吉林省通化市三校联考2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．若集合,,则( )
A. B. C. D.
2．当时,的最小值为( )
A. B.1 C.2 D.
3．若函数，则( )
A.0 B. C. D.
4．已知函数是定义在R上的奇函数,当时,,则( )
A. B.2 C.3 D.
5．已知关于x的一元二次不等式的解集为,则关于x的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
6．已知a,,那么“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7．已知函数,若,则下列式子大小关系正确的是( )
A. B.
C. D.
8．若函数在R上是单调函数,且满足对任意,都有,则函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．下列命题为真命题的是( )
A.若,则
B.若,,则
C.若,,则
D.若,,则
10．已知定义域为R的函数,则( )
A.函数的图象是轴对称图形
B.存在实数a,使函数为单调函数
C.对任意实数a,函数都存在最小值
D.对任意实数a,函数都存在两条过原点的切线
11．高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德 牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设,用表示不超过x的最大整数,则称为高斯函数,如,若,则下列说法正确的是( )
A.当时,
B.
C.函数是增函数
D.函数的值域为
三、填空题
12．命题“,”的否定是__________.
13．曲线在点处的切线方程为__________.
14．已知函数,若实数a,b满足,则的最大值为__________.
四、解答题
15．某收费APP（手机应用程序）自上架以来,凭借简洁的界面设计 方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱.该APP所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用x（单位:元）及该月对应的用户数量y（单位:万人）,得到如下数据表格:
用户一个月月租减免的费用x（元） 4 5 6 7 8
用户数量y（万人） 2 2.1 2.5 2.9 3.2
已知x与y线性相关.
（1）求y关于x的经验回归方程;
（2）据此预测,当月租减免费用为14元时,该月用户数量为多少
参考公式:对于一组具有线性相关关系的数据,其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
16．已知函数.
（1）求函数的单调区间;
（2）求函数在区间上的最大值与最小值.
17．已知函数.
（1）若的定义域为R,求a的取值范围;
（2）设,若对任意,函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.
18．每年的3月21日是世界睡眠日,保持身体健康的重要标志之一就是有良好的睡眠,某机构调查参加体育锻炼对睡眠的影响,从辖区内同一年龄层次的人员中,常参加体育锻炼和不常参加体育锻炼的人中,各抽取了200人,通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间（单位:小时）,并绘制出如下频率分布直方图.
（1）求a的值;
（2）根据频率分布直方图,求常参加体育锻炼人员一周内的平均睡眠时间（同一组的数据用该组区间的中点值代替）;
（3）若每周的睡眠时间不少于44小时的列为“睡眠足”,每周的睡眠时间在44小时以下的列为“睡眠不足”,请根据已知条件完成下列列联表,并判断是否有的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关.
睡眠足 睡眠不足 总计
常参加体育锻炼人员
不常参加体育锻炼人员
总计
附:,其中.
0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
19．若函数满足：对于任意正数m,n,都有,且,则称函数为“速增函数”．
（1）试判断函数与否为“速增函数”;
（2）若函数为“速增函数”,求a的取值范围．
参考答案
1．答案：B
解析：由题意知,,所以.故选B.
2．答案：C
解析：,当且仅当时,等号成立,故的最小值为2.故选C.
3．答案：A
解析：，
所以.
故选：A.
4．答案：B
解析：因为是定义在R上的奇函数,所以.故选B.
5．答案：A
解析：由题设知,则,,因此,可得.故选A.
6．答案：B
解析：若,则,所以;若,则,但是无法判断正负,所以“”是“”的必要不充分条件.故选B.
7．答案：A
解析：由,得,当时,,所以在上单调递增,因为,所以,所以,由函数在上单调递增,有,所以,综上,得.故选A.
8．答案：B
解析：因为函数在R上是单调函数,,设,所以,所以,解得,所以,又,故的零点所在的区间为.故选B.
9．答案：BCD
解析：因为当时,,故A错误;
因为,,所以,所以,故B正确;
若,可得,又,所以,故C正确;
因为,,所以,,所以,故D正确.故选BCD.
10．答案：ACD
解析：对于A:是R上的偶函数,对称轴为y轴,故正确;
对于B:值域为R,至少有一个实数解,且两侧异号,因此不可能为单调函数,故错误;
对于C:因为,时,;时,,因此必存在最小值,故正确;
对于D:设切点,,则,
在P处切线方程为,
它过原点,,
令,注意到,则或（舍去）,
于是必然存在两个非零实数解,
因此对任意实数a,函数存在两条过原点的切线,故正确.故选ACD.
11．答案：AD
解析：对当时,,故A正确;
,故B错误;
因为,,所以不是增函数,故C错误;
当时,其中,所以,可得,所以的值域为,故D正确.故选AD.
12．答案：,
解析：命题“,”的否定是“,”.
13．答案：
解析：,,,所求切线方程为.
14．答案：
解析：设,所以,所以,所以是奇函数,又在上单调递增,所以在上单调递增,因为,所以,即,所以,所以,所以,当且仅当,即时等号成立,所以的最大值为.
15．答案：（1）
（2）预测该月的用户数量为5.10万人
解析：（1）由,
,
有,
,
故y关于x的经验回归方程为;
（2）由（1）知经验回归方程为,当时,,
所以预测该月的用户数量为5.10万人.
16．答案：（1）函数的单调递增区间为,单调递减区间为
（2）在区间上的最大值为e,最小值为.
解析：（1）定义域为,且,
令,令.
函数的单调递增区间为,单调递减区间为;
（2）由（1）可知:当时,取得极小值,
,因此为最大值,
所以在区间上的最大值为e,最小值为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意知,解得,即a的取值范围是;
（2）因为,易得在上单调递增,所以,,
所以对任意恒成立,
所以对任意恒成立,
即对任意恒成立,
令,,所以,
当,即时,,解得,所以无解;
当,即时,,解得,所以,
综上,a的取值范围是.
18．答案：（1）
（2）48.6
（3）有99.9%的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关
解析：（1）由频率分布直方图可知,,可得;
（2）由频率分布直方图可得:
,
所以常参加体育锻炼人员一周内的平均睡眠时间;
（3）常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为:
,
则“睡眠不足”的人数为50;
不常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为:,则“睡眠不足”的人数为90,
列联表如下:
睡眠足 睡眠不足 总计
常参加体育锻炼人员 150 50 200
不常参加体育锻炼人员 110 90 200
总计 260 140 400
因为,
所以有99.9%的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关.
19．答案：（1）是“速增函数”,不是“速增函数”
（2）
解析：（1）对于函数,
当,时,有,;
因为,
所以,
故根据“速增函数”的定义可得：是“速增函数”.
对于函数,
当时,有,
故根据“速增函数”的定义可得：不是“速增函数”.
（2）因为是“速增函数”,
根据“速增函数”的定义可得：
当时,恒成立;
当时,恒成立.
由当时,恒成立可
得：对一切正数n恒成立.
又因为当时,,
所以对一切正数n恒成立,
所以,即.
由当时,恒成立,可得：,
即对一切正数n,m恒成立.
因为
,
所以,
又因为当时,,
所以,
由对一切正数恒成立,可得,即．
综上可知,a的取值范围是．
