轴对称的综合应用
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轴对称 能运用轴对称的知识解决简单问题
二、核心纲要
1.利用轴对称变换解题
轴对称变换是作点、线、图形关于某一直线的对称图形，从而使图形中隐藏条件凸显出来，或将分散条件集中起来，从而达到解题目的.那么，我们在什么情况下应该想到用或作轴对称呢 下面给出几种常见考虑要用或作轴对称的基本图形.
(1)线段或角度存在2倍关系的，可考虑对称
(2)有互余、互补关系的图形，可考虑对称.
(3)角度和或差存在特殊角度的，可考虑对称
(4)路径最短问题：运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路径的求解.所以最短路径问题，需考虑轴对称.
下表给出几何最值问题的几种中考题型及解题作图方法.
问题 作法 图形 原理
在 l 上找一点 P 使 PA+PB最小. 连接AB PA+PB 最小值为AB.两点之间，线段最短.
在直线 l 上求一点 P,使 AP+BP 最小 作A关于l的对称点A'，连接A'B，与l的交点即为点 P AP+BP=A'B,两点之间,线段最短.
在直线 l 、l 上分别求点 M、N,使△PMN周长最小 分别作点 P 关于两直线的对称点 P'、P",连接 P'P",与两直线交点即为 M、N PM+MN+PN=P'P",两点之间，线段最短
续表
问题 作法 图形 原理
在直线 l 、l 上分别求点 M、N,使四边形 PMNQ周长最小 分别作点 P、Q关于直线l 、l 的对称点 P'、Q',连接P'Q',与直 线 的 交 点 即 为M、N PQ+PM+MN+NQ=P'Q'+PQ，两点之间，线段最短
在直线 l上求两点 M、N(M 在左),使得 MN=a,并使 AM+MN+NB最小 将 A 向右平移a 个单位到A',作 A'关于l的对称点A",连接 A”B,与 l 交 点即为点N，将点 N 向左平移a 个单位即为M AM+MN+NB=a+A"B,两点之间，线段最短
在直线 l上求点 P,使|AP-BP|最大 连接BA 并延长与直线l的交点即为点P |AP-BP|=AB,三角形任意两边之差小于第三边.
在直线l上求点 P,使|AP-BP|最大 作点 B 关于直线 l 的对称点 B',作直线 AB'与l 的交点即为点 P |AP-BP|=AB',三角形任意两边之差小于第三边
在直线l上求点 P，使l|PA-PB|最小. 连接AB，作AB中垂线与l的交点即为点 P. |PA-PB|=0,垂直平分线上的点与线段两端点距离相等
点 P 在锐角∠AOB 内部,在 OB边上求作一点 D，在OA 边上求作一点C,使 PD+CD 最小. 作点 P 关于直线OB 的对称点 P',过 P'向直线 OA 作垂线与OB 的交点为所求点D，垂足即为点 C. PD+CD的最小值为P'C 长度.点P 到直线OA 的距离，垂线段最短.
2.利用构造等边三角形
等边三角形有许多重要的性质，在解题中，若已知条件出现某一个角为60°，或角度的和、差、倍、分与60°有联系时，一般地构造出等边三角形，汇聚分散的条件，探究解题思路，达到简捷解题目的.
本节重点讲解：两个应用(轴对称和等边三角形的应用)
三、全能突破
基础演练
1.如图 13-3-1所示，直线 L 是一条河，P，Q是两个村庄.欲在 L 上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是( ).
2.如图13-3-2所示，A、B两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线a表示输水总管道，直线b表示输煤气总管道.现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到A、B两幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短.图中，点A'是点 A 关于直线b的对称点,A'B 分别交b、a于点C、D;点B'是点B 关于直线a 的对称点,B'A 分别交b、a于点 E、F.则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是( ).
A. F和C B. F 和E C. D和C D. D 和E
3.如图13-3-3所示,已知∠AOB 的大小为α,P 是∠AOB 内部的一个定点,且OP=2,点 E、F 分别是OA、OB上的动点,若△PEF周长的最小值等于2,则α=( ).
A.30° B.45° C.60° D.90°
4.如图13-3-4所示,已知△ABC为等边三角形,高AH=10cm,P 为AH上一动点,D为AB 的中点,则PD+PB的最小值为 cm.
5.加油站A 和商店B 在马路MN 的同一侧(如图13-3-5 所示),A到MN 的距离大于B 到MN的距离, ，一个行人 P在马路MN上行走，问：当P 到A 的距离与P 到B 的距离之差最大时，这个差等于 m.
6.如图13-3-6 所示,凸六边形 ABCDEF 的六个角都是 边长 AB=2cm,BC=8cm,CD=11cm,DE=6cm,你能求出这个六边形的周长吗
7.如图 13-3-7 所示,在△ABC中, BD平分 求证:BC=BD+AD.
8.在正△ABC内取一点D,使 DA=DB,在△ABC外取一点E,使 ,且 BE=BA,求∠BED 的度数.
能力提升
9.如图13-3-8所示,点 P 为∠AOB 内一点,分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点. P ,连接P P 交OA 于点 M,交OB 于点 N,若. ,则△PMN 周长为( ).
A.4 B.5
C.6 D.7
10.如图13-3-9所示，在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，再回到B处，你能为他设计一条最短的路线吗 (在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马.)(保留作图痕迹，需要证明)
11.如图13-3-10所示，点 M为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点 B除外),作∠DMN=60°,射线MN与∠DBA外角的平分线交于点 N,DM 与MN 有怎样的数量关系
12.如图 13-3-11 所示,在△ABC 中,∠BAC=120°,P 为△ABC 内一点.
求证:PA+PB+PC>AB+AC.
13.如图13-3-12所示,已知线段AB的同侧有两点C、D满足∠ACB=∠ADB= 求证:AC=AD.
14.如图13-3-13所示,在△ABC中,AB=AC,D是△ABC外一点,且∠ABD=60°,∠ACD=60°,求证:BD+DC=AB.
15.如图13-3-14所示,已知 P 是△ABC边BC 上一点,且 PC=2PB,若∠ABC=45°,∠APC=60°,求∠ACB的大小.
16.如图13-3-15 所示,在四边形ABCD中,BC=CD,∠BCA-∠ACD=60°,求证:AD+CD≥AB.
17.如图13-3-16 所示,在等腰三角形 ABC中,AB=AC,顶角∠A=20°,在边 AB 上取点 D,使AD=BC,求∠BDC.
18.如图13-3-17 所示,在△ABC 中,∠BAC=∠BCA=44°,M为△ABC 内一点,使得∠MCA=30°,∠MAC=16°,求∠BMC的度数.
19如图13-3-18所示,在四边形 ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在 BC、CD上分别找一点M、N,使△AMN周长最小时,则∠AMN+∠ANM的度数为( ).
A.130° B.120°
C.110° D.100°
20.在 中， ，M是 AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段PA 绕点 P 顺时针旋转 2α得到线段 PQ.
(1)若 °且点 P 与点M 重合(如图13-3-19(a)所示),线段CQ的延长线交射线BM 于点 D,请补全图形，并写出 的度数.
(2)在图13-3-19(b)中,点 P 不与点 B、M重合,线段CQ的延长线与射线BM 交于点D,猜想∠CDB的大小(用含α的代数式表示)，并加以证明.
(3)对于适当大小的α，当点 P 在线段BM 上运动到某一位置(不与点 B、M重合)时，能使得线段CQ的延长线与射线BM 交于点D，且PQ=QD，请直接写出α的范围.
巅峰突破
21.如图13-3-20所示,已知Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,D、E、F分别是三边AB、BC、CA上的点,则DE+EF+FD的最小值为( ).
C.5 D.6
22.如图13-3-21所示,P为△ABC内部一点,使得 且 求∠APC的度数.
基础演练
1. D; 2. A; 3. A; 4.10; 5.7
6.如图，分别作线段AB、CD、EF的延长线使它们交于点G、H、P.∵六边形 ABCDEF的六个角都是 120°,
∴六边形 ABCDEF的每一个外角的度数都是60°.
∴△APF、△BGC、△DHE、△GHP都是等边三角形.
∴GC=BC=8cm,DH=DE=6cm.
∴GH=8+11+6=25cm,FA=PA=PG-AB-BG=25-2-8=15cm,EF=PH-PF-EH=25-15-6=4cm.
所以六边形的周长为2+8+11+6+4+15=46cm.
7.在 BC上截取BE=BA,延长 BD 到F 使BF=BC,连接 DE、CF.
又∵∠ABD=∠EBD,BD=BD,BE=BA,
∴△ABD≌△EBD.
∴∠DEB=∠A=100°,∴∠DEC=80°.
∵AB=AC,BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠EBD=20°.∠DCE=40°.
∵BC=BF,∠EBD=20°,
∴∠F=∠DEC.∴∠DCF=80°-∠DCE=40°.
∴∠DCE=∠DCF,∠F=∠DEC,
又∵DC=DC,
∴△DCE≌△DCF.∴DF=DE=AD.
∴BC=BF=BD+DF=BD+AD.
8.如下图所示，连接DC，
∵DA=DB,AC=BC,CD=CD
∴△ADC≌△BDC.∴∠BCD=30°.
∵∠DBE=∠DBC,BE=AB=BC,BD=BD
∴△BDE≌△BDC.∴∠BED=∠BCD=30°.
能力提升
9. C
10.作点 A 关于ON 的对称点 E,作点 B 关于 OM 的对称点 F,连接EF交ON、OM 于点 C、D,连接AC、DB,则沿AC-CD-DB路线走是最短的路线如下图所示：
证明：在ON上任意取一点 T，在OM 上任意取一点R，连接FR、BR、RT、ET、AT,
∵A、E关于ON 对称,∴AC=EC,
同理BD=FD,FR=BR,AT=ET,
∴AC+CD+DB=EC+CD+FD=EF.
AT+TR+BR=ET+TR+FR,
∵ET+TR+FR>EF,
∴AC+CD+DB
11.猜测 DM=MN.
理由:过点 M作MG∥BD交AD 于点G,
则AG=AM.∴GD=MB.
又∵∠ADM+∠DMA=120°,∠DMA+∠NMB=120°.
∴∠ADM=∠NMB.
∵∠DGM=∠MBN=120°.
∴△DGM≌△MBN.∴DM=MN.
12.如下图所示,把△APC绕 A 逆时针旋转 60°得到△AP'C'.
∴∠CAC=∠PAP'=60°,AC=AC',AP=AP',PC=P'C',
∴△APP'为等边三角形.
∴B、A、C'三点共线,∴
即AB+AC
∴AC=AC,∠C=∠C=60°,∠ABC=∠ABC.
∴2∠ABD+∠DBC=180°.
∴∠ABD+∠DBC+∠ABD=180°.
即∠ABC+∠ABD=180°.
∴∠ABC+∠ABD=180°,∴D、B、C'三点共线.
又∵∠D=60°,
∴△ADC'是等边三角形.∴AD=AC'=AC.
14.如下图所示,延长BD到F,使BF=BA,连接AF、CF,
∵∠ABD=60°,∴△ABF为等边三角形.
∴AF=AB=AC=BF,∠AFB=60°.
∴∠ACF=∠AFC.
又∵∠ACD=60°,∴∠AFB=∠ACD=60°.
∴∠DFC=∠DCF,∴DC=DF.
∴BD+DC=BD+DF=BF=AB,即 BD+DC=AB.
15.如下图所示，作C关于AP 的对称点C'，连接AC'、BC'、PC'、DC',∴PC'=PC=2PB,∠APC'=∠APC=60°.
可证△BC'P 为直角三角形.
延长 PB到点 D,使 BD=BP,则 PD=PC',又∠C'PB=60°,
则△C'PD 是等边三角形.
由三线合一性质有C'B⊥BP,∠C'BP=90°,
∵∠ABC=45°,∴∠C'BA=45°=∠ABC.
∴BA平分∠C'BC.
过点 A作 AE⊥BC,AF⊥PC',AG⊥BM.
∴AE=AF=AG.∴C'A 平分∠MC'P.
16.以 AC为对称轴将△DAC翻折到△D'AC 的位置,连接 BD'.
则CD'=CD=BC,∠ACD=∠ACD'.
∵∠BCD'=∠BCA-∠ACD'=∠BCA-∠ACD=60°,
∴△D'BC 为等边三角形.
∴AD+CD=AD'+D'B≥AB,等号成立时AC平分∠BAD.
17.如下图所示，以 AD 为边在△ABC 外作等边三角形△ADE,连接EC.
∵∠CAE=60°+20°=∠ACB,AE=AD=CB,AC=CA.
∴△ACB≌△CAE.
∴∠CAB=∠ACE,CE=AB=AC.
∵AD=ED,CE=CA,CD=CD,
∴△CAD≌△CED.∴∠ACD=∠ECD.
∠CAB=∠ACE=2∠ACD.
∴∠ACD=10°.∴∠BDC=30°.
18.∵∠BAC=∠BCA=44°,∴AB=CB,∠ABC=92°.
如下图所示,作 BD⊥AC 于 D点,延长 CM交 BD 于 O点,连接OA,
∴∠OAC=∠MCA=30°.
∠BAO=∠BAC-∠OAC=44°-30°=14°.
∠OAM=∠OAC-∠MAC=30°-16°=14°.
∴∠BAO=∠MAO.
∵∠AOD=90°-∠OAD=90°-30°=60°=∠COD,
∴∠AOM=120°=∠AOB,∠BOM=120°.
∵AO=AO,∴△ABO≌△AMO.
∴OB=OM.
∵∠BOM=120°,
∴∠BMC=180°-∠OMB=150°.
中考链接
19. B.
20.(1)∠CDB=30°.如下图所示,
(2)连接 PC、AD,易证△APD≌△CPD.
∴AP=PC,∠ADB=∠CDB,∠PAD=∠PCD.
又∵PQ=PA,
∴PQ=PC,∠ADC=2∠CDB,∠PQC=∠PCD=∠PAD.
∴∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180°.
∴∠APQ+∠ADC=360°-(∠PAD+PQD)=180°.
∴∠ADC=180°-∠APQ=180°-2a.
∴2∠CDB=180°-2α.∴∠CDB=90°-α.
(3)∵∠CDB=90°-α且PQ=QD,
∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°-2α.
∵点 P 不与点 B、M重合,
∴∠BAD>∠PAD>∠MAD.
∴2α>180°-2α>α.∴45°<α<60°.
巅峰突破
21. B
22.如下图所示,延长AC 至点 Q,使得 AB=AQ,
∵∠PAB=∠PAC,AP=AP
∴△BAP≌△QAP.
∴PB=PQ,∠APB=∠APQ.
又∵∠APB=180°-∠PBA-∠PAB=150°,
∴∠BPQ=360°-∠APB-∠APQ=60°.
∴△BPQ是等边三角形,∴∠PBQ=60°.
∴BC是PQ 的中垂线,即∠CPQ=∠CQP=∠PBA=8°.故∠APC=∠APQ-∠CPQ=142°.
