2023-2024学年浙江省绍兴市诸暨市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分。请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．下列图标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0经过配方可变形为（ ）
A．（x﹣2）2＝10 B．（x+2）2＝10 C．（x﹣4）2＝6 D．（x﹣2）2＝2
4．为了落实“双减”政策，增强学生体质，阳光学校篮球兴趣小组开展投篮比赛活动，7名选手投中篮圈的个数分别为2，3，2，4，3，2，5，这组数据的中位数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．三角形的三条中位线的长分别为3cm，4cm，5cm，则原三角形的周长为（ ）
A．6.5cm B．24cm C．26cm D．52cm
6．以下说法正确的是（ ）
A．菱形的对角线互相垂直且相等
B．矩形的对角线互相平分且互相垂直
C．正方形的对角线互相垂直且平分
D．平行四边形的对角线互相平分且相等
7．已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y3＜y1
8．利用如图①的四个全等直角三角形，可以拼成如图②或图③所示的两个正方形，则图②与图③两个正方形的边长比值是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在直角坐标系中，菱形OABC的顶点C（3，4），反比例函数图象交线段AB，射线BC于点E，F，连接EF，则S△BEF的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．已知关于x的方程b2x2+abx+a2﹣3b2+1＝0（a，b为常数，且ab≠0），下列①～④选项中，哪两个一定不是方程的实数解（ ）
①x＝﹣2；②x＝﹣1；③x＝1；④x＝2．
A．①④ B．②③ C．①② D．③④
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分。）
11．在二次根式中，字母x的取值范围是 ．
12．一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是 ．
13．用反证法证明：“在△ABC中，若AB≠AC，则∠B≠∠C”，则应假设 ．
14．如图，等腰直角三角形纸片，AC＝BC＝56cm，按图中方式裁剪出阴影部分的长方形纸条若干张，若纸条的宽都为，则这些阴影部分长方形纸条的总面积是 cm2．
15．已知平行四边形ABCD，AD＝5，∠A，∠C的平分线AE，CF交平行四边形的边于点E，点F，若AF＝1，则平行四边形ABCD的周长是 ．
16．如图，在正方形ABCD中，AB＝1，E是BC边上的动点（E可以和B，C重合），连接DE，AE，过D点作AE的垂线交线段AB于点F，现以DF，DE为邻边构造平行四边形DFGE，连接BG，则BG的最小值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，第17～22题每题6分，第23、24每题8分，共计52分。解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（6分）（1）计算：；
（2）计算：．
18．（6分）（1）解方程：x（x﹣2）＝x﹣2；
（2）解方程：（3x﹣4）2＝（4x﹣3）2．
19．（6分）如图，在5×5正方形网格中，每个小正方形顶点称为格点，例如线段AB的端点在格点上，已知每个小正方形边长均为1，请完成下列各小题．
（1）在图①中，求AB的长；
（2）在图①中，作菱形ABCD，其中点C，D为格点（只需作出一种情况）；
（3）在图②中，作一个面积为3的菱形ABEF，其中点E，F为格点（只需作出一种情况）．
20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+6x﹣m＝0．
（1）若方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）在（1）中，设x1、x2是该方程的两个根，且x1+x2﹣2x1x2＝0，求m的值．
21．（6分）数学小组对当地甲、乙两家网约车公司司机的月收入情况进行了抽样调查，两家公司分别随机抽取10名司机，他们的月收入（单位：千元）情况如图所示．
平均数 中位数 众数 方差
甲公司 a 6.5 c 1.8
乙公司 7 b 5 7.6
将以上信息整理分析如下表：
（1）填空：a＝ ；b＝ ；c＝ ．
（2）某人计划从甲、乙公司中选择一家做网约车司机，你建议他选哪家公司？说明理由．
22．（6分）诸暨的短柄樱桃是浙江省绍兴市的特产之一，特别是赵家镇和同山镇的樱桃尤为著名，每年四五月份大量上市．据某采摘基地了解：正常情况下，樱桃售价为每篮50元时，则每天可售出40篮．通过市场调查发现，若要每天多售出10篮，那么每篮就要降价5元，综合各项成本考虑，规定每篮售价不低于35元．
（1）当樱桃每篮售价定为多少元时，每天能获得2400元的销售额？
（2）该采摘基地每天所获得的销售额能否达到2500元？请计算说明；
23．（8分）如图，在坐标系中有一矩形OABC，满足A（10，0），C（0，8），点D为AB上一点，△BCD关于CD折叠得到△ECD，点E落于边OA上．
（1）求OE的长度；
（2）若y关于x的反比例函数图象经过点D，与CD另一交点记为点F；
①求该反比例函数解析式；
②在CE上有一动点P，当点P坐标为多少时，△PDF的周长最小？
24．（8分）已知△ABC内角∠BAC＝α（0°＜α＜180°），分别以AB，AC为边向外侧作等边△ABM和等边△ACN，连接CM，BN交于点O．
（1）如图1，判断∠MON是否随α的变化而变化？如果不变化，请求出∠MON的度数；如果变化，请用α的代数式表示∠MON的度数；
（2）连接MN，再依次连接MB，BC，CN，NM四条线段的中点D，E，F，G，得到四边形DEFG．
①如图2，若α＝90°，AB＝4cm，AC＝3cm，求四边形DEFG的面积；
②若△ABM的面积是，△ACN，△AMN的面积都是，求△ABC的面积．
参考答案
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分。请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．解：选项A、C、D的图形都不能找到某一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：B．
2．解：A、被开方数含有能开得尽方的因数9，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故此选项符合题意；
C、被开方数含有分母，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、被开方数含有能开得尽方的因数4，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：B．
3．解：x2﹣4x＝6，
x2﹣4x+4＝10，
（x﹣2）2＝10．
故选：A．
4．解：这组数据排序为：2，2，2，3，3，4，5，因为这组数据中3出现在中间位置，
所以这组数据的中位数是3．
故选：B．
5．解：∵三条中位线组成的三角形的周长＝3+4+5＝12cm，
∴原三角形的周长＝2×2＝24cm．
故选：B．
6．解：A、菱形的对角线互相垂直且互相平分，故原选项错误，不符合题意；
B、矩形的对角线互相平分且相等，故原选项错误，不符合题意；
C、正方形的对角线互相垂直且平分，故原选项正确，符合题意；
D、平行四边形的对角线互相平分，故原选项错误，不符合题意．
故选：C．
7．解：∵丨k丨+1＞0，
∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
∵点（3，y3），
∴y3＞0，
∵﹣2＜﹣1，
∴0＞y1＞y2，
∴y2＜y1＜y3，
故选：B．
8．解：如图，设图①中较短直角边长为a，另一直角边长为b，斜边长为c，则c2＝a2+b2 所以图②正方形的边长 ，
在图③中，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF＝FG，
∵EM＝FM＝a，
∴b＝2a，
∴正方形EFGH的边长EF＝2a，正方形ABCD的边长，
∴图②与图③两个正方形的边长比值是，
故选：C．
9．解：∵C（3，4），
∴OC＝BC＝＝5，
∴B（8，4），
在反比例函数y＝中，当y＝4时，x＝2，
F（2，4），
BF＝8﹣2＝6．
设直线AB的解析式为y＝kx+b，A（5，0）、B（8，4）在直线上，
，解得，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣，
联立方程组，解得，，
∴E（6，），
∴S△BEF＝＝8．
故选：C．
10．解：当x＝﹣2时，4b2+﹣2ab+a2﹣3b2+1＝0，
∴a2﹣2ab+b2+1＝0，
∴（a﹣b）2+1＝0，
∴x＝﹣2不是方程的实数解；
当x＝2时，4b2+2ab+a2﹣3b2+1＝0，
∴a2+2ab+b2+1＝0，
∴（a+b）2+1＝0，
∴x＝2不是方程的实数解；
∴①④一定不是方程的实数解，
故选：A．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分。）
11．解：∵二次根式有意义，
∴x﹣2≥0，解得x≥2
故答案为：x≥2．
12．解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2） 180°，
∴（n﹣2）×180°＝720°，
解得n＝6，
∴这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
13．解：用反证法证明：“在△ABC中，若AB≠AC，则∠B≠∠C”，
应假设∠B＝∠C，
故答案为：∠B＝∠C．
14．解：∵三角形ABC是等腰直角三角形纸片，AC＝BC＝56cm，
∴∠ACB＝90°，∠A＝∠B＝45°，
∵阴影部分都是矩形，
∴每个空白三角形都是等腰直角三角形，
∵纸条的宽都为，
∴每个空白等腰直角三角形的直角边都是cm，
∴空白部分的6个等腰三角形的面积为：，
∵三角形ABC的面积为：，
∴这些阴影部分长方形纸条的总面积
＝△ABC的面积﹣空白部分的6个等腰三角形的面积
＝1568﹣294
＝1274（cm2），
故答案为：1274．
15．解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DFC＝∠BCF，
又CF平分∠BCD，
∴∠BCF＝∠DCF＝∠DFC，
∴DF＝CD，
∵AD＝5，AF＝1，
∴CD＝DF＝5﹣1＝4，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（AD+CD）＝2×（5+4）＝18；
如图，
同上法可知，BF＝BC＝AD＝5，
∴AB＝BF+AF＝6，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（AD+AB）＝2（5+6）＝22，
综上所述，平行四边形ABCD的周长＝18或22，
故答案为：18或22．
16．解：当E不与B重合时，
∵正方形ABCD中，AB＝AD＝1，∠DAF＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵AE⊥DF，
∴∠BAE+∠AFD＝90°，
∴∠AEB＝∠AFD，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AE＝DF，
∵平行四边形DFGE中DF∥GE，DF＝GE，且 AE⊥DF，
∴AE⊥GE，AE＝GE，
∴△AEG是等腰直角三角形，
如图，当点F1 E1 分别与A，B重合时，△ABG1是等腰直角三角形，
当点F2，E2 分别与B，C重合时，△ACG2是等腰直角三角形，
∵点E在BC边上运动，
∴点G在G1G2上运动，
∴当BG⊥G1G2 时，BG取最小值，
∵AB＝1，AG2⊥BC，
∴BG1＝AB＝1，AB＝BG2＝1，
∴△G1BG2 是直角边为1的等腰直角三角形，，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，第17～22题每题6分，第23、24每题8分，共计52分。解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．解：（1）原式＝2﹣6+3
＝﹣；
（2）原式＝（﹣2）×+2
＝2﹣2+2
＝2．
18．解：（1）x（x﹣2）＝x﹣2，
x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣1）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝2，x2＝1．
（2）（3x﹣4）2＝（4x﹣3）2，
（3x﹣4）2﹣（4x﹣3）2＝0，
（3x﹣4+4x﹣3）（3x﹣4﹣4x+3）＝0，
（7x﹣7）（﹣x﹣1）＝0，
则7x﹣7＝0或﹣x﹣1＝0，
所以x1＝1，x2＝﹣1．
19．解：（1）AB＝＝；
（2）如图①中，菱形ABCD即为所求；
（3）如图②中，菱形ABEF即为所求．
20．解：（1）根据题意得：
Δ＝36+4m≥0，
解得：m≥﹣9，
即m的取值范围为：m≥﹣9，
（2）根据题意得：
x1+x2＝﹣6，x1x2＝﹣m，
∵x1+x2﹣2x1x2＝0，
∴﹣6﹣2×（﹣m）＝0，
解得：m＝3（符合题意），
即m的值为3．
21．解：（1）甲公司司机平均月收入：a＝5×10%+6×40%+7×10%+8×20%+9×（1﹣10%﹣10%﹣20%﹣40%）＝7（千元）；
乙公司司机月收入的中位数为b＝＝5.5（千元）；
由扇形统计图可知6出现的次数最多，
∴c＝6．
故答案为：7，5.5，6；
（2）选甲公司．
理由：因为甲公司平均数，中位数、众数大于乙公司，且甲公司方差小，更稳定．
22．解：（1）设每篮樱桃的售价为x元，则每天可售出40+×10＝（140﹣2x）篮，
根据题意得：x（140﹣2x）＝2400，
整理得：x2﹣70x+1200＝0，
解得：x1＝30（不符合题意，舍去），x2＝40．
答：当樱桃每篮售价定为40元时，每天能获得2400元的销售额；
（2）该采摘基地每天所获得的销售额不能达到2500元，理由如下：
假设该采摘基地每天所获得的销售额能达到2500元，设每篮樱桃的售价为y元，则每天可售出40+×10＝（140﹣2y）篮，
根据题意得：y（140﹣2y）＝2500，
整理得：y2﹣70y+1250＝0，
∵Δ＝（﹣70）2﹣4×1×1250＝﹣100＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即该采摘基地每天所获得的销售额不能达到2500元．
23．解：（1）∵A（10，0），C（0，8），
∴OA＝10，OC＝8，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝OA，AB＝OC，∠B＝∠AOC＝∠BCO＝90°，
∴BC＝OA＝10，AB＝OC＝8，
∵△BCD关于CD折叠得到△ECD，
∴CE＝BC＝10，DE＝BD，
∴OE＝＝6；
（2）①∵OA＝10，OE＝6，
∴AE＝4，
由折叠可知，BD＝DE，
在Rt△ADE中，DE2＝AE2+AD2，
∴（8﹣AD）2＝42+AD2，
∴AD＝3，
∴D（10，3），
∵y关于x的反比例函数图象经过点D，
∴k＝10×3＝30，
∴该反比例函数解析式为y＝；
②设直线CD的解析式为：y＝mx+n，
∵C（0，8），D（10，3），
∴，
解得，
∴lCD：y＝﹣x+8，
令＝﹣x+3，解得x＝10或x＝6，
∴F（6，5）；
∴DF＝＝2；
由折叠可知，∠CED＝∠B＝90°，
如图，延长DE至点D′，使得D′E＝DE，则D′（2，﹣3），
连接D′F交CE于点P，点P即为所求；
设直线D′F的解析式为：y＝k′x+b，
∴，解得，
∴lD′F：y＝2x﹣7，
同理可得直线CE的解析式为：y＝﹣x+8，
令2x﹣7＝﹣x+8，解得x＝，
∴y＝2×﹣7＝2，
∴P（，2），
即P（，2）时，△PDF的周长最小．
24．解：（1）∠MON＝120°，不发生变化，
理由如下：如图，设MC与AB交于点P，
∵△ABM和△CAN都为等边三角形，
∴∠MAB＝∠CAN＝60°，AM＝AB，AC＝AN，
∴∠MAC＝60°+∠BAC＝∠BAN，
∴△AMC≌△ABN（SAS），
∴∠AMC＝∠ABN，BN＝MC，
∵∠APC＝∠AMC+60°＝∠ABN+∠POB，
∴∠POB＝60°，
∴∠MON＝180°﹣∠POB＝180°﹣60°＝120°；
（2）①如图，连GE，设GD与CM交于点Q，连接AD，
∵D，G分别为MB，MN的中点，
∴DG∥BN，；
同理：EF∥BN，，ED∥MC，；
∴DG＝EF，DG∥EF，
∴四边形DEFG为平行四边形，
∵BN＝MC，
∴DG＝DE，
∴四边形DEFG为菱形，
∴，
∵ED∥MC，DG∥BN，
∴∠MOB+∠DQO＝180°，∠GDE+∠DQO＝180°，
∴∠GDE＝∠MOB＝180°﹣∠MON＝60°，
∴△GDE为等边三角形，四边形DEFG的面积等于△GDE的面积的2倍，
如图，在△DEG中，过点G作GK⊥DE交DE于点K，
∴，
∴，
∴GK＝，
∵△ABM都为等边三角形，D为边MB的中点，
∴，
∴∠BDA＝90°，，
∴，
∵∠CAN＝60°∠BAC＝α＝90°，
∴∠DAN＝60°+90°+30°＝180°，即，D，A，N三点共线，
∴在Rt△NDB 中，，，∴，
∴；
②如图，过点M作MR⊥NA交NA的延长线于点R，
∴，
∴，AC＝AN＝4，
∵，
∴，
∴∠MAR＝30°，
∴∠MAN＝180°﹣30°＝150°，
∴∠BAC＝360°﹣∠BAM﹣∠NAM﹣∠NAC＝90°，
∴．
