专题 16 双曲线
命题解读 考向 考查统计
1.高考对双曲线的考查，重点是
（1）双曲线的定义、几何图形和标准
方程。 2023·新高考Ⅰ卷，16
（2）双曲线的几何性质（范围、对称 双曲线的离心率 2024·新高考Ⅰ卷，12
性、顶点、离心率、渐近线）。
（3）直线和双曲线的位置关系及综合
应用。
命题分析
2024 年高考新高考Ⅰ卷考查应用定义求解双曲线的离心率，难度较易。Ⅱ卷是双曲线与数列的综合问题，
后续专题会解读。双曲线是圆雉曲线的重要内容，但从总体上看，双曲线的考试要求要比椭圆和抛物线低，
在双曲线的试题中，最为重要的是三点是：方程、渐近线、离心率。预计 2025 年高考还是主要考查双曲线
的定义和离心率、渐近线。
试题精讲
一、填空题
2 2
1．（2024 新高考Ⅰ卷·12）设双曲线C : x y2 - 2 = 1(a > 0,b > 0)的左右焦点分别为F1、F2 ，过F2 作平行于 y 轴的a b
直线交 C 于 A，B 两点，若 | F1A |=13,| AB |=10，则 C 的离心率为 ．
3
【答案】
2
【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出 AF2 ，结合双曲线第一定义求出 AF1 ，即可得到 a,b,c的值，
从而求出离心率.
2 2
【详解】由题可知 A, B, F2 三点横坐标相等，设A 在第一象限，将 x = c
x y
代入 2 - =1a b2
b2 b2 2 2 2
得 y = ± ，即 A c, , B
b 2b b
a ÷
c, - ÷ ，故 AB = =10， AF = = 5，
a 2è è a a a
2
又 AF1 - AF2 = 2a，得 AF1 = AF2 + 2a = 2a + 5 =13，解得 a = 4
b
，代入 = 5得b2 = 20 ，
a
c 6 3
故 c2 = a2 + b2 = 36,，即 c = 6，所以 e = = = .
a 4 2
3
故答案为：
2
一、填空题
x2 21．（2023 新高考Ⅰ卷·16 y）已知双曲线C : 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0)的左、右焦点分别为F1, F2 ．点A 在C 上，点 Ba b
uuur uuur uuuur 2 uuuur
在 y 轴上，F1A ^ F1B, F2 A = - F2B，则C 的离心率为 ．3
3 5 3
【答案】 / 5
5 5
【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到 AF2 , BF2 , BF1 , AF 关于 a, m1 的表达式，
从而利用勾股定理求得a = m，进而利用余弦定理得到 a,c 的齐次方程，从而得解.
5 2
方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得 x0 = c, y0 = - t ， t 23 3 = 4c
2 ，将点A 代入双曲线C
得到关于 a,b,c的齐次方程，从而得解；
【详解】方法一：
依题意，设 AF2 = 2m，则 BF2 = 3m = BF1 , AF1 = 2a + 2m，
在RtVABF1 中，9m2 + (2a + 2m)2 = 25m2 ，则 (a + 3m)(a - m) = 0，故a = m或 a = -3m（舍去），
所以 AF1 = 4a, AF2 = 2a ， BF2 = BF1 = 3a ，则 AB = 5a ，
AF
故 cos F AF 1
4a 4
1 2 = = =AB 5a 5 ，
AF F cos F AF 16a
2 + 4a2 - 4c2 4
所以在△ 中， = = ，整理得5c2 = 9a21 2 1 2 ，2 4a 2a 5
e c 3 5故 = = .
a 5
方法二:
依题意，得 F1(-c,0), F2 (c,0)，令 A x0 , y0 , B(0, t)，
uuuur uuuur
因为 F2 A
2 F 2 5 2= - 2B，所以 x0 - c, y0 = - -c, t ，则 x0 = c, y0 = - t ，3 3 3 3
uuur uuur uuur uuur 8 2
又 F1A ^ F1B，所以 F1A × F1B =
c,- t
× c, t 8= c2 2÷ - t 2 = 0，则3 3 3 3 t
2 = 4c2 ，
è
25 2 4 2 2 2 2 2
又点A 在C c t 25c 4t 25c 16c上，则 9 - 9 =1，整理得 2 - 2 =1，则 2 - 2 =1，
a2 b2 9a 9b 9a 9b
所以 25c2b2 -16c2a2 = 9a2b2 25c2 c2 2，即 - a -16a2c2 = 9a2 c2 - a2 ，
2 2 2 2
整理得 25c4 - 50a2c2 + 9a4 = 0，则 5c - 9a 5c - a = 0，解得5c2 = 9a2 或5c2 = a2，
又 e >1 e 3 5 5 3 5，所以 = 或 e = （舍去），故 e = .
5 5 5
3 5
故答案为： .
5
一、双曲线的定义
平面内与两个定点 F1, F2 的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于 F1F2 ）的点的轨迹叫做双曲线（这两
个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为 M MF1 - MF2 = 2a(0 < 2a < F1F2 ) ．
注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．
（2）当 2a = F1F2 时，点的轨迹是以 F1 和 F2 为端点的两条射线；当 2a = 0时，点的轨迹是线段 F1F2 的垂直
平分线．
（3） 2a > F1F2 时，点的轨迹不存在．
在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：
①条件“ F1F2 > 2a ”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定 a
2 ，b2 的值），注意 a2 + b2 = c2
的应用．
二、双曲线的方程、图形及性质
x2 y2 y2 x2
标准方程 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0) 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0)a b a b
图形
A2
焦点坐标 F1(-c,0) ， F2 (c,0) F1(0,-c) ， F2 (0,c)
对称性 关于 x ， y 轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标 A1(-a,0)， A2 (a,0) A1(0,a) ， A2 (0,-a)
范围 x a y a
实轴、虚轴 实轴长为 2a ，虚轴长为 2b
e c 1 b
2
离心率 = = + 2 (e > 1)a a
x2 y2 2 2
令 2 - 2 = 0
b y x a
y = ± x ， 令 2 - 2 = 0 y = ± x ，
渐近线方程 a b a a b b
焦点到渐近线的距离为b 焦点到渐近线的距离为b
ì> 1,点(x0 , y0 )在双曲线内 ì> 1,点(x0 , y0 )在双曲线内
点和双曲线 x2 y2 （含焦点部分） y2 x2 （含焦点部分）
2 - 2 í -
的位置关系 a b = 1,点(x0 , y0 )在双曲线上 a
2 b2 í = 1,点(x0 , y0 )在双曲线上
< 1,点(x0 , y0 )在双曲线外 < 1,点(x0 , y0 )在双曲线外
共焦点的双 x2 y2 y2 x2
2 -
2 2
2 = 1(-a < k < b ) 2 - 2 = 1(-a
2 < k < b2 )
曲线方程 a + k b - k a + k b - k
共渐近线的 x2 y2 l(l 0) y
2 x2
2 - = - = l(l 0)
双曲线方程 a b2 a2 b2
x
切线方程 0
x y0 y
2 - 2 = 1,(x , y )
y0 y x0 x
0 0 为切点 2 - 2 = 1,(x0 , y0 ) 为切点a b a b
对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中 x2 换为 x0 x ， y
2 换成 y0 y 便
切线方程
得．
x0 x y0 y
2 - 2 = 1,(x0 , y0 ) 为双曲线外一 y0 y x0 x
切点弦所在 a b 2 - 2 = 1,(x0 , y0 ) 为双曲线外一点a b
直线方程 点
点 (x0 , y0 ) 为双曲线与两渐近线之间的点
设直线与双曲线两交点为 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 )， kAB = k ．
1
则弦长 AB = 1+ k 2 × x1 - x2 = 1+ k 2
× y1 - y2 (k 0)，
弦长公式
x D1 - x2 = x1 + x
2
2 - 4x1x2 = ，其中“ a ”是消“ y ”后关于“ x ”的一元二次方程的a
“ x2 ”系数．
2b2
通径 通径（过焦点且垂直于 F1F2 的弦）是同支中的最短弦，其长为 a
双曲线上一点 P(x0 , y0 ) 与两焦点 F1, F2 构成的DPF1F2 成为焦点三角形，
F PF q PF r PF r cosq 1 2b
2
设 1 2 = ， 1 = 1 ， 2 = 2 ，则 = - ，r1r2
焦点三角形
1 sinq 22 b ìc y0 ,焦点在x轴上SDPF = r r sinq = × b = = ，1F2 2 1 2 1 cosq í- tan q c x0 ,焦点在y轴上
2
焦点三角形中一般要用到的关系是
ì PF1 - PF2 = 2a(2a > 2c)
S 1í DPF = PF1F2 2 1
× PF2 sin F1PF2
F1F
2
2 = PF
2 2
1 + PF2 - 2 PF1 PF2 cos F1PF2
等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线 a = b 离心率 e = 2 两渐
等轴双曲线
近线互相垂直 渐近线方程为 y = ±x 方程可设为 x2 - y2 = l(l 0) ．
【双曲线常用结论】
1、双曲线的通径
2b2
过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为 ．
a
2、点与双曲线的位置关系
x2 y2 2 2
对于双曲线 2 - 2 = 1(a > b > 0)，点 P(x0 ，y0 )
x y
在双曲线内部，等价于 0 - 0 > 1．
a b a2 b2
2 2
点 P(x0 ，y )
x y
0 在双曲线外部，等价于
0 - 02 2 < 1 结合线性规划的知识点来分析．a b
3、双曲线常考性质
ab
性质 1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数b ；顶点到两条渐近线的距离为常数 ；
c
a2b2
性质 2：双曲线上的任意点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数
c2
；
4 b
2
、双曲线焦点三角形面积为 （可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）
tan q
2
5、双曲线的切线
2 2
点 M (x y ) x y0，0 在双曲线 2 - 2 = 1 (a 0 b
x x y y
> ，> 0) 上，过点 M 作双曲线的切线方程为 02 -
0
2 = 1．若点a b a b
x2M (x y ) y
2
0，0 在双曲线 2 - 2 = 1 (a > 0 b 0)
x x y y
，> 外，则点 M 对应切点弦方程为 0 - 0 = 1
a b a2 b2
一、单选题
2 2
1．（2024· y x甘肃兰州·三模）已知双曲线C : - =1(m > 0) 的实轴长等于虚轴长的 2 倍，则C 的渐近线
3m + 2 m
方程为（ ）
1
A y = ± x B y 2． ． = ± x C． y = ±2x D． y = ± 2x2 2
【答案】C
【分析】先得到方程，求出m = 2 ，得到双曲线方程和渐近线方程.
【详解】由题意得 3m + 2 = 2 m ，解得m = 2 ，
C : y
2 x2
- =1，故渐近线方程为 y = ±2x .
8 2
故选：C
2 2
2．（2024· x y浙江绍兴·三模）已知F1，F2 为曲线C ： + =1 m 4 的焦点，则下列说法错误的是（ ）4 m
A．若m =1 3，则曲线C 的离心率 e =
2
B．若m = -1，则曲线C 5的离心率 e =
2
C．若曲线C 上恰有两个不同的点 P ，使得 F1PF2 = 90°，则m = 2
D．若m < 0，则曲线C 上存在四个不同的点 P ，使得 F1PF2 = 90°
【答案】C
【分析】根据给定的方程，结合椭圆、双曲线的性质逐项分析判断即可得解.
4 -1 3
【详解】对于 A，当m =1时，曲线C 是椭圆，离心率 e = = ，A 正确；
2 2
B 4 +1 5对于 ，当m = -1时，曲线C 是双曲线，离心率 e = = ，B 正确；
2 2
对于 C，当m = 8时，曲线C 是椭圆，其短半轴长b = 2 ，半焦距 c = m - 4 = 2 ，
显然以线段 F1F2 为直径的圆恰过这个椭圆短轴端点，即符合条件的m 可以是 8，C 错误；
对于 D，当m < 0时，则曲线是焦点在 x 上的双曲线，则 | F1F2 |> 4，
以线段 F1F2 为直径的圆与双曲线有 4 个交点，即符合条件的点 P 有 4 个，D 正确.
故选：C
y2 23．（2024· x安徽·三模）过双曲线C : - =1(a > b > 0)的下顶点F 作某一条渐近线的垂线，分别与两条渐
a2 b2
uuur uuuur
近线相交于M , N 两点，若 NF = 2FM ,则 C 的离心率为（ ）
A 2 3． B． 3 C． 2 3 D．3
3
【答案】A
a
【分析】过点 F 作另一条渐近线的垂线 FM 于M ，借助双曲线的对称性计算可得 ，即可得离心率.
b
【详解】过点 F 作另一条渐近线的垂线 FM 于M ，由对称性可得 FM = FM ，
uuur uuuur π
由 NF = 2FM ，则有 NF = 2 FM ，则 FNM = ，6
NOM π NOF π
a π π π
故 = ，故 = ，故 = tan -
÷ = tan = 3 ，3 6 b è 2 6 3
2
c b2 e 1 1 3
2 3
即 = = + 2 = +a a
= .
è 3
÷÷
3
故选：A.
2 2
4．（2024·全国· x y三模）已知双曲线 C： 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的左、右焦点分别为F1，F2 ，且离心率为a b
e = 5 ，过点F2 的直线 l 与 C 的一条渐近线垂直相交于点 D，则 tan DF1F2 = （ ）
1
A． B 1． 2 C．2 D．33
【答案】A
【分析】设焦点 F2 c,0
b
，根据题意求点D的坐标和 的值，进而画出图象即可解决.
a
b a
【详解】不妨设焦点 F2 c,0 ，其中一条渐近线为 y = x ，则直线 l 的方程为 y = - x - c ，a b
ìy b ì= x, x a
2
= ,
a c a2 ab
由 í D ,
y a
解得 í 即 ，
= - x - c , ab
è c c
÷
y = ,
b c
c2 a2e + b
2 b
2
b
因为 = =
a2 a2
= 1+ a ÷
= 5 ，所以 = 2，
è a
过点D作 x 轴的垂线，垂足为 H ，如下图：
ab b
DH
于是 tan
2 1
DF c a1F2 = = =F H a2 b 2
= = .
1 c + 2 + 4 3
c 2 + ֏ a
故选：A.
2 2
5．（2024·四川成都· x y三模）已知双曲线 2 - 2 =1（ a > 0，b > 0）的左焦点为F1，点O为坐标原点，点Ma b
5
为双曲线渐近线上一点且满足 MF1 = OM ，过F1作 x 轴的垂线交渐近线于点 N ，已知 MF1 = NF1 ，则4
其离心率为（ ）
A．2 B． 3 C 5． D． 5
2
【答案】D
【分析】设M , N 两点的坐标，然后利用两点间距离公式列方程求解即可.
【详解】
MF1 = OM ，故点M 在OF1的垂直平分线上，
c
则点M 的横坐标为- ，且过F
2 1
作 x 轴的垂线交渐近线于点 N ，
c
故设点M - , y1 ÷ , N -c, y2 ，
è 2
M , N y b x y bc bc不妨设 均在 = 上，则 1 = - , y2 = - ，a 2a a
Q MF 5= NF ， F -c,01 1 ，4
c 2 2 c bc 5
é
c c 2 bc
2
\ - + + - = - + + -
ù c2 1 bc 2
÷ ÷ ê
÷ ú ，即 = ， 4a2 = b2
è 2 è 2a 16 è a 4 16 a ÷
，
ê ú è
b 2
\ = 2 c b，故离心率为
a e = = 1+
÷ = 1+ 4 = 5 .a è a
故选：D.
x2 26 y．（2024·山西阳泉·三模）已知双曲线C : 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0)的左、右焦点分别为F1, F2 ，双曲线的右支上a b
π
有一点 A, AF1与双曲线的左支交于点 B ，线段 AF2 的中点为M ，且满足BM ^ AF2 ，若 F1AF2 = ，则双曲3
线C 的离心率为（ ）
A．2 B． 6 C． 7 D． 13
【答案】C
【分析】根据条件得△ABF2 是等边三角形，设△ABF2 的边长为m ，结合双曲线定义得
AF1 = 6a, AF2 = 4a，在△AF1F2 中，由余弦定理求得离心率.
【详解】
因为M 是线段 AF2 的中点，且 BM ^ AF2 ，所以 AB = BF2 ，
又 F1AF
π
2 = ，所以△ABF2 是等边三角形，3
设△ABF2 的边长为m ，由双曲线的定义知， AF1 - AF2 = 2a， BF2 - BF1 = 2a ，
所以 AF1 = m + 2a, BF1 = m - 2a，
又 AF1 - BF1 = AB = m，所以m + 2a - (m - 2a) = m，即m = 4a，
所以 AF1 = 6a, AF2 = 4a，
AF F F F 2 = AF 2 2 π在△ 1 2 中，由余弦定理知， 1 2 1 + AF2 - 2 AF1 AF2 cos ，3
所以 (2c)2 = 36a2 16a2 2 6a 4a
1
+ - = 28a2
2
即 c = 7a ，所以离心率 e
c
= = 7 .
a
故选：C
2
7 x y
2
．（2024·宁夏银川·三模）已知双曲线 E： 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的左、右焦点分别为F1，F2 ，过点F2 的a b
直线与双曲线 E 的右支交于 A，B 两点，若 AB = AF1 ，且双曲线 E 的离心率为 2 ，则cos BAF1 = （ ）
A 3 7
3 1 1
． B．- C． D．-
8 4 8 8
【答案】D
【分析】由双曲线的定义结合已知条件求得 BF2 = 2a ，从而再得 BF1 = 4a ，由余弦定理求得 cos BF2F1，
由诱导公式得 cos AF2F1，设 AF2 = m，则 AF1 = m + 2a ，再由余弦定理求得m ，从而利用余弦定理求解即
可.
【详解】因为双曲线 E 的离心率为 2 ，所以 c = 2a ，因为 AB = AF1 ，
所以 BF2 = AB - AF2 = AF1 - AF2 = 2a ，
由双曲线的定义可得 BF1 - BF2 = BF1 - 2a = 2a ，
所以 BF1 = 4a = 2 BF2 ，
在△BF1F2 中，
BF 2 + F F 2 - BF 2 4a2 + 8a2cos BF F 2 1 2 1 -16a
2 2
由余弦定理得 2 1 = = = - ，2 BF2 × F1F2 2 2a 2 2a 4
在△AF
2
1F2 中， cos F1F2 A = -cos F1F2B = ，4
设 AF2 = m，则 AF1 = m + 2a ，
2 2 2
由 AF1 = F1F2 + AF2 - 2 F1F2 AF2 cos F1F2 A得
2 8a
(2a + m)2 = (2 2a)2 + m2 - 2 2 2a m 2× × ，解得m = a，所以 AF
4 3 1
= ，
3
64a2 64a2
AF 2 + AB 2
2
1 - BF
2 + -16a
所以 cos BAF
1
1 =
1 = 9 9 = - .
2 AF1 × AB 2 8a 8a 8
3 3
故选：D.
.
2 2
8．（2024·湖南永州·三模）已知F1，F
x y
2 分别是双曲线 2 - 2 =1 a > 0，b > 0 的左、右焦点，点O为坐标a b
uuur uuuur
原点，过F1的直线分别交双曲线左、右两支于A ， B 两点，点C 在 x 轴上，CB = 3F2 A， BF2 平分 F1BC ，
其中一条渐近线与线段 AB 交于点 P ，则 sin POF2 =（ ）
A 41． B 42 C 43． ． D 2 11．
7 7 7 7
【答案】B
uuur uuuur
【分析】由CB = 3F2 A可得VF1AF2 ~VF1BC ，结合角平分线的性质和双曲线的定义可得
BF2 = AF2 = AB = 4a ，从而可得 ABF2 = 60°，在VF1BF2中，由余弦定理可得 c = 7a ，进而可得
b 42
= ，而 tan POF
b
2 = ，从而可求解.c 7 a
【详解】
uuur uuuur
如图QCB = 3F2 A , \VF1AF2 ~VF1BC , | F1F2 |= 2c , | CF2 |= 4c ，
设 | AF1 |= t ,则 | BF1 |= 3t,| AB |= 2t ，
| BC | | F C |
QBF 22平分 F1BC ,\ = = 2| BF1 | | F F |
,
1 2
\| BC |= 2 | BF |= 6t 11 , AF2 = BC = 2t , 3
由双曲线定义可知∣AF∣2 -∣AF∣1 = t = 2a ， BF1 - BF2 = 2a ,
\ BF2 = AF2 = AB = 4a ，即 ABF2 = 60° ,
在VF1BF2中，由余弦定理知
F B |2 + F B |2 - | F F |2 2 2 2
cos F BF = 1 2 1 2 (6a) + (4a) - (2c)1 2 =2 F1B × F2B 2 ×6a ×4a
化简得 c = 7a , 由 a2 + b2 = c2 b 42得 = ,
c 7
b b 42
不妨令一条渐近线与线段 AB 的交点 P 在第一象限，则 tan POF2 = , \sin POF2 = = .a c 7
故选：B
uuur uuuur
【点睛】关键点点睛：这道题的关键是由CB = 3F2 A可得VF1AF2 ~VF1BC ，结合角平分线的性质和双曲线的
定义可得 BF2 = AF2 = AB = 4a ，从而可得 ABF2 = 60° .
9．（2024·天津河西·三模）已知F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且
F PF π= 21 2 ，若椭圆的离心率为 e1 ，双曲线的离心率为 e2，则 e1 + e
2
2 的最小值为（ ）3
A 3 3 B 5 + 3． + ． C 2 + 3． D．4
2 2
【答案】C
x2 y2 x2 y2 2 2 2 2 2
【分析】设椭圆和双曲线的方程分别为： 2 + 2 =1， - =1，易得 a - b = a + ba b a2 b2 1 1 2 2
= c ，设
1 1 2 2
PF1 = m, PF2 = n，利用椭圆和双曲线的定义得到m = a1 - a2 , n = a1 + a2 ，然后在△PF1F2 中，利用余弦定理
1 3
得到 2 + 2 = 4e e ，然后利用基本不等式求解.1 2
【详解】解：如图所示：
x2 y2 x2 y2
设椭圆和双曲线的方程分别为： 2 + 2 =1，a b a2
- 2 =1，
1 1 2 b2
2 2 2 2 2
由题意得 a1 - b1 = a2 + b2 = c ，
设 PF1 = m, PF2 = n，则m + n = 2a1,n - m = 2a2 ，
解得m = a1 - a2 , n = a1 + a2 ，
PF 2 2 2在△ 1F2 中，由余弦定理得： F1F2 = PF1 + PF2 - 2 PF1 × PF2 ×cos F1PF2，
即 2c 2 = a1 - a
2 2
2 + a1 + a2 - a - a a + a 4c2 2 21 2 1 2 ，化简得 = a1 + 3a2 ，
1 3
则 2 + 2 = 4e e ，1 2
e2 1
2 2
+ e2 = e2 所以 1 2 1 + e2 1 3 1 e2 3e2 2 + 2 ÷ = + 12 2 + 44 e e 4 e e ÷ ，è 1 2 è 1 2
1 e2 3e2 2 + 3
2 2 1
4 e2
× 2 + 4÷ =÷ ，
è 1 e2 2
e2 3e2
当且仅当 2 = 12 2 ，即 e
2
2 = 3e
2
1 时，等号成立；e1 e2
故选：C
x2 y210．（2024·浙江杭州·三模）已知双曲线 2 - 2 =1 a,b > 0 上存在关于原点中心对称的两点 A，B，以及双a b
曲线上的另一点 C，使得VABC 为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． 2,+ B． 3, + C． 2, 2 3+ D． ,+ 3 ÷÷è
【答案】A
2 2 2
【分析】设点 A x, y ，则可取C - 3y, 3x y 3a + b，代入双曲线方程整理可得 2 = 2 2 ，结合渐近线列式求x a + 3b
解即可.
b
【详解】由题意可知：双曲线的渐近线方程为 y = ± x，
a
设点 A x, y ，则可取C - 3y, 3x ，
ì x2 y2
- =1 a2 b2 y2 3a2 + b2 b2
则 í 2 2 ，整理得 2 = 2 2 < ，
3y 3x 1 x a + 3b a
2
- = a2 b2
2 2
解得b2 > a2
c
，即 c2 - a2 > a2 c c，可得 2 > 2，则 e = = > 2 ，a a a2
所以该双曲线离心率的取值范围是 2,+ ．
故选：A.
【点睛】关键点点睛：1.巧妙设点：设点 A x, y ，根据垂直和长度关系可取C - 3y, 3x ；
2. y
2 b2
根据渐近线的几何意义可得：
x2
<
a2
.
二、多选题
2 2
11．（2024· x y河北邯郸·三模）已知双曲线C : - =1，则（ ）
l + 6 3 - l
A．l 的取值范围是 (-6,3) B．C 的焦点可在 x 轴上也可在 y 轴上
C．C 的焦距为 6 D．C 的离心率 e的取值范围为 (1,3)
【答案】AC
【分析】根据双曲线方程的特征，易于求得-6 < l < 3，判断方程中分母的符号即可判断 A,B 项，计算易得
C 项，先算出离心率的表达式，再根据l 的范围，即可确定 e的范围.
x2 y2
【详解】对于 A，Q - =1表示双曲线，\(l + 6)(3 - l) > 0 ，解得-6 < l < 3，故 A 正确；
l + 6 3 - l
对于 B，由 A 项可得-6 < l < 3，故l + 6 > 0,3 - l > 0 ，\C 的焦点只能在 x 轴上，故 B 错误；
对于 C，设C 的半焦距为 c(c > 0)，则 c2 = l + 6 + 3 - l = 9 ，\c = 3，即焦距为2c = 6，故 C 正确；
3
对于 D，离心率 e = ，Q-6 < l < 3，\0 < l + 6 < 3，\e 的取值范围是 (1, + )，故 D 错误．l + 6
故选：AC.
2 2
12．（2024· x y河北保定·三模）已知双曲线C ： 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的左、右焦点分别为Fa b 1，
F2 ，过点F1
的直线与C 的左支相交于 P ，Q两点，若PQ ^ PF2，且 4 PQ = 3 PF2 ，则（ ）
uuur uuur
A． PQ = 2a B．PF1 = -2QF1
C C 17． 的离心率为 D．直线 PQ的斜率为±4
3
【答案】ACD
【分析】设 PF1 = x， QF1 = y ，结合双曲线的定义与勾股定理可以求得 x, y的值，即可判断出 A，B 选项；
再结合勾股定理可以求得 a,c 的关系，再求出离心率；求直线的斜率，在直角三角形中，用斜率的定义求正
切值可以求得直线的斜率.
【详解】如图，由 4 PQ = 3 PF2 ，可设 PQ = 3m ， PF2 = 4m .
因为 PQ ^ PF2，所以 QF2 = 5m .
设 PF1 = x， QF1 = y ，则 4m - x = 2a ，5m - y = 2a， x + y = 3m
2a
，解得m = 3 ，
x 2a 4a则 = ， y = ，
3 3
uuur uuur
所以 PQ = 2a ，故 A 选项正确；QF1 = 2F1P ，故 B 选项错误；
2 2 2
PF F PF 2 + PF 2 = F F 2 4a 64a在△ 1 2 中，由 1 2 1 2 ，得 + = 4c2
c 17
，则 = ，
9 9 a2 9
17
从而C 的离心率为 ，故 C 选项正确.
3
PF
又 tan PF1F2 =
2 = 4 PQ
PF ，所以直线 的斜率为±4，故 D 选项正确.1
故选：ACD.
2 2
13．（2024· · C : x y贵州贵阳 三模）双曲线 - F , F
a2 b2
= 1(a > 0,b > 0)的左、右焦点分别为点 1 2 ，斜率为正的渐近
线为 l1，过点F2 作直线 l1的垂线，垂足为点A ，交双曲线于点 P ，设点M 是双曲线C 上任意一点，若
PF 2 AF , S 42 = 3 2 VPF F
= ，则（ ）
1 2 3
A．双曲线C 的离心率为 5
B x
2
．双曲线C 的共轭双曲线方程为 y2 - =1
4
MF 3 + 5 ù
C．当点M 位于双曲线C 1右支时， MF
1, ú
2 è 2
4
D．点M 到两渐近线的距离之积为
5
【答案】ACD
【分析】利用三角形面积公式得 ab = 2，再利用余弦定理得b = 2a，则解出双曲线方程，再利用离心率定义
MF 2
和共轭双曲线方程的含义即可判断 AB 1；对 C，计算得 =1+MF MF ，再根据
MF2 5 -1的范围即可判
2 2
断；对 D，M x0 , y0 ，利用点到直线的距离公式并结合点双曲线上化简即可.
2
【详解】如图，因为 AF2 = b，所以 PF2 = b ，3
y 2 a 2abP = PF2 sin PF2F1 = b × = ，3 c 3c
S 1 2c 2ab 4 2则 VPF F = × × = ，所以 ab = 2，又 PF1 2 2 3c 3 1
= b + 2a ，
3
2 2
4c2 2F F 2 PF 2 PF 2 + b
2
÷ -
b + 2a
VPF + -
÷
在 2F1中， cos PF F = 2 1 2 1 = è 3 è 3 b2 1 = ，2 F2F1 PF2 2 ×2c 2 b c
3
2
化简得b = 2a y，所以 a =1,b = 2,c = 5 ，双曲线C 方程为 x2 - =1，
4
c
对于 A，双曲线C 的离心率为 = 5，A 正确；
a
B C y
2
对于 ，双曲线 的共轭双曲线方程为 - x2 =1，B 错误；
4
MF1 MF2 + 2 2
对于 C， = =1+ MFMF MF MF ，因为 2
5 -1，
2 2 2
1 1 2 3+ 5
MF1 2, 3 + 5
ù
则 < + ，即 ú ，C 正确；MF2 2 MF2 è 2
对于 D，渐近线方程为 y = ±2x ，设M x0 , y0 ，
2
2 2 4 1
y
+ 0 - y2
点M 到两渐近线的距离之积为 2x0 - y0 -2x0 - y 4x - y 4
÷ 0
× 0 = 0 0 = è
4 ，D 正确，
=
5 5 5 5 5
故选：ACD.
x2 y2 2 2
14．（2024·山西吕梁·三模）已知椭圆 2 + 2 =1 a1 > b1 > 0 的离心率为 e
x y
1 ，双曲线 2 - 2 =1 a2 > 0,b > 0 a 21 b1 a2 b2
e o的离心率为 2，两曲线有公共焦点F1, F2 , P是椭圆与双曲线的一个公共点， F1PF2 = 60 ，以下结论正确的
是（ ）
A a 2 - a2 2 2． 1 2 = b1 - b2
1 3
B． + =14e2 21 4e2
C 2 2．b1 = 3b2
é ù
D．若 e é 3,2ù e
2 13 3
2 ，则 1 ê ,
13 3
ú
【答案】BCD
【分析】根据焦距相等可判断 A；根据椭圆和双曲线定义，结合余弦定理整理可判断 B；根据 B 中
4c2 = a2 21 + 3a2 变形可判断 C；由 B 中结论，结合 e2的范围可判断 D.
【详解】根据题意，设 F1 -c,0 , F2 c,0 ，
ìa21 - b
2
1 = c
2
对于 A 中，因为椭圆与双曲线有公共焦点，可得 í 2 2 2 ，所以 a
2 - b2 = a2 2
a + b = c 1 1 2
+ b2 ，
2 2
a2 - a2 = b2 2即 1 2 1 + b2 ，所以 A 错误；
ì PF1 - PF2 = 2aB 2对于 中，不妨设点 P 在第一象限，由椭圆和双曲线的定义，可得 í
PF1 + PF2 = 2a
，
1
所以 PF1 = a1 + a2 , PF2 = a1 - a2 ，
2 2 2
又由余弦定理得 F1F2 = PF1 + PF2 - 2 PF1 × PF
o
2 cos60 ，
可得 4c2 = 2a2 + 2a2 - a2 2- a = a2 21 2 1 2 1 + 3a2 ，
1 3 a2 3a2 4c2
所以 2 + 2 =
1 + 22 2 = 2 =1，所以 B 正确；4e1 4e2 4c 4c 4c
2
对于 C 中，由 a1 - c
2 = 3c2 - 3a22 ，可得b
2
1 = 3b
2
2 ，所以 C 正确；
1 é1 1ù
对于 D 中，因为 e2 é 3,2ù ，所以 2 ê ,e 4 3ú，2
1 3 é ù
由 + =1
1 é 13ù 2 13 3
4e2 4e2 可得 e2
ê3, ú，所以 e1 ê ,4 ，所以 D 正确.1 2 1 13 3
ú
故选：BCD.
2 2
15．（2024· · x y重庆 三模）已知双曲线C : 2 - =1(a > 0)的左，右焦点分别为F1, F2 , P为双曲线C 上点，且a 16
△PF1F2 的内切圆圆心为 I (3,1)，则下列说法正确的是（ ）
1
A． a = 3 B．直线 PF1的斜率为 4
C．VPF F
64 65
1 z 的周长为 D．△PF1F2 的外接圆半径为3 12
【答案】ACD
【分析】对于 A，根据三角形与其内切圆性质结合双曲线定义即可求解；根据已知条件 F1A、 F2 A、 IA以
及与各个所需量的关系即可求出 PF1A = 2 IF1A、 PF2 A = 2 IF2 A和 F2PF1 ，进而可依次求出直线 PF1
PF1 + PF2 + F1F的斜率、结合焦三角形面积公式 S 2 rVF PF = 得VPF1Fz 的周长、结合正弦定理得△PF2 1
F2 的外
1 2
接圆半径.
【详解】如图 1，由条件，点 P 应在双曲线C 的右支上，
设圆 I 分别与△PF1F2 的三边切于点M N A，则由题 A 3,0 ，
且 PM = PN , F1M = F1A ， F2N = F2 A ，
又Q PF1 - PF2 = F1M - F2N = AF1 - F2 A = xA + c - c - xA = 2xA = 2a
\a = xA = 3，A 选项正确；
IA
由选项 A 得 F1 -5,0 , F2 5,0
1
，连接 IF1、 IF2、 IA，则 tan IF1A = =AF1 8
，
所以 kPF = tan PF1A = tan2 IF1A
2tan IF1A 16= =
1 1- tan2 IF A 63 ，B 选项错误；1
同理， tan PF2 A = tan2 IF A
4
2 = ，3
\ tan F1PF2 = -tan PF1A + PF
12
2 A = - ，5
tan F1PF 3\ 2 = ，
2 2
b2S 32= =
所以由焦三角面积公式得 VF1PF2 tan F1PF2 3 ，
2
S PF1 + PF2 + F1F2 r又 VF PF = ，故得 PF
64
1 + PF2 + F1F2 = ，1 2 2 3
\△PF1F
64
2的周长为 ，C 选项正确；3
由 tan F1PF
12 12
2 = - sin F PF = ，5 1 2 13
F1F2
由正弦定理 = 2R R
65
得 = ，D 选项正确.
sin F1PF2 12
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：求直线 PF1 的斜率、VPF1Fz 的周长、△PF1F2 的外接圆半径的关键是根据已知条件
F1A、 F2 A、 IA以及与各个所需量的关系即可求出 PF1A = 2 IF1A、 PF2 A = 2 IF2 A和 F2PF1 .
三、填空题
2
16．（2024· x湖北荆州·三模）已知双曲线C : 2 - y
2 =1(a > 0)经过点 (2,1)，则 C 的渐近线方程为 ．
a
2
【答案】 y = ± x
2
【分析】根据双曲线过点 (2,1)求出 a，然后可得.
x2
【详解】因为双曲线C : - y2
4
2 =1(a > 0)经过点 (2,1)，所以 2 -1 =1，解得a a = 2
，
a
又b =1 b 2，所以渐近线方程为 y = ± x = ± x .
a 2
2
故答案为： y = ± x .
2
2 2
17．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知双曲线C : x y2 - 2 = 1(a > 0,b > 0)的左右焦点分别为F1、F2 ，曲线C 上的点a b
uuuur uuuur π
M 满足，F1M × F2M = 0， MF1F2 = ，则双曲线的离心率为 ．6
【答案】 3 +1 /1+ 3
【分析】利用 ，可得 ， ，结合双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率.
uuuur uuuur
【详解】因为 F1M × F2M = 0， MF1F
π
2 = ，所以MF1 ^ MF6 2
，
又 F1F2 = 2c ，所以 | MF1 |= 3c， | MF2 |= c ，
所以 | MF1 | - | MF2 |= 3c - c = 2a ，
c 2
则 e = = = 3 +1a ，即双曲线的离心率为3 1 3 +1
.
-
故答案为： 3 +1.
2 2
18．（2024· x y安徽马鞍山·三模）已知双曲线G : - =1(a > 0,b > 0)的左、右焦点分别为F ，F ，过点F
a2 b2 1 2 2
的直线与G的右支交于A ， B 两点，若 AF1 = 8, BF1 = 5, AF B = 60
°
1 ，则a = ．
3
【答案】 /1.5
2
【分析】根据双曲线的定义表示出 AF2 ， BF2 ，即可得到 AB ，再由余弦定理计算可得.
【详解】依题意过点 F2 的直线与G的右支交于A ， B 两点，
且 AF1 = 8， BF1 = 5， AF1B = 60°，
则0 < a < 5， AF2 = 8 - 2a， BF2 = 5 - 2a ，
所以 AB = AF2 + BF2 =13- 4a ，
可得 13- 4a 2 = 82 + 52 - 2 5 8cos 60°，
解得 a
3
= 或 a = 5（舍去）．
2
3
故答案为： ．
2
2 2
19 x y．（2024·浙江金华·三模）若圆C : x2 + y2 - 5y + 4 = 0被双曲线E : 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的一条渐近线截a b
得的弦长为 2，则双曲线E 的离心率为 .
【答案】 5
| b 0 ± a 5 |
【分析】根据条件，将弦长转化为圆心到渐近线的距离 d 5= 2 = ，进而可得出 a与 c的关系，
a2 + b2 2
求解即可.
x2 y2
【详解】对于双曲线 2 - 2 =1，其渐近线方程为bx ± ay = 0 ，a b
2 2 x2 (y 5 9对于圆 x + y - 5y + 4 = 0，有 + - )2 = ，
2 4
5
圆心为 (0， ) r
3
，半径 = ，
2 2
2 (3渐近线被圆截得的弦长为 ，所以圆心到渐近线的距离为 )2 12 5- = ，
2 2
| b 5 0 ± a |
由点到直线距离公式得： 2d = 2 5= ，所以 4a = b
2，
a2 + b2 2
所以 4a2
c
= c2 - a2 ，解得 e = = 5 ，所以双曲线 E 的离心率为 5 .a
故答案为： 5 .
2 2
20．（2024· x y山东烟台·三模）已知双曲线G： 2 - 2 =1（ a > 0，b > 0）的渐近线方程为 y = ± 3x ，其右a b
焦点为 F，若直线 y = kx 与G在第一象限的交点为 P 且PF ^ x 轴，则实数 k 的值为 .
3
【答案】
2
b2
【分析】根据双曲线的渐近线方程可得b = 2a c = 5a ，由 PF ^ x 轴得 P c, ÷ ，利用斜率公式可得结
è a
果.
x2 y2 b b
【详解】因为双曲线G： 2 - =1（ a > 0，b > 0）的渐近线方程为 y = ± x，依题意有 = 3，a b2 a a
2
即b = 3a c = 2a，又右焦点为 F c,0 ，且 PF ^ x 轴，所以 P c,
b
，
è a
÷
b2
b2所以 k k a 3a
2 3
= ，OP = = = =c ac 2a2 2
3
故答案为： .
2
2 2
21．（2024· x y河南郑州·三模）已知双曲线C : 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0)的离心率为 2, A, B 分别是它的两条渐近线a b
uuur uuur uuur
上的两点（不与坐标原点O重合），点 P 在双曲线C 上且OA + OB = 2OP, VAOB的面积为 6，则该双曲线
的实轴长为 ．
【答案】2 6
【分析】利用离心率求得 a = b，继而得到渐近线方程： y = ±x，由向量等式推得点 P 为 AB 的中点，设出点
A(x1, x1), B(x2 , -x2 ) ,
2
求得点 P 坐标，代入双曲线方程，化简得 x1x2 = a ，最后利用面积即可求得 a的值.
【详解】
c b x2 y2
如图，由 e = 2 = = 1+ ( )2 可得 a = b，故双曲线C : 2 - =1的渐近线方程为 y = ±x，a a a b2
uuur uuur uuur x + x x - x
不妨设 A(x1, x1), B(x2 , -x2 )，因OA + OB = 2OP, 则点 P 为 AB 的中点，则 P( 1 2 , 1 2 ) ，2 2
将其代入 x2 - y2 = a2 2中，整理得： x1x2 = a ，
1
又 | OA |= 2 | x1 |,| OB |= 2 | x2 | ,且OA ^ OB ,则VAOB的面积为 2 | x1 | 2 | x2 2
|= 6，
即 a2 = 6 ，解得 a = 6 ,故双曲线的实轴长为2 6 .
故答案为：2 6 .
2
22．（2024·上海奉贤· x三模）若曲线G : 2 - y
2 =1(x > 0)得右顶点A ，若对线段OA上任意一点 P ，端点除外，
a
在G上存在关于 x 轴对称得两点Q、 R 使得三角形PQR 为等边三角形，则正数 a得取值范围是 ．
【答案】 (0, 3]
3
【分析】根据题意，利用双曲线的几何性质，转化为渐近线的斜率大于或等于 ，即可求解.
3
【详解】由任意点 P 线段OA上，端点除外，在G上存在关于 x 轴对称得两点Q, R 使得VPQR为等边三角形，
即存在点Q使得 QPx = 30o ，所以存在点Q使得 QOx < 30o，
x2 1
由双曲线G : 22 - y =1(x > 0)的其中一条渐近线方程为 y = x ，a a
1 3 1 3
则满足 y = x 的斜率大于或等于 ，即 ，所以a a 3
，
3 a 3
又由 a > 0，所以实数 a的取值范围为 (0, 3] .
故答案为： (0, 3] .
x2 y223．（2024·四川南充·三模）已知点 F 是双曲线 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0) 的左焦点，点 E 是该双曲线的右顶点，a b
过点F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A, B两点，若 AEB < 120°，则该双曲线离心率的取值范围
为 ．
【答案】 1, 3 +1
b2 | AF |
【分析】根据双曲线的性质， | AF |= ， | EF |= a + c ，转化条件得0° < AEF < 60°，再通过 tan AEF =a | EF |
即可得解.
【详解】如图所示，根据双曲线的对称性得，在VEAB 中 EAB = EBA，
又因为 AEB <120° ,
所以在RtVAEF 中， AEF < 60° ,
tan AEF | AF |即 = < 3| EF |
所以 | AF |< 3 | EF |，
b2
又因为 AB 为通径，即 | AF |= ， | EF |= a + c ，
a
b2
所以 < 3(a + c) ，且 c 2 = a 2 + b 2 ，
a
所以 c2 - a2 < 3(a2 + ac) ，
即 c2 - 3ac - (1+ 3)a2 < 0，
即 e2 - 3e - 1+ 3 < 0 ，
解得-1 < e < 3 +1，
又因为双曲线离心率 e >1，
所以该双曲线的离心率取值范围为：1< e < 3 +1.
故答案为： 1, 3 +1 .专题 16 双曲线
命题解读 考向 考查统计
1.高考对双曲线的考查，重点是
（1）双曲线的定义、几何图形和标准
方程。 2023·新高考Ⅰ卷，16
（2）双曲线的几何性质（范围、对称 双曲线的离心率 2024·新高考Ⅰ卷，12
性、顶点、离心率、渐近线）。
（3）直线和双曲线的位置关系及综合
应用。
命题分析
2024 年高考新高考Ⅰ卷考查应用定义求解双曲线的离心率，难度较易。Ⅱ卷是双曲线与数列的综合问题，
后续专题会解读。双曲线是圆雉曲线的重要内容，但从总体上看，双曲线的考试要求要比椭圆和抛物线低，
在双曲线的试题中，最为重要的是三点是：方程、渐近线、离心率。预计 2025 年高考还是主要考查双曲线
的定义和离心率、渐近线。
试题精讲
一、填空题
2 2
1．（2024 x y新高考Ⅰ卷·12）设双曲线C : 2 - = 1(a > 0,b > 0)的左右焦点分别为F、F ，过F 作平行于 y 轴的a b2 1 2 2
直线交 C 于 A，B 两点，若 | F1A |=13,| AB |=10，则 C 的离心率为 ．
一、填空题
2 2
1．（2023 新高考Ⅰ卷·16 x y）已知双曲线C : - = 1(a > 0,b > 0)的左、右焦点分别为F1, F2 2 2 ．点A 在C 上，点 Ba b
uuur uuur uuuur 2 uuuur
在 y 轴上，F1A ^ F1B, F2 A = - F2B，则C 的离心率为 ．3
一、双曲线的定义
平面内与两个定点 F1, F2 的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于 F1F2 ）的点的轨迹叫做双曲线（这两
个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为 M MF1 - MF2 = 2a(0 < 2a < F1F2 ) ．
注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．
（2）当 2a = F1F2 时，点的轨迹是以 F1 和 F2 为端点的两条射线；当 2a = 0时，点的轨迹是线段 F1F2 的垂直
平分线．
（3） 2a > F1F2 时，点的轨迹不存在．
在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：
①条件“ F F > 2a ”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定 a2 ，b2 的值），注意 a2 + b21 2 = c
2
的应用．
二、双曲线的方程、图形及性质
x2 y2 2 2
标准方程 2 - 2 = 1(a > 0,b 0)
y x
> 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0)a b a b
图形
A2
焦点坐标 F1(-c,0) ， F2 (c,0) F1(0,-c) ， F2 (0,c)
对称性 关于 x ， y 轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标 A1(-a,0)， A2 (a,0) A1(0,a) ， A2 (0,-a)
范围 x a y a
实轴、虚轴 实轴长为 2a ，虚轴长为 2b
c b2
离心率 e = = 1+ 2 (e > 1)a a
x2 y2 b y2 x2 a
令 2 - 2 = 0 y = ± x ， 令 2 - 2 = 0 y = ± x ，
渐近线方程 a b a a b b
焦点到渐近线的距离为b 焦点到渐近线的距离为b
ì> 1,点(x0 , y0 )在双曲线内 ì> 1,点(x0 , y0 )在双曲线内
点和双曲线 x2 y2 （含焦点部分） y2 x2 （含焦点部分）-
a2 b2 í
-
= 1, (x , y ) a2 b2 í的位置关系 点 0 0 在双曲线上 = 1,点(x0 , y0 )在双曲线上
< 1,点(x0 , y0 )在双曲线外 < 1,点(x0 , y0 )在双曲线外
共焦点的双 x2 y2 2 2
2 - 2 = 1(-a
2 < k y x< b2 ) 2 - 2 = 1(-a
2 < k < b2 )
曲线方程 a + k b - k a + k b - k
共渐近线的 x2 y2 2 2
2 - 2 = l(l 0)
y x
a b a2
- 2 = l(l 0)
双曲线方程 b
x x y y y y x x
切线方程 0 0 02 - 2 = 1,(x0 , y0 ) 为切点 2 -
0
2 = 1,(x0 , y0 ) 为切点a b a b
对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中 x2 换为 x 20 x ， y 换成 y0 y 便
切线方程
得．
x0 x y0 y
2 - 2 = 1,(x0 , y0 ) 为双曲线外一a b y0 y x- 0 x切点弦所在 2 2 = 1,(x0 , y0 ) 为双曲线外一点a b
直线方程 点
点 (x0 , y0 ) 为双曲线与两渐近线之间的点
设直线与双曲线两交点为 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 )， kAB = k ．
1
则弦长 AB = 1+ k 2 × x1 - x2 = 1+ × yk 2 1
- y2 (k 0)，
弦长公式
x1 - x2 = x1 + x2
2 - 4x D1x2 = ，其中“ a ”是消“ y ”后关于“ x ”的一元二次方程的a
“ x2 ”系数．
2b2
通径 通径（过焦点且垂直于 F1F2 的弦）是同支中的最短弦，其长为 a
双曲线上一点 P(x0 , y0 ) 与两焦点 F1, F2 构成的DPF1F2 成为焦点三角形，
2
设 F1PF2 = q ， PF1 = r1 ， PF2 = r2 ，则 cosq
2b
= 1- ，
r1r2
焦点三角形
1 2 ìc y ,焦点在x轴上SDPF F = r r sinq
sinq b
1 2 = × b
2 = = 0 ，
1 2 2 1 cosq í- tan q c x0 ,焦点在y轴上
2
焦点三角形中一般要用到的关系是
ì PF1 - PF2 = 2a(2a > 2c)
S 1í DPF F = PF1 × PF2 sin F PF1 2 2 1 2
2 2 2
F1F2 = PF1 + PF2 - 2 PF1 PF2 cos F1PF2
等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线 a = b 离心率 e = 2 两渐
等轴双曲线
近线互相垂直 渐近线方程为 y = ±x 方程可设为 x2 - y2 = l(l 0) ．
【双曲线常用结论】
1、双曲线的通径
2b2
过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为 ．
a
2、点与双曲线的位置关系
x2 y2 x2 y2
对于双曲线 2 - 2 = 1(a > b > 0)，点 P(x0 ，y0 )在双曲线内部，等价于
0 0
2 - 2 > 1．a b a b
2 2
点 P(x x y0 ，y0 )在双曲线外部，等价于 0 - 02 2 < 1 结合线性规划的知识点来分析．a b
3、双曲线常考性质
性质 1 ab：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数b ；顶点到两条渐近线的距离为常数 ；
c
a2b2
性质 2：双曲线上的任意点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数
c2
；
b24、双曲线焦点三角形面积为 （可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）
tan q
2
5、双曲线的切线
2 2
点 M (x0，y )
x y
0 在双曲线 2 - 2 = 1 (a 0
x x y y
> ，b > 0) 上，过点 M 作双曲线的切线方程为 0 - 02 2 = 1．若点a b a b
2 2
M (x x y x x y y0，y0 ) 在双曲线 2 - 2 = 1 (a > 0，b > 0) 外，则点 M 对应切点弦方程为
0
2 -
0 = 1
a b a b2
一、单选题
2 2
1．（2024·甘肃兰州· y x三模）已知双曲线C : - =1(m > 0) 的实轴长等于虚轴长的 2 倍，则C 的渐近线
3m + 2 m
方程为（ ）
A． y
1
= ± x B 2． y = ± x C． y = ±2x D． y = ± 2x2 2
2 2
2．（2024· x y浙江绍兴·三模）已知F1，F2 为曲线C ： + =1 m 4 的焦点，则下列说法错误的是（ ）4 m
A．若m =1，则曲线C 的离心率 e 3=
2
B．若m = -1 5，则曲线C 的离心率 e =
2
C．若曲线C 上恰有两个不同的点 P ，使得 F1PF2 = 90°，则m = 2
D．若m < 0，则曲线C 上存在四个不同的点 P ，使得 F1PF2 = 90°
2 2
3．（2024·安徽· y x三模）过双曲线C : 2 - 2 =1(a > b > 0)的下顶点F 作某一条渐近线的垂线，分别与两条渐a b
uuur uuuur
近线相交于M , N 两点，若 NF = 2FM ,则 C 的离心率为（ ）
A 2 3． B． 3 C． 2 3 D．3
3
2 2
4．（2024· · x y全国 三模）已知双曲线 C： - =1 a > 0,b > 0 的左、右焦点分别为F ，F
a2 b2 1 2
，且离心率为
e = 5 ，过点F2 的直线 l 与 C 的一条渐近线垂直相交于点 D，则 tan DF1F2 = （ ）
1
A． B 1． 2 C．2 D．33
2
5 2024· · x y
2
．（ 四川成都 三模）已知双曲线 - =1（ a > 0，b > 02 2 ）的左焦点为F1，点O为坐标原点，点Ma b
5
为双曲线渐近线上一点且满足 MF1 = OM ，过F1作 x 轴的垂线交渐近线于点 N ，已知 MF1 = NF1 ，则4
其离心率为（ ）
A．2 B． 3 C 5． D． 5
2
x2 y26．（2024·山西阳泉·三模）已知双曲线C : 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0)的左、右焦点分别为F1, F2 ，双曲线的右支上a b
有一点 A, AF1与双曲线的左支交于点 B ，线段 AF2 的中点为M ，且满足BM ^ AF F AF
π
2 ，若 1 2 = ，则双曲3
线C 的离心率为（ ）
A．2 B． 6 C． 7 D． 13
2 2
7．（2024·宁夏银川· x y三模）已知双曲线 E： 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的左、右焦点分别为F1，F2 ，过点Fa b 2 的
直线与双曲线 E 的右支交于 A，B 两点，若 AB = AF1 ，且双曲线 E 的离心率为 2 ，则cos BAF1 = （ ）
3 7 3 1 1A． B．- C． D．-
8 4 8 8
2 2
8．（2024· x y湖南永州·三模）已知F1，F2 分别是双曲线 2 - 2 =1 a > 0，b > 0 的左、右焦点，点O为坐标a b
uuur uuuur
原点，过F1的直线分别交双曲线左、右两支于A ， B 两点，点C 在 x 轴上，CB = 3F2 A， BF2 平分 F1BC ，
其中一条渐近线与线段 AB 交于点 P ，则 sin POF2 =（ ）
A 41 42 43 2 11． B． C． D．
7 7 7 7
9．（2024·天津河西·三模）已知F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且
F π 2 21PF2 = ，若椭圆的离心率为 e1 ，双曲线的离心率为 e2，则 e1 + e2 的最小值为（ ）3
A 5 + 3 2 + 3．3 + 3 B． C． D．4
2 2
2 2
10．（2024·浙江杭州· x y三模）已知双曲线 2 - 2 =1 a,b > 0 上存在关于原点中心对称的两点 A，B，以及双a b
曲线上的另一点 C，使得VABC 为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． 2,+ B． 3, + C． 2, + 2 3D． ,+ 3 ÷÷è
二、多选题
2 2
11．（2024·河北邯郸·三模）已知双曲线C : x y- =1，则（ ）
l + 6 3 - l
A．l 的取值范围是 (-6,3) B．C 的焦点可在 x 轴上也可在 y 轴上
C．C 的焦距为 6 D．C 的离心率 e的取值范围为 (1,3)
2 2
12．（2024·河北保定·三模）已知双曲线C x y： 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的左、右焦点分别为Fa b 1，
F2 ，过点F1
的直线与C 的左支相交于 P ，Q两点，若PQ ^ PF2，且 4 PQ = 3 PF2 ，则（ ）
uuur uuur
A． PQ = 2a B．PF1 = -2QF1
C．C 17的离心率为 D．直线 PQ的斜率为±4
3
x2 y213．（2024·贵州贵阳·三模）双曲线C : 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0)的左、右焦点分别为点Fa b 1
, F2 ，斜率为正的渐近
线为 l1，过点F2 作直线 l1的垂线，垂足为点A ，交双曲线于点 P ，设点M 是双曲线C 上任意一点，若
PF 22 = AF2 , S
4
VPF F = ，则（ ）3 1 2 3
A．双曲线C 的离心率为 5
2
B x．双曲线C 的共轭双曲线方程为 y2 - =1
4
MF1 3 + 5 ùC．当点M 位于双曲线C 右支时， 1,MF ú2 è 2
4
D．点M 到两渐近线的距离之积为
5
x2 y2 x2 y2
14．（2024·山西吕梁·三模）已知椭圆 2 + 2 =1 aa b 1 > b1 > 0 的离心率为 e1 ，双曲线 a2 - b2 =1 a2 > 0,b2 > 0 1 1 2 2
的离心率为 e2，两曲线有公共焦点F1, F2 , P是椭圆与双曲线的一个公共点， F1PF2 = 60
o
，以下结论正确的
是（ ）
A 2 2 2 2． a1 - a2 = b1 - b2
1 3
B． 4e2
+ 2 =1
1 4e2
C．b21 = 3b
2
2
é ù
D．若 e é2 3,2ù ，则 e
2 13 3
1 ê , ú
13 3
2 2
15．（2024· x y重庆·三模）已知双曲线C : 2 - =1(a > 0)的左，右焦点分别为F1, F2 , P为双曲线C 上点，且a 16
△PF1F2 的内切圆圆心为 I (3,1)，则下列说法正确的是（ ）
1
A． a = 3 B．直线 PF1的斜率为 4
C．VPF
64
1Fz 的周长为 D．△PF1F
65
2 的外接圆半径为3 12
三、填空题
2
16．（2024· x湖北荆州·三模）已知双曲线C : 2 - y
2 =1(a > 0)经过点 (2,1)，则 C 的渐近线方程为 ．
a
2 2
17 x y．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知双曲线C : 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0)的左右焦点分别为F1、F2 ，曲线C 上的点a b
uuuur uuuur
M 满足，F1M × F2M = 0， MF
π
1F2 = ，则双曲线的离心率为 ．6
2 2
18．（2024·安徽马鞍山·三模）已知双曲线G : x y- =1(a > 0,b > 0)的左、右焦点分别为F ，F ，过点F
a2 b2 1 2 2
的直线与G °的右支交于A ， B 两点，若 AF1 = 8, BF1 = 5, AF1B = 60 ，则a = ．
2 2
19．（2024·浙江金华·三模）若圆C : x2 + y2 - 5y + 4 = 0被双曲线E : x y2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的一条渐近线截a b
得的弦长为 2，则双曲线E 的离心率为 .
2 2
20．（2024· · G x y山东烟台 三模）已知双曲线 ： 2 - 2 =1（ a > 0，b > 0）的渐近线方程为 y = ± 3x ，其右a b
焦点为 F，若直线 y = kx 与G在第一象限的交点为 P 且PF ^ x 轴，则实数 k 的值为 .
2 2
21．（2024·河南郑州· x y三模）已知双曲线C : 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0)的离心率为 2, A, B 分别是它的两条渐近线a b
uuur uuur uuur
上的两点（不与坐标原点O重合），点 P 在双曲线C 上且OA + OB = 2OP, VAOB的面积为 6，则该双曲线
的实轴长为 ．
2
22．（2024·上海奉贤· x三模）若曲线G : 2 - y
2 =1(x > 0)得右顶点A ，若对线段OA上任意一点 P ，端点除外，
a
在G上存在关于 x 轴对称得两点Q、 R 使得三角形PQR 为等边三角形，则正数 a得取值范围是 ．
2 2
23．（2024· · x y四川南充 三模）已知点 F 是双曲线 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0) 的左焦点，点 E 是该双曲线的右顶点，a b
过点F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A, B两点，若 AEB < 120°，则该双曲线离心率的取值范围
为 ．
