专题 04 三角函数
命题解读 考向 考查统计
高考对三角函数的考查，基础方面是掌 2022·新高考Ⅰ卷，6
握三角函数的定义、同角三角函数关系 2023·新高考Ⅰ卷，15
式和诱导公式。重点是三角恒等变换和 2024·新高考Ⅰ卷，7
三角函数的图像与性质
三角函数的图像、周期性、单调性、奇 2022·新高考Ⅱ卷，9
偶性、对称性、最值等。三角恒等变换 2023·新高考Ⅱ卷，16
位于三角函数与数学变换的结合点上， 2024·新高考Ⅱ卷，9
高考会侧重综合推理能力和运算能力
的考查，体现三角恒等变换的工具性作
2023·新高考Ⅰ卷，8
用，以及会有一些它们在数学中的应
2024·新高考Ⅰ卷，4
用。这需要同学熟练运用公式，进一步
三角恒等变换 2022·新高考Ⅱ卷，6
提高运用联系转化的观点去处理问题
2023·新高考Ⅱ卷，7
的自觉性，体会一般与特殊的思想、换
2024·新高考Ⅱ卷，13
元的思想、方程的思想等数学思想在三
角恒等变换中的作用。
命题分析
2024 年高考新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷都考查到了三角函数的图像与性质及三角恒等变换。其中Ⅰ卷、Ⅱ卷的三角
恒等变换都结合了两角和差的公式，属于常规题型，难度一般。Ⅰ卷在考查三角函数的图像与性质时，结合
了具体函数图像的画法，Ⅱ卷则是考查了零点、对称性、最值、周期性等基本性质。三角函数的考查应关注：
同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角差角公式、三角函数的图象与性质、应用三角公式进行化简、
求值和恒等变形及恒等证明。预计 2025 年高考还是主要考查三角恒等变换中的倍角公式、和差公式、辅助
角公式及图像与性质中的对称性和零点问题。
试题精讲
一、单选题
1．（2024 新高考Ⅰ卷·4）已知 cos(a + b ) = m, tana tan b = 2，则 cos(a - b ) =（ ）
m
A．-3m B．- C m． D．3m
3 3
【答案】A
【分析】根据两角和的余弦可求 cosa cos b ,sina sin b 的关系，结合 tana tan b 的值可求前者，故可求
cos a - b 的值.
【详解】因为 cos a + b = m，所以 cosa cos b - sina sin b = m，
而 tana tan b = 2，所以 sina sin b = 2cosa cos b ，
故 cosa cos b - 2cosa cos b = m即 cosa cos b = -m，
从而 sina sin b = -2m ，故 cos a - b = -3m，
故选：A.
p
2．（2024 新高考Ⅰ卷·7）当 x [0, 2p ]时，曲线 y = sin x 与 y = 2sin 3x - ÷的交点个数为（6 ）è
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】画出两函数在 0,2π 上的图象，根据图象即可求解
【详解】因为函数 y = sin x 的的最小正周期为T = 2π，
y = 2sin 3x π- T 2π函数 的最小正周期为 = ，
è 6 ÷ 3
所以在 x 0,2π 上函数 y = 2sin 3x π- 6 ÷有三个周期的图象， è
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有 6 个交点.
故选：C
二、多选题
3．（2024 新高考Ⅱ卷·9）对于函数 f (x) = sin 2x 和 g(x) = sin(2x
π
- )，下列说法正确的有（ ）
4
A． f (x) 与 g(x)有相同的零点 B． f (x) 与 g(x)有相同的最大值
C． f (x) 与 g(x)有相同的最小正周期 D． f (x) 与 g(x)的图像有相同的对称轴
【答案】BC
【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.
【详解】A 选项，令 f (x) = sin 2x = 0
kπ
，解得 x = , k Z，即为 f (x) 零点，
2
令 g(x) = sin(2x
π
- ) = 0，解得 x
kπ π
= + ,k Z，即为 g(x)零点，
4 2 8
显然 f (x), g(x)零点不同，A 选项错误；
B 选项，显然 f (x)max = g(x)max =1，B 选项正确；
2π
C 选项，根据周期公式， f (x), g(x)的周期均为 = π，C 选项正确；
2
π kπ π
D 选项，根据正弦函数的性质 f (x) 的对称轴满足 2x = kπ + x = + ,k Z ，
2 2 4
g(x) 2x π的对称轴满足 - = kπ
π x kπ 3π+ = + , k Z，
4 2 2 8
显然 f (x), g(x)图像的对称轴不同，D 选项错误.
故选：BC
三、填空题
4．（2024 新高考Ⅱ卷·13）已知a 为第一象限角， b 为第三象限角， tana + tan b = 4 ， tana tan b = 2 +1，
则 sin(a + b ) = .
2 2
【答案】-
3
【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得 tan a + b = -2 2 ，再缩小a + b 的范围，最后结合同角的平
方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.
tana + tan b 4
【详解】法一：由题意得 tan a + b = = = -2 21- tana tan b 1- 2 +1 ，
π
因为a 2kπ,2kπ + ÷ , b 2mπ π,2mπ
3π
+ + ÷， k, m Z，
è 2 è 2
则a + b 2m + 2k π + π, 2m + 2k π + 2π ， k, m Z，
又因为 tan a + b = -2 2 < 0，
则a + b
3π
2m + 2k π + , 2m + 2k π + 2π ÷ ， k, m Z，则 sin a + b < 0，
è 2
sin a + b
则 = -2 2 2cos ，联立 sin a + b + cos
2 a + b =1
a ，解得+ b sin a
2 2
+ b = - .
3
法二： 因为a 为第一象限角，b 为第三象限角，则 cosa > 0,cos b < 0 ,
cosa cosa 1 cos b
cos b -1
= = = =
sin2
，
a + cos2 a 1+ tan2 a sin2 b + cos2 1 tan2
，
b + b
则 sin(a + b ) = sina cos b + cosa sin b = cosa cos b (tana + tan b )
4cosa cos b -4 -4 -4 2 2= = = = = -
1+ tan2 a 1+ tan2 b (tana + tan b )2 + (tana tan b -1)2 42 + 2 3
2 2
故答案为：- .
3
一、单选题
p 2p
1．（2022 新高考Ⅰ卷·6）记函数 f (x) = sin wx + ÷ + b(w > 0) 的最小正周期为 T．若 < T < p ，且 y = f (x)
è 4 3
3p p
的图象关于点 , 2÷中心对称，则 f 2 ÷
=（
2 ）è è
3 5
A．1 B． C． D．3
2 2
【答案】A
【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
2p 2p 2p
【详解】由函数的最小正周期 T 满足 < T < p ，得 < < p ，解得 2 < w < 3，
3 3 w
3p 3p p
又因为函数图象关于点 , 2÷对称，所以 w + = kp , k Z ，且b = 2 ，
è 2 2 4
w 1 2
5 p
所以 = - + k, k Z w
5
，所以 = ， f (x) = sin x + + 2，
6 3 2 2 4 ֏
f p 所以 ÷ = sin
5 p
p + ÷ + 2 =1.
è 2 è 4 4
故选：A
2．（2023 新高考Ⅰ卷·8）已知 sin a b 1- = ,cosa sin b 1= ，则 cos 2a + 2b =（ ）．
3 6
7 1 1 7
A． B． C．- D．-
9 9 9 9
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出 sin(a + b )，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为 sin(a - b ) = sina cos b - cosa sin b
1
= cosa sin b 1= sina cos b 1，而 ，因此 =
3 6 2
，
则 sin(a + b ) = sina cos b + cosa sin b
2
= ，
3
所以 cos(2a 2b )
2 1
+ = cos 2(a + b ) =1- 2sin2 (a + b ) =1- 2 ( )2 = .
3 9
故选：B
p
3．（2022 新高考Ⅱ卷·6）若 sin(a + b ) + cos(a + b ) = 2 2 cos a +
÷sin b ，则（ ）
è 4
A． tan a - b =1 B． tan a + b =1
C． tan a - b = -1 D． tan a + b = -1
【答案】C
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】[方法一]：直接法
由已知得： sina cos b + cosa sin b + cosa cos b - sina sin b = 2 cosa - sina sin b ,
即： sina cos b - cosa sin b + cosa cos b + sina sin b = 0，
即： sin a - b + cos a - b = 0
所以 tan a - b = -1
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
p
解法一:设 β=0 则 sinα +cosα =0，取a = - ，排除 A, B；
4
再取 α=0 则 sinβ +cosβ= 2sinβ，取 β =
p
，排除 D；选 C.
4
[方法三]：三角恒等变换
sin(a + b ) + cos(a + b ) = 2 sin（a + b p+ ）= 2 sin p（[ a + ）+ b ]
4 4
= 2 sin（a p+ ）cos b + 2 co（s a p+ ）sin b = 2 2 cos a p（ + ）sin b
4 4 4
2 sin a p所以 （ + ）cos b = 2 co（s a
p
+ ）sin b
4 4
sin（a p+ ）cos b - co（s a p+ ）sin b =0即 sin
p
（a + - b）=0
4 4 4
sin a b p\ （ - + ）=sin（a - b）cos p + co（s a - b）sin p = 2 sin a 2（ - b）+ co（s a - b）=0
4 4 4 2 2
\sin（a - b）= - co（s a - b）即t an( a - b）=- 1,
故选：C.
4 2023 Ⅱ ·7 a cosa 1+ 5
a
．（ 新高考 卷 ）已知 为锐角， = ，则 sin = （2 ）．4
A 3- 5 B -1+ 5 C 3- 5． ． ． D -1+ 5．
8 8 4 4
【答案】D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】因为 cosa =1- 2sin2 a 1+ 5= ，而a 为锐角，
2 4
2
解得： sin
a
= 3- 5 5 -1 5 -1．
2 = =8 16 4
故选：D．
二、多选题
5．（2022 新高考Ⅱ卷·9）已知函数 f (x) = sin(2x +j)(0 j
2π
< < π) 的图像关于点 ,0
÷ 中心对称，则（ ）
è 3
5π
A． f (x)
在区间 0, ÷ 单调递减
è 12
π
B ． f (x) 在区间 - ,
11π
÷ 有两个极值点
è 12 12
7π
C．直线 x = 是曲线 y = f (x) 的对称轴
6
D y 3．直线 = - x 是曲线 y = f (x) 的切线
2
【答案】AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
2π
【详解】由题意得： f ÷ = sin
4π +j ÷ = 0
4π
，所以 +j = kπ， k Z ，
è 3 è 3 3
j 4π即 = - + kπ,k Z ，
3
2π
又0 < j < π j
2π
，所以 k = 2时， = ，故 f (x) = sin 2x +
÷．3 è 3
x 0, 5π 2x 2π 2π , 3π+ 5π 对 A，当 ÷时， ÷，由正弦函数 y = sin u 图象知 y = f (x) 在 0, ÷ 上是单调递减；
è 12 3 è 3 2 è 12
x π ,11π - 2π π 5π 对 B，当 ÷时， 2x + , ÷，由正弦函数 y = sin u 图象知 y = f (x) 只有 1 个极值点，由
è 12 12 3 è 2 2
2x 2π 3π
5π
+ = ，解得 x = ，即 x
5π
=
3 2 为函数的唯一极值点；12 12
7π 2π 7π 7π
对 C，当 x = 时， 2x + = 3π ， f ( ) = 0 ，直线 x = 不是对称轴；
6 3 6 6
对 D，由 y = 2cos
2x 2π 1 cos 2x 2π 1 + ÷ = -
得： + ÷ = - ，
è 3 è 3 2
2x 2π 2π 2kπ 2x 2π 4π解得 + = + 或 + = + 2kπ,k Z ,
3 3 3 3
π
从而得： x = kπ 或 x = + kπ,k Z ,
3
所以函数 y = f (x) 在点 0,
3
÷÷处的切线斜率为 k = y = 2cos
2π
= -1
2 x=0
，
è 3
3 3
切线方程为： y - = -(x - 0)即 y = - x ．
2 2
故选：AD．
三、填空题
6．（2023 新高考Ⅰ卷·15）已知函数 f x = coswx -1(w > 0)在区间 0,2π 有且仅有 3 个零点，则w 的取值范
围是 ．
【答案】[2,3)
【分析】令 f (x) = 0 ，得 coswx =1有 3 个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为0≤ x≤ 2π ，所以0≤wx≤ 2wπ ，
令 f (x) = coswx -1 = 0 ，则 coswx =1有 3 个根，
令 t = wx ，则 cos t =1有 3 个根，其中 t [0, 2wπ]，
结合余弦函数 y = cos t 的图像性质可得 4π 2wπ < 6π，故 2 w < 3，
故答案为：[2,3) .
7．（2023 新高考Ⅱ卷·16）已知函数 f x = sin wx +j 1，如图 A，B 是直线 y = 与曲线 y = f x 的两个交
2
π
点，若 AB = ，则 f π = ．
6
3
【答案】 -
2
A x 1 1 π 1 2π【分析】设 1, ÷ , B x2 , ÷ ，依题可得， x2 - x1 = ，结合 sin x = 的解可得，w x2 - x1 = ，从而得è 2 è 2 6 2 3
w 2到 的值，再根据 f π
÷ = 0以及 f 0 < 0，即可得 f (x) = sin
4x
2
- π ÷，进而求得 f π ．
è 3 è 3
【详解】设 A x ,
1 , B 1 π1 ÷ x2 , ÷ ，由 AB = 可得 x - x
π
è 2 è 2 6 2 1
= ，
6
sin x 1 x π由 = 可知， = + 2kπ x
5π
或 = + 2kπ， k Z，由图可知，
2 6 6
wx j wx j 5 π π 2π2 + - 1 + = - = ，即w x x
2π
2 - 1 = ，\w = 4 ．6 6 3 3
f 2 因为 π ÷ = sin
8π +j ÷ = 0
8π 8
，所以 +j = kπ，即j = - π + kπ ， k Z．
è 3 è 3 3 3
所以 f (x) = sin
4x 8 π kπ sin 4x 2 - + ÷ = - π + kπ
，
è 3 ÷ è 3
所以 f x 2= sin 4x - π
f x sin 2
3 ÷
或 = - 4x - π ÷ ，
è è 3
又因为 f 0 < 0，所以 f (x) = sin 4x 2- π ÷，\ f π = sin 4π
2 π 3- ÷ = - ．è 3 è 3 2
3
故答案为： - ．
2
【点睛】本题主要考查根据图象求出w 以及函数 f x 的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，
以及特殊角的三角函数值是解题关键．
一、三角函数基本概念
1、弧度制
（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧度．正角的弧
度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0．
2 180 p rad 1 p rad 1rad 180 （ ）角度制和弧度制的互化： = ， = ， = ．
180 p
3 l a r S 1 lr 1（ ）扇形的弧长公式： = ，扇形的面积公式： = = a r 2 ．
2 2
2、任意角的三角函数
（1）定义：任意角α的终边与单位圆交于点 P(x，y) 时，则 sina = y ， cosa = x tana y， = (x 0) ．
x
（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点 P P(x，y) 是角α终边上异于顶点的任一点，设点 P 到原点O
r sina y的距离为 ，则 = ， cosa x y= ， tana = (x 0)
r r x
三角函数的性质如下表：
第一象 第二象限 第三象 第四象
三角函数 定义域
限符号 符号 限符号 限符号
sina R ＋ ＋ － －
cosa R ＋ － － ＋
tana {a |a kp p+ ，k Z} ＋ － ＋ －
2
记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
二、同角三角函数基本关系
1、同角三角函数的基本关系
（1）平方关系： sin 2 a + cos2 a = 1．
2 sina（ ）商数关系： = tana (a p + kp )；
cosa 2
三、三角函数诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kp + a (k Z )
p p
p + a -a p -a -a + a
2 2
正弦 sina -sina -sina sina cosa cosa
余弦 cosa -cosa cosa -cosa sina -sina
正切 tana tana - tana - tana
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
p
【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作 n ± a ；（2）
2
p
无论有多大，一律视为锐角，判断 n ± a 所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当 n
2
为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当 n为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．
四、两角和与差的正余弦与正切
① sin(a ± b ) = sina cos b ± cosa sin b ；
② cos(a ± b ) = cosa cos b sina sin b ；
③ tan(a ± b ) tana ± tan b= ；
1 tana tan b
五、二倍角公式
① sin 2a = 2sina cosa ；
② cos 2a = cos2 a - sin2 a = 2cos2 a -1 = 1- 2sin2 a ；
③ tan 2a 2 tana= ；
1- tan2 a
六、降次（幂）公式
sina cosa 1= sin 2a ;sin2 a 1- cos 2a ;cos2 a 1+ cos 2a= = ;
2 2 2
知识点四：半角公式
sin a 1- cosa a 1+ cosa= ± ;cos = ± ;
2 2 2 2
tan a sina 1- cosa= = .
2 1+ cosa sin a
七、辅助角公式
asina + bcosa = a2
b a b
+ b2 sin(a + j) （其中 sinj = ，cosj = ，tanj = ）．
a2 + b2 a2 + b2 a
八、正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中 k Z ）
函数 y = sin x y = cos x y = tan x
图象
p
定义域 R R {x| x R，x kp + }
2
值域 [-1，1] [-1，1] R
周期性 2p 2p p
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kp
p
- ，2kp p+ ] [-p + 2kp p p，2kp ] (kp - ，kp + )
2 2 2 2
[2kp p递减区间 + ，2kp
3p
+ ] [2kp ，p + 2kp ] 无
2 2
对称中心 (kp
p
，0) (kp + ，0) (kp ，0)
2 2
p
对称轴方程 x = kp + x = kp 无
2
T T
注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是 ；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是 ；
2 2
T
正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离 ；
4
九、 y = Asin(wx + f) 与 y = Acos(wx + f)(A > 0, w > 0) 的图像与性质
（1 2p）最小正周期：T = ．
w
（2）定义域与值域： y = Asin(wx + f) ， y = Acos(wx + f）的定义域为 R，值域为[-A，A]．
（3）最值
假设 A > 0，w > 0 ．
①对于 y = Asin(wx + f) ，
ì p
当wx + f = + 2kp (k Z)时，函数取得最大值A; 2
í
p当wx + f = - + 2kp (k Z )时，函数取得最小值 - A;
2
②对于 y = Acos(wx + f），
ì 当wx + f = 2kp (k Z)时，函数取得最大值A;
í
当wx + f = 2kp + p (k Z )时，函数取得最小值 - A;
（4）对称轴与对称中心．
假设 A > 0，w > 0 ．
①对于 y = Asin(wx + f) ，
ì p
当wx0 + f = kp + (k Z )，即sin(wx0 + f)2
í = ±1时，y = sin(wx + f)的对称轴为x = x0
当wx0 + f = kp (k Z )，即sin(wx + f) = 0 0
时，y = sin(wx + f)的对称中心为(x0 ,0).
②对于 y = Acos(wx + f），
ì当wx0 + f = kp (k Z )，即cos(wx0 + f) = ±1
时，y = cos(wx + f)的对称轴为x = x 0
í p
当wx0 + f = kp + (k Z )，即cos(wx2 0
+ f)
= 0时，y = cos(wx + f)的对称中心为(x0 ,0).
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与 x 轴交点的位
置．
（5）单调性．
假设 A > 0，w > 0 ．
①对于 y = Asin(wx + f) ，
ìwx f [ p 2kp , p + - + + 2kp ](k Z ) 增区间； 2 2
í
wx f p 3p+ [ + 2kp , + 2kp ](k Z ) 减区间.
2 2
②对于 y = Acos(wx + f），
ìwx + f [-p + 2kp , 2kp ](k Z ) 增区间；
í
wx + f [2kp , 2kp + p ](k Z ) 减区间.
（6）平移与伸缩
p
由函数 y = sin x 的图像变换为函数 y = 2sin(2x + ) + 3的图像的步骤；
3
p p
方法一： (x x + 2x + ) ．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”
2 3
（相一期一幅）三角函数图像，使之变形．
p 1
向左平移 个单位 p 所有点的横坐标变为原来的y = sin x的图像 3 y = sin(x + )的图像 2
3 纵坐标不变
y = sin(2x p+ ) p的图像 所 有 点的 纵坐 标变 为原 来 的2倍 y = 2sin(2x + )的图像
3 横坐标不变 3
向 上平
p
移 3个单 位 y = 2sin(2x + ) + 3
3
(x x p方法二： + 2x p+ ) ．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．
2 3
1 p
所有点的横坐标变为原来的 向左平移 个单位
y = sin x的图像 2 y = sin 2x的图像 6
纵坐标不变
y = sin 2(x p p+ ) = sin(2x + )的图像 所 有 点的 纵坐 标变 为原 来 的2倍
6 2 横坐标不变
y = 2sin(2x p+ )的图像 向 上平 移 3各单 位 y p= 2sin(2x + ) + 3
3 3
注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相
位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量 x 而言的，即图
像变换要看“变量 x ”发生多大变化，而不是“角 wx + f ”变化多少．
【三角函数常用结论】
1、利用 sin 2 a + cos2 a = 1 sina可以实现角a 的正弦、余弦的互化，利用 = tana 可以实现角a 的弦切互
cosa
化．
2、“ sina + cosa ，sina cosa ，sina - cosa ”方程思想知一求二．
(sina + cosa )2 = sin2 a + cos2 a + 2sina cosa = 1+ sin 2a
(sina - cosa )2 = sin2 a + cos2 a - 2sina cosa = 1- sin 2a
(sina + cosa )2 + (sina - cosa )2 = 2
3、两角和与差正切公式变形
tana ± tan b = tan(a ± b )(1 tana tan b )；
tana tan b 1 tana + tan b tana - tan b = - = -1．
tan(a + b ) tan(a - b )
4、降幂公式与升幂公式
sin 2a 1- cos 2a cos2 a 1+ cos 2a= ； = ；sina cosa 1= sin 2a ；
2 2 2
1+ cos 2a = 2cos2 a ；1- cos 2a = 2sin 2 a ；1+ sin 2a = (sina + cosa )2 ；1- sin 2a = (sina - cosa )2 ．
5、其他常用变式
2 2 2
sin 2a 2sina cosa 2 tana cos a - sin a 1- tan a a sina 1- cosa= 2 = ；cos 2a = = ；tan = = ．sin a + cos2 a 1+ tan2 a sin 2 a + cos2 a 1+ tan2 a 2 1+ cosa sina
6 a、拆分角问题：①a =2 ；a =(a +b )- b ；②a = b - (b -a )；③a 1= [(a + b ) + (a - b )]；
2 2
④ b 1 p p p= [(a + b ) - (a - b )] ；⑤ + a = - ( -a )．
2 4 2 4
注意：特殊的角也看成已知角，如a p p= - ( -a ) ．
4 4
7、关于三角函数对称的几个重要结论
p
（1）函数 y = sin x 的对称轴为 x = kp + (k Z ) ，对称中心为 (kp .0)(k Z ) ；
2
（2）函数 y = cos x p的对称轴为 x = kp (k Z )，对称中心为 (kp + ,0)(k Z )；
2
（3）函数 y = tan x kp函数无对称轴，对称中心为 ( ,0)(k Z ) ；
2
（4）求函数 y = Asin(wx + f) + b(w 0) p的对称轴的方法；令 wx + f = + kp (k Z ) ，得
2
p
+ kp -f
x = 2 (k Z ) wx f kp (k kp -f kp -f；对称中心的求取方法；令 + = Z ) ，得 x = ，即对称中心为 ( ，b)．
w w w
p
+ kp -f
（5）求函数 y = Acos(wx + f) + b(w 0) 的对称轴的方法；令 wx + f = kp (k Z ) 得 x = 2 ，即对称中
w
p
+ kp -f
心为 ( 2 ,b)(k Z )
w
一、单选题
π π
1．（2024·江苏南通·三模）已知 cos -q ÷ = 3cos q +4 4 ÷
，则 sin2q = （ ）
è è
3 4
A． B． C．-
3 4
D．-
5 5 5 5
【答案】B
【分析】展开并同时平方，结合二倍角的正弦公式即可得到关于 sin2q 的方程，解出即可.
2
【详解】展开得 (cosq + sinq ) = 3 2 (cosq - sinq ) ，
2 2
1
两边同时平方有 (cosq + sinq )2
9
= (cosq - sinq )2 ，
2 2
1
即 (1+ sin 2q )
9 (1 sin 2q ) 4= - ，解得 sin2q = ，
2 2 5
故选：B.
2．（2024·山东济南·三模）若 sina - cosa = 2 ，则 tana =（ ）
A．1 B． -1 C．2 D．-2
【答案】B
【分析】由同角的三角函数和二倍角公式结合特殊角的三角函数计算可得.
【详解】因为 sina - cosa = 2 ，
所以 sina - cosa 2 = sin2 a + cos2 a - 2sina cosa =1- sin 2a = 2，
sin 2a 1 2a 2kπ 3 π,k Z a kπ 3所以 = - = + = + π,k Z，
2 4
所以 tana = -1，
故选：B
π
3．（2024·重庆·三模）已知a 0,
3 ÷，且 2sin2a = 4cosa - 3cos
3a ，则 cos2a = （ ）
è
1 7
A 2． 9 B． C D
2 2
． ．
3 9 3
【答案】C
1
【分析】根据二倍角公式化简和同角三角函数关系求出 sina = ，利用余弦二倍角公式求出答案.
3
π
【详解】因为a
0, 3 ÷ ，所以 cosa 0，0 < sina < ，
è 3 2
因为 2sin2a = 4cosa - 3cos3a ，
所以 4sinacosa = 4cosa - 3cos3a ，
所以 4sina = 4 - 3cos2a = 4 - 3 1- sin2a ，
解得 sina
1
= 或 sina =1(舍 )，
3
则 cos2a =1- 2sin2a =1- 2
1 7
= .
9 9
故选：C
π
4．（2024·浙江·三模）若 sin a - b + cos a - b = 2 2sin a -
÷sin b ，则（4 ）è
A． tan a - b = -1 B． tan a - b =1
C． tan a + b = -1 D． tan a + b =1
【答案】C
【分析】利用和差角公式展开，即可得到 sina cos b + cosa cos b = sina sin b - cosa sin b ，再两边同除
cosa cos b ，最后结合两角和的正切公式计算可得.
【详解】因为 sin a - b + cos a - b = 2 2sin a
π
- ÷sin b ，
è 4
所以 sina cos b - cosa sin b + cosa cos b + sina sin b = 2 2
sina cos
π π
- cosa sin
4 4 ÷
sin b ，
è
即 sina cos b - cosa sin b + cosa cos b + sina sin b = 2sina sin b - 2cosa sin b ，
即 sina cos b + cosa cos b = sina sin b - cosa sin b ，
两边同除 cosa cos b 可得 tana +1 = tana tan b - tan b ，
所以 tan a b tana + tan b+ = = -11- tana tan b .
故选：C
3cosa
5．（2024·河北保定·二模）已知 tana = ，则 cos 2a = （ ）
sina +11
- 7 7 7 7A． B． C． D．-
8 8 9 9
【答案】B
【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出 sina ，再结合二倍角公式即可求解.
sina 3cosa
【详解】因为 = ，
cosa sina +11
所以 4sin2a +11sina - 3 = 0，
解得 sina
1
= 或 sina = -3（舍去），
4
所以 cos2a =1- 2sin2a
7
= ．
8
故选：B.
7
6．（2024·湖北荆州·三模）已知 sinq + cosq = ，则 sinq - cosq 的值为（ ）13
17 7 17 7
A． B． C．± D．±
13 13 13 13
【答案】C
【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式，即可求解.
【详解】由 sinq + cosq
7
= ，可得 sinq + cosq 2 =1+ 2sinq cosq 49= ，
13 169
可得 2sinq cosq
120
= -
169
则 sinq - cosq 2 = sin2 q + cos2 q - 2sinq cosq 1 120 289= + = ，
169 169
因为 2sinq cosq
120
= - < 0，所以 sinq 与 cosq 异号，可得q 为第二或第四象限，
169
当q 为第二象限角时，可得 sinq - cosq
17
= ；
13
当q 为第四象限角时，可得 sinq - cosq
17
= - .
13
故选：C.
7．（2024·山东青岛·三模）为了得到 y = sin2x + cos2x 的图象，只要把 y = 2cos2x 的图象上所有的点
（ ）
A π π．向右平行移动 8 个单位长度 B．向左平行移动 8 个单位长度
π π
C．向右平行移动 个单位长度 D．向左平行移动 个单位长度
4 4
【答案】A
【分析】利用诱导公式统一函数名，再根据函数 y = Asin wx +j 的图象变换规律，得出结论．
π
【详解】 y = sin2x + cos2x = 2sin 2x + ÷，
è 4
由诱导公式可知： y = 2 cos 2x = 2 sin
2x π+ 2 sin é2 x π ù ÷ = ê +
2 ÷è è 4 ú
又 y = 2sin
2x π+ = 2 sin é2 x π+ ù ÷ ÷
è 4 ê è 8 ú
π π π π
则 - = ，即只需把图象向右平移
4 8 8 8
个单位.
故选：A
f x = sin 2x π- 8．（2024·天津滨海新·三模）已知函数 6 ÷，关于该函数有下列四个说法：è
f x 5π（1）函数 的图象关于点 ,0 ÷中心对称
è 12
π
（2）函数 f x 的图象关于直线 x = - 对称
8
（3）函数 f x 在区间 -π, π 内有 4 个零点
（4）函数 f x é π在区间 ê- ,0
ù
ú 上单调递增 2
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据题意，利用三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
5π 5π π 2π 3
【详解】对于（1），由 f ( ) = sin(2 - ) = sin = 0，
12 12 6 3 2
5π ,0 所以 12 ÷不是函数
f x 的图象的对称中心，所以（1）错误；
è
π π π 5π
对于（2）中，由 f (- ) = sin(-2 - ) = sin(- ) ±1，
8 8 6 12
π
所以 x = - 不是函数 f x 的图象的对称轴，所以（2）错误；
8
π π kπ
对于（3）中，令 2x - = kπ,k Z，可得 x = + ,k Z ，
6 12 2
x π k 1 x 7π 5π当 k = 0时，可得 = ；当 = 时，可得 = ；当 k = -1时，可得 x = - ；
12 12 12
11π
当 k = -2 时，可得 x = - ，所以在 -π, π 内，函数 f x 有 4 个零点，所以（3）正确；
12
é π
对于（4）中，由 x ê- ,0
ù π é 7π π ù
2 ú
，可得 2x - ê- , - ú，此时函数 f x 不是单调函数，所以（4）错误.6 6 6
故选：A.
1
9．（2024·河北石家庄·三模）已知角a , b 满足 tana = , 2sinb = cos a + b sina ，则 tanb =（
3 ）
1 1 1
A． B． C． D．2
3 6 7
【答案】C
【分析】借助 b = a + b -a 对已知化简，可求出 tan a + b 的值，再由 tanb = tan a + b -a 可解.
【详解】因为 2sinb = cos a + b sina ，即 2sin é a + b -a ù = cos a + b sina ，
所以 2sin a + b cosa - 2cos a + b sina = cos a + b sina ，
整理得 2sin a + b cosa = 3cos a + b sina tan a b 3 tana 1，变形得 + = = ，
2 2
tan tan tan a + b - tana 1所以 b = é a + b -a ù = =1+ tan a + b tana 7 .
故选：C
10．（2024·重庆·三模）已知函数 f (x) = Asin(wx
p p
+j) A > 0,w > 0, - < j <
÷的部分图像如图所示，若
è 2 2
5p
f (q ) 1= ，则 f
3
2q +
3 ÷
= （ ）
è
2 7 7
A 2．- B． C．- D．
9 9 9 9
【答案】D
【分析】先由图像以及题意求出 f (x) 的解析式，从而得 f q = sin 1 π q + ÷ ，
è 2 3
f 5π é 1 π π ù 2q + ÷ = sin ê2 q + ÷ + ú ，进而依据它们的角的关系结合三角恒等变换公式即可求解.è 3 è 2 3 2
3 π π π
【详解】由图可知 A =1, f 0 = sinj = ，由- < j < 可知j = ，
2 2 2 3
故 f (x) = sin(wx
p 4p p
+ )，又由图 sin( w + ) = 0 ，
3 3 3
4p p 3 1
故由图 w + = 2kp + p,k Z， w = k + , k Z ①，
3 3 2 2
4π 0 T由图 - < ， T
2π 8π 3
= > w< ②，
3 2 w 3 4
1 1 p
又w > 0，结合①②可得w = ，故 f (x) = sin( x + )，
2 2 3
所以 f q = sin 1 q
π
+
1
÷ = .
è 2 3 3
f 2q 5π sin é2 1 q π π ù é 1 π ù+ 2 1 π 2 7故 ÷ = ê + ÷ + ú = cos ê2 q + =1- 2sin q + =1- = .è 3 è 2 3 2 è 2 3
÷
ú
è 2 3
÷
9 9
故选：D.
π
11．（2024·安徽合肥·三模）已知2sina = 1+ 2 3cosa ，则 sin 2a - 6 ÷
=（ ）
è
1
A．- B．-
7 3 7
C． D．
8 8 4 8
【答案】D
【分析】先由辅助角公式得 sin a
π 1
-
÷ = ，再利用诱导公式和余弦二倍角公式即可求解.
è 3 4
1 3
【详解】由2sina = 1+ 2 3cosa 得4 sina - cosa = 1 sin
a π- 1÷÷ ，即2 2 ÷
= ，
è è 3 4
sin 2a π sin é π- = + 2 π ù π 2 π 7所以 6 ÷ ê 2
a - ÷ = cos 2 a - ÷ =1- 2sin a - ÷ = ，
è è 3
ú
è 2 è 3 8
故选：D
2sin a π cos a π tan a π 12．（2024·江西九江·三模）若 + ÷ = -3 3 ÷
，则 - =（ ）
è è è 6 ÷
A．-4 - 3 B．-4 + 3 C． 4 - 3 D． 4 + 3
【答案】C
π 2sin b π cos b π 【分析】设 b = a - ，则原等式可化为 + ÷ = - ÷，化简后求出 tan b 即可.6 è 2 è 6
π π
【详解】令 b = a - ，则a = b + ，
6 6
所以由 2sin a
π
+
π
3 ÷
= cos a - ÷，
è è 3
π π
得 2sin b + ÷ = cos b - ÷，
è 2 è 6
2cosb 3 1即 = cosb + sinb ，
2 2
即 sinb = 4 - 3 cosb ，得 tanb = 4 - 3 ，
所以 tan
π
a -
÷ = tanb = 4 - 3，
è 6
故选：C.
π
13．（2024·江苏宿迁·三模）已知函数 f (x) = cos x + cos(x - ) +1，则下列结论正确的是（
3 ）
[ π πA． - , ]是 f x 的一个单调增区间
2 4
π
B． - ,0
f x
3 ÷ 是 的一个对称中心è
C． f x 在[ 2π- ,0] 1 5上值域为 [- , ]
3 2 2
5π
D．将 f x 的图象向右平移 个单位，再向下平移一个单位后所得图象的函数解析式为 y = 3 cos x
6
【答案】C
f x 3 sin(x π【分析】化简函数由函数 = + ) +1，结合三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换，
3
即可求解.
π 1 3
【详解】由函数 f (x) = cos x + cos(x - ) +1 = cos x + cos x + sin x +1
3 2 2
3 cos x 3= + sin x +1 = 3 sin(x π+ ) +1，
2 2 3
π π
对于 A 中，当 x [- , ] x
π [ π，可得 + - ,
7π]，此时函数 f x 不是单调函数，所以 A 错误；
2 4 3 6 12
π
对于 B 中，由 f (- ) = 3 sin(
π π π
- + ) +1 =1，所以函数 f x 的一个对称中心为 (- ,1)，所以 B 不正确；
3 3 3 3
2π π π π
对于 C 中，由 x [- ,0]，可得 x + [- , ] 3，所以
3 3 3 3 - sin(x
π) 3+ ，
2 3 2
1
所以- 3 sin(x
π
+ ) +1 5 1 ，即- f x 5 ，所以 C 正确；
2 3 2 2 2
5π 5π π
对于 D 中，将 f x 的图象向右平移 个单位，得到 y = 3sin(x- + )+1= - 3cosx+1，
6 6 3
再向下平移一个单位后所得图象的函数解析式为 y = - 3 cos x，所以 D 错误.
故选：C.
π
14．（2024·黑龙江·三模）已知函数 f x = cos wx - ÷ (w > 0)在区间 0,2π 内恰有 3 条对称轴，则w 的取
è 4
值范围是（ ）
é7 ,15ù é5 9 5 13ù 9 13A． ê ú B ,
é
．
8 8 ê8 8 ÷
C． , ú D． è 8 8 ê
,
8 8 ÷
【答案】D
π π
【分析】根据条件得到- wx - 2wπ
π
- ，利用 y = cos x的图象与性质，再结合条件，即可求出结果.
4 4 4
π π π
【详解】因为0≤ x≤ 2π ，所以- wx - 2wπ - ，
4 4 4
π
又函数 f x = cos wx - ÷ (w > 0)在区间 0,2π 恰有 3 条对称轴，
è 4
所以 2π 2wπ
π 9
- < 3π ，解得 w
13
< ，
4 8 8
故选：D.
15．（2024·河北·三模）已知函数 f x = sinwx - coswx w > 0, x R π , 3π 在区间 2 2 ÷内没有零点，则 f x 周è
期的最小值是（ ）
12π
A．12π B． 2π C． D．4π
5
【答案】C
【分析】先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的零点求出零点的表达式，结合已知条件，求出w
的最大值，从而可求周期的最小值．
【详解】 f x = sinwx - coswx = 2 sin wx
π
- ，
è 4 ÷
f (x) π= 0 wx - = kπ kπ
π
+
令 得 ，所以
4 x = 4
， k Z，
w
f (x) ( π 3π因为 在区间 , )内没有零点，
2 2
kπ π+ kπ 5π+ 1 2 5
所以，只需 4 π 且 4 3π ，解得 2k + w k + ，
w 2 w 2 2 3 6
1 w 5 k 1 3 w 1令 k = 0得 ， = - 得- ，
2 6 2 6
1 1 5
因为w > 0 ù é ù，所以w 的取值范围 0,
è 6 ú
ê , ú ， 2 6
2π 12π
=
所以 f x 周期的最小值是 5 5 ，
6
故选：C ．
二、多选题
π π16 ．（2024·山东威海·二模）已知函数 f x = sin x +2 6 ÷ ，则（ ）è
A． f x 在 0,1 上单调递减
B．将 y = f x 2图象上的所有点向左平移 3 个单位长度后得到的曲线关于 y 轴对称
C． f x 在 -1,2 上有两个零点
2024 1
D． f i =
i=0 2
【答案】BCD
2
【分析】由 f ÷ =1可知 f x
2
的图象关于 x = 对称，可判断 AB；整体代入法求出函数零点即可判断 C；
è 3 3
求出 f 0 , f 1 , f 2 , f 3 ，结合周期可判断 D.
2 π 2 π π
【详解】对于 A，因为 f ÷ = sin + ÷ = sin =1，
è 3 è 2 3 6 2
所以 f x 2的图象关于 x = 对称，所以 f x 在 0,1 上不单调，A 错误；
3
2
对于 B，由上知， f x 的图象关于 x = 对称，
3
所以 f x 2的图象向左平移 3 个单位长度后得到的曲线关于 y 轴对称，B 正确；
π π 1
对于 C，由 x + = kπ 得函数 f x 的零点为 x = 2k - , k Z ，
2 6 3
1 2k 1 2 1 k 7令- < - < ，解得- < < ，
3 3 6
所以 k = 0,1，即 f x 在 -1,2 上有两个零点，C 正确；
π 1 π π π 3
对于 D，因为 f 0 = sin = , f 1 = sin + ÷ = cos = ，6 2 è 2 6 6 2
f 2 sin π π π 1= + 3π π π 3 ÷ = -sin = - ， f 3 = sin + ÷ = -cos = - ，è 6 6 2 è 2 6 6 2
所以 f 0 + f 1 + f 2 + f 3 = 0
2π
因为 f x T = = 4的最小值周期 π ，
2
2024
所以 f i = 506 1é f 0 + f 1 + f 2 + f 3 ù + f 2024 = f 0 = ，D 正确.
i=0 2
故选：BCD
17．（2024·云南昆明·三模）已知函数 f x = sin wx
π π
+ ÷ w > 0 3 的最小正周期大于 ，若曲线 y = f x 关于点è 2
π
,03 ÷中心对称，则下列说法正确的是（ ）è
A f π 3
π
． ÷ = - B． y = f x +
是偶函数
è 2
÷
2 è 12
π π
C． x = 是函数 f x 的一个极值点 D． f x 在 0, 3 ÷单调递增12 è
【答案】ABC
π π ,0 f x = sin π 【分析】由最小正周期大于 ，关于点 3 ÷中心对称，可知 2x + ÷，对于A ，直接代入函数2 è è 3
解析式求解即可；对于B，利用函数奇偶性的定义判断即可；对于C ，通过求导，令导函数为 0 ，求得 x 的
π
值，并判断 x = 左右两端函数的单调性即可判断；对于D ，通过求函数的单调递增区间即可求解.
12
【详解】因为 f x = sin wx
π
+ w > 0 π的最小正周期大于 ，
è 3 ÷ 2
2π π
所以 > ，即0 < w < 4，
w 2
π
又 y = f x 关于点 ,03 ÷中心对称， è
π π
所以 w + = kπ k Z ，
3 3
所以w = -1+ 3k ，因为0 < w < 4，所以当 k =1时，w = 2，
所以 f x = sin 2x
π
+
3 ÷
，
è
π
对于A ， f ÷ = sin
2 π π π 3 +
= -sin = - ，故A 正确；
è 2 è 2 3 ÷ 3 2
f x π sin é2 x π π ù π 对于B， + ÷ = ê + ÷ + = sin 2x + = cos 2x ，è 12 ÷ è 12 3
ú
è 2
由 cos π-2x = cos 2x 且 x 是全体实数，所以 y = f x +
è 12 ÷
是偶函数，故B正确；
对于C ， f x = 2cos 2x
π
+ ÷，令 f x = 0
π
得 x = + kπ ， k Z，
è 3 12
x 5π当 - ,
π
÷ 时， f x > 0， f x 12 12 单调递增，è
当 x
π 7π
, ÷时， f x < 0， f x 单调递减，
è12 12
x π所以 = 是函数 f x 的极大值点，故C 正确；
12
π π π
对于D ， 由- + 2kπ 2x + + 2kπ ， k Z，
2 3 2
5π π
得- + kπ x + kπ ，
12 12
é 5π
函数的单调递增区间为 ê- + kπ,
π
+ kπùú， k Z， 12 12
é 5π π ù
当 k = 0时， x - ,
ê 12 12 ú
，
7π 13π
当 k 1 x é , ù= 时，
ê12 12 ú
，
π
显然函数在 0, ÷上不单调，故D 不正确.
è 3
故选：ABC .
18．（2024·湖南长沙·三模）已知函数 f x = 3sin wx
π
+ ÷ ,w > 0，则下列说法正确的是（3 ）è
A． f x 的最大值为 2
B．函数 f x 1 π的图象关于直线 x =
w
kπ + ÷ k Z 对称
è 6
3 2kπ 6k +1 π
C．不等式 f x > 的解集为 , ÷ k Z 2 è w 3w
D f x é π- , π ù w 1ù．若 在区间 ê ú上单调递增，则 的取值范围是 0, 2 2 è 3ú
【答案】BCD
π
【分析】对于 A，由正弦函数的性质直接求解，对于 B，由wx + = kπ
π
+ , k Z ，可求出对称轴方程判断，
3 2
C sin π 3
π π π
对于 ，由 wx + ÷ > 求解即可，对于 D，先由 2kπ - wx + 2kπ + 求出 f x 的递增区间，再
è 3 2 2 3 2
é π π ù
由 ê- , ú为函数增区间的子集可求出w 的取值范围. 2 2
【详解】对于 A， f x 的最大值为 3，故 A 错误；
π π 1
对于 B，令wx + = kπ + , k Z ，得 x = kπ
π
+ ,k Z，
3 2 w ֏ 6
f x x 1 kπ π所以函数 的图象关于直线 = +
w 6 ÷
k Z 对称，故 B 正确；
è
3 π 3 π π 2π
对于 C，不等式 f x > 可化为 sin wx + ÷ > ，则 2kπ + < wx + < 2kπ + ,k Z ，解得2 è 3 2 3 3 3
2kπ 6k +1 π
< x < ,k Z，
w 3w
2kπ 6k +1 π
因此原不等式的解集为 , ÷ k Z ，故 C 正确；
è w 3w
π π π 2kπ 5π π
对于 D，由 2kπ - wx + 2kπ + - 2kπ +， k Z ，解得 .
2 3 2 6 x 6 ,k Zw w
f x é π π ù é π π ù é 5π π ù因为 在区间
ê
- ,
2 2 ú
上单调递增，所以 ê- , - , ， 2 2 ú ê 6w 6w ú
ì 5π π
- -
6w 2
π π 1
所以 í ，解得0 < w ，故 D 正确.
6w 2 3
w > 0
故选：BCD
19．（2024·湖南衡阳·三模）已知函数 f (x) = A tan(wx +j)
w 0, j π > < ÷的部分图象如图所示，则下列说法
è 2
正确的是（ ）
A．函数 f (x)
π
的最小正周期为
2
B sinj 2． =
2
π
C．函数 f (x)
在 , π
÷上单调递增
è 2
D．方程 f (x) = sin
2x π +
÷ (0 x π)
3π 7π
的解为 ，
è 4 8 8
【答案】ABD
【分析】根据给定的函数图象，求出周期及w 、j 、A ，进而求出解析式，再根据正切函数的性质逐项判
断即可.
7π 5π π
【详解】对于 A，由图可知，函数 f (x) 的最小正周期为T = 2 - ÷ = ，故 A 正确；
è 8 8 2
w π π= = = 2
对于 B，由 T π ，所以 f (x) = A tan(2x +j )，
2
f 7π A tan 7π= +j = 0 7π因为 ÷ ÷ ，则 +j = kπ k Z ，则j
7π
= kπ - k Z ，
è 8 è 4 4 4
π π 2
因为 |j |< ，则j =2 B4 ，所以 sinj = ，故 正确；2
对于 C， f (x) = A tan
2x π+ π 5π π 9π ÷ ，由 < x < π ，得 < 2x + < ，
è 4 2 4 4 4
π 3π 5π 5π 3π
而 2x + = ，即 x = 时， f ÷ = A tan ÷没有意义，故 C 错误；4 2 8 è 8 è 2
对于 D， f (0) = A tan
π
= A =1 ，则 f (x) = tan 2x
π
+ ÷，4 è 4
方程 f (x) = sin
π π π
2x + ÷，得 tan 2x + = sin 2x + ，
è 4 4 ÷ 4 ÷ è è
sin 2x
π
+
è 4 ÷ sin 2x π π é π ù即 - +
÷ = 0
π ，即
sin 2x + ÷ 1- cos 2x + ÷ = 0，
cos è 4 è 4
ê
è 4
ú
2x + 4 ֏
所以 sin
2x
π
+
π
÷ = 0
或 cos 2x + ÷ =1
π π 9π
，因为0 x π ， 2x + ，
è 4 è 4 4 4 4
所以 2x
π
+ = π 或 2x
π 3π 7π
+ = 2π，解得 x = 或 ，故 D 正确.
4 4 8 8
故选：ABD.
20．（2024·河南·三模）已知函数 f x = cos2wx - 3sin2wx +1(w > 0)的最小正周期为 π，则下列说法正确
的有（ ）
A． f x 的图象可由 y = 2cos4x的图象平移得到
B． f x é π π ù在 ê- ,- ú 上单调递增 3 6
C． f x π图象的一个对称中心为 ,0
12 ֏
D． f x π图象的一条对称轴为直线 x = 3
【答案】BD
π
【分析】先由辅助角公式和周期公式计算得到 f x = 2cos 2x + ÷ +1，由图象平移的性质可得 A 错误；由
è 3
π
整体代入结合余弦函数的单调性可得 B 正确；代入 f ÷可得 C 错误；整体代入结合余弦函数对称轴的性
è12
质可得 D 正确；
【详解】 f x = cos2wx - 3sin2wx 1 π+ = 2cos 2wx + ÷ +1，
è 3
2π
因为最小正周期为 π，所以 = π w=1，
2w
所以 f x = 2cos 2x
π
+ ÷ +1，
è 3
A：由以上解析式可得 f x 的图象不可由 y = 2cos4x的图象平移得到，故 A 错误；
é π π ù π πB：当 x ê- ,- ú 时， 2x +
é ù
3 6 3 ê
- ,0 ，
3 ú
é π π ù
由余弦函数的单调性可得 f x 在 ê- ,- ú 上单调递增，故 B 正确； 3 6
f π C： = 2cos
2 π π + +1 =1 0，故 C 错误；
è12 ÷ è 12 3 ÷
D x π
π
：当 = 时， 2x + = π ，此时 f x = -13 为最小值，3
所以 f x π图象的一条对称轴为直线 x = 3 ，故 D 正确；
故选：BD.
21．（2024·广西钦州·三模）已知函数 f x = sin x +1 ，则下列命题正确的是（ ）
A． f x 的最小正周期为 2π
B． f x 的图象关于直线 x=-1对称
C．若 f x0 =1，则 f 2 x0 = 2
D．将 f x 的图象往右平移 1 个单位长度后可以得到函数 y = sinx的图象
【答案】AD
【分析】对于 A，利用周期公式直接计算判断，对于 B，将 x=-1代入函数验证，对于 C，由 f x0 =1求出
x0 ，再将 2x0代入函数计算，对于 D，根据三角函数图象变换规律分析判断.
【详解】对于 A， f x 的最小正周期为 2π,A 正确.
对于 B，因为 f -1 = 0 ±1，所以 f x 的图象不关于直线 x=-1对称，B错误.
对于 C，由 f x0 = sin x0 +1 =1
π
，得 x0 = -1+ 2kπ, k Z ，2
所以 f 2x0 = sin 2x0 +1 = sin π -1+ 4kπ = sin1，C 错误.
对于 D，将 f x 的图象往右平移 1 个单位长度后可以得到函数 y = sinx的图象，D 正确.
故选：AD
22 sin x cos x．（2024·河北秦皇岛·三模）已知函数 f x = 2 ，则（ ）
A． f x 是偶函数； B． f x 是周期为 π的周期函数；
C． f x é在 êπ,
5π ù
ú上单调递增； D． f x
2
4 的最小值为
.
2
【答案】AD
【分析】利用偶函数的定义可判定 A，利用周期的定义可判定 B，利用复合函数的单调性可判定 C，根据
周期性及单调性可判定 D.
f -x = 2 sin - x cos - x = 2 sin x cos x【详解】因为 = f x ，所以 f x 是偶函数，故 A 正确；
f x + π = 2 sin x+π cos x+π = 2- sin x cos x易知 f x ，故 B 错误；
1
当 x
éπ, 5π ù sin x cos x - sin 2x时，
ê 4 ú f x = 2 = 2
-sin xcos x = 2 2 ，
2x é2π, 5π 5π因为
ù 1 é ù
ê ú ，所以 y = - sin 2x 在 êπ, 上单调递减， 2 2 4 ú
5π
又 y
é ù
= 2x 单调递增，所以 f x 在 êπ, ú 上单调递减，故 C 错误； 4
易知 f x + 2π = f x ，所以 f x 是周期为 2π的周期函数，
ì 1 sin 2x
2
x 0,2π f x = 2 sin x cos x
2 , x 0, π
当 时， = í 1 ，
- sin 2x2
2 , x π,2π
x 0, π 1 sin 2x é 1 - , 1 ù x π,2π 1- sin 2x 1 é- , 1 ù显然 时 ê ú， 时2 2 2 2 ê ú ， 2 2
1
则 f x - 2的最小值为 2 2 = ，故 D 正确.
2
故选：AD
π π
23．（2024·安徽芜湖·三模）已知 g x = 2sin wx + 12 ÷cos wx + ÷ w > 0 ，下面结论正确的是（12 ）è è
A．w =1时， g x é π- , π ù在 ê 上单调递增 6 4 ú
B．若 g x1 =1, g x2 = -1，且 x1 - x2 的最小值为 π，则w =1
g x 0,2π w é 41 47 C．若 在 上恰有 7 个零点，则 的取值范围是 ê ,24 24 ÷
D．存在w 1,3 ，使得 g x π的图象向右平移 个单位长度后得到的图象关于 y 轴对称
6
【答案】CD
【分析】利用把相位看成一个整体，通过正弦函数的性质，可以做出各选项的判断.
【详解】对于 A， g x π π π= 2sin x + ÷cos x + ÷ =sin 2x + ÷，
è 12 è 12 è 6
x é π π- , ù π π 2π当 ê ú时， t = 2x +
é
ê- ,
ù
ú， 6 4 6 6 3
而 y = sin t t
é π
在 ê- ,
2π ù
ú 不单调，故 A 是错误的； 6 3
π
对于 B， g x = sin 2wx + ÷，由 x1 - x2 的最小值为 π，
è 6
2π 1
则函数周期为 2π，所以 =2π，w > 0，解得w = ，故 B 是错误的；
2w 2
对于 C， g x = sin 2wx
π
+ ÷在 0,2π 上恰有 7 个零点，结合正弦曲线可知，
è 6
41 47
2w 2π π+ 7π,8π é ，解得：w ê ,6 24 24 ÷，故 C 是正确的；
g x = sin 对于 D，由 2wx
π
+ π÷的图象向右平移 个单位长度后得到：
è 6 6
g x = sin 2wx
wπ π
- + y wπ π π÷，由它关于 轴对称，可知：- + = + kπ ，
è 3 6 3 6 2
解得：w = -1- 3k,k Z ，当w 1,3 时，w = 2，故 D 是正确的；
故选：CD.
三、填空题
6cosa
24．（2024·全国·二模）已知 tana = ，则 cos2a = .
7 - sina
7
【答案】 /0.28
25
【分析】切化弦，然后整理可得 sina ，再利用倍角公式计算即可.
6cosa tana sina【详解】 = = ，
7 - sina cosa
得 7 - sina sina = 6cos2 a = 6 1- sin2 a ，
解得 sina
3
= 或 sina = -2（舍）
5
2
所以 cos2a = 1- 2sin2 a 1
3 7
= - 2 ÷ = .
è 5 25
7
故答案为： .
25
q 0, π 25．（2024·安徽合肥·三模）已知 ÷ , tan
q
π 2
+ ÷ = - tanq ，则 tan 2q = .
è 2 è 4 3
3
【答案】-
4
1
【分析】利用两角和差的正切公式计算 tanq = - ，再使用二倍角的正切公式即可.
2
tan π 2【详解】由 q +
÷ = - tanq ，
è 4 3
且q (0,
π)
2 ，
tanq +1 2
得 = - tanq ，
1- tanq 3
整理得 2tan2 q - 5tanq - 3 = 0 ，
解得 tanq
1
= - （舍）或 tanq = 3，
2
所以 tan 2q
2 tanq 2 3 3
= = = - ．
1- tan2 q 1- 32 4
3
故答案为：- .
4
π 1 π
26．（2023·
黑龙江佳木斯·三模）已知 sin q + ÷ = ，q , π ÷，则 cosq = ．
è 4 4 è 2
2 - 30
【答案】
8
【分析】根据 cosq = cos
é q π π ùê + ÷ - ú 结合两角差的余弦公式即可得解.
è 4 4
【详解】因为q
π , π q π+ 3π , 5π ，所以 ，
è 2 ÷ 4 ÷è 4 4
π 1
又 sin q + ÷ = ，所以 cos
q
π 15
+ ÷ = - ，è 4 4 è 4 4
cosq é= cos q π π ù 15 2 1 2 2 - 30所以 ê + ÷ - = - + = .
è 4 4 ú 4 2 4 2 8
2 - 30
故答案为： .
8
27．（2024·黑龙江·三模）已知 cos a - b 1= ,sinasinb 1= ，则 cos 2a + 2b = .
2 3
17 -17
【答案】- /
18 18
1
【分析】已知 cos a - b = ,sinasinb 1 1= ，由两角和的余弦公式求得 cosacosb = ，再由两角和的余弦公
2 3 6
式求 cos a + b ，倍角公式求 cos 2a + 2b .
cos a b cosacosb sinasinb 1 sinasinb 1 1【详解】因为 - = + = ，而 = ，因此 cosacosb = ，
2 3 6
则 cos a + b = cosacosb sinasinb 1 1 1- = - = - ，
6 3 6
所以 cos 2a + 2b = 2cos2 a + b 1 1- = -1 17= - .
18 18
17
故答案为：- .
18
0 θ π tan 2θ tan(θ π) 4 cos 2θ28．（2024·江西宜春·三模）已知 < < ，且 + = ，则 = ．
4 4 1- sin 2θ
【答案】3
【分析】先结合二倍角的正切与两角和的正切公式及角θ 的取值范围，得到 tanθ，再利用倍角公式把
cos 2θ
转化为齐次式求解.
1- sin 2θ
π 2 tan θ tan θ +1
【详解】由 tan 2θ tan(θ + ) = 4，得 2 = 4，4 1- tan θ 1- tan θ
π 1
即 2 tan2 θ - 5 tan θ + 2 = 0，又0 < θ < ，所以 tan θ = ，4 2
1
cos 2θ cos2 θ - sin2 θ (cosθ + sin θ)(cosθ - sin θ) cosθ + sin θ 1+ tan θ 1+
从而 = = = = = 2 = 3．
1- sin 2θ sin2 θ + cos2 θ - 2sin θ cosθ (cosθ - sin θ)2 cosθ - sin θ 1- tan θ 1 1-
2
故答案为：3
29．（2024·北京·三模）已知函数 f (x) = sin(wπx +j)(w > 0,0 < j π) ，若 f (x) 是偶函数，则j = ；
若圆面 x2 + y2 2 恰好覆盖 f (x) 图象的最高点或最低点共 3 个，则w 的取值范围是 .
π
【答案】 1,2
2
π
【分析】根据偶函数的对称性分析可知j = kπ + ,k Z，即可得结果；结合对称性可知圆面在 y 轴右侧仅
2
覆盖 1 个 f (x) 图象的最高点或最低点，结合周期性列式求解.
【详解】因为 f (x)
π
是偶函数，则j = kπ + ,k Z，
2
π
且0 < j π，所以 k = 0,j = ；
2
π
可得 f (x) = sin wπx + ÷ = coswπx ，设 f (x) 的最小正周期为T ，
è 2
因为 f (x) 和 x2 + y2 2 均关于 y 轴对称，
可知圆面在 y 轴右侧仅覆盖 f (x) 图象的 1 个最低点，
对于 x2 + y2 = 2，令 y = ±1，解得 x =1（不妨只考虑 y 轴右侧，舍负）；
ìT
1
可得 í 2 ，解得1< T 2 ，
T >1
2π
且w > 0，则1 < 2，解得1 w < 2，
wπ
所以w 的取值范围是 1,2 ，
π
故答案为： ； 1,2 .
2
x 1= f (x) = sin(3πx
π
+j) 0 < j < 30．（2024·河北衡水·三模）已知 是函数 ÷ 的一条对称轴， f (x) 在区间12 è 2
(-t, t)(t > 0) 内恰好存在 3 个对称中心，则 t 的取值范围为 ．
5 7
【答案】 ( , ]
12 12
π
【分析】根据函数的对称轴求出j = ，求出函数在原点附近的对称中心，由题意列不等式，即可求得答案.
4
1
【详解】由题意知 x = 是函数 f (x) = sin(3πx +j)
π
12
0 < j < ÷ 的一条对称轴，
è 2
3π j π故 + = + kπ(k
π π
Z)，解得j = + kπ ， k Z π，因为 0 < j < 2 ，故j = ，12 2 4 4
故 f (x) = sin
3πx
π
+ π 1 k÷，令3πx + = kπ(k Z )，解得 x = - + ，
è 4 4 12 3
3 5
原点附近的 6 个对称中心分别为 - ,0÷ , - ,0
, 1- ,0 , 1 ,0 , 7 ,0 , 11 ,0 ，
è 4 12 ÷ 12 ÷ ÷ ÷ ÷ è è è 4 è12 è12
1 1
若 3 个对称中心恰好是 - ,0÷ , ,0
÷ ,
7 ,0 ÷，
è 12 è 4 è12
ì 5 1
- -t < - 12 12
则 í 7 11 ，则 t 不存在，不合题意； < t
12 12
5 1 1
若 3 个对称中心恰好是 - ,0÷ , - ,0÷ , ,0÷，
è 12 è 12 è 4
ì 3 t 5 - - < - 4 12 5 7
则 í < t
1 t 7
，则 ；
< 12 12
4 12
5 7
故当 < t 时，符合题意．
12 12
( 5 7故 t 的取值范围为 , ]，
12 12
5 7
故答案为： ( , ]
12 12
1
31．（2024·安徽合肥·三模）已知函数 f x = 3sinwxcoswx + cos2wx + (w > 0) 在区间 0,π 上只有一个零点
2
和两个最大值点，则w 的取值范围是 ．
7 5ù
【答案】 ,
è 6 3 ú
π
【分析】先将 f x 化简为 sin 2wx + ÷ +1，再根据 f x 在区间 0, π 上只有一个零点和两个最大值点，结
è 6
合正弦型三角函数的处理办法求出w 的取值范围.
2
【详解】 f x = 3 sinwx coswx + cos wx 1+
2
3 1 sin 2wx π = sin 2wx + cos2wx +1 = + ÷ +1，
2 2 è 6
由 x 0, π 2wx π π，w > 0 + é，得 ê , 2πw
π
+ ÷，6 6 6
f x = 0 sin 时， 2wx
π
+ ÷ = -1， f x 最大时， sin
2wx π+
6 6 ÷
也最大，
è è
若 f x 在区间 0, π 上只有一个零点和两个最大值点，
5π
则只需 < 2πw
π 7π 7 5
+ ，解得 < w ．
2 6 2 6 3
7 5ù
故答案为： , .
è 6 3 ú
32．（2024·江西九江·三模）已知函数 f x = sin wx
π
- ÷ (w > 0) 在区间 0, π 上有且仅有三个零点，则w 的
è 4
取值范围是 .
9 13ù
【答案】 ,
è 4 4 ú
【分析】令 t = wx
π
- ，然后由 x 的范围求出 t 的范围，再结合正弦函数 y = sint的性质可求出w 的取值范围
4
π
【详解】令 t = wx - ，Q x 0, π ，\t π- ,wπ π-
4 4 4 ÷
，
è
问题转化为函数 y = sint
π
在区间 - ,wπ
π
- ÷上有且仅有三个零点，
è 4 4
\2π < wπ π- 3π 9，解得 < w
13
.
4 4 4
9 ,13ù故答案为：
è 4 4 ú
π 3
33．（2024·湖北荆州·三模）设0 < a < b < ， tana = m tan b ， cos a - b = ，若满足条件的a 与b 存在
2 5
且唯一，则m = ， tana tan b = .
1
【答案】 1
9
【分析】由 tana = m tan b 得到 sina cos b = mcosa sin b ，再结合 cos a 3- b = ，利用 sin a 4- b = - ，得
5 5
到 cosa sin b
4
= - ， sina cos b
4m -4 m +1= -
5 m -1 5 m -1 ，从而 sin a + b = a b5 m 1 ，再由满足条件的 与 存-
-4 m +1
sin a b 在且唯一，得到a + b 唯一，从而 + = =15 m -1 ，求得 m 即可.
sina msin b
【详解】解：由 tana = m tan b ，得 = sina cos b = mcosa sin bcosa cos b ，即 ，
0 a b π因为 < < < ， tana = m tan b
π
，所以- < a - b < 0，0 < m <1，
2 2
3
又 cos a - b = ，所以 sin a - b < 0，
5
从而 sin a - b = sina cos b - cosa sin b = m -1 cosa sin b 4= - ，
5
4
所以 cosa sin b = - 5 m -1 ，
所以 sina cos b = mcosa sin b
4m
= -
5 m -1 ，
-4 m +1
所以 sin a + b = sina cos b + cosa sin b = 5 m -1 ，
a , b 0, π 因为 ÷，所以a + b 0, π ，
è 2
因为满足条件的a 与b 存在且唯一，所以a + b 唯一，
-4 m +1
所以 sin a + b = =1 m 1 =5 m 1 ，所以 ，经检验符合题意，- 9
tana 1所以 = tan b ，
9
tan a b 4 tana - tan b tana - 9 tana则 - = - = =3 1+ tana tan b 1+ 9 tan2 a ，
解得 tana
1
= ，
3
所以 tana tan b = 9 tan2 a =1.
1
故答案为： ，1
9
-4 m +1
【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出 sin a + b = =1 m5 m -1 ，求出 ，由此即可顺利得解.专题 04 三角函数
命题解读 考向 考查统计
高考对三角函数的考查，基础方面是掌 2022·新高考Ⅰ卷，6
握三角函数的定义、同角三角函数关系 2023·新高考Ⅰ卷，15
式和诱导公式。重点是三角恒等变换和 2024·新高考Ⅰ卷，7
三角函数的图像与性质
三角函数的图像、周期性、单调性、奇 2022·新高考Ⅱ卷，9
偶性、对称性、最值等。三角恒等变换 2023·新高考Ⅱ卷，16
位于三角函数与数学变换的结合点上， 2024·新高考Ⅱ卷，9
高考会侧重综合推理能力和运算能力
的考查，体现三角恒等变换的工具性作
2023·新高考Ⅰ卷，8
用，以及会有一些它们在数学中的应
2024·新高考Ⅰ卷，4
用。这需要同学熟练运用公式，进一步
三角恒等变换 2022·新高考Ⅱ卷，6
提高运用联系转化的观点去处理问题
2023·新高考Ⅱ卷，7
的自觉性，体会一般与特殊的思想、换
2024·新高考Ⅱ卷，13
元的思想、方程的思想等数学思想在三
角恒等变换中的作用。
命题分析
2024 年高考新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷都考查到了三角函数的图像与性质及三角恒等变换。其中Ⅰ卷、Ⅱ卷的三角
恒等变换都结合了两角和差的公式，属于常规题型，难度一般。Ⅰ卷在考查三角函数的图像与性质时，结合
了具体函数图像的画法，Ⅱ卷则是考查了零点、对称性、最值、周期性等基本性质。三角函数的考查应关注：
同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角差角公式、三角函数的图象与性质、应用三角公式进行化简、
求值和恒等变形及恒等证明。预计 2025 年高考还是主要考查三角恒等变换中的倍角公式、和差公式、辅助
角公式及图像与性质中的对称性和零点问题。
试题精讲
一、单选题
1．（2024 新高考Ⅰ卷·4）已知 cos(a + b ) = m, tana tan b = 2，则 cos(a - b ) =（ ）
m
A 3m B - C m．- ． ． D．3m
3 3
p
2．（2024 新高考Ⅰ卷·7）当 x [0, 2p ]时，曲线 y = sin x 与 y = 2sin 3x - ÷的交点个数为（6 ）è
A．3 B．4 C．6 D．8
二、多选题
3．（2024 新高考Ⅱ卷·9）对于函数 f (x) = sin 2x 和 g(x) = sin(2x
π
- )，下列说法正确的有（ ）
4
A． f (x) 与 g(x)有相同的零点 B． f (x) 与 g(x)有相同的最大值
C． f (x) 与 g(x)有相同的最小正周期 D． f (x) 与 g(x)的图像有相同的对称轴
三、填空题
4．（2024 新高考Ⅱ卷·13）已知a 为第一象限角， b 为第三象限角， tana + tan b = 4 ， tana tan b = 2 +1，
则 sin(a + b ) = .
一、单选题
p
1．（2022 新高考Ⅰ卷·6）记函数 f (x) = sin wx + ÷ + b(w > 0)
2p
的最小正周期为 T．若 < T < p ，且 y = f (x)
è 4 3
3p p
的图象关于点 , 22 ÷
中心对称，则 f ÷ =2 （ ）è è
3 5
A．1 B． C． D．3
2 2
1 1
2．（2023 新高考Ⅰ卷·8）已知 sin a - b = ,cosa sin b = ，则 cos 2a + 2b =（ ）．
3 6
7 1 1 7
A． B． C．- D．-
9 9 9 9
p
3．（2022 新高考Ⅱ卷·6）若 sin(a + b ) + cos(a + b ) = 2 2 cos a + 4 ÷
sin b ，则（ ）
è
A． tan a - b =1 B． tan a + b =1
C． tan a - b = -1 D． tan a + b = -1
a 1+ 5 sin a4．（2023 新高考Ⅱ卷·7）已知 为锐角， cosa = ，则 = （2 ）．4
A 3- 5 B -1+ 5． ． C 3- 5 D -1+ 5． ．
8 8 4 4
二、多选题
2π
5．（2022 新高考Ⅱ卷·9）已知函数 f (x) = sin(2x +j)(0 < j < π) 的图像关于点 ,0÷ 中心对称，则（3 ）è
5π
A． f (x)
0, 在区间 12 ÷
单调递减
è
π 11π
B． f (x) 在区间 - , 有两个极值点
è 12 12 ÷
7π
C．直线 x = 是曲线 y = f (x) 的对称轴
6
D y 3．直线 = - x 是曲线 y = f (x) 的切线
2
三、填空题
6．（2023 新高考Ⅰ卷·15）已知函数 f x = coswx -1(w > 0)在区间 0,2π 有且仅有 3 个零点，则w 的取值范
围是 ．
1
7．（2023 新高考Ⅱ卷·16）已知函数 f x = sin wx +j ，如图 A，B 是直线 y = 与曲线 y = f x 的两个交
2
AB π点，若 = ，则 f π = ．
6
一、三角函数基本概念
1、弧度制
（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧度．正角的弧
度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0．
（2 p 180 ）角度制和弧度制的互化：180 = p rad ，1 = rad ，1rad = ．
180 p
（3 1 1）扇形的弧长公式： l = a r ，扇形的面积公式： S = lr = a r 2 ．
2 2
2、任意角的三角函数
（1）定义：任意角α y的终边与单位圆交于点 P(x，y) 时，则 sina = y ， cosa = x， tana = (x 0) ．
x
（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点 P P(x，y) 是角α终边上异于顶点的任一点，设点 P 到原点O
r sina y cosa x tana y的距离为 ，则 = ， = ， = (x 0)
r r x
三角函数的性质如下表：
第一象 第二象限 第三象 第四象
三角函数 定义域
限符号 符号 限符号 限符号
sina R ＋ ＋ － －
cosa R ＋ － － ＋
tana {a |a kp p+ ，k Z} ＋ － ＋ －
2
记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
二、同角三角函数基本关系
1、同角三角函数的基本关系
（1）平方关系： sin 2 a + cos2 a = 1．
2 sina（ ）商数关系： = tana (a p + kp )；
cosa 2
三、三角函数诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kp + a (k Z )
p p
p + a -a p -a -a + a
2 2
正弦 sina -sina -sina sina cosa cosa
余弦 cosa -cosa cosa -cosa sina -sina
正切 tana tana - tana - tana
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
p
【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作 n ± a ；（2）
2
p
无论有多大，一律视为锐角，判断 n ± a 所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当 n
2
为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当 n为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．
四、两角和与差的正余弦与正切
① sin(a ± b ) = sina cos b ± cosa sin b ；
② cos(a ± b ) = cosa cos b sina sin b ；
③ tan(a b ) tana ± tan b± = ；
1 tana tan b
五、二倍角公式
① sin 2a = 2sina cosa ；
② cos 2a = cos2 a - sin2 a = 2cos2 a -1 = 1- 2sin2 a ；
③ tan 2a 2 tana= ；
1- tan2 a
六、降次（幂）公式
sina cosa 1= sin 2a ;sin2 a 1- cos 2a= ;cos2 a 1+ cos 2a= ;
2 2 2
知识点四：半角公式
sin a 1- cosa= ± ;cos a 1+ cosa= ± ;
2 2 2 2
tan a sina 1- cosa= = .
2 1+ cosa sin a
七、辅助角公式
asina + bcosa = a2 + b2
b a b
sin(a + j) （其中 sinj = ，cosj = ，tanj = ）．
a2 + b2 a2 + b2 a
八、正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中 k Z ）
函数 y = sin x y = cos x y = tan x
图象
p
定义域 R R {x| x R，x kp + }
2
值域 [-1，1] [-1，1] R
周期性 2p 2p p
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
p p
递增区间 [2kp - ，2kp + ] [-p + 2kp 2kp ] (kp
p p
， - ，kp + )
2 2 2 2
p 3p
递减区间 [2kp + ，2kp + ] [2kp ，p + 2kp ] 无
2 2
对称中心 (kp ，0) (kp
p 0) (kp+ ， ，0)
2 2
p
对称轴方程 x = kp + x = kp 无
2
T T
注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是 ；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是 ；
2 2
T
正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离 ；
4
九、 y = Asin(wx + f) 与 y = Acos(wx + f)(A > 0, w > 0) 的图像与性质
1 2p（ ）最小正周期：T = ．
w
（2）定义域与值域： y = Asin(wx + f) ， y = Acos(wx + f）的定义域为 R，值域为[-A，A]．
（3）最值
假设 A > 0，w > 0 ．
①对于 y = Asin(wx + f) ，
ì wx f p 当 + = + 2kp (k Z)时，函数取得最大值A; 2
í
当wx p+ f = - + 2kp (k Z )时，函数取得最小值 - A;
2
②对于 y = Acos(wx + f），
ì 当wx + f = 2kp (k Z)时，函数取得最大值A;
í
当wx + f = 2kp + p (k Z )时，函数取得最小值 - A;
（4）对称轴与对称中心．
假设 A > 0，w > 0 ．
①对于 y = Asin(wx + f) ，
ì wx f kp p 当 0 + = + (k Z )，即sin(wx2 0
+ f)
í = ±1时，y = sin(wx + f)的对称轴为x = x0
当wx0 + f = kp (k Z )，即sin(wx 0
+ f) = 0
时，y = sin(wx + f)的对称中心为(x0 ,0).
②对于 y = Acos(wx + f），
ì当wx0 + f = kp (k Z )，即cos(wx0 + f) = ±1
时，y = cos(wx + f)的对称轴为x = x 0
í
当wx f kp
p
0 + = + (k Z )，即cos(wx0 + f)
2
= 0时，y = cos(wx + f)的对称中心为(x0 ,0).
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与 x 轴交点的位
置．
（5）单调性．
假设 A > 0，w > 0 ．
①对于 y = Asin(wx + f) ，
ì p p
wx + f [- + 2kp , + 2kp ](k Z ) 增区间； 2 2
í
wx + f [p 3p+ 2kp , + 2kp ](k Z ) 减区间.
2 2
②对于 y = Acos(wx + f），
ìwx + f [-p + 2kp , 2kp ](k Z ) 增区间；
í
wx + f [2kp , 2kp + p ](k Z ) 减区间.
（6）平移与伸缩
由函数 y = sin x 的图像变换为函数 y = 2sin(2x p+ ) + 3的图像的步骤；
3
(x x p方法一： + 2x p+ ) ．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”
2 3
（相一期一幅）三角函数图像，使之变形．
p 1
向左平移 个单位 所有点的横坐标变为原来的
y = sin x p的图像 3 y = sin(x + )的图像 2
3 纵坐标不变
y = sin(2x p+ )的图像 所 有 点的 纵坐 标变 p 为原 来 的2倍 y = 2sin(2x + )的图像
3 横坐标不变 3
向 上平 移 3个单 位 y = 2sin(2x p+ ) + 3
3
方法二： (x x p+ 2x p+ ) ．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．
2 3
1 p
所有点的横坐标变为原来的 向左平移 个单位
y = sin x的图像 2 y = sin 2x的图像 6
纵坐标不变
y = sin 2(x p+ ) = sin(2x p+ )的图像 所 有 点的 纵坐 标变 为原 来 的2倍
6 2 横坐标不变
y = 2sin(2x p ) p+ 的图像 向 上平 移 3各单 位 y = 2sin(2x + ) + 3
3 3
注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相
位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量 x 而言的，即图
像变换要看“变量 x ”发生多大变化，而不是“角 wx + f ”变化多少．
【三角函数常用结论】
1、利用 sin 2 a + cos2 a = 1可以实现角a sina的正弦、余弦的互化，利用 = tana 可以实现角a 的弦切互
cosa
化．
2、“ sina + cosa ，sina cosa ，sina - cosa ”方程思想知一求二．
(sina + cosa )2 = sin2 a + cos2 a + 2sina cosa = 1+ sin 2a
(sina - cosa )2 = sin2 a + cos2 a - 2sina cosa = 1- sin 2a
(sina + cosa )2 + (sina - cosa )2 = 2
3、两角和与差正切公式变形
tana ± tan b = tan(a ± b )(1 tana tan b )；
tana tan b 1 tana + tan b tana - tan b = - = -1．
tan(a + b ) tan(a - b )
4、降幂公式与升幂公式
sin 2a 1- cos 2a= ；cos2 a 1+ cos 2a= ；sina cosa 1= sin 2a ；
2 2 2
1+ cos 2a = 2cos2 a ；1- cos 2a = 2sin 2 a ；1+ sin 2a = (sina + cosa )2 ；1- sin 2a = (sina - cosa )2 ．
5、其他常用变式
sin 2a 2sina cosa 2 tana cos
2
cos 2a a - sin
2 a 1- tan2 a a sina 1- cosa
= 2 = ； = = ；tan = = ．sin a + cos2 a 1+ tan2 a sin 2 a + cos2 a 1+ tan2 a 2 1+ cosa sina
6、拆分角问题：①a =2 a ；a =(a +b )- b ；②a b (b a ) ③a 1= - - ； = [(a + b ) + (a - b )]；
2 2
④ b 1= [(a + b ) - (a - b )] p；⑤ + a p (p= - -a )．
2 4 2 4
p p
注意：特殊的角也看成已知角，如a = - ( -a ) ．
4 4
7、关于三角函数对称的几个重要结论
（1 p）函数 y = sin x 的对称轴为 x = kp + (k Z ) ，对称中心为 (kp .0)(k Z ) ；
2
p
（2）函数 y = cos x 的对称轴为 x = kp (k Z )，对称中心为 (kp + ,0)(k Z )；
2
3 y = tan x (kp（ ）函数 函数无对称轴，对称中心为 ,0)(k Z ) ；
2
（4）求函数 y = Asin(wx + f) + b(w p 0) 的对称轴的方法；令 wx + f = + kp (k Z ) ，得
2
p
+ kp -f
x = 2 (k Z ) ；对称中心的求取方法；令 wx + f kp (k kp -f kp -f= Z ) ，得 x = ，即对称中心为 ( ，b)．
w w w
p
+ kp -f
（5）求函数 y = Acos(wx + f) + b(w 0) 的对称轴的方法；令 wx + f = kp (k Z ) 得 x = 2 ，即对称中
w
p
+ kp -f
心为 ( 2 ,b)(k Z )
w
一、单选题
cos π 1．（2024·江苏南通·三模）已知 -q ÷ = 3cos
q
π
+
4 4 ÷
，则 sin2q = （ ）
è è
3 4 3 4
A． B． C．- D．-
5 5 5 5
2．（2024·山东济南·三模）若 sina - cosa = 2 ，则 tana =（ ）
A．1 B． -1 C．2 D．-2
3
π
．（2024·重庆·三模）已知a 0, ÷，且 2sin2a = 4cosa - 3cos3a ，则 cos2a =3 （ ）è
1 7
A 2． 9 B． C． D
2 2
．
3 9 3
4．（2024·浙江·三模）若 sin a - b + cos a b π- = 2 2sin a - ÷sin b ，则（4 ）è
A． tan a - b = -1 B． tan a - b =1
C． tan a + b = -1 D． tan a + b =1
3cosa
5．（2024·河北保定·二模）已知 tana = ，则 cos 2a = （ ）
sina +11
A．-
7 7 7 7
B． C． D．-
8 8 9 9
7
6．（2024·湖北荆州·三模）已知 sinq + cosq = ，则 sinq - cosq 的值为（ ）13
17 7 17 7
A． B． C．± D．±
13 13 13 13
7．（2024·山东青岛·三模）为了得到 y = sin2x + cos2x 的图象，只要把 y = 2cos2x 的图象上所有的点
（ ）
A π π．向右平行移动 8 个单位长度 B．向左平行移动 8 个单位长度
π π
C．向右平行移动 个单位长度 D．向左平行移动 个单位长度
4 4
π
8．（2024·天津滨海新·三模）已知函数 f x = sin 2x - 6 ÷，关于该函数有下列四个说法：è
5π
（1 ）函数 f x 的图象关于点 ,012 ÷中心对称è
（2）函数 f x 的图象关于直线 x π= - 对称
8
（3）函数 f x 在区间 -π, π 内有 4 个零点
（4）函数 f x é π- ,0ù在区间 ê 上单调递增 2 ú
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
1
9．（2024·河北石家庄·三模）已知角a , b 满足 tana = , 2sinb = cos a + b sina ，则 tanb =（
3 ）
1 1 1
A． B． C． D．2
3 6 7
p p
10．（2024·重庆·三模）已知函数 f (x) = Asin(wx +j) A > 0,w > 0, - < j <2 2 ÷
的部分图像如图所示，若
è
1 f 2q 5pf (q ) = ，则
3
+ =
3 ÷ （ ）è
2 7 7
A - B 2． ． 9 C．- D．9 9 9
π
11．（2024·安徽合肥·三模）已知2sina = 1+ 2 3cosa ，则 sin 2a - 6 ÷
=（ ）
è
1
A．- B．-
7 3 7
C． D．
8 8 4 8
π
12．（2024·江西九江·三模）若 2sin a + ÷ = cos
a π tan a π - ÷，则 - ÷ =（ ）
è 3 è 3 è 6
A．-4 - 3 B．-4 + 3 C． 4 - 3 D． 4 + 3
π
13．（2024·江苏宿迁·三模）已知函数 f (x) = cos x + cos(x - ) +1，则下列结论正确的是（
3 ）
π π
A．[- , ]是 f x 的一个单调增区间
2 4
π
B． - ,0
÷ 是 f x 3 的一个对称中心è
C． f x [ 2π在 - ,0]上值域为 [ 1- , 5]
3 2 2
D．将 f x 5π的图象向右平移 个单位，再向下平移一个单位后所得图象的函数解析式为 y = 3 cos x
6
f x = cos wx π- 14．（2024·黑龙江·三模）已知函数 ÷ (w > 0)在区间 0,2π 内恰有 3 条对称轴，则w 的取
è 4
值范围是（ ）
é7 ,15ù é5 , 9 5 ,13ù é9 13A ． ê B． C． D． , 8 8 ú ê 8 8 ÷ ÷ è 8 8 ú ê8 8
π 3π
15．（2024·河北·三模）已知函数 f x = sinwx - coswx w > 0, x R 在区间 ,2 2 ÷内没有零点，则 f x 周è
期的最小值是（ ）
12π
A．12π B． 2π C． D．4π
5
二、多选题
16．（2024·山东威海·二模）已知函数 f x = sin
π x π+ 2 6 ÷ ，则（ ）è
A． f x 在 0,1 上单调递减
B．将 y = f x 2图象上的所有点向左平移 3 个单位长度后得到的曲线关于 y 轴对称
C． f x 在 -1,2 上有两个零点
2024
D． f i 1=
i=0 2
17．（2024·云南昆明·三模）已知函数 f x = sin wx
π w π+ ÷ > 0 3 的最小正周期大于 ，若曲线 y = f x 关于点è 2
π
,0
è 3 ÷
中心对称，则下列说法正确的是（ ）
A f π 3 B y = f
π
． ÷ = - ． x +2 2 12 ÷
是偶函数
è è
x π πC． = 是函数 f x 的一个极值点 D． f x 在 0, 3 ÷单调递增12 è
π
18．（2024·湖南长沙·三模）已知函数 f x = 3sin wx + 3 ÷ ,w > 0，则下列说法正确的是（ ）è
A． f x 的最大值为 2
B．函数 f x 1 π 的图象关于直线 x = kπ + ÷ k Z 对称w è 6
2kπ 6k +1 π
C．不等式 f x 3> 的解集为
2
, k Z
è w 3w
÷
D f x é π , π- ù w 1ù．若 在区间 ê ú上单调递增，则 的取值范围是 0, 2 2 è 3ú
19．（2024·湖南衡阳·三模）已知函数 f (x) = A tan(wx +j) w > 0, j
π
< ÷的部分图象如图所示，则下列说法
è 2
正确的是（ ）
A．函数 f (x)
π
的最小正周期为
2
B． sinj 2=
2
π
C．函数 f (x) 在 , π ÷上单调递增
è 2
π
D．方程 f (x) = sin
2x + ÷ (0 x π)
3π 7π
的解为 ，
è 4 8 8
20．（2024·河南·三模）已知函数 f x = cos2wx - 3sin2wx +1(w > 0)的最小正周期为 π，则下列说法正确
的有（ ）
A． f x 的图象可由 y = 2cos4x的图象平移得到
B． f x é π π ù在 ê- ,- ú 上单调递增 3 6
C． f x π 图象的一个对称中心为 ,0
è12 ÷
D． f x π图象的一条对称轴为直线 x = 3
21．（2024·广西钦州·三模）已知函数 f x = sin x +1 ，则下列命题正确的是（ ）
A． f x 的最小正周期为 2π
B． f x 的图象关于直线 x=-1对称
C．若 f x0 =1，则 f 2 x0 = 2
D．将 f x 的图象往右平移 1 个单位长度后可以得到函数 y = sinx的图象
22 sin x cos x．（2024·河北秦皇岛·三模）已知函数 f x = 2 ，则（ ）
A． f x 是偶函数； B． f x 是周期为 π的周期函数；
5π
C é ù 2． f x 在 êπ, ú上单调递增； D． f x 4 的最小值为 . 2
π π
23．（2024·安徽芜湖·三模）已知 g x = 2sin wx + ÷cos wx + ÷ w > 0 ，下面结论正确的是（ ）
è 12 è 12
A．w =1时， g x é π π在 ê- ,
ù
ú 上单调递增 6 4
B．若 g x1 =1, g x2 = -1，且 x1 - x2 的最小值为 π，则w =1
C．若 g x 在 0,2π w é 41上恰有 7 个零点，则 的取值范围是 ê ,
47
÷
24 24
D．存在w 1,3 g x π，使得 的图象向右平移 个单位长度后得到的图象关于 y 轴对称
6
三、填空题
tana 6cosa24．（2024·全国·二模）已知 = ，则 cos2a = .
7 - sina
π π 2
25．（2024·安徽合肥·三模）已知q 0, ÷ , tan2
q + ÷ = - tanq ，则 tan 2q = .
è è 4 3
π 1 π
26．（2023·
黑龙江佳木斯·三模）已知 sin q + 4 ÷
= ，q
4
, π ÷，则 cosq = ．
è è 2
1 1
27．（2024·黑龙江·三模）已知 cos a - b = ,sinasinb = ，则 cos 2a + 2b = .
2 3
28．（2024·江西宜春·三模）已知0 < θ
π tan 2θ tan(θ π) 4 cos 2θ< ，且 + = ，则 = ．
4 4 1- sin 2θ
29．（2024·北京·三模）已知函数 f (x) = sin(wπx +j)(w > 0,0 < j π) ，若 f (x) 是偶函数，则j = ；
若圆面 x2 + y2 2 恰好覆盖 f (x) 图象的最高点或最低点共 3 个，则w 的取值范围是 .
1 π
30．（2024·河北衡水·三模）已知 x = 是函数 f (x) = sin(3πx +j) 0 < j < ÷ 的一条对称轴， f (x) 在区间12 è 2
(-t, t)(t > 0) 内恰好存在 3 个对称中心，则 t 的取值范围为 ．
31．（2024·安徽合肥·三模）已知函数 f x = 3sinwxcoswx + cos2wx 1+ (w > 0) 在区间 0,π 上只有一个零点
2
和两个最大值点，则w 的取值范围是 ．
32．（2024·江西九江·三模）已知函数 f x = sin wx
π
- ÷ (w > 0) 在区间 0, π 上有且仅有三个零点，则w 的
è 4
取值范围是 .
π
33．（2024·湖北荆州·三模）设0 < a < b < ， tana = m tan b
3
， cos a - b = ，若满足条件的a 与b 存在
2 5
且唯一，则m = ， tana tan b = .
