2022-2024四川省各地数学三年中考真题专题分类汇编
专题32 最值问题
一、选择题
1. （2024四川乐山）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得，计算求解，然后作答即可．
【详解】∵，
∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，，
∴关于对称轴对称的点坐标为，
∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，
∴，
解得，，
故选：C．
2. （2024四川南充）如图，在中，，平分交于点D，点E为边上一点，则线段长度的最小值为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】本题主要考查解直角三角形和角平分线的性质，垂线段最短，根据题意求得和，结合角平分线的性质得到和，当时，线段长度的最小，结合角平线的性质可得即可．
【详解】∵，
∴，
在中，，解得，
∵平分，
∴，
∴，解得，
当时，线段长度最小，
∵平分，
∴．
故选∶C．
3. （2024四川南充）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值
为（ ）
A. 或0 B. 0或1 C. 或 D. 或1
【答案】A
【解析】本题主要考查了一次函数的性质，以及解一元二次方程，分两种情况，当时和当，根据一次函数性质列出关于m的一元二次方程，求解即可得出答案．
【详解】当即时，一次函数y随x的增大而增大，
∴当时，，
即，
整理得：
解得：或（舍去）
当即时，一次函数y随x的增大而减小，
∴当时，，
即，
整理得：
解得：或（舍去）
综上，或，
故选：A
4. （2024四川泸州）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（ ）
A. 4 B. 5 C. 8 D. 10
【答案】B
【解析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，易证明，则，可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出，在中，由勾股定理得，责任的最小值为5．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵点M是的中点，
∴；
如图所示，在延长线上截取，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，
∵，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为5，
故选：B．
5. （2024四川宜宾）如图，在中，，以为边作，，点D与点A在的两侧，则的最大值为（ ）
A. B. C. 5 D. 8
【答案】D
【解析】如图，把绕顺时针旋转得到，求解，结合，（三点共线时取等号），从而可得答案．
【详解】解：如图，把绕顺时针旋转得到，
∴，，，
∴，
∵，（三点共线时取等号），
∴的最大值为，
故选D
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，旋转的性质，三角形的三边关系，二次根式的乘法运算，做出合适的辅助线是解本题的关键．
6. （2024四川达州）如图，是等腰直角三角形，，，点，分别在，边上运动，连结，交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③面积的最大值是；④的最小值是．其中正确的是（ ）
A. ①③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
【答案】D
【解析】过点作于点，证明，根据相似三角形的性质即可判断①；得出，根据三角形内角和定理即可判断②；在的左侧，以为斜边作等腰直角三角形，以为半径作，根据定弦定角得出在的上运动，进而根据当时，面积的最大，根据三角形的面积公式求解，即可判断③，当在上时，最小，过点作交的延长线于点，勾股定理，即可求解．
【详解】如图所示，过点作于点，
∵是等腰直角三角形，，，
∴，
∵，
∴
∴
又∵
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴
即
在中，
即
∵是等腰直角三角形，
∴平分
∴
∴
∴，
∴，故②正确，
如图所示，
在的左侧，以为斜边作等腰直角三角形，以为半径作，且
∴，
∵
∴
∴在的上运动，
∴，
连接交于点，则，
∴当时，结合垂径定理，最小，
∵是半径不变
∴此时最大
则面积最大，
∴
，故③正确；
如图所示，当在上时，最小，过点作交的延长线于点，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴的最小值是．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，求圆外一点到圆上的距离最值问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
7. （2023四川自贡）如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据已知条件，，得出的轨迹是圆，取点，则是的中位线，则求得的正弦的最大值即可求解，当与相切时，最大，则正弦值最大，据此即可求解．
如图所示，以为边向上作等边，过点作轴于点，则，
则的横坐标为，纵坐标为，
∴，
取点，则是的中位线，
∴，
∵，
∴点在半径为的上运动，
∵是的中位线，
∴，
∴，当与相切时，最大，则正弦值最大，
在中，，
过点作轴，过点作于点，过点作于点， 则
∵与相切，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
设，
则
∴
∴
∴
解得：
∴
∴的最大值为，
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求正弦，等边三角形的性质。圆周角定理，得出点的轨迹是解题的关键．
二、填空题
8. （2024四川广安）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，当重合时，最小，最小值为，再进一步结合勾股定理求解即可.
【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，
∴当重合时，最小，最小值为，
∵，，在中，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，求最小值问题，正确理解各性质及掌握各知识点是解题的关键．
9. （2024四川成都市）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为______．
【答案】5
【解析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，得到，，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求即可．
【详解】取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，
则可知，，
∴，
即当三点共线时，的最小值为，
∵直线垂直于y轴，
∴轴，
∵，，
∴，
∴在中，
，
故答案为：5
10. （2024江苏扬州）如图，已知两条平行线、，点A是上的定点，于点B，点C、D分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点E，于点H，则当最大时，的值为_____．
【答案】
【解析】证明，得出，根据，得出，说明点H在以为直径的圆上运动，取线段的中点O，以点O为圆心，为半径画圆，则点在上运动，说明当与相切时最大，得出，根据，利用，即可求出结果．
【详解】解：∵两条平行线、，点A是上的定点，于点B，
∴点B为定点，的长度为定值，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点H在以为直径的圆上运动，
如图，取线段的中点O，以点O为圆心，为半径画圆，
则点在上运动，
∴当与相切时最大，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，切线的性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是确定点H的运动轨迹．
11. （2024四川广元）如图，在中，，，则的最大值为______．
【答案】
【解析】过点作，垂足为，如图所示，利用三角函数定义得到，延长到，使，连接，如图所示，从而确定，，再由辅助圆-定弦定角模型得到点在上运动，是的弦，求的最大值就是求弦的最大值，即是直径时，取到最大值，由圆周角定理及勾股定理求解即可得到答案．
【详解】解：过点作，垂足为，如图所示：
，
在中，设，则，由勾股定理可得，
，即，
，
延长到，使，连接，如图所示：
，
，，
是等腰直角三角形，则，
在中，，，由辅助圆-定弦定角模型，作的外接圆，如图所示：
由圆周角定理可知，点在上运动，是的弦，求的最大值就是求弦的最大值，根据圆的性质可知，当弦过圆心，即是直径时，弦最大，如图所示：
是的直径，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，则由勾股定理可得，即最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查动点最值问题，涉及解三角形、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、圆的性质、圆周角定理、动点最值问题-定弦定角模型等知识，熟练掌握动点最值问题-定弦定角模型的解法是解决问题的关键．
12. （2024四川宜宾）如图，正方形的边长为1，M、N是边、上的动点．若，则的最小值为___________．
【答案】##
【解析】将顺时针旋转得到，再证明，从而得到，再设设，，得到，利用勾股定理得到，即，整理得到，从而利用完全平方公式得到，从而得解．
【详解】解：∵正方形的边长为1，
∴，，
将顺时针旋转得到，则，
∴，，，，
∴点P、B、M、C共线，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
设，，则，，
∴，
∵，
∴，即，
整理得：，
∴
，
当且仅当，即，也即时，取最小值，
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，二次根式的运算，完全平方公式等知识，证明和得到是解题的关键．
13. （2024四川内江）如图，在中，，，是边上一点，且，点是内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为________．
【答案】
【解析】在取点F，使，连接，，过点F作于H，利用三角形内心的定义可得出，利用证明，得出，则，当C、P、F三点共线时，最小，最小值为，利用含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，即可．
【详解】在取点F，使，连接，，过点F作于H，
∵I是的内心，
∴平分，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
当C、P、F三点共线时，最小，最小值为，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的内心，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和含的直角三角形是解题的关键．
14. （2023四川广安）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为___________．（杯壁厚度不计）
【答案】10
【解析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．
如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，
由题意得：，
，
∵底面周长为，
，
，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为，
故答案：10．
【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
15. （2023四川达州）在中，，，在边上有一点，且，连接，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】如图，作的外接圆，圆心为，连接、、，过作于，过作，交的垂直平分线于，连接、、，以为圆心，为半径作圆；结合圆周角定理及垂径定理易得，再通过圆周角定理、垂直及垂直平分线的性质、三角形内角和定理易得，从而易证可得即勾股定理即可求得在中由三角形三边关系即可求解．
【详解】如图，作的外接圆，圆心为，连接、、，过作于，过作，交的垂直平分线于，连接、、，以为圆心，为半径作圆；
，为的外接圆的圆心，
，，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
即，
由作图可知，在的垂直平分线上，
，
，
又为的外接圆的圆心，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
在中，
，
在中，
，
即最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，角所对的直角边等于斜边的一半，三角形三边之间的关系；解题的关键是结合的外接圆构造相似三角形．
16. （2023四川凉山）如图，边长为2的等边的两个顶点分别在两条射线上滑动，若，则的最大值是_________．
【答案】##
【解析】如图所示，取的中点D，连接，先根据等边三角形的性质和勾股定理求出，再根据直角三角形的性质得到，再由可得当三点共线时，有最大值，最大值为．
【详解】如图所示，取的中点D，连接，
∵是边长为2的等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴当三点共线时，有最大值，最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质等等，正确作出辅助线确定当三点共线时，有最大值是解题的关键．
17. （2022四川自贡）如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________．
【答案】
【解析】如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的长，即可求解．
【详解】如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，
∴G'E=GE，AG=AG'，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD=BC=2
∴CH∥EF，
∵CH=EF=1，
∴四边形EFCH是平行四边形，
∴EH=CF，
∴G'H=EG'+EH=EG+CF，
∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点，
∴AG=AG'=1
∴DG′=AD+A G'=2+1=3，DH=4-1=3，
∴，
即的最小值为．
故答案为：
【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+CF最小时E，F位置是解题关键．
18. （2022四川凉山）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________．
【答案】6
【解析】根据a－b2＝4得出，代入代数式a2－3b2＋a－14中，通过计算即可得到答案．
∵a－b2＝4
∴
将代入a2－3b2＋a－14中
得：
∵
∴
当a=4时，取得最小值为6
∴的最小值为6
∵
∴的最小值6
故答案为：6．
【点睛】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解．
19. （2023四川泸州）如图，，是正方形的边的三等分点，是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是___________．
【答案】
【解析】作点F关于的对称点，连接交于点，此时取得最小值，过点作的垂线段，交于点K，根据题意可知点落在上，设正方形的边长为，求得的边长，证明，可得，即可解答．
【详解】作点F关于的对称点，连接交于点，过点作的垂线段，交于点K，
由题意得：此时落在上，且根据对称的性质，当P点与重合时取得最小值，
设正方形的边长为a，则，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当取得最小值时，的值是为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了四边形的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方形的性质，正确画出辅助线是解题的关键．
20. （2022四川成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米）与物体运动的时间（秒）之间满足函数关系，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设表示0秒到秒时的值的“极差”（即0秒到秒时的最大值与最小值的差），则当时，的取值范围是_________；当时，的取值范围是_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】根据题意，得-45+3m+n=0，，确定m，n的值，从而确定函数的解析式，根据定义计算确定即可．
根据题意，得-45+3m+n=0，，
∴ ，
∴ ，
解得m=50，m=10，
当m=50时，n=-105；当m=10时，n=15；
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴n＞0，
∴，
∵对称轴为t==1，a=-5＜0，
∴时，h随t的增大而增大，
当t=1时，h最大，且（米）；当t=0时，h最最小，且（米）；
∴w=，
∴w的取值范围是，
故答案为：．
当时，的取值范围是
∵对称轴为t==1，a=-5＜0，
∴时，h随t的增大而减小，
当t=2时，h=15米，且（米）；当t=3时，h最最小，且（米）；
∴w=，w=，
∴w的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法确定抛物线的解析式，函数的最值，增减性，对称性，新定义计算，熟练掌握函数的最值，增减性，理解新定义的意义是解的关键．
21. （2022四川成都）如图，在菱形中，过点作交对角线于点，连接，点是线段上一动点，作关于直线的对称点，点是上一动点，连接，．若，，则的最大值为_________．
【答案】
【解析】【分析】延长DE，交AB于点H，确定点B关于直线DE的对称点F，由点B，D关于直线AC对称可知QD=QB，求最大，即求最大，点Q，B，共线时，，根据“三角形两边之差小于第三边”可得最大，当点与点F重合时，得到最大值.连接BD，即可求出CO，EO，再说明，可得DO，根据勾股定理求出DE，然后证明，可求BH，即可得出答案．
【详解】延长DE，交AB于点H，
∵，ED⊥CD，
∴DH⊥AB．
取FH=BH，
∴点P的对称点在EF上．
由点B，D关于直线AC对称，
∴QD=QB．
要求最大，即求最大，点Q，B，共线时，，根据“三角形两边之差小于第三边”可得最大，当点与点F重合时，得到最大值BF．
连接BD，与AC交于点O．
∵AE=14,CE=18，
∴AC=32，
∴CO=16，EO=2．
∵∠EDO+∠DEO=90°，∠EDO+∠CDO=90°，
∴∠DEO=∠CDO．
∵∠EOD=∠DOC，
∴ ，
∴，
即，
解得，
∴．
在Rt△DEO中，．
∵∠EDO=∠BDH，∠DOE=∠DHB，
∴，
∴，
即，
解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】这是一道根据轴对称求线段差最大的问题，考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，相似三角形的性质和判定等，确定最大值是解题的关键．
三、解答题
22. （2024四川凉山）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．
（1）求证：；
（2）求的最小值．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质证明，再结合是的垂直平分线，即可证明；
（2）过点N作于点F，连接，，则，故，此时，在中，进行解直角三角形即可．
【小问1详解】
证明：连接，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：过点N作于点F，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
当点A、N、F三点共线时，取得最小值，如图：
即，
∴在中，，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，解直角三角形，正确添加辅助线是解决本题的关键．
23. （2023四川广元）如图1，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且．
（1）若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是 ；
（2）如图2，在(1)的条件下，若，，，求的长；
（3）如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】【分析】（1）在中，，，且，，可得，根据相似三角形的性质得出，，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解；
（2）延长交于点，如图所示，在中，求得，进而求得的长，根据（1）的结论，得出，在中，勾股定理求得，进而根据，即可求解．
（3）如图所示，以为边在上方作，且，，连接，，，同（1）可得，进而得出在以为圆心，为半径的圆上运动，当点三点共线时，的值最大，进而求得，，根据得出，过点作，于点，分别求得,然后求得，最后根据正切的定义即可求解．
【详解】
（1）解：在中，，，且，，
∴，，
∴，，
∴
∴
∴，
故答案为：．
（2）∵，且，，
∴，，
延长交于点，如图所示，
∵，
∴，
∴在中，，，
∴，
由（1）可得，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，以为边在上方作，且，，连接，，，
同（1）可得
则，
∵，则，
在中，，，
∴在以为圆心，为半径的圆上运动，
∴当点三点共线时，的值最大，此时如图所示，则，
在中，
∴,，
∵，
∴，
过点作，于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
中，．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正切的定义，求圆外一点到圆的距离的最值问题，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2022-2024四川省各地数学三年中考真题专题分类汇编
专题32 最值问题
一、选择题
1. （2024四川乐山）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024四川南充）如图，在中，，平分交于点D，点E为边上一点，则线段长度的最小值为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
3. （2024四川南充）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值
为（ ）
A. 或0 B. 0或1 C. 或 D. 或1
4. （2024四川泸州）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（ ）
A. 4 B. 5 C. 8 D. 10
5. （2024四川宜宾）如图，在中，，以为边作，，点D与点A在的两侧，则的最大值为（ ）
A. B. C. 5 D. 8
6. （2024四川达州）如图，是等腰直角三角形，，，点，分别在，边上运动，连结，交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③面积的最大值是；④的最小值是．其中正确的是（ ）
A. ①③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
7. （2023四川自贡）如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
8. （2024四川广安）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为______．
9. （2024四川成都市）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为______．
10. （2024江苏扬州）如图，已知两条平行线、，点A是上的定点，于点B，点C、D分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点E，于点H，则当最大时，的值为_____．
11. （2024四川广元）如图，在中，，，则的最大值为______．
12. （2024四川宜宾）如图，正方形的边长为1，M、N是边、上的动点．若，则的最小值为___________．
13. （2024四川内江）如图，在中，，，是边上一点，且，点是内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为________．
14. （2023四川广安）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为___________．（杯壁厚度不计）
15. （2023四川达州）在中，，，在边上有一点，且，连接，则的最小值为___________．
16. （2023四川凉山）如图，边长为2的等边的两个顶点分别在两条射线上滑动，若，则的最大值是_________．
17. （2022四川自贡）如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________．
18. （2022四川凉山）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________．
19. （2023四川泸州）如图，，是正方形的边的三等分点，是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是___________．
20. （2022四川成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米）与物体运动的时间（秒）之间满足函数关系，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设表示0秒到秒时的值的“极差”（即0秒到秒时的最大值与最小值的差），则当时，的取值范围是_________；当时，的取值范围是_________．
21. （2022四川成都）如图，在菱形中，过点作交对角线于点，连接，点是线段上一动点，作关于直线的对称点，点是上一动点，连接，．若，，则的最大值为_________．
三、解答题
22. （2024四川凉山）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．
（1）求证：；
（2）求的最小值．
23. （2023四川广元）如图1，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且．
（1）若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是 ；
（2）如图2，在(1)的条件下，若，，，求的长；
（3）如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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