7.2古典概率
——高一数学北师大版(2019)必修一课时优化训练
1.在两个袋内，分别装着写有1、2、3、4四个数字的4张卡片，今从每个袋中各任取一张卡片，则所取两卡片上数字之积为偶数的概率是( )
A. B. C. D.
2.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是( )
A.A与B互为对立事件 B.
C.A与B相等 D.A与B互斥
3.甲,乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女,若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,则选出的2名教师性别相同的概率是( )
A. B. C. D.
4.某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（中奖），活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知事件A、B、C两两互斥，若，，，则( )
A. B. C. D.
6.现有一组数据0,1,2,3,4,5,若将这组数据随机删去两个数,则剩下数据的平均数小于3的概率为( )
A. B. C. D.
7.袋子里有4个大小、质地完全相同的球,其中有2个红球、2个白球,从中不放回地依次随机摸出2个球,事件“两个球颜色相同”,事件“两个球颜色不同”,事件“第二次摸到红球”,事件“两个球都是红球”.下列说法错误的是( )
A. B.C与D互斥
C. D.
8.已知事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,且,则( )
A. B. C. D.
9.（多选）下列概率模型是古典概型的为( )
A.从6名同学中随机选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小
B.同时抛两枚质地均匀的骰子，点数和为6的概率
C.近三天中恰有一天降雨的概率
D.10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
10.（多选）某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一个成员，则下列说法中正确的有( )
A.他只属于音乐小组的概率为
B.他只属于英语小组的概率为
C.他属于至少2个小组的概率为
D.他属于不超过2个小组的概率为
11.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________.
12.从分别写有1,2,3,4的4张卡片中有放回的随机抽取2次,每次抽取1张,则2次抽到的卡片上的数字之和为5的概率为______________.
13.A，B，C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有5%，4%，2%的人患了流感.假设这三个地区的人口比例为.现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为______.
14.抽取某车床生产的8个零件,编号为,,...,,测得其直径（单位：cm）分别为：1.51,1.49,1.49,1.51,1.49,1.48,1.47,1.53,其中直径在区间内的零件为一等品.
(1)求从上述8个零件中,随机抽取一个,求这个零件为一等品的概率;
(2)从上述一等品零件中,不放回地依次随机抽取2个,用零件的编号列出所有可能的抽取结果,并求这2个零件直径相等的概率.
15.已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是.
（1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
（2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色.
（ⅰ）写出该试验的样本空间；
（ⅱ）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由.
答案以及解析
1.答案：D
解析：抽取两张卡片的情况一共有16种，其中两张卡片之积为偶数的情况有以下几种：
，，，，，，，，，，，，共12种，
故所取两卡片上数字之积为偶数的概率是.
故选：D
2.答案：B
解析：AD选项，事件A与B能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件，故AD均错误；
B选项，，故B正确；
C选项，事件A与事件B不是同一个事件，故C错误.
故选：B.
3.答案：B
解析：设甲校2男1女的编号分别为1,2,A,乙校1男2女编号分别为B,3,4,
若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,
写出所有可能的结果有:,,,,,,,
,共计9个,
选出的2名教师性别相同的结果有,,,共计4个,
故选出的2名教师性别相同的概率为.
故选:B.
4.答案：B
解析：由题意得，抽奖两次滚动盘上出现两个数字的情况为，，，，，，，，，，，，共36种情况，
两次抽奖奖金之和为200元包括三种情况：
①第一次与第二次都中二等奖，其包含的情况为：，，，，共4种情况；
②第一次中一等奖，第二次中三等奖，其包含的情况为：，，，共3种情况；
③第一次中三等奖，第二次中一等奖，其包含的情况为：，，，共3种情况，
所以该顾客两次抽奖后获得奖金之和为200元的概率为.
故选：B.
5.答案：B
解析：因为事件A、B、C两两互斥，，，，
所以，
所以.
故选：B
6.答案：B
解析：依题意得这组数据各数之和为,
设删去的两数之和为,若剩下数据的平均数小于,则,解得,
则删去的两个数可以为,,,,,,,,,,共11种情况,
从中任意取两个数有:,,,,,,
,,,,,,,,,共15种情况,
故所求概率.
故选:B
7.答案：B
解析：由题意知,摸出两个球要么颜色相同要么颜色不同,即A正确;
当第一次摸到红球,第二次也摸到红球时,C,D可同时发生,即B不正确;
事件C包括:第一次摸到白球,第二次摸到红球和第一次摸到红球,第二次摸到白球,所以,即C正确;
,
则,所以D正确.
故选：B.
8.答案：B
解析：因为事件A,B互斥, 它们都不发生的概率为,
所以.
将代入上式可得 ,
所以,.
故选：B.
9.答案：ABD
解析：古典概型的特点：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个：②每个基本事件出现的可能性相等.显然A、B、D符合古典概型的特征，所以A、B、D是古典概型：C选项，每天是否降雨受多方面因素影响，不具有等可能性，不是古典概型.故选ABD.
10.答案：CD
解析：由题图知参加兴趣小组的共有（人），只属于数学、英语、音乐小组的人数分别为10，6，8人，故只属于音乐小组的概率为，故A错误；只属于英语小组的概率为，故B错误；“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为，故C正确；“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”，故他属于不超过2个小组的概率是，故D正确.故选CD.
11.答案：
解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为.
12.答案：
解析：从分别写有1,2,3,4的4张卡片中有放回的随机抽取2次,每次抽取1张,共有16种不同情况,
其中2次抽到的卡片上的数字之和为5的情况有4种,分别为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),
则所求概率为
13.答案：
解析：因为A，B，C三个地区的人口数的比为，
所以设A，B，C三个地区的人口数分别为，，，
则这三个地区患了流感的人数分别为，，.
现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为：
.
故答案为：.
14.答案：(1)
(2)结果见解析,
解析：(1)由所给数据可知,一等品零件共有5个.
设“从8个零件中,随机抽取一个为一等品”为事件A,则.
所以,从8个零件中,随机抽取一个为一等品的概率为.
(2)一等品零件的编号为,,,,.从这5个一等品零件中依次不放回随机抽取2个,所有可能的结果有：,,分共20种.
设“从一等品零件中,随机抽取的2个零件直径相等”为事件,所有可能结果有：,共有8种.
所以,.
15.答案：（1）盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1；
（2）（ⅰ），；
（ⅱ）此游戏不公平，理由见解析
解析：（1）从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件A，B，C，
因为A，B，C为两两互斥事件，
由已知得解得
所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1；
（2）（ⅰ）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用a表示黄球，用b表示蓝球，m表示第一次取出的球，n表示第二次取出的球，表示试验的样本点，则样本空间，；
（ⅱ）由（ⅰ）得，记“取到两个球颜色相同”为事件M，“取到两个球颜色不相同”为事件N，则，所以，
所以，
因为，所以此游戏不公平.
