2023-2024学年浙江省金华市东阳市七年级（下）期末数学试卷
一、精心选一选（本题共30分，每小题3分）
1．下列调查中，应作全面调查的是（ ）
A．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命
B．了解居民对废电池的处理情况
C．了解现代大学生的主要娱乐方式
D．某公司对退休职工进行健康检查
2．某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（ ）
A．0.7×10﹣9 B．0.7×10﹣8 C．7×10﹣9 D．7×10﹣8
3．下列计算正确的是（ ）
A．2x+3y＝6xy B．m m m＝3m
C．a10÷a4＝a6 D．（﹣2b2）3＝8b6
4．要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x≠2 B．x≠﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣1
5．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（ ）
A．①×2﹣② B．②×（﹣3）﹣① C．①×（﹣2）+② D．①﹣②×3
6．如图，直线MN，EF被AB所截．已知∠1＝∠2，∠4＝2∠3，则∠3度数为（ ）
A．60° B．45° C．65° D．55°
7．下列因式分解正确的是（ ）
A．m2+n2＝（m+n）2
B．m2﹣n2＝（m﹣n）2
C．m2﹣3mn+2m＝m（m﹣3n+2）
D．﹣m2﹣2mn﹣n2＝﹣（m﹣n）2
8．已知x﹣y＝3，，则x+y的值为（ ）
A． B． C． D．
9．某旅行社用2000元租到A客房的数量与用1600元租到B客房的数量相等，已知每间A客房租金比每间B客房租金多40元．求A．B两种客房每间客房的租金．设B种客房每间租金为x元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，直线l1、l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥，使得村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（ ）
方案一：①将点A向上平移d得到A'；②连接A'B交l1于点M；③过点M作MN⊥l1，交l2于点N，MN即桥的位置． 方案二：①连接AB交l1于点M；②过点M作MN⊥l1，交l2于点N．MN即桥的位置．
A．唯方案一可行 B．唯方案二可行
C．方案一、二均可行 D．方案一、二均不可行
二、用心填一填（本题共18分，每小题3分）
11．因式分解：9a2﹣1＝ ．
12．计算：＝ ．
13．如图，若∠1＝∠2，则AB∥CD，理由是 ．
14．已知二元一次方程组，则x+y的值为 ．
15．在求多项式除以多项式时，可类似于正整数除法的“列竖式”得到商式和余式，例如：通过“列竖式”可求得（x2﹣3x+11）÷（x+2）的商式为x÷5，余式为22，如图所示．运用此方法，那么（3x3+2x2+x+5）÷（x+1）的商式为 ，余式为 ．
16．如图是一块矩形菜地ABCD，AB＝a米，AD＝b米，面积为s平方米．现将边AB增加1米．
（1）如图1，若a＝4，边AD减少1米，得到的矩形面积不变，则b的值是 ．
（2）如图2，若边AD增加2米，得到的矩形面积为2s平方米，且a，b为正整数，则s的值是 ．
三、细心答一答（本题共72分）
17．（6分）计算：
（1）4y （﹣2xy2）；
（2）（2x+1）2﹣（2x）2．
18．（6分）先化简，再求值：，其中a＝5．
小聪解答过程如下，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
原式＝（a2﹣4）+（a2﹣4）…①＝a﹣2+4…②＝a+2…③当a＝5时，原式＝7．
19．（8分）解方程（组）：
（1）；
（2）．
20．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1、三角形ABC的顶点均在方格纸的格点上，将三角形ABC平移后得到三角形A'B'C'，使点A落在直线l上的点A′处．
（1）画出平移后的三角形A'B'C'；
（2）请描述这个平移过程．
（3）在直线l上找一格点D，使A′，B′，C′、D所围成的四边形的面积为7．（画出符合条件的一个点即可）
21．（10分）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某文体用品店购买完毕回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图所示．
请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．
22．（10分）我市抽查某区域部分家庭每月水电费的开支，得到下面的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），请根据该直方图回答下列问题：
（1）被抽查的家庭共有多少户？组中值为200元这一组的频数是多少？
（2）频数最大这一组的频率是多少？该组的两个边界值分别是多少？
（3）若被抽查区域共有400户家庭，估计有多少户每月水电费开支在225元以上（含225元）？
23．（12分）根据素材，完成任务．
利用现有木板制作长方体木箱问题
素材1 如图长方体木箱的长、宽、高分别是3a厘米、2a厘米、b厘米．
素材2 现有甲、乙、丙三块木板，甲块木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙块木板锯成两块刚好能做一个长侧面和一个短侧面，丙块木板锯成两块刚好能做成箱盖和剩下的一个短侧面（厚度忽略不计）．
问题解决
任务1 请用含a，b的代数式表示这三块木板的面积．
任务2 若长方体长侧面周长和短侧面周长差为3厘米，长侧面周长和短侧面周长之和为23厘米，则甲、乙、丙三块木板的面积和是多少？
任务3 若甲木板面积是乙木板面积的3倍，求箱子侧面积与表面积的比值．
24．（12分）两张直角三角形纸片如图1摆放，点D在BC上，已知∠A＝∠BDE＝90°，∠ABC＝∠E．
（1）判断AC与BE的位置关系，并说明理由．
（2）如图2，分别作∠ACB与∠BED的平分线交于点F，求∠F的度数．
（3）如图3，点P，G分别在AC，BD上，连PG，作∠GPC的平分线交BE于点Q，点H是射线PQ上一点，连BH，且∠HBC＝2∠HBQ，设∠BGP＝α，∠GPQ＝β，∠PHB＝θ．请画出图形，并直接写出α，β，θ之间的数量关系．
参考答案
一、精心选一选（本题共30分，每小题3分）
1．解：A、日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，应作抽样调查，本选项不符合题意；
B、了解居民对废电池的处理情况，应作抽样调查，本选项不符合题意；
C、了解现代大学生的主要娱乐方式，应作抽样调查，本选项不符合题意；
D、某公司对退休职工进行健康检查，应作全面调查，本选项符合题意；
故选：D．
2．解：0.000000007＝7×10﹣9．
故选：C．
3．解：A、2x和3y不是同类项，并不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、m m m＝m3，原计算错误，不符合题意；
C、a10÷a4＝a6，原计算正确，符合题意；
D、（﹣2b2）3＝﹣8b6，原计算错误，不符合题意，
故选：C．
4．解：由题意得，x﹣2≠0，
解得x≠2．
故选：A．
5．解：用加减消元法解二元一次方程组时，
①×2﹣②消去x；2×（﹣3）﹣①消去y；①×（﹣2）+②消去x；①+②×3消去y，
则无法消元的是①﹣②×3．
故选：D．
6．解：∵∠1＝∠2，
∴MN∥EF，
∴∠3+∠4＝180°，
∵∠4＝2∠3，
∴∠3+2∠3＝180°，
∴∠3＝60°，
故选：A．
7．解：A、m2+n2无法分解因式，故此选不符合题意；
B、m2﹣n2＝（m﹣n）（m+n），故此选不符合题意；
C、m2﹣3mn+2m＝m（m﹣3n+2），故此选项符合题意；
D、﹣m2﹣2mn﹣n2＝﹣（m+n）2，故此选项不符合题意．
故选：C．
8．解：∵x﹣y＝3，，
∴（x+y）2
＝（x﹣y）2+4xy
＝32+4×
＝9+6
＝15，
∴x+y＝±．
故选：B．
9．解：设B客房每间客房的租金为x元，则A客房每间客房的租金为（x+40）元．
根据题意，得＝．
故选：A．
10．解：河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要AN+BM最短即可．
∵AA'垂直于河岸l2，AA′＝d，
连接BA′，与另一条河岸相交于M，作MN⊥直线l1，
由平移的性质，知MN∥AA′，且MN＝AA′＝d，MA′＝NA，
根据“两点之间线段最短”，BA′最短，即AN+BM最短．
故方案一符合题意，
故选：A．
二、用心填一填（本题共18分，每小题3分）
11．解：9a2﹣1＝（3a）2﹣12＝（3a+1）（3a﹣1）
故答案为：（3a+1）（3a﹣1）．
12．解：
＝﹣2×1
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
13．解：若∠1＝∠2，则AB∥CD，理由是内错角相等，两直线平行．
故答案为：内错角相等，两直线平行．
14．解：，
①+②，可得3（x+y）＝9，
∴x+y＝9÷3＝3．
故答案为：3．
15．解：如图所示：
∴（3x3+2x2+x+5）÷（x+1）的商式为3x2﹣x+2，余式为3，
故答案为：3x2﹣x+2，3．
16．解：（1）ab＝（a+1）（b﹣1），
∴ab＝ab﹣a+b﹣1，
∴0＝﹣4+b﹣1，
∴b＝5，
故答案为：5；
（2）2ab＝（a+1）（b+2），
∴2ab＝ab+2a+b+2，
∴2a+b﹣ab+2＝0，
∵a，b为正整数，
∴a＝3，b＝4，
∴s＝ab＝12，
故答案为：12．
三、细心答一答（本题共72分）
17．解：（1）原式＝﹣8xy3；
（2）原式＝4x2+4x+1﹣4x2
＝4x+1．
18．解：错误步骤的序号为①，
正确的解答过程如下：
＝
＝
＝
＝
＝，
当a＝5时，原式＝＝．
19．解：（1），
②+①，得3x＝9，
解得：x＝3，
把x＝3代入①，得3﹣y＝2，
解得：y＝1，
所以方程组的解是；
（2），
方程两边都乘1﹣y，得3＝﹣y﹣5（1﹣y），
解得：y＝2，
检验：当y＝2时，1﹣y≠0，
所以分式方程的解是y＝2．
20．解：（1）由题意知，三角形ABC向上平移5个单位长度，向右平移3个单位长度得到三角形A'B'C'，
如图，三角形A'B'C'即为所求．
（2）三角形ABC向上平移5个单位长度，向右平移3个单位长度得到三角形A'B'C'．
（3）如图，点D'，D''均满足题意．
21．解：设购置钢笔x支，购置笔记本y本，
，
∴，
∴10×15＝150（元），30×5＝150（元），
∴购置钢笔10支，金额为150元；购置笔记本30本，金额为150元．
22．解：（1）被抽查的家庭共有6+12+11+7+3+1＝40（户），组中值为200元这一组的频数是11；
（2）频数最大这一组的频率是＝0.3，该组的两个边界值分别125，175；
（3）400×＝100（户），
答：若被抽查区域共有400户家庭，估计有100户每月水电费开支在225元以上（含225元）．
23．解：任务1：甲木板的长为3a厘米，宽为（2a+b）厘米，因此面积为3a（2a+b）平方厘米，即（6a2+3ab）平方厘米，
乙木板的长为5a厘米，宽为b厘米，因此面积为5ab平方厘米，
丙木板的长为（3a+b）厘米，宽为2a厘米，因此面积为2a（3a+b）平方厘米，即（6a2+2ab）平方厘米，
答：甲木板的面积（6a2+3ab）平方厘米，乙木板的面积为5ab平方厘米，丙木板的面积为（6a2+2ab）平方厘米；
任务2：∵长方体长侧面周长和短侧面周长差为3厘米，长侧面周长和短侧面周长之和为23厘米，
∴2（3a+b）﹣2（2a+b）＝3，2（3a+b）+2（2a+b）＝23，
解得a＝，b＝2，
∴甲、乙、丙三块木板的面积和为（6a2+3ab）+5ab+（6a2+2ab）
＝12a2+10ab
＝12×+10××2
＝27+30
＝57；
任务3：∵甲木板面积是乙木板面积的3倍，即6a2+3ab＝15ab，
∴a＝2b，
∵长方体箱子的侧面积为2（3a+2a）b＝10ab，
长方体的表面积为10ab+3a 2a×2
＝10ab+12a2，
∴箱子侧面积与表面积的比值为＝＝．
24．解：（1）AC∥BE，理由如下：
∵∠A＝∠BDE＝90°，∠ABC＝∠E，
∴∠C＝∠DBE，
∴AC∥BE；
（2）∵∠A＝∠BDE＝90°，∠ABC＝∠DEB．
∴∠ACB+∠ABC＝90°＝∠ACB+∠DEB，
∵∠ACB与∠BED的平分线交于点F，
∴∠ACF+∠BEF＝（∠ACB+∠DEB）＝45°，
如图，过F作FK∥AC，
∵AC∥BE，
∴AC∥FK∥BE，
∴∠KFC＝∠ACF，∠KFE＝∠BEF，
∴∠CFE＝∠KFC+∠KFE＝∠ACF+∠BEF＝45°；
（3）如图，当H在线段PQ上，
设∠HBC＝2∠HBQ＝2x°，则∠HBQ＝x°，
由（2）的结论可得：∠BGP＝∠CPG+∠QBG，∠BHP＝∠CPH+∠QBH，
∵∠BGP＝α，∠GPQ＝β，∠PHB＝θ，∠GPC的平分线交BE于点Q，
∴∠CPQ＝∠GPQ＝β，
∴，
整理可得：α＝3θ﹣β；
如图，当H在线段PQ的延长线上时，
设∠HBC＝2∠HBQ＝2x°，则∠HBQ＝∠CBQ＝x°，
∵∠BGP＝α，∠GPQ＝β，∠PHB＝θ，∠GPC的平分线交BE于点Q，
∴∠CPQ＝∠GPQ＝β，
同理可得：∠BGP＝∠CPG+∠QBG，
∵AC∥BE，
∴∠CPQ＝∠PQB＝β，
而∠BHP+∠QBH+∠BQH＝180°＝∠BQH+∠PQB，
∴∠BHP+∠QBH＝∠PQB，
∴，
整理可得：α＝3β﹣θ；
综上：α＝3θ﹣β或α＝3β﹣θ．
