12.2全等三角形的性质和判定的应用
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课标内容 课标要求 目标层次
全等三角形的性质和判定 能熟练运用三角形全等的性质和判定进行推理并解决某些问题 ★★
能熟练运用三角形全等的知识综合解决问题
二、核心纲要
1.证明线段相等的方法
(1)等量代换.
(2)面积法：若两个三角形面积相等，底等则高等(或高等则底等).
(3)证明两条线段所在的两个三角形全等.
2.证明角相等的方法
(1)对顶角相等.
(2)同角(等角)的余角(补角)相等.
(3)利用平行线的性质进行证明.
(4)证明两个角所在的两个三角形全等.
3.证明两条线段的位置关系(平行和垂直)的方法
(1)平行：利用平行线的判定进行证明.
(2)垂直：垂直的定义.
证明平行或垂直通常要进行导角，遇到在三角形里导角时，我们可以考虑证明两个三角形全等.
4.证明三角形全等的思维方法
(1)可以从结论出发，需要证明哪两个三角形全等.
(2)可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等.
(3)可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等.
(4)有的问题一次全等不能解决问题，可能考虑二次全等.
(5)若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形.
5.添加辅助线构造全等三角形的常用方法
我们要学会从已知条件或所要证的结论出发，寻找恰当的辅助线
(1)直接连接法：连接已知点构造全等三角形.
(2)延长法：延长已知边构造全等三角形.
(3)作高：作高构造全等三角形.
(4)作平行线：引平行线构造全等三角形.
(5)取中点：取某条线段的中点构造全等三角形.
6.能够应用全等三角形解决实际问题
7.常见的几何模型
本节重点讲解：一类模型，五个方法.
三、全能突破
基础演练
1.要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在 AB 的垂线BF 上取两点C、D，使CD=BC,再定出BF的垂线DE,使 A、C、E 在同一条直线上,如图 12-2-1 所示,可以得到△EDC≌△ABC,所以 ED=AB,因此测得 ED 的长就是AB 的长,判定△EDC≌△ABC的理由是( ).
A. SAS B. ASA
C. SSS D. HL
2.如图12-2-2所示, ,AD 与BC 交于点O,AE⊥BC于点E,DF⊥BC 于点F,那么图中全等的三角形有( )对.
A.5 B.6 C.7 D.8
3.如图12-2-3所示，某三角形材料断裂成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三块，现要配置与原材料一样的三角形材料，应该用材料 ，理由是 .
4.如图12-2-4所示，有两个长度相同的滑梯(即BC=EF)，左边滑梯的高度 AC与右边滑梯水平方向的长度DF 相等,则∠ABC+∠DFE= 度.
5.如图 12-2-5 所示,AB=AC,EB=EC,AE 的延长线交 BC 于点D,试证明:BD=CD.
6.已知:如图12-2-6所示,I
求证：
7.已知:如图12-2-7所示, ,求证:BO=DO.
8.如图12-2-8所示,公园里有一条“Z”字形道路ABCD,其中AB∥CD,在AB、BC、CD 三段路旁各有一个小石凳E、M、F，且BE=CF，M是BC 的中点.试判断三个石凳E、M、F 是否恰好在一条直线上 为什么
9.如图12-2-9所示,D为△ABC边BC 上任意一点,F、E分别为AB、AC的中点,连接DF 并延长至点M,使MF=FD,连接 DE 并延长至点 N,使EN=DE,连接MN，试判断 MN 与BC 的位置关系，并证明你的结论.
能力提升
10.如图12-2-10所示,△ABC中,AB=AC,现想利用证三角形全等证明∠B=∠C,则图中所添加的辅助线应是 .
11.如图12-2-11所示,AB=AC,BD=DC,若∠B=35°,则∠C= .
12.如图12-2-12所示,在△ABC中,DB=DC,CD⊥AB于点D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC 于点E 与CD 相交于点F,DH⊥BC于点 H,交 BE 于点G,下列结论:①AD+CF=BD;②GD=FD;③CE= BF;④DH∥AF;其中正确的是
13.如图12-2-13(a)、(b)、(c)所示,点 E、D分别是正 、正四边形 ABCM、正五边形 ABCMN中以C 点为顶点的相邻两边上的点，且. DB交AE 于 P 点.
(1)在图 12-2-13(a)中,求 的度数.
(2)在图 12-2-13(b)中, 的度数为 ,图12-2-13(c)中, 的度数为 .
(3)根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正 n边形情况.若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由.
14.如图12-2-14 所示, ,求证:AB=CD.
15.如图12-2-15 所示,在Rt△ABC 中,∠A=90°,点 D 是斜边BC 上一点,且 BD=BA,过点D作BC 的垂线,交 AC 于点E,求证:AE=DE.
16.(1)如图12-2-16所示,AC与BD 相交于点O, ,求证:∠B=∠C.
(2)如图12-2-17所示,AC=DB,∠B=∠C,求证:AB=CD.
17.如图 12-2-18 所示，是北京某街道的部分示意图，AD 平分 DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是 E、F,且BD=CD,2008年北京奥运会,熊熊燃烧的奥运圣火在这个城市传递了和平、友谊、进步的“和平之旅”.传递路线有两种：
路线一：沿B→E→D→A的顺序传递到A；
路线二：沿A→D→F→C的顺序传递到C.
为了使奥运圣火传递路线更长，请你判断哪条路线最佳，说明你的理由.
18.如图12-2-19(a),E、F 分别为线段AC 上的两个动点,且 于点E,BF⊥AC于点F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC 于点M.
(1)求证:MB=MD,ME=MF.
(2)当E、F两点移动到图12-2-19(b)所示的位置时,其余条件不变，上述结论能否成立 若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.
19.如图12-2-20所示,在 Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,D 是斜边AB 上任一点,AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD 的延长线于点F,CH⊥AB于点H,交AE于点G.
(1)直接写出 EF、AE 和BF 之间的关系;
(2)探究 BD 与CG 之间的数量关系，并证明.
20.我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等.那么在什么情况下，它们会全等
(1)阅读与证明：
对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等.
对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等(证明略).
对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：
如图12-2-21所示, 均为锐角三角形，
求证：
证明:分别过点 B,B 作 BD⊥CA 于点D, 于点
在 和
∴△BCD≌△B C D (AAS).
(请你将上述证明过程补充完整)
(2)归纳与叙述：由(1)可得到一个正确结论，请你写出这个结论.
21.如图12-2-22所示,点 D、E分别在AB、AC上.
(1)已知,BD=CE,CD=BE,求证:AB=AC;
(2)分别将“BD=CE”记为①,“CD=BE”记为②,“AB=AC”记为③.添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是命题2的 命题，命题2是 命题(选择“真”或“假”填入空格).
22.如图 12-2-23 所示,已知 Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC与DE 相交于点F,连接CD、EB.
(1)图中还有几对全等三角形，请你一一列举；
(2)求证:CF=EF.
巅峰突破
23.(1)如图 12-2-24(a)所示,以△ABC 的边AB、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG，连接EG，试判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由.
(2)园林小路，曲径通幽，如图12-2-24(b)所示，小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形大理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米
24.如图 12-2-25 所示,已知△ABC中, 厘米， BC=8 厘米,点 D 为AB 的中点.
(1)如果点 P 在线段 BC 上以3厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点Q在线段CA 上由C 点向A 点运动.
①若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过1 秒后，△BPD 与△CQP是否全等，请说明理由.
②若点Q的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP 全等
(2)若点 Q以②中的运动速度从点C出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点 P 与点Q 第一次在△ABC的哪条边上相遇
25.如图12-2-26所示,CD经过∠BCA 顶点C 的一条直线,CA=CB. E、F分别是直线CD 上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α.
(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F 在射线CD 上，请解决下面两个问题：
①如图 12-2-26(a)所示,若. ,则 BE CF,EF |BE--AF|(填“>”,“<”或“=”)
②如图12-2-26(b)所示,若( ，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立.
如图12-2-26(c)所示,若直线CD经过∠BCA 的外部,∠α=∠BCA,请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明).
基础演练
1. B; 2. C; 3.Ⅱ;利用全等三角形判定方法中的“ASA” 4.90
5.先证:△ABE≌△ACE.∴∠BAE=∠CAE.
再证:△ABD≌△ACD.∴BD=CD.
6.∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠AED=∠CFB=90°.
先证:Rt△ADE≌Rt△CBF.∴AE=CF.
∴AE+EF=CF+EF.即AF=CE.
再证:Rt△CDE≌Rt△ABF.
∴∠DCE=∠BAF.∴AB∥DC.
7.先证:△ABC≌△ADE.∴∠B=∠D.
∵AB=AD,AE=AC,
∴AB-AE=AD-AC.即BE=DC.
再证:△BOE≌△DOC.∴BO=DO.
8.三个小石凳 E、M、F在一条直线上
证明:∵AB∥CD,∴∠B=∠C.
∵M在BC的中点,∴BM=CM.
证明△BME≌△CMF.∴∠EMB=∠FMC
∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF
=∠BMC=180°.
∴E、M、F在同一直线上.
9. MN与 BC的位置关系:MN∥BC.
先证:△AFM≌△BFD.
∴∠MAF=∠B.∴MA∥BC.
再证:△AEN≌△CED.
∴∠NAC=∠C.∴AN∥BC.
∵∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠BAC+∠MAB+∠NAC=180°..
∴M、A、N 三点共线.∴MN∥BC.
能力提升
10.过点 A 作 AD⊥BC,垂足为 D(或取BC的中点 D)
11.35° 12.①②③④
13.(1)证明△ABE≌△BCD.∴∠BAE=∠CBD.
∵∠ABD+∠CBD=∠ABC=60°,
∴∠ABD+∠BAE=60°.
∵∠APD=∠ABD+∠BAE,∴∠APD=60°.
(2)90°;108°
(3)问题：如图(d)所示，点E、D分别是正n 边形中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，DB交AE 于 P点.结论：
14.连接AC,
∵AB∥CD,AD∥BC
∴∠BAC=∠DCA,∠DAC=∠BCA
证明△ABC≌△CDA.∴AB=CD.
15.连接BE,
∵ED⊥BC,∴∠EDB=90°.∴∠A=∠EDB.
证明Rt△ABE≌Rt△DBE.∴AE=DE.
16.(1)连接AD,
证明△ABD≌△DCA.∴∠B=∠C.
(2)延长 AB、DC交于点E,
∵∠ABD=∠DCA,∴∠EBD=∠ECA.
证明△EBD≌△ECA.∴ED=EA,EB=EC.
∴ED-EC=EA-EB.即AB=CD.
17.两条路线一样长.
【理由】∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠E=∠DFA=∠DFC=90°.
先证:△AED≌△AFD.∴DE=DF.
再证:Rt△BDE≌Rt△CDF.
∴BE=CF,DE=DF.
∴BE+ED+AD=CF+FD+AD.
∴两条路线一样长.
18.先证:Rt△BFA≌Rt△DEC.∴BF=DE.
再证:△BFM≌△DEM.∴MB=MD,ME=MF.
(2)成立;证明同(1).
19.(1)EF=AE-BF.
(2)如下图所示,结论:BD=CG.
∵∠ACB=90°,∴∠ACE+∠2=90°.
∵AE⊥CD,∴∠AEC=90°.
∴∠1+∠ACE=90°.∴∠1=∠2.
∵BF⊥CD,∴∠F=90°.
先证:△AEC≌△CFB.∴CE=BF.
∵CH⊥AB,∴∠CHD=90°.
∴∠3+∠4=90°.
∵∠DBF+∠5=90°,∠4=∠5,
∴∠3=∠DBF.
再证:△CEG≌△BFD.∴BD=CG.
20.(1)在 Rt△ABD和 Rt△A B D 中,
∴Rt△ABD≌Rt△A B D (HL).
∴∠A=∠A .
在△ABC和△A B C 中,
∴△ABC≌△A B C (AAS).
(2)若△ABC、△A B C 均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形,AB=A B ,BC=B C ,∠C=∠C ,则△ABC≌△A B C .
中考链接
21.(1)连结 BC,易证:△DBC≌△ECB.
∴∠DBC=∠ECB.∴AB=AC.
(2)逆,假.
22.(1)△ADC≌△ABE,△CDF≌△EBF.
(2)连接AF.
证明Rt△ABF≌Rt△ADF.∴BF=DF.
∵BC=DE,∴CF=EF.
巅峰突破
23.(1)△ABC与△AEG面积相等.
如下图所示,过点C作CM⊥AB于M,过点 G作GN⊥EA交EA 延长线于 N,则∠AMC=∠ANG=90°.
∵四边形ABDE 和四边形 ACFG 都是正方形,
∴∠BAE=∠CAG=90°,AB=AE,AC=AG.
∴∠BAC+∠EAG=180°.
∵∠EAG+∠GAN=180°,∴∠BAC=∠GAN.
∴△ACM≌△AGN.∴CM=GN.
(2)由(1)知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和.
∴这条小路的面积为(a+2b)平方米.
24.(1)①∵t=1秒,
∴BP=CQ=3×1=3(厘米),
∵AB=10,点 D为AB的中点,
∴BD=5(厘米).
又∵PC=BC-BP,BC=8,
∴PC=8-3=5(厘米),
∴PC=BD.
又∵∠B=∠C,
∴△BPD≌△CQP.
②∵vp≠vQ,∴BP≠CQ,
又∵△BPD≌△CQP,∠B=∠C,
则BP=PC=4,CQ=BD=5,
∴点 P，点 Q 运动的时间 (秒).
(厘米/秒).
(2)设经过x秒后点 P 与点Q 第一次相遇，
由题意，得 (秒).
∴点 P 共运动了 厘米).
∵80=2×(10+10+8)+24,
∴点 P、点 Q在AB 边上相遇,
∴经 秒点 P与点Q第一次在边 AB 上相遇
25.(1)①=,=
②满足的关系是∠α+∠BCA=180°,理由为:
∵∠α+∠BCA=180°,
∴∠α+∠BCE+∠FCA=180°.
∵∠α+∠BCE+∠CBE=180°,
∴∠CBE=∠ACD,∵∠BEC=∠CFA,CA=CB,
∴△BEC≌△CFA(AAS).
∴BE=CF,EC=FA.
∵EF=CF-CE,∴EF=|BE-AF|.
(2)探究结论:EF=BE+AF.
