1.5 可化为一元一次方程的分式方程
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 工程问题
1.(2024·铜仁石阡县质检)为了改善生态环境,某社区计划在荒坡上种植600棵树,由于学生志愿者的加入,每日比原计划多种20%,结果提前1天完成任务.设原计划每天种树x棵,可列方程( )
A.-=1
B.-=1
C.-=1
D.-=1
2.甲、乙两个服装厂加工一批校服,甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的1.5倍,两厂各加工600套校服,甲厂比乙厂少用2天,则乙厂每天加工 100 套校服.
3.某工程队修建一条长1 200米的道路,采用新的施工方式,工作效率比原计划增加了20%,结果提前2天完成任务.
(1)求这个工程队原计划每天修道路多少米.
(2)在这项工程中,如果要求工程队提前4天完成任务,那么实际的工作效率比原计划增加百分之几
知识点2 行程问题
4.贵州有“桥梁博物馆”的美誉.世界第一高桥“北盘江大桥”位于贵州省境内,桥面到江面的垂直高度有565.4米,相当于一栋200层的楼高,全长为1 341米.在大桥建成未运营之前,甲乙两名工程师从桥的一端去另一端,甲工程师步行先走14分钟后,乙工程师骑自行车出发,结果他们同时到达.已知自行车的速度是步行速度的3倍.设步行的速度为每分x米,则依题意所列方程为( )
A.=+
B.=-14
C.=-
D.=+14
5.甲、乙两地相距600 km,提速前动车的速度为v km/h,提速后动车的速度是提速前的1.2倍,提速后行车时间比提速前减少20 min,则可列方程为( )
A.-= B.=-
C.-20= D.=-20
6.(2024·铜仁印江县质检)甲、乙两人同时从学校出发,去距离学校15千米的农场参加劳动.甲的速度是乙的1.2倍,结果甲比乙早到10分钟,求甲和乙的速度各是多少,设乙的速度为x千米/时,则根据题意可列方程为 .
7.(教材开发P36习题1.5T2改编)在全民健身运动中,骑行运动颇受市民青睐,甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地,已知甲骑行的速度是乙的1.2倍.
(1)若乙先骑行2千米,甲才开始从A地出发,则甲出发半小时恰好追上乙,求甲骑行的速度;
(2)若乙先骑行20分钟,甲才开始从A地出发,则甲、乙恰好同时到达B地,求甲骑行的速度.
知识点3 其他问题
8.某校购买了一批篮球和足球.已知购买足球的数量是篮球的2倍,购买足球用了
5 000元,购买篮球用了4 000元,篮球单价比足球贵30元.根据题意可列方程=-30,则方程中x表示( )
A.足球的单价 B.篮球的单价
C.足球的数量 D.篮球的数量
9.(2023·贵阳质检)一组人平分90枚硬币,每人分得若干,若再加上6人,平分
120枚硬币,则第二次每人所得与第一次相同.求第二次分硬币的人数.设第二次分硬币的人数为x人,则可列方程为( )
A.= B.=
C.= D.=
10.随着电影《流浪地球》的热映,其同名科幻小说的销量也急剧上升.某书店分别用400元和600元两次购进该小说,第二次数量比第一次多5套,且两次进价相同.若设该书店第一次购进x套,根据题意,列方程正确的是( )
A.= B.=
C.= D.=
11.据林业专家分析,树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物,具有滞尘净化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克,若一年滞尘2 000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘1 100毫克所需的槐树叶的片数相同,求一片槐树叶一年的平均滞尘量.
综合能力练巩固提升 迁移运用
12.《千里江山图》是宋代王希孟的作品,如图,它的局部画面装裱前是一个长为2.4米,宽为1.4米的矩形,装裱后,整幅图画宽与长的比是8∶13,且四周边衬的宽度相等,则边衬的宽度应是多少米 设边衬的宽度为x米,根据题意可列方程( )
A.= B.=
C.= D.=
13.(2024·铜仁市印江县质检)在课外活动跳绳时,相同时间内小季跳了100下,小范比小季多跳了20下.已知小范每分钟比小季多跳30下,设小季每分钟跳x下,下列方程正确的是( )
A.= B.=
C.= D.=
14.《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”:“粟率五十,粝米三十…”(粟指带壳的谷子,粝米指糙米),其意为:“50单位的粟,可换得30单位的粝米…”问题:有3斗的粟(1斗=10升),若按照此“粟米之法”,则可以换得的粝米为( )
A.1.8升 B.16升
C.18升 D.50升
15.某市开发区在一项工程招标时,接到甲、乙两个工程队的投标书,工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算,共有三种施工方案:①甲队单独完成这项工程,刚好如期完工;②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天;③,剩下的工程由乙队单独做,也正好如期完工.某同学设规定的工期为x天,根据题意列出了方程:+=1,则方案③中被墨水污染的部分应该是( )
A.甲乙合作了4天
B.甲先做了4天
C.甲先做了工程的
D.甲乙合作了工程的
16.一个两位数的十位数字与个位数字的和是12,如果交换十位数字与个位数字的位置并把所得到的新的两位数作为分子,把原来的两位数作为分母,所得的分数约分后为,则这个两位数是 .
17.甲、乙两辆汽车同时从A地出发,开往相距200 km的B地,甲、乙两车的速度之比是4∶5,结果乙车比甲车早30分钟到达B地,则甲车的速度为 km/h.
18.2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场,电动汽车在保障能源安全,改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势.经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现,电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元.若充电费和加油费均为200元时,电动汽车可行驶的总路程是燃油车的
4倍,求这款电动汽车平均每公里的充电费.
19.(素养提升题)甲、乙两公司全体员工踊跃参与“天灾无情人有情”捐款活动,甲公司共捐款100 000元,乙公司共捐款140 000元.下面是甲、乙两公司员工的一段对话:
(1)甲、乙两公司各有多少人
(2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A,B两种抗灾物资,A种抗灾物资每箱
15 000元,B种抗灾物资每箱12 000元.若购买B种抗灾物资不少于10箱,并恰好将捐款用完,有几种购买方案 请设计出来.(注:A,B两种抗灾物资均需购买,并按整箱配送)
易错点 列方程解应用题时不能正确分析题意而致错
【案例】有一段公路急需抢修.此项工程原计划由甲工程队独立完成,需要20天.在甲工程队施工4天后,为了加快工程进度,又调来乙工程队与甲工程队共同施工,结果比原计划提前10天.求乙工程队独立完成这项工程需要多少天.1.5 可化为一元一次方程的分式方程
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 工程问题
1.(2024·铜仁石阡县质检)为了改善生态环境,某社区计划在荒坡上种植600棵树,由于学生志愿者的加入,每日比原计划多种20%,结果提前1天完成任务.设原计划每天种树x棵,可列方程(D)
A.-=1
B.-=1
C.-=1
D.-=1
2.甲、乙两个服装厂加工一批校服,甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的1.5倍,两厂各加工600套校服,甲厂比乙厂少用2天,则乙厂每天加工 100 套校服.
3.某工程队修建一条长1 200米的道路,采用新的施工方式,工作效率比原计划增加了20%,结果提前2天完成任务.
(1)求这个工程队原计划每天修道路多少米.
(2)在这项工程中,如果要求工程队提前4天完成任务,那么实际的工作效率比原计划增加百分之几
【解析】(1)设这个工程队原计划每天修道路x米,由题意得:-=2,
解得:x=100,经检验,x=100是所列方程的解,且符合题意,
答:这个工程队原计划每天修道路100米.
(2)设这个工程队实际每天修道路y米,
由题意得:-=4,
解得:y=150,
经检验,y=150是所列方程的解,且符合题意,则(150-100)÷100×100%=50%,
答:实际的工作效率比原计划增加50%.
知识点2 行程问题
4.贵州有“桥梁博物馆”的美誉.世界第一高桥“北盘江大桥”位于贵州省境内,桥面到江面的垂直高度有565.4米,相当于一栋200层的楼高,全长为1 341米.在大桥建成未运营之前,甲乙两名工程师从桥的一端去另一端,甲工程师步行先走14分钟后,乙工程师骑自行车出发,结果他们同时到达.已知自行车的速度是步行速度的3倍.设步行的速度为每分x米,则依题意所列方程为(D)
A.=+
B.=-14
C.=-
D.=+14
5.甲、乙两地相距600 km,提速前动车的速度为v km/h,提速后动车的速度是提速前的1.2倍,提速后行车时间比提速前减少20 min,则可列方程为(A)
A.-= B.=-
C.-20= D.=-20
6.(2024·铜仁印江县质检)甲、乙两人同时从学校出发,去距离学校15千米的农场参加劳动.甲的速度是乙的1.2倍,结果甲比乙早到10分钟,求甲和乙的速度各是多少,设乙的速度为x千米/时,则根据题意可列方程为 -= .
7.(教材开发P36习题1.5T2改编)在全民健身运动中,骑行运动颇受市民青睐,甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地,已知甲骑行的速度是乙的1.2倍.
(1)若乙先骑行2千米,甲才开始从A地出发,则甲出发半小时恰好追上乙,求甲骑行的速度;
(2)若乙先骑行20分钟,甲才开始从A地出发,则甲、乙恰好同时到达B地,求甲骑行的速度.
【解析】(1)设乙骑行的速度为x千米/时,
则甲骑行的速度为1.2x千米/时,
依题意得:×1.2x=2+x,解得:x=20,
所以1.2x=1.2×20=24.
答:甲骑行的速度为24千米/时.
(2)设乙骑行的速度为y千米/时,
则甲骑行的速度为1.2y千米/时,
依题意得:-=,
解得:y=15,
经检验,y=15是原方程的解,且符合题意,
所以1.2y=1.2×15=18.
答:甲骑行的速度为18千米/时.
知识点3 其他问题
8.某校购买了一批篮球和足球.已知购买足球的数量是篮球的2倍,购买足球用了
5 000元,购买篮球用了4 000元,篮球单价比足球贵30元.根据题意可列方程=-30,则方程中x表示(D)
A.足球的单价 B.篮球的单价
C.足球的数量 D.篮球的数量
9.(2023·贵阳质检)一组人平分90枚硬币,每人分得若干,若再加上6人,平分
120枚硬币,则第二次每人所得与第一次相同.求第二次分硬币的人数.设第二次分硬币的人数为x人,则可列方程为(C)
A.= B.=
C.= D.=
10.随着电影《流浪地球》的热映,其同名科幻小说的销量也急剧上升.某书店分别用400元和600元两次购进该小说,第二次数量比第一次多5套,且两次进价相同.若设该书店第一次购进x套,根据题意,列方程正确的是(C)
A.= B.=
C.= D.=
11.据林业专家分析,树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物,具有滞尘净化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克,若一年滞尘2 000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘1 100毫克所需的槐树叶的片数相同,求一片槐树叶一年的平均滞尘量.
【解析】设一片槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克,则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为(2x-4)毫克,
依题意得:=,
解得:x=22,
经检验,x=22是原方程的解,且符合题意.
答:一片槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克.
综合能力练巩固提升 迁移运用
12.《千里江山图》是宋代王希孟的作品,如图,它的局部画面装裱前是一个长为2.4米,宽为1.4米的矩形,装裱后,整幅图画宽与长的比是8∶13,且四周边衬的宽度相等,则边衬的宽度应是多少米 设边衬的宽度为x米,根据题意可列方程(D)
A.= B.=
C.= D.=
13.(2024·铜仁市印江县质检)在课外活动跳绳时,相同时间内小季跳了100下,小范比小季多跳了20下.已知小范每分钟比小季多跳30下,设小季每分钟跳x下,下列方程正确的是(B)
A.= B.=
C.= D.=
14.《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”:“粟率五十,粝米三十…”(粟指带壳的谷子,粝米指糙米),其意为:“50单位的粟,可换得30单位的粝米…”问题:有3斗的粟(1斗=10升),若按照此“粟米之法”,则可以换得的粝米为(C)
A.1.8升 B.16升
C.18升 D.50升
15.某市开发区在一项工程招标时,接到甲、乙两个工程队的投标书,工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算,共有三种施工方案:①甲队单独完成这项工程,刚好如期完工;②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天;③,剩下的工程由乙队单独做,也正好如期完工.某同学设规定的工期为x天,根据题意列出了方程:+=1,则方案③中被墨水污染的部分应该是(A)
A.甲乙合作了4天
B.甲先做了4天
C.甲先做了工程的
D.甲乙合作了工程的
16.一个两位数的十位数字与个位数字的和是12,如果交换十位数字与个位数字的位置并把所得到的新的两位数作为分子,把原来的两位数作为分母,所得的分数约分后为,则这个两位数是 84 .
17.甲、乙两辆汽车同时从A地出发,开往相距200 km的B地,甲、乙两车的速度之比是4∶5,结果乙车比甲车早30分钟到达B地,则甲车的速度为 80 km/h.
18.2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场,电动汽车在保障能源安全,改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势.经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现,电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元.若充电费和加油费均为200元时,电动汽车可行驶的总路程是燃油车的
4倍,求这款电动汽车平均每公里的充电费.
【解析】设这款电动汽车平均每公里的充电费用为x元,
根据题意,得=×4,解得x=0.2,
经检验,x=0.2是原方程的根.
答:这款电动汽车平均每公里的充电费用为0.2元.
19.(素养提升题)甲、乙两公司全体员工踊跃参与“天灾无情人有情”捐款活动,甲公司共捐款100 000元,乙公司共捐款140 000元.下面是甲、乙两公司员工的一段对话:
(1)甲、乙两公司各有多少人
(2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A,B两种抗灾物资,A种抗灾物资每箱
15 000元,B种抗灾物资每箱12 000元.若购买B种抗灾物资不少于10箱,并恰好将捐款用完,有几种购买方案 请设计出来.(注:A,B两种抗灾物资均需购买,并按整箱配送)
【解析】(1)设甲公司有x人,则乙公司有(x+30)人,依题意,得×=,
解得x=150,
经检验,x=150是原方程的解,且符合题意,
所以x+30=180.
答:甲公司有150人,乙公司有180人.
(2)设购买A种抗灾物资m箱,购买B种抗灾物资n箱,依题意,得
15 000m+12 000n=100 000+140 000,所以m=16-n.
又因为n≥10,且m,n均为正整数,所以
所以有2种购买方案,方案1:购买8箱A种抗灾物资,10箱B种抗灾物资;
方案2:购买4箱A种抗灾物资,15箱B种抗灾物资.
易错点 列方程解应用题时不能正确分析题意而致错
【案例】有一段公路急需抢修.此项工程原计划由甲工程队独立完成,需要20天.在甲工程队施工4天后,为了加快工程进度,又调来乙工程队与甲工程队共同施工,结果比原计划提前10天.求乙工程队独立完成这项工程需要多少天.
【解析】设乙工程队独立完成这项工程需要x天,则乙工程队每天完成任务的.完成这项工程,甲工程队工作10天,乙工程队工作6天,根据题意,得+=1(或=),解得x=12.
检验:因为x=12≠0,所以x=12是原方程的解.
答:乙工程队独立完成这项工程需要12天.1.5 可化为一元一次方程的分式方程
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 分式方程的概念
1.下列关于x的方程,是分式方程的是(D)
A.-3=
B.=
C.+1=
D.=1-
2.有下列方程:①-=1,②-2=5,③=-6(m为不等于2的常数),其中,属于分式方程的有 ② (填序号).
知识点2 分式方程的解
3.已知x=2是分式方程+=1的解,那么实数k的值为(B)
A.3 B.4 C.5 D.6
4.(2024·遵义绥阳县期末)若关于x的方程=有解,则(C)
A.m<3 B.m≥3
C.m≠3 D.m>3
5.当k= 3 时,方程=1-产生增根.
知识点3 分式方程的解法
6.(2024·铜仁江口县期中)分式方程-=1约去分母得(A)
A.1+(1-x)=x-2
B.1-(1-x)=x-2
C.1-(1-x)=1
D.1+(1-x)=1
7.分式方程+1=的解为 x=1 .
8.(教材再开发·P34练习T1改编)解方程:
(1)=;
(2)-1=;
(3)-=1;
(4)-=.
【解析】(1)=,
方程两边都乘x(x-1),得9(x-1)=8x,
解得:x=9,检验:当x=9时,x(x-1)≠0,
所以x=9是原方程的解;
(2)-1=
方程两边都乘x-2,得4x-(x-2)=-3,
解得:x=-,
检验:当x=-时,x-2≠0,
所以x=-是原方程的解;
(3)-=1,
-=1,
方程两边都乘(x+3)(x-3),得x(x+3)-18=(x+3)(x-3),解得:x=3,
检验:当x=3时,(x+3)(x-3)=0,
所以x=3是增根,即原分式方程无解;
(4)-=.
去分母,得(x-2)2-(x+2)2=16,
整理,得-8x=16,解得x=-2,
经检验x=-2是增根,原分式方程无解.
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.若关于x的方程=的解为x=1,则a等于(C)
A. B.2 C.- D.-2
10.(2024·铜仁碧江区质检)在实数范围内定义一种运算☆,其规则为a☆b=,根据这个规则x☆(x+1)=的解为(C)
A.x= B.x=1
C.x=- D.x=
11.(2024·铜仁碧江区质检)分式方程-1=有增根,则m的值为(A)
A.3 B.1
C.1或-2 D.0或3
12.若方程=-1的解是最小的正整数,则a的值为 -1 .
13.解分式方程:
(1)-1=.
(2)+1=.
【解析】(1)方程两边都乘(x-2)2,
得x(x-2)-(x-2)2=4,解得x=4,
检验:当x=4时,(x-2)2≠0,
所以原分式方程的解为x=4.
(2)方程两边都乘2(2x-1),
得2(x-2)+2(2x-1)=-3,
解得:x=,
检验:当x=时,2(2x-1)=0,
所以x=是增根,
即原分式方程无解.
14.(素养提升题)小明解方程-=1的过程如下:
解:方程两边同乘x,得1-(x-2)=1,①
去括号,得1-x-2=1,②
合并同类项,得-x-1=1,③
移项,得-x=2,④
解得x=-2,⑤
所以原方程的解为x=-2.⑥
请指出他解答的过程中有______处错误,分别是_________.
并写出正确的解答过程.
【解析】四;①去分母有误;②去括号有误;③④步骤顺序错;⑥前缺少“检验”步骤.
正确解法如下:
方程两边同乘x,得1-(x-2)=x,
去括号,得1-x+2=x,
移项,得-x-x=-2-1,
合并同类项,得-2x=-3.
系数化为1,得x=,
检验,x=≠0,
所以原方程的解为x=.
易错点 解分式方程不检验而致错
【案例】解方程:=.
【解析】方程两边同乘(1+x)(1-x),得1+x=2,解得x=1.检验:当x=1时,(1+x)(1-x)=0,所以x=1不是原方程的解,原方程无解.1.5 可化为一元一次方程的分式方程
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 分式方程的概念
1.下列关于x的方程,是分式方程的是( )
A.-3=
B.=
C.+1=
D.=1-
2.有下列方程:①-=1,②-2=5,③=-6(m为不等于2的常数),其中,属于分式方程的有 (填序号).
知识点2 分式方程的解
3.已知x=2是分式方程+=1的解,那么实数k的值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
4.(2024·遵义绥阳县期末)若关于x的方程=有解,则( )
A.m<3 B.m≥3
C.m≠3 D.m>3
5.当k= 时,方程=1-产生增根.
知识点3 分式方程的解法
6.(2024·铜仁江口县期中)分式方程-=1约去分母得( )
A.1+(1-x)=x-2
B.1-(1-x)=x-2
C.1-(1-x)=1
D.1+(1-x)=1
7.分式方程+1=的解为 .
8.(教材再开发·P34练习T1改编)解方程:
(1)=;
(2)-1=;
(3)-=1;
(4)-=.
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.若关于x的方程=的解为x=1,则a等于( )
A. B.2 C.- D.-2
10.(2024·铜仁碧江区质检)在实数范围内定义一种运算☆,其规则为a☆b=,根据这个规则x☆(x+1)=的解为( )
A.x= B.x=1
C.x=- D.x=
11.(2024·铜仁碧江区质检)分式方程-1=有增根,则m的值为( )
A.3 B.1
C.1或-2 D.0或3
12.若方程=-1的解是最小的正整数,则a的值为 .
13.解分式方程:
(1)-1=.
(2)+1=.
14.(素养提升题)小明解方程-=1的过程如下:
解:方程两边同乘x,得1-(x-2)=1,①
去括号,得1-x-2=1,②
合并同类项,得-x-1=1,③
移项,得-x=2,④
解得x=-2,⑤
所以原方程的解为x=-2.⑥
请指出他解答的过程中有______处错误,分别是_________.
并写出正确的解答过程.
易错点 解分式方程不检验而致错
【案例】解方程:=.
