第二十二章 二次函数
专题一 抛物线的开口和对称性
01.如图，四个二次函数的图象分别对应的是： 则a, b, c, d的大小关系是 ( )
A. a>b>c>d B. a>b>d>c
C. b>a>c>d D. b>a>d>c
02. 如图, A(1, -1) , C(2, -2) , 若抛物线 与正方形ABCD有公共点，求a的取值范围.
03.如图, 正方形三个顶点的坐标依次为(3, 1), (1,1), (1,3). 若抛物线 的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是 ( )
04.若抛物线 经过(0, 1) 和(2, -3) 两点, 且开口向下, 对称轴在y轴的左侧，试确定a的取值范围.
05.如图，抛物线. 与x轴的一个交点A在点( 和 0) 之间(包括这两个点)，顶点C是矩形DEFG区域内(包括边界和内部) 的一个动点，则a的取值范围是 .
专题二 抛物线的对称轴与增减性
核心考点一 对称轴已知，利用增减性比较大小
01. 已知抛物线. 当x 时，y随x的增大而增大.
02. 已知点A (-2, y ), 点B(1, y ) 在抛物线. 上, 则y , y 的大小关系是: y y . (填“>”或“<”)
03.若A(-2, y ), B(1, y ), C(2, y ) 是抛物线. 上的三个点，则y ，y , y 的大小关系是( )
04.已知二次函数. 豪楚图象上三点A(-1, y ) , B (2, y ) , C(4,y ) , 则y , y , y 的大小关系为 ( )
05. 在抛物线 上有A(-0.5, y ) , B(2, y ) 和C(3, y ) 三点, 若抛物线与y轴的交点在正半轴上，则y ，y 和y 的大小关系为( )
核心考点二 对称轴未知，已知增减性求参数
06. 若二次函数. 当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ( )
A. m=3 B. m>3 C. m≥3 D. m≤3
07. 二次函数. 的图象上有两点A(1, y ) , B(3, y ) , 若y ≤y , 则m的取值范围为 .
08. 抛物线 上有两点A(-3, y ) , B(5, y ) , 点C(x , y ) 为此抛物线顶点，且 则m的取值范围为 ( )
A. m>-1
09.若点A(-3, y ) , B(1, y ) , C(m, y ) 在抛物线 上, 且y
A. 若y y >0, 则y y >0 B. 若y y >0,则y y >0
C. 若y y <0, 则y y <0 D. 若y y <0, 则.
专题三 二次函数与判别式
01.二次函数. 的图象与x轴有公共点，则常数k的取值范围是 .
02.函数 的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为 .
03. 不论x为何值，二次函数 的值恒大于0，则a的取值范围是 .
04. 无论x为何值，二次三项式 的值恒为负数，则a的取值范围是 ( )
05.若无论x取何值, 代数式(x+1-3m)(x-m)的值恒为非负数, 则m的值为 ( )
A. 0 B C D. 1
06.已知抛物线 和直线y=x-k.
(1) 当k为何值时，抛物线和直线有两个公共点
(2) 当k为何值时，抛物线和直线只有一个公共点
(3) 当k为何值时，抛物线和直线没有公共点
07.如图, 抛物线 与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作 将 向右平移得( 与x轴交于点B, D, 若直线y=x+m与 共有3个不同的公共点，则m的取值范围是 ( )
C. -3
(1) 求b的值;
(2) 若二次函数 的图象与坐标轴只有两个不同的公共点，求这两个公共点的距离.
09. 在平面直角坐标系中，抛物线 与直线 交于A, B两点, 点A在点B的左侧，设抛物线与x轴交于C，D两点(点C在点D的左侧) .在直线 上是否存在唯一一点Q，使得. 若存在，请求出此时k的值； 若不存在，请说明理由.
10. 如图, 点P是直线l: 上的点，过点P的另一条直线m交抛物线. 于.A,B两点.求证：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得 成立.
专题四 二次函数与韦达定理
01. 当c为何值时，抛物线 与x轴有两个交点，且两个交点间的距离为2
02.已知抛物线 与直线y=-x两个交点的横坐标是x ，x ，并且. 则m的值为 ( )
A. -1 B. 1 C. 2 D. -1或2
03. 已知抛物线 与直线y=x-2的两个交点的距离为 , 则p= .
04. 如图，设二次函数. 的图象与x轴的两个交点A(x , 0), B (x , 0) ,抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形，如图，当△ABC为等边三角形时，求 的值.
05. 如图, 直线.AB: y=x+4 与抛物线 交于A，B两点，求线段AB的长.
06. 如图, 直线. 与y轴交于点A，与抛物线 交于P，Q两个不同点，分别过P，Q两点作y轴的垂线，垂足分别为B，C两点，当k的值在取值范围内发生变化时，求 的值.
专题五 二次函数与方程、不等式
01.二次函数. 的图象如图所示，则函数值y<0时，x的取值范围是( )
A. x<-1 B. x>2
C. -1
02.如图, 直线 与抛物线 的两个交点A，B的横坐标分别为-1, 4, 则关于x的不等式 的解集为 .
03 抛物线. 的图象如图所示，根据图象回答问题.
(1) 直接写出x<1时, y随x的增大而 ;
(2) 直接写出方程 的根；
(3) 直接写出不等式 的解集；
(4) 若方程 没有实数根，直接写出k的取值范围.
04. 如图, 抛物线. 与y轴交于点 (0, 3).
(1)m的值为 ;
(2) 当x满足 时，y的值随x值的增大而减小；
(3) 当x满足 时，抛物线在x轴上方；
(4) 当x满足0≤x≤4时, y的取值范围是 .
05.已知二次函数.
(1)若-3≤x≤3, 则y的取值范围为 (直接写出结果);
(2) 若-8≤y≤-3, 则x的取值范围为 (直接写出结果);
(3) 若A (m, y ) , B (m+1, y )两点都在该函数的图象上，试比较y 与y 的大小.
专题六 二次函数应用题 (1) ——面积问题 (新热点)
01. 在一块矩形ABCD的空地上划一块四边形 MNPQ进行绿化. 如图，四边形的顶点在矩形的边上，且/ . 已知矩形的边 边 ，a为大于200的常数.设四边形MNPQ的面积为
(1)求S关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2) 若 ，求S的最大值，并求出此时x的值；
(3) 若 ，请直接写出S的最大值.
02. 用54m长的竹栅栏围一个矩形菜园，菜园的一边靠长为 am的墙，另三边用竹栅栏围成，且在与墙平行的一边开两扇门，宽度都是1m. 设与墙垂直的一边长为 xm.
(1) 当 时，矩形菜园面积是 求x;
(2) 当a足够大时，问矩形菜园的面积能否达到
(3) 若矩形菜园的面积是 x的值只能取一个，试写出a的取值范围.
03. 如图1，在足够大的空地上有一段长为 am的旧墙MN，某人利用旧墙和长为100m的木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中 已知矩形菜园的一边靠墙，设
(1) 若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450m ，求所利用旧墙AD的长；
(2) 求矩形菜园ABCD面积的最大值；
(3) 如图2, 若a=20, 将题目中的条件“AD≤MN”去掉, 则矩形菜园ABCD面积的最大值是 m .
04.某花圃基地计划将如图所示的一块长40m，宽20m的矩形空地划分成五块小矩形区域. 其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉. 活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10m. A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元.
(1) 设育苗区的边长为 xm，用含x的代数式表示下列各量：
花卉A的种植面积是 m ，花卉 B的种植面积是 ；m ,花卉C的种植面积是 m .
(2) 育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等
(3) 若花卉A与B的种植面积之和不超过： ，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值.
专题七 二次函数应用题(2) ——运动路径与边界问题(新热点 )
01.某幢建筑物，从5m高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线，抛物线所在平面与墙面垂直(如图所示) ，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面 则水流下落点B 离墙距离 OB 是 m.
02.如图，在水平地面点A 处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B，有人在直线AB上点C(靠点B一侧)竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶. 试图让网球落入桶内，已知AB=4m，AC=3m，网球飞行最大高度OM=5m，圆柱形桶的直径为0.5m，高为0.3m(网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计). 当竖直摆放圆柱形桶至少 ( )个时，网球可以落入桶内.
A. 7 B. 8
C. 9 D. 10
03.燃放烟花是一种常见的喜庆活动. 如图，小杰燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2s发射一枚花弹，每枚花弹的飞行路径视为同一条抛物线，飞行相同时间后发生爆炸. 小杰发射出的第一枚花弹的飞行高度h(单位：m) 随飞行时间t(单位：s) 变化的规律如下表：
飞行时间 t/s 0 0.5 1 4.5
飞行高度h/m 2 9.5 16 33.5
(1) 求第一枚花弹的飞行高度h与飞行时间t的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；
(2) 当第一枚花弹到达最高点时，求第二枚花弹到达的高度；
(3)为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于30m. 小杰发现在第一枚花弹爆炸的同时，第二枚花弹与它处于同一高度，请分析花弹的爆炸高度是否符合安全要求.
04.跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为一条抛物线. 如图是小涵与小军将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m，现以两人的站立点所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小涵拿绳子的手的坐标是(0，1)，身高1.50m的小丽站在绳子的正下方，且距小涵拿绳子的手1m时，绳子刚好经过她的头顶.
(1) 求绳子所对应的抛物线的解析式(不要求写自变量的取值范围) ；
(2) 身高1.70m的小兵，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶
(3)身高1.64m的小伟，站在绳子的正下方，他距小涵拿绳子的手 sm，为确保绳子通过他的头顶，请直接写出s的取值范围.
05. 如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.5m. 可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象； 把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度. 竖直高度 . 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到绿化带的距离OD为d(单位: m).
(1) 求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
(2) 求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点 B 的坐标；
(3) 要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围.
专题八 二次函数应用题 (3) ——过桥与边界问题
01.如图是抛物线型拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面上升1.5m，水面宽度为 ( )
A. 1m B. 2m
02. 如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，当水面宽增加 时，则水面应下降的高度是 ( )
A. 2m B. 1m
03.如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是4m时，拱高为2m，一艘木船宽2m.要能顺利从桥下通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3m，那么木船的高不得超过 m.
04.三孔桥横截面的三个孔都是呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同. 当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10m，孔顶离水面1.5m； 当水位下降，大孔水面宽度为14m时，单个小孔的水面宽度为4m. 若大孔水面宽度为20m，则单个小孔的水面宽度为( )
D. 7m
05.如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为( )
A. 50m B. 45m
C. 40m D. 60m
06. 九(1) 班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践到应用的过程.
(1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面宽为10m. 隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图. 建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式；
(2)应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m.为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶(两车并列行驶时不考虑两车间的空隙) 并说明理由.
07.有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距水面4m.
(1) 如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的关系式；
(2)在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽度为d(m)，求出将d表示为h的函数关系式；
(3) 设正常水位时，桥下的水深为2m，为保证过往船只的顺利通过，桥下水面的宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行
专题九 二次函数应用题 (4) ——利润最值和范围
01. 某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第x天的售价与销量的相关信息如下表：
第x天 售价(元/件) 日销售量(件)
1≤x≤30 x+60 300-10x
已知该商品的进价为40元/件，设销售该商品的日销售利润为y元.
(1) 求y与x的函数关系式；
(2) 问销售该商品第几天时，日销售利润最大 最大日销售利润为多少元
(3) 问在当月有多少天的日售利润不低于5440元，请直接写出结果.
02. 某商店销售一种销售成本为40元/件的商品，销售一段时间后发现，每天的销量y(件) 与当天的销售单价x(元/件) 满足一次函数关系，并且当 时， 当 时，
(1) 求出y与x的函数关系式；
(2) 求出商店销售该商品每天获得的最大利润；
(3)如果该商店要使每天的销售利润不低于13750元，且每天的总成本不超过20000元，那么销售单价应控制在什么范围内
专题十 二次函数应用题(5)
利用含参对称轴讨论利润最值和范围(新热点 )
01. 某网店销售一种儿童玩具，每件进价20元，规定单件销售利润不低于10元，且不高于18元. 试销售期间发现，当销售单价定为35元时，每天可售出250件，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10件，该网店决定提价销售. 设每天销售量为y件，销售单价为x元.
(1) 请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
(2) 当销售单价是多少元时，网店每天获利3840元
(3) 网店决定每销售1件玩具，就捐赠a元(0
(1) 直接写出y与x的函数关系式；
(2)设每天的销售利润为W元，在整个销售过程中，第几天的销售利润最大 最大利润是多少
(3) 如果该超市把销售价格在当天的基础上提高a元/千克(a为整数)，那么在前30天(包含第30天) 每天的销售利润随x的增大而增大，求a的最小值.
专题十一 二次函数应用题(6)——利润总分问题(新热点)
01.某公司以3万元/吨的价格收购20吨某种农产品后，分成A，B两类(A类直接销售，B类深加工后再销售)，并全部售出.
A 类农产品的销售价格y(单位：万元/吨)与销售数量x(单位：吨)之间的函数关系是. B类农产品深加工总费用s(单位：万元) 与加工数量t(单位：吨) 之间的函数关系是. 销售价格为9万元/吨.
注：总利润=总售价一总成本
(1) 设其中A类农产品有x吨，用含x的代数式表示下列各量.
①B类农产品有 吨；
②A类农产品所获得总利润为 万元；
③B类农产品所获得总利润为 万元.
(2) 若两类农产品获得总利润和为30万元，问A，B两类农产品各有多少吨
(3) 直接写出两类农产品获得总利润和的最大值.
02. 年初，草莓进入采摘旺季，某公司经营销售草莓的业务，以3 万元/吨的价格向农户收购后，分拣成甲、乙两类，甲类草莓包装后直接销售，乙类草莓深加工后再销售. 甲类草莓的包装成本为1万元/吨，当甲类草莓的销售量x<8吨时，它的平均销售价格. 当甲类草莓的销售量x≥8吨时，它的平均销售价格为6万元/吨； 乙类草莓深加工总费用s(单位：万元) 与加工数量t(单位：吨) 之间的函数关系为s=12+3t，平均销售价格为9万元/吨.
(1)某次该公司收购了20吨的草莓，其中甲类草莓有x吨，经营这批草莓所获得的总利润为w万元；
①求w与x之间的函数关系式；
②若该公司获得了30万元的总利润，求用于销售甲类的草莓有多少吨
(2)在某次收购中，该公司准备投入100万元资金，请你设计一种经营方案，使该公司获得最大的总利润，并求出最大的总利润.
专题十二 二次函数应用题 (7) ——排队问题
01.疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测. 某校统计了学生早晨到校情况，发现学生到校的累计人数y(单位：人)随时间x(单位：分钟) 的变化情况如图所示，y可看作是x的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为(30，900)，其中0≤x≤30.校门口有一个体温检测棚，每分钟可检测40 人.
(1) 求y与x之间的函数解析式；
(2) 校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人
(3)检测体温到第4分钟时，为减少排队等候时间，在校门口临时增设一个人工体温检测点. 已知人工每分钟可检测12人，人工检测多长时间后，校门口不再出现排队等待的情况(直接写出结果) .
02. 2020年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求. 防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y(人)与时间x(分钟) 的变化情况， 数据如下表： (表中9~15表示(
时间x(分钟) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9~15
人数y(人) 0 170 320 450 560 650 720 770 800 810 810
(1)根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出y与x 之间的函数关系式；
(2)如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人 全部考生都完成体温检测需要多少时间
(3)在(2) 的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点
专题二十三 利用对称轴和特征根分析系数(新热点)
方法：含有a，b，c的式子：①利用对称轴和特征根消去b处理； ②利用两根之积处理.
01. 抛物线. 的部分图象如图所示，直线. 1为对称轴. 以下结论: ①a<0; ②b>0;③2a+b=0; ④3a+c<0. 正确的有 (填序号).
02. 如图所示的二次函数. 的图象中，观察得出了下面五条信息：( ②a-b+c<0; ③b+2c>0; ④a-2b+4c>0; ⑤2a=3b. 其中正确信息的个数有( )
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
03. 如图，二次函数 的图象过点 对称轴为直线. 有以下结论: ①abc>0; ②7a+c<0; ③a+b≤m( am+b)(m为任意实数) ; ④若A (x , m), B(x , m)是抛物线上的两点，当. 时, y=c; ⑤若方程( 的两根为x , x , 且 则 其中正确结论的个数有 ( )
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
专题二十四 抛物线的平移与图形的公共点
01. 如图, 点A, B的坐标分别为(1, 4)和(4, 4) , 抛物线 的顶点在线段AB上运动，与x轴交于 C，D两点(C在D的左侧) ，点C的横坐标最小值为 则点D 的横坐标最大值为 ( )
A. 13 B. 7
C. 5 D. 8
02. 如图，抛物线的顶点为 与y轴交于点A(0，3) .若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点. 点A的对应点为A'，则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分) 的面积为 .
03. 如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为 (2, 0) ,若抛物线 与扇形OAB的边界有两个公共点，则实数k的取值范围是 .
专题二十五 二次函数与等角的处理策略
01. 如图, 抛物线 交x轴于A，B两点(点A在点B的左边)，交y轴正半轴于点C，若抛物线上有一点P, 使∠ACP=∠BAC, 求点P的坐标.
02. 如图, 抛物线 与x轴交于A, B两点, 顶点为C, 点. 在抛物线上，D是抛物线上一点，满足 求点 D的坐标.
03. 如图, 抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在第四象限的抛物线上求点P，使 求出点P的坐标.
专题二十六 二次函数与二倍角的处理策略
01. 如图, 抛物线 与x轴交于点A和B两点, 点C(6, 4)在抛物线上，D为y轴左侧抛物线上一点，且. 求点D 的坐标.
02. 如图, 抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点P是第四象限抛物线上的一点，且 求点P的横坐标.
03.如图, 直线 与x轴交于点 A，与y轴交于点B，抛物线 经过A，B两点，与x轴的另一个交点为C.
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 直线AB 上方抛物线上的点D，使得 求D 点的坐标.
专题二十七 二次函数与利用角度构造全等
01. 如图, 已知抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若点P在抛物线上运动(点P异于点A) ，当 时，求点P的坐标.
02.抛物线 与x轴交于A，B两点(A在B左侧)，与y轴交于点C，点P为在第四象限的抛物线上的一点，且 求P 点坐标.
03.如图，在平面直角坐标系中，抛物线. 交x轴于A，B两点(点A在点B的左边) ，交y轴负半轴于点 C，若抛物线上有一点D， 求点D 的坐标.
专题二十八 二次函数与面积处理
常用方法：铅垂法(宽高公式) 、平移转化法、割补法
01.阅读材料：
如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(h)，中间的这条直线在 内部线段的长度叫 的“铅垂底(a)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法： 即三角形面积等于水平宽(高) 与铅垂底乘积的一半.
解决问题：
如图2，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点M为抛物线第三象限内的一动点，其横坐标为m，△AMC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值.
02. 如图, 已知直线.AB: 与抛物线 交于A，B两点，在直线AB下方的抛物线上求点 P，使 的面积等于 5.
03.如图, 抛物线 和y轴交于点A，与它的对称轴直线. 交于点 B，过定点的直线 与该抛物线交于点M，N. 若 的面积等于1，求k的值.
04如图, 抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在B的左边)，与y轴交于点 C，点P是第一象限内抛物线上的一动点，连接PA分别与BC，y轴交于点E，F，若 的面积分别为S , S , 求 的最大值.
05. 抛物线 经过点 与y轴交于点D，且P为抛物线上C，D之间的一动点(含C, D两点) , E(-6, 0) , F (0, 10) . 若P点的横坐标为x, 的面积为s.
(1) 求s关于x的函数关系式；
(2) 若s为正整数，求P点的个数(直接写出结果).
专题二十九 二次函数与平移、对称
核心考点一 抛物线的平移
01.将抛物线.y=(x-3) -2向左平移 个单位长度后经过点(-1,7).
02. 已知二次函数. (a为常数)，当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”.下图分别是当a=-l，a=0，a=l，a=2时二次函数的图象. 它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y= .
03. 如图, 抛物线. 的顶点为M，直线 与y轴交于点 C，与直线OM交于点D.现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上. 若平移的抛物线与射线 CD(含端点C) 只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围.
核心考点二 抛物线的对称
04. 将抛物线. 沿x轴翻折，得到的新抛物线的解析式为 .
05. 如图，将抛物线 在直线y=m下方的部分沿直线y=m翻折，翻折的部分与没有翻折的 部分组成函数 B 的图象.
(1) 若函数B的图象恰好与直线y=x有3个公共点，求m的值；
(2) 若函数B的图象恰好与直线y=x没有公共点，直接写出m的取值范围.
专题三十 二次函数与平行四边形
01.如图, 抛物线 分别交x轴于A，B两点，交y轴正半轴于点C，过点A作CB的平行线AE交抛物线于另一点E，交y轴于点 D.
(1) 直接写出点A 的坐标和直线CB的解析式；
(2)直线AE上有两点F，G，横坐标分别为t，t+1，分别过F，G两点作y轴的平行线交抛物线于M，N两点. 若以F，G，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，求t的值.
02.抛物线 交x轴于A，B两点(A在B的左边)，平行四边形ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上.
(1) 如图1, 若点C的坐标是(0, 3) , 点E的横坐标是 直接写出点A，D的坐标；
(2) 如图2，若点D在抛物线上，且平行四边形ACDE的面积是 12，求点E的坐标.
专题三十一 二次函数与直角三角形、等腰三角形、矩形
01.如图, 在平面直角坐标系xOy中, A, B为抛物线 与x轴的交点，D为抛物线与y轴的交点，点M是抛物线的顶点，当 为直角三角形时，求m的值.
02. 如图，已知二次函数l 和二次函数 图象的顶点分别为M，N，若二次函数 的图象与x轴的右交点为A(m，0) ，当 为等腰三角形时，求方程 的解.
03.如图, 已知抛物线. 的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B，若点 P 在第一象限，且 过点P作 轴于点 D. 将抛物线 平移，平移后的抛物线经过点A，D，该抛物线与x轴的另一个交点为C，求证：四边形OABC为矩形.
专题十五 含参抛物线与数形结合思想
01.已知抛物线 与x轴交于 (-2, 0), (3, 0) , 则关于x的一元二次方程： 的解为 .
02.已知抛物线 经过点A(-2, 0), B(3, 0)两点, 若关于x的一元二次方程 的一个根是1，则m的值为 .
03. 二次函数 的图象如图所示，对称轴为. ，若关于x的一元二次方程 为实数) 在-1
A. -2或0 B. -4或2 或3 或4
专题十六 抛物线与直线的公共点问题
01. 已知二次函数 的图象上有两点A(a, 1) 和B(b, 1) , 则 的值等于( )
A. 1 B. -2022 C. 2022 D. -1
02. 直线y=-x与抛物线 的两个公共点的横坐标分别是x ，x ，若. 则m的值是 ( )
A. -2 B. 3 或-2 C. -3 D. -3 或2
03. 若抛物线 (m为常数) 与直线y=-2x有两个交点A(x , y ) , B (x , y ) , 且 则m的取值范围是 ( )
04.已知抛物线的解析式为 关于x的一次函数. 与抛物线交点的横坐标分别为x 和x ，且.x
01.若抛物线 经过(m, n) 和(m+3, n)两点, 则n的值为 ( )
A C. 1
02.关于x的二次函数y=(x+2)(x-m)，其图象的对称轴在y轴的右侧，则实数 m的取值范围是 ( )
A. m≥2 B. 0
03. 设直线x=1 是函数. (a，b，c是实数，且a<0) 的图象的对称轴，下列说法中正确的是 ( )
A. 若m>1, 则(m-1)a+b>0 B. 若m>1, 则(m-1)a+b<0
C. 若m<1, 则(m+1)a+b>0 D. 若m<1, 则(m+1)a+b<0
04.已知二次函数. (a, b, c是实数, 且 的图象的对称轴是直线 点A(x , y ) 和点B(x , y ) 为其图象上的两点, 且y
C. 若. 则 D. 若. 则
专题十八 含参抛物线的增减性和取值范围
01. 若二次函数. 当 时，y随x的增大而减小，则m的取值范围 ( )
A. m=1 B. m>1 C. m≥1 D. m≤1
02. 已知函数. 当0
A. 0 B. 2 C. -2
04. 已知点P(m, n) 为抛物线 上一点，当 时，n的取值范围是( 则b的值是 .
专题十九 参变分离法与数形结合思想 (新热点 )
01若方程. 在-1
03.直线y=3kx+2(k-1)与抛物线 在-1≤x≤3范围内有唯一公共点，则k的取值范围为 .
04. 已知抛物线 与直线y=2x-10m在0
B. t≥2
专题二十 含参抛物线与消元法求代数式的范围(新热点)
01.二次函数 的图象的顶点在第一象限，且经过点(0，1)， (-1，0), 则s=a+b+c的值的变化范围是 ( )
A. 0
A. -1
A. 5
A. 有且只有1个B. 有且只有2个 C. 至少有3个 D. 有无穷多个
专题二十一 抛物线与坐标轴的公共点问题
01. 若抛物线 与x轴和y轴共有2个公共点，则m的值是 .
02. 若函数 与坐标轴至少有两个不同的交点，则k的取值范围为 .
03.函数 的图象与x轴无交点，则p+q的取值范围是 .
04.已知二次函数. 当x≤1时, 总有 当 时，总有 那么c的取值范围是 ( )
A. 0≤c≤2 B. c≥2 C. 1≤c≤2 D. c≤2
05抛物线. 与x轴存在一个公共点的坐标为 则a·b满足的条件是 .
06. 已知关于x的二次函数 的图象与x轴的一个交点的坐标为(m，0) ，若 3，则a的取值范围是 .
07. 抛物线 的顶点为D，与x轴正半轴交于A、B两点，A在B左侧，与y轴正半轴交于点 C, 当 和 均为等腰直角三角形(O为坐标原点) 时，b的值为 ( )
A. 2 B. -2 或-4
C. -2 D. -4
08.已知二次函数. 的图象与x轴交于不同的两点A，B，C为二次函数图象的顶点. 若 是边长为4的等边三角形，则(
09已知二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，图象顶点的纵坐标不大于 则线段AB长度的范围为 .
专题二十二 二次函数的图象与参系数处理
01. 二次函数 的图象如图所示，试判断a，b，c， a+b+c, a-b+c的符号.
02.二次函数 的图象如图所示，那么 abc， 这四个代数式中，值为正数的有 ( )
A. 4个 B. 3个
C. 2个 D. 1个
03.如果a<0, b>0, c>0, 那么二次函数 的图象大致是 ( )
04. 在同一平面直角坐标系中，函数y= ax+b与 的图象可能是 ( )
05. 如图是函数 图象的一部分，图象与x轴正半轴交于点(3，0)，对称轴为直线x=1.则下列结论：
②当-1
④若t为方程 的一个根, 则-1
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
专题三十二 二次函数与参数计算 (1) ——线段处理(新热点 )
01如图, 抛物线 与x轴交于A(-1, 0) , B(3, 0) 两点, 与y轴交于点C. 有一宽度为1的直尺平行于y轴，在点O，B之间平行移动，直尺两长边被线段BC和抛物线截得两线段DE，FG. 设点D的横坐标为t ，且( ，试比较线段DE与FG 的大小.
02. 过A(0, 2) 作直线与抛物线 交于 B, C两点. 作 轴于E， 轴于 F. 求证: BE+CF=BC.
03.如图, 抛物线 与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，点C在y轴右侧的抛物线上，且AC=BC，求点C的坐标.
专题三十三 二次函数与参数计算(2) ——知平行关系求交点横坐标
01.如图, 抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C. 平行于BC的直线MN交抛物线于M，N两点，作直线MC，NB的交点P，求点P的横坐标.
02. 如图, 抛物线. 交x轴于A，B两点(点A在点B的左边) ，交y轴正半轴于点C，平移直线CB交抛物线于M，N两点，直线MC与直线NB交于点 G，若点 G在定直线 上运动，求m的值.
专题三十四 二次函数与参数计算(3) ——证明位置关系
01. 如图, 点A(-1, 1) 在抛物线 上, 点F的坐标为(0, m) (m>2),直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H. 设抛物线与x轴的正半轴交于点E, 连接FH, AE, 求证: FH∥AE.
02. 如图, 抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，点P为直线 上一点，PC, PB分别交抛物线于M, N两点, 求证:
03.如图, 过点 的直线交抛物线. 于S, T两点, 直线PS, PT与抛物线均只有一个公共点，求证：PF⊥ST.
专题三十五 二次函数与参数计算(4) ——线参处理(新热点 )
01.已知抛物线 与x轴交于点A，B，与y轴交于C点，若点P为抛物线x 轴下方一点，直线AP交y轴于M点，直线BP交y轴于N点，且 求P 点坐标.
02.如图, 过定点 的直线与抛物线 交于M, N两点, 过M, N两点分别作两条不平行于对称轴的直线交于G点，当这两条直线均与抛物线只有1个公共点时，求动点 G 所在直线解析式.
专题三十六 二次函数与参数计算(5) ——点参处理(新热点)
01.过点. 的直线交抛物线 于M，N两点(M位于点N的左边) ，动直线l: 经过点M，与抛物线 的另一个交点为点P，求证：直线PN恒过一个定点.
02. 如图，过原点的直线与抛物线 交于点E，F(点E在y轴的右边) ，过点E的直线l与抛物线有唯一公共点，过点F作y轴的平行线交直线l于点D，设点E，F的横坐标分别为点m，n, 若 的面积为4，求m，n满足的关系式.
专题三十七 二次函数与参数计算 (6) ——过定点的动直线
01. 如图, 直线. 与抛物线 交于点E, F, 点C(6, 4)在抛物线上, 连接CE, CF分别交y轴于点M, N, 若 求证：直线EF经过定点，并求出这个定点的坐标.
02.如图，已知抛物线为 直线 k为常数)与抛物线交于 E，F两点，M为线段EF的中点，直线 与抛物线交于 G，H两点，N为线段GH的中点. 求证：直线MN经过一个定点.
03.如图, 抛物线 与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，P为x轴下方抛物线上一点，点P的横坐标为1，过点P作. ，分别交抛物线于点E，F. 求点A到直线EF距离的最大值.
04如图, 点P(0,p)为y轴正半轴上一定点, 点A, B均为y轴右侧抛物线 上两动点，若 ，求证：直线AB经过一个定点.
专题三十八 二次函数与参数计算 (7) ——定直线上的动点
01. 如图, 抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，直线 交抛物线于点E，F，过点E作y轴的平行线交FD的延长线于点P, 求CP的最小值.
02.如图，在平面直角坐标系中，过点 作直线交抛物线 于点M,N,分别过M，N作不平行于y轴的直线交于点T，且MT，NT与抛物线均有唯一公共点，问T点是否在某条定直线上运动 如果是，求该直线解析式； 若不是，请说明理由.
专题三十九 二次函数与参数计算 (8) ——定值
01如图，在平面直角坐标系中，抛物线： 与x轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C，点P为y轴上C点下方一动点，PM，PN分别与抛物线交于唯一公共点M，N，连接MN交y轴于Q，试探究PQ与CQ的数量关系，并说明理由.
02如图, 抛物线. 交x轴于A，B两点(A在B的左边) ，F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段AF，BF (不含端点)于G，H两点，若直线l与抛物线只有一个公共点，求证：. 的值是定值.
