 3
21 abc 0 ab ac bc【例 】已知 ，求 的值．
ab ac bc
a b c
【巩固】若 a，b， c均不为零，求 .
a b c
22 a
a
【例 】如果 2a b 0，求 1 2 的值．
b b
a b c
【巩固】若 a，b， c均不为零，且 a b c 0，求 .
a b c
a b b c c a
【例 23】 a， b， c为非零有理数，且 a b c 0，则 的值等于多少？
a b b c c a
()
a b a b c
ab ac bc
【巩固】三个数 ， ， c的积为负数，和为正数，且 x ，
a b c ab ac bc
求 ax3 bx2 cx 1的值.
【巩固】如果 a b c a b c 0，a b c 0， a b c 0，求 ( )2002 ( )2003 ( )2004 的值．
a b c
a b c
【例 24】设实数 a， b， c满足 a b c 0，及 abc 0，若 x ，
| a | | b | | c |
y 1 1 a( ) b(1 1 1 1 ) c( )，那么代数式 x 2y 3xy 的值为______．
b c a c a b
a b c
【例 25】有理数 a，b，c均不为零，且 a b c 0，设 x ，则代数式
b c a c a b
x200 4x 2007 的值为多少？
a b c
【巩固】有理数 a，b，c均不为零，且 a b c 0，设 x ，则代数式
b c a c a b
x19 99x 2000的值为多少？
(a b)(b c) (b c)(c a) (c a)(a b)
【巩固】已知 a、 b、 c互不相等，求 的值．
(a b)(b c) (b c)(c a) (c a)(a b)
m n p
26 2mnp【例 】若有理数m、 n、 p满足 1，求 的值．
m n p 3mnp
()
a b c abc
【巩固】已知有理数 a，b，c满足 1，则 （ ）
a b c abc
A．1 B． 1 C． 0 D．不能确定
abcd a b c d
【巩固】有理数 a，b， c， d满足 1，求 的值．
abcd a b c d
a
【例 27 b】已知 ab 0，求 的值
a b
a b
【巩固】已知 ab 0，求 的值．
a b
【例 28】若 a，b，c a b c均为非零的有理数，求 的值
a b c
【巩固】若 abc 0 a b c ，求 的值．
a b c
()
板块三：零点分段讨论法
【例 29】阅读下列材料并解决相关问题：
x x 0
我们知道 x 0 x 0 ，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代
x x 0
数式 x 1 x 2 时，可令 x 1 0和 x 2 0，分别求得 x 1，x 2（称 1，2分别为 x 1
与 x 2 的零点值），在有理数范围内，零点值 x 1和 x 2可将全体有理数分成不重复且
不易遗漏的如下 3中情况：·
（1）当 x 1时，原式 x 1 x 2 2x 1
（2）当 1≤ x 2 时，原式 x 1 x 2 3
（3）当 x≥ 2时，原式 x 1 x 2 2x 1
2x 1 x 1
综上讨论，原式 3 1≤ x 2
2x 1 x≥2
通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：
（1）分别求出 x 2 和 x 4 的零点值
（2）化简代数式 x 2 x 4
【例 30】求 m m 1 m 2 的值．
．
【例 31】化简： 2x 1 x 2
()
【巩固】化简 x 5 2x 3 ．
【巩固】化简： x 1 2 x 1 .
【例 32】已知 x 2，求 x 3 x 2 的最大值与最小值．
【巩固】已知 0 a 4，那么 a 2 3 a 的最大值等于 ．
【巩固】如果 y x 1 2 x x 2 ，且 1≤ x≤2，求 y的最大值和最小值
7
【巩固】已知 5 x ，求 x取何值时 x 1 x 3 的最大值与最小值．
9
()
【强化练习】
1. 若 ab ab ，则下列结论正确的是（ ）
A. a 0，b 0 B. a 0，b 0 C. a 0，b 0 D. ab 0
2. 如果有理数 a、b、 c在数轴上的位置如图所示，求 a b a c b c 的值.
b-1c0a1
3. 已知 x 0 z, xy 0, y z x ，求 x z y z x y 的值.
4. x 2001若 2 ，则 | x | | x 1| | x 2 | | x 3 | | x 4 | | x 5 | ．
2002
5. 设 y x b x 20 x b 20 ，其中 0 b 20,b x 20，求 y的最小值.
6. 若 a 0，化简 a a .
2a 3a
7. 若 a 0，试化简 ．
3a a
()
8. 若 2x 4 5x 1 3x 4 的值恒为常数，则 x应满足怎样的条件？此常数的值为多少？
9. a b c a b b c c a ab ac已知， 、 、 的大小关系如图所示，求 的值．
a b b c c a ab ac
10. a b c 0 abc 0 b c c a a b若 ， ，则 ．
a b c
11. 求 y x 1 x 5 的最大值和最小值．
x 2 x 1 x
12. 如果1 x 2，求代数式 的值．
x 2 1 x x
()
