武进高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试
数学试题
2024.6
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数满足（是虚数单位），的共轭复数为，则（ ）
A.6 B.5 C.4 D.3
2.已知圆柱的底面半径为2cm，体积为，则该圆柱的表面积为（ ）
A. B. C. D.
3.已知表示两条不同的直线，表示三个不同的平面，下列推理正确的是（ ）
A.
B.，且
C.
D.
4.已知点在角的终边上，则（ ）
A. B. C.-2 D.2
5.已知事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知向量满足，且，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知某班级参与定点投篮比赛的学生共有20名，进球数的平均值和方差分别是4和3.6，其中男生进球数的平均值和方差分别是5和1.8，女生进球数的平均值为3，则女生进球数的方差为（ ）
A.3.2 B.3.4 C.3.6 D.3.8
8.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数，下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.若，则的最小值为4
D.在复平面内，所对应的向量分别为，其中为坐标原点，若，则
10.在中，角所对的边分别为，下列说法正确的有（ ）
A.
B.若，则为锐角三角形
C.若，则
D.若，则为钝角三角形
11.已知四面体的各个面都是全等的三角形，且，则下列选项正确的是（ ）
A.直线所成角为
B.二面角的余弦值为
C.四面体的体积为
D.四面体外接球的直径为
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.为估计某草场内兔子的数量，使用以下方法：先随机从草场中捕捉兔子100只，在每只兔子的尾巴上作上记号后放回草场.再随机从草场中捕捉60只，若尾巴上有记号的兔子共有10只，估计此草场内约有兔子__________只.
13.已知函数在有且仅有三个零点，则实数的取值范围是__________.
14.已知圆台上下底面半径分别为，圆台的母线与底面所成的角为，且该圆台上下底面圆周都在某球面上，则该球的体积为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）
某高中随机调查名高一学生，并对这名学生的作业进行评分（满分：100分），根据得分将他们的成绩分成六组，制成如图所示的频率分布直方图，其中成绩在的学生人数为25人.
（1）求的值；
（2）估计这名学生成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）和中位数（精确到小数点后两位）.
16.（本题满分15分）
在中，角所对的边分别为，且.
（1）求角的值；
（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围.
17.（本题满分15分）
甲和乙进行多轮答题比赛，每轮由甲和乙各回答一个问题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.
（1）求两人在两轮比赛中都答对的概率；
（2）求两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率；
（3）求两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2的概率.
18.（本题满分17分）
如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是正三角形，为线段的中点.
（1）若中点为，求证：平面；
（2）若平面平面，点为面上的动点，
①当点恰为中点时，求异面直线与所成角的余弦值；
②若点是平面内的动点，求的最小值.
19.（本题满分17分）
已知，是单位圆上相异的两个定点（为圆心），点是单位圆上的动点且.直线交直线于点.
（1）求的值；
（2）设，
①用来表示与；
②求的取值范围.
武进高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试
数学试题
参考答案
2024.6
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.B 2.D 3.C 4.A 5.C 6.A 7.B 8.B
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.BD 10.ACD 11.ABD
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 13. 14.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.【解】（1）由题意可得，，
，
解得.
（2）平均数为.
因为
所以中位数在之间，设中位数为，
则，
解得.
16.【解】（1）因为，且，
所以
利用正弦定理化简得：即，
由余弦定理可得，
又因为，所以；
（2）由（1）得，即，
又因为三角形为锐角三角形，
所以解得：，
因为，由正弦定理得：，
所以，
所以
因为，所以，
所以，则的取值范围为
17.【解】（1）依题意，设事件“甲两轮都答对问题”，“乙两轮都答对问题”，
所以.
因为事件相互独立，
所以两人在两轮比赛中都答对的概率为
（2）设事“甲第一轮答对”，“乙第一轮答对”，
“甲第二轮答对”，“乙第二轮答对”，
“两人在两轮比赛中至少答对3道题”，
则，
由事件的独立性与互斥性，
可得
故两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率为.
（3）设事件分别表示甲三轮答对2个，3个题目，
分别表示乙三轮答对2个，3个题目，
则，
，
设事件“两人在三轮比赛中，
甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2”，
则，且分别相互独立，
所以
.
所以两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2的概率为.
18.【解】（1）证明：取中点，连接，
为线段的中点，
，
；
四边形为平行四边形，
平面平面
平面
（2）①取的中点，连接，
为中点，，
就是异面直线和所成的角或所成角的补角.
平面平面，
平面平面，
平面，
菱形的边长为，
与是全等的正三角形，
分别为的中点，
，
在中，，
在中，，
，
在中，；
②
面，
又为线段的中点，
，
，
要使最小只需最短即可，即为点到面的距离.
在中，，
，
在中，，
，
，
的最小值为.
（也可转化为E点到面的距离的2倍）
19.【解】（1），
，
为钝角，，
（2）①，
则，
又，则
②，
设，.
