专题 16 平面向量及其应用（六大题型+模拟精练）
目录：
01 平面向量的有关概念
02 平面向量的线性运算
03 平面向量的数量积
04 平面向量的基本定理与坐标表示
05 平面向量的综合应用
06 三角形的“心”的向量表示
01 平面向量的有关概念
1．下列说法错误的是（ ）．
A．零向量没有方向
B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同
C．只有零向量的模等于 0
uuur uuur
D．向量 AB 与BA的长度相等
【答案】A
【分析】A.由零向量的定义判断；B.由相等向量的定义判断；C.由向量模的定义判断；D.由相反向量的定义
判断.
【解析】A.规定零向量的方向是任意的，所以零向量有方向，故错误；
B.两个相等的向量大小相同，方向相同，所以若起点相同，则终点必相同，故正确；
C.由向量模的定义可知只有零向量的模等于 0，故正确；
uuur uuur
D.向量 AB 与BA是相反向量，大小相同，方向相反，故正确；
故选：A
r r
2．若向量 a与b 为非零向量，下列命题中正确的是（ ）
r r r rA．若 a = b ，则 2a > 3b
uuur uuur uuur uuur
B．BC - BA - DC = DA
r r r r
C．若非零向量 a + b = a + b
r r
，则 a与b 的方向相同
r ra b cr r rD．若 = = ，则 a = b = cr
【答案】C
【分析】利用平面向量不能比大小可判断选项 A；利用平面向量的加法与减法法则可判断选项 B；由平面向
量的数量积和模的性质可判断选项 C；根据向量相等的定义判断 D 选项.
【解析】对于 A 选项，由于向量不能比大小，所以 A 选项错误；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
对于 B 选项，BC - BA - DC = AB + BC + CD = AD ，B 错误；
r r r r r r 2 r r 2对于 C 选项， 因为 a + b = a + b ，所以 a + b = a + b ，
r 2 r 2a b r
r r r r r
所以 + + 2 a × b = a2 + b 2 + 2a ×b ，
r r r r r r r r r
所以 2 a × b = 2a ×b ，设向量 a × b = a × b ×cos a
r,b
ar
r r r r
又向量 与b 是非零向量，所以 cos a
r,b =1，又 a,b 0, π ，
r r r r
所以 a,b = 0，故 a与b 的方向相同；C 正确；
r ra b cr
r r r r
若 = = ， a,b,c方向不一定相同，则 ar,b ,cr不一定相等，D 错误；
故选：C.
r
3．与向量 a = 1,1 平行的所有单位向量为（ ）
2 , 2
2 2
A． ÷÷ B． - , - ÷÷
è 2 2 è 2 2
2 2 2 2 2 2
C． ± ,±2 2 ÷÷
D． , 或2 2 ÷÷
- , - ÷÷
è è è 2 2
【答案】D
r r
r r a a
【分析】首先求出 a ，则与向量 a = 1,1 平行的单位向量为 r 或- ra ，即可判断.a
r r
2 2
【解析】因为 a = 1,1 ，所以 a = 1 +1 = 2 ，
r r
r a 1
所以与向量 a = 1,1 平行的单位向量为 r = 1,1
2 2 a
= , ÷ 或- r
1
= - 1,1 2 2= - ,- ÷ .
a 2 ÷ ÷è 2 2 a 2 è 2 2
故选：D
r r r r
4．已知两个单位向量 a ，b 的夹角是60°，则 a - 3b = .
【答案】 7
r r
【分析】利用单位向量模长以及夹角，将 a - 3b 平方即可求得结果.
r r r r r r
o 1
【解析】由单位向量可知 a = b =1，且 a ×b = a × b cos 60 = ；
2
r r 2 r 2 r 2 r r 1
所以可得 a - 3b = a + 9 b - 6a ×b =10 - 6 = 7 ，
2
r r
即 a - 3b = 7 .
故答案为： 7
02 平面向量的线性运算
uuur uuur uuur
5．在VABC 中，D是BC 的中点，E 在 AD 上，且 AE = 2ED ，则BE =（ ）
1 uuur 2 uuur 1 uuur 2 uuur
A． AB - AC B．- AB + AC
3 3 3 3
2 uuurAB 1
uuur uuur uuur
C． - AC
2 AB 1D．- + AC
3 3 3 3
【答案】D
【分析】根据题意利用平面向量基本定理结合向量的加减法运算求解即可.
uuur 1 uuur 1 uuur
【解析】因为D是BC 的中点，所以 AD = AB + AC .
2 2
uuur uuur uuur 2 uuur 1 uuur 1 uuur
因为 AE = 2ED ，所以 AE = AD = AB + AC ，3 3 3
uuur uuur uuur 2 uuur 1 uuur
则BE = AE - AB = - AB + AC .
3 3
故选：D
uuur r uuur r uuur
6．如图所示，在VABC 中，D为 BC 边上的三等分点，若 AB=a ， AC = b ，E 为 AD 中点，则BE =（ ）
2 r 1 r r
A．- a + b
2 r 1
B． a + b
3 6 3 6
1 r 1 ra b 1 ar 1
r
C．- + D． + b
3 6 3 6
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算即可求解.
【解析】
uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur 1 uuur uuur 1 uuur 1 uuur uuur 2 uuur 1 uuur rBE = AE - AB = AD - AB = AB + BC ÷ - AB = - AB + AC - AB 2 r 1= - AB + AC = - a + b2 2 è 3 2 6 3 6 3 6
故选：A
7．如图，在平行四边形 ABCD中，E、F 分别是CD 边上的两个三等分点，则下列选项错误的是（ ）
1 uuur uuur uuur
A．EF = AB B．
3 AD + DC = AB + BC
uuur uuur uuur uuur 2 uuur 1 uuur
C．CB - CE = EB D． AF = AD + AC3 3
【答案】D
【分析】根据向量加法法则、向量减法法则及平面向量基本定理即可求解.
uuur uuur
【解析】对 A：由题意知，E、F 分别是CD 边上的两个三等分点，且EF 与 AB 方向相同，
uuur 1 uuur 1 uuur
则EF = DC = AB，故 A 正确；
3 3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
对 B：由图可知， AD + DC = AC ， AB + BC = AC ，所以 AD + DC = AB + BC ，
故 B 正确；
uuur uuur uuur
对 C：CB - CE = EB ，故 C 正确；
uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur 2 uuur uuur uuurAF AD DF AD DC AD AC AD 1 AD 2 uuur对 D： = + = + = + - = + AC ，故 D 错误.3 3 3 3
故选：D.
uuur uuur uuur
8．在VABC 中，D BC r为 中点，连接 AD ，设E 为 AD 中点，且BA = x, BE = yr，则BC = （ ）
A． 4x
r 2yr r r+ B．-4x + y
r r r r
C．-4x - 2y D． 4y - 2x
【答案】D
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】利用平面向量基本定理将 BE 用BC, BA表示出来，再用向量的线性运算把BC 用BE, BA表示即可.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【解析】由于BE
1
= BA + BD 1= BA 1+ BC ，所以BC = 4BE - 2BA = 4yr - 2xr，2 2 4
故选：D
r r
9．如图所示， a - b = （ ）
ur uur ur uur
A． 2e1 - 3e2 B．-2e1 + 3e2
ur uur ur uur
C．3e1 - 2e2 D．-3e1 + 2e2
【答案】A
【分析】结合图形，由平面向量正交分解和向量的线性运算即可得到结果.
r ur uur r ur uur
【解析】由题意得， a = 3e1 + e2 ，b = e1 + 4e2 ，
r r ur uur
故 a - b = 3e1 + e2 -
ur uur ur uur
e1 + 4e2 = 2e1 - 3e2 .
故选：A．
r r r r 1 ar 3
r
10．已知向量 a,b 不共线，则向量-ta + b 与 - b(t R)共线时，实数 t =（t 2 ）
A 6 B 6 2
2
． ．± C． D3 ．±3 3 3
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用共线向量定理，列式计算即得.
r r r r r
【解析】由向量 a,b 不共线，得向量-ta + b 0，
r r 1 r 3 r 1 r 3 r r r
由向量-ta + b 与 a - b 共线，得 a - b = l(-ta + b),l R ，t 2 t 2
ì
-lt
1
=
t 6
于是 í 3 ，所以 t = ±
.
l = - 3
2
故选：B
uuuur uuuur
11．已知M 是边长为1的正VABC的边 AC 上靠近C的四等分点， N 为 AB 的中点，则BM × MN 的值是（ ）
1 1
A - B - C 1
1
． ． ． 2 D．2 4 4
【答案】A
uuuur
BM 3
uuur 1 uuur uuuur 1 uuur 3 uuur
【分析】根据平面向量的线性运算可得 = BC + BA ，MN = BA - BC4 4 4 4 ，结合数量积的运算律计算即可求
解.
【解析】如图，
uuuur 3 uuur 1 uuur uuuur uuur uuuur 1 uuur 3 uuur 1 uuur 1 uuur 3 uuur BM = BC + BA ，MN = BN - BM = BA - ( BC + BA) = BA - BC4 4 2 4 4 4 4 ，
uuuur uuuur 3 uuur 1 uuur uuur uuur
所以 BM × MN = ( BC + BA) × (
1 BA 3- BC)
4 4 4 4
3 uuur uuur 9 uuur2 1 uuur2 3 uuur uuurBC BA BC BA BA BC 9 1 1= × - + - × = - + = - .
16 16 16 16 16 16 2
故选：A
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
12．在VABC 中， AC × BC = 0且 (AC + BC) × (AC - BC) = 0，则错误的选项为（ ）
uur uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur
A． | CA - CB |=| CA + CB | B． | AB - AC |=| BA - BC |
uur uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur uur
C． | CA - BA |=| CB - AC | D． | CA + CB |2 =| AB - AC |2 + | BA - CA |2
【答案】C
【分析】先由条件推得VABC 为等腰直角三角形，不妨作正方形 ADBC ，取边长为 1，结合图形依次化简等
式的左右向量式，计算即可判断正误.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【解析】由 AC × BC = 0可知 ACB = 90o ,又由 (AC + BC) × (AC - BC) = 0可得 | AC |=| BC |，
故得VABC 为等腰直角三角形.
如图，作正方形 ADBC ，设边长为 1，连接CD, AB .
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
对于 A 项， | CA - CB |=| BA |= 2，CA + CB = CD = 2 ，故 A 项正确；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
对于 B 项， AB - AC = CB =1，而 | BA - BC |=| CB + BA |=| CA |=1，故 B 项正确；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
对于 C 项， | CA - BA |=| CA + AB |=| CB |=1，而 CB - AC = CB + CA = CD = 2 ，故 C 项错误；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
D 2 2 2对于 项， CA + CB | = CD | = 2，而 AB - AC | + BA - CA |2 = CB |2 + BC |2 = 2，故 D 项正确.
故选：C.
03 平面向量的数量积
uuur uuur
13．在VABC 中，内角 A, B,C a,b,c
sinB
所对的边分别为 ，D是BC 的中点，BC × AD = 2c2 ，则 = ．sinC
【答案】 5
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律，结合正弦定理边化角即可得解.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【解析】在VABC 中，D是BC 的中点，BC × AD = (AC - AB)
1
× (AC + AB) = 2c2 ，
2
uuur2 uuur2
则 AC AB 4c2 ，即b2 - c2 2- = = 4c ，因此b2 = 5c2 ，
sinB b
所以 = = 5 .
sinC c
故答案为： 5
uuur 2 uuur uuur uuur uuur x + y
14．在VABC 中，BD = BC ，P 是线段 AD 上的动点（与端点不重合），设CP = xCA + yCB，则 xy 的最3
小值是 .
【答案】 4 + 2 3
uuur 2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】由BD = BC ，得到CB = 3CD，从而有CP = xCA + 3yCD，再根据 A, P, D 三点共线，得到3
x + 3 y = 1，然后利用基本不等式求解.
uuur 2 uuur
【解析】解：因为在VABC 中，BD = BC ，
3
uuur uuur
所以CB = 3CD，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
又因为CP = xCA + yCB，则CP = xCA + 3yCD，
因为 A, P, D 三点共线，则 x + 3 y = 1，结合题意知 x > 0, y > 0，
x + y 1 1 1 1
所以 = + = + x + 3y ，
xy y x è y x
÷
x 3y 4 2 x 3y= + + × + 4 = 2 3 + 4，
y x y x
ì x 3y
ì
x 3 -1= = y x 2当且仅当 í ，即 í 时，等号成立，
x + 3y =1 y 3- 3 = 6
故答案为： 4 + 2 3
r r r r r r r r
15．已知向量 a,b满足 a = b = 2 ， a - b = 2 3 ，则a ×b =（ ）
A．－2 B．-2 3 C． 2 3 D．6
【答案】A
r r r r 2
【分析】由条件 a - b = 2 3 ，两边平方可得 a -b =12，结合数量积的运算律化简可求结论.
r r
【解析】因为 a - b = 2 3 ，
r r 2所以 a -b =12，
r 2 r2 r r
所以 a + b - 2a ×b =12，
r 2 r 2 r r r r
所以 a + b - 2a ×b =12，又 a = b = 2 ，
r r
所以 a ×b = -2，
故选：A.
ur r ur r ur r r r
16．已知平面向量m ， n均为单位向量，若 | m - 3n |= 7 ，则向量m ， n的夹角 m, n =（ ）
π π π 2π
A． B． C． D．
6 4 3 3
【答案】C
ur r ur r 1
【分析】 | m - 3n |= 7 两边平方，求出m × n = ，利用向量夹角余弦公式求出答案.
2
mr r r r r r r r【解析】 - 3n 2 = m - 3n 2 = m2 - 6m ×n + 9n2 ,
ur r ur r
因为m ， n均为单位向量， | m - 3n |= 7 ，
ur r ur r
m n 1所以1- 6m × n + 9 = 7，解得 × = ，2
r r 1
所以 cos mr , nr m × n 1= r r = 2 = ，m × n 1 1 2
mr , nr又 0, π r，故 m, nr π= .
3
故选：C .
r
17．若向量 a
r
= l,1 与b = 4,2 的夹角为锐角，则实数l 的取值范围是 .
1
【答案】 - , 2
÷ 2, +
è 2
r r r r r r r r
【分析】由 a 与b 的夹角为锐角，则 agb > 0 ，列出不等式解出l ，要去掉使 a 与b 同向（ a 与b 的夹角为 0）
的l 的取值.
r r r r 1
【解析】∵ a 与b 的夹角为锐角，∴ agb > 0 ，即 4l + 2 > 0，解得l > - ，2
r r
当 a 与b 共线时，可得 2l - 4 = 0，解得l = 2，
r r
所以当l = 2时， a 与b 同向，
( 1∴实数l 的取值范围是 - , 2) (2, + ) .
2
1
故答案为： (- , 2) (2, + ) .
2
r r
18．已知 e
r
是单位向量，且 2e - a = 10, ar r r r+ 2e 在 e 上的投影向量为5e ，则 ar与 er 的夹角为（ ）
π π π 5π
A． B． C． D．
6 4 3 12
【答案】B
r r
【分析】根据 2e - a = 10,
r r r
，推理得到ar2 4ar r- × e = 6，再由投影向量求得 a ×e = 3，联立得到 a = 3 2 ，利
用两向量的夹角公式计算即得.
r r r
【解析】因为 e 是单位向量，且 2e - a = 10 ，
r
两边平方得，4e 2 r r r r- 4a × e + a 2 = 10，即a 2 4ar r- × e = 6（*），
ar 2er er+ × r
由 ar r r+ 2e r在 e 上的投影向量为5e ，可得 r 2 ×e = 5e
r
，
e
ar 2er er r r r所以 + × = 5，即 a ×e = 3 r，代入（*）可得，a2 =18，即 a = 3 2 ，
r r
所以 cosa
r,er a ×e 3 2= r = = ，a er 3 2 2
ar,er因为 0, π r，所以 a,er π= ．
4
故选：B．
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
19．已知向量 OA = 3， OB = 2 ，BC = m - n OA + 2n - m -1 OB ，若OA与OB 的夹角为60°，且OC
uuur n
⊥ AB ，则实数 的值为（m ）
7 4 6 1
A． B． C． D．
8 3 5 6
【答案】A
uuur uuur uuur n 7
【分析】利用向量的线性运算得到OC = m - n OA + 2n - m OB，再由向量垂直得到方程，求出 = .
m 8
uuur uuur uuur
【解析】BC = m - n OA + 2n - m -1 OB ，
uuur uuur uuur uuur
即OC - OB = m - n OA + 2n - m -1 OB ，
uuur uuur uuur
所以OC = m - n OA + 2n - m OB，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
因为OC ⊥ AB ，所以OC × AB = é m - n OA + 2n - m OB ù × OB - OA
uuur uuur uuur uuur
= é m - n OA + 2n - m OB ù × OB - OA
uuur uuur uuur uuur
= 2 22m - 3n OA ×OB - m - n OA + 2n - m OB
uuur uuur uuur 2 uuur 2
= 2m - 3n OA × OB cos 60° - m - n OA + 2n - m OB
= 2m - 3n 3 1 2 - 9 m - n + 4 2n - m
2
= 6m - 9n - 9m + 9n + 8n - 4m = -7m + 8n = 0，
n 7
解得 =
m 8
故选：A
20．在矩形 ABCD中， AB = 4 ，BC = 2，E 为 AD 的中点，F 为 AB 的中点，Q 为边CD 上的动点（包括端
uuur uuur
点），则QE ×QF 的取值范围为 ．
【答案】 1,10
uuur uuur
【分析】建立适当的平面直角坐标系，引入参数 t ，结合向量数量积的坐标公式将QE ×QF 表示成 t 的函数，
由此即可得解.
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系：
由题意 A 0,0 , B 4,0 ,C 4,2 , D 0,2 , E 0,1 , F 2,0 ，设Q t, 2 , 0 t 4 ，
uuur uuur uuur uuur
从而QE = -t,-1 ,QF = 2 - t, -2 ,QE ×QF = t 2 - 2t + 2 = t -1 2 +1, t 0,4 ，
uuur uuur
所以QE ×QF = t -1 2 +1, t 0,4 的取值范围是 1,10 .
故答案为： 1,10 .
uuuur uuur uuur
21．已知 AB 是圆 O： x2 + y2 = 2的直径，M，N 是圆 O 上两点，且 MON = 120°，则 OM + ON × AB的最小
值为（ ）
A．0 B．-2 C．-4 D．-4 3
【答案】C
uuuur uuur uuur
【分析】取MN 的中点 C，结合垂径定理与数量积的运算表示出 OM + ON × AB后，借助三角函数值域即可
得解.
【解析】设MN 的中点为 C，∵ MON = 120°，OM = ON ，
则OC = 2 sin 30° = 2 ，
2
uuuur uuur uuur
∵C 为MN 的中点，∴ OM + ON = 2OC ，
uuur uuur
设向量OC 与 AB 的夹角为q 0 q π ，
∴ uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurOM + ON × AB = 2OC × AB = 2 OC AB cosq = 4cosq ，
uuuur uuur uuur
又 cosq -1,1 ，∴ OM + ON × AB的最小值为-4 .
故选：C.
22．在平行四边形 ABCD中， AC = 2BD = 4 ，点 P 为该平行四边形所在平面内的任意一点，则
uuur uuur uuur uuur
| PA |2 + | PB |2 + | PC |2 + | PD |2 的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】设 AC 与BD的交点为O，由PA = PO + OA，两边平方可表示出 | PA |2，同理可表示 | PB |2 ,| PC |2 ,| PD |2 ，
四个式子相加化简可求得结果.
uuur uuur uuur
【解析】设 AC 与BD的交点为O，由PA = PO + OA，
uuur uuur uuur uuur uuur
得 | PA |2 =| PO |2 + | OA |2 +2PO ×OA，
uuur uuur uuur uuur uuur
同理可得 | PB |2 =| PO |2 + | OB |2 +2PO ×OB ，
uuur uuur uuur uuur uuur
| PC |2 =| PO |2 + | OC |2 +2PO ×OC ，
uuur uuur uuur uuur uuur
| PD |2 =| PO |2 + | OD |2 +2PO ×OD ，
uuur uuur uuur uuur
所以 | PA |2 + | PB |2 + | PC |2 + | PD |2 =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
4 | PO |2 + | OA |2 + | OB |2 + | OC |2 + | OD |2 +2PO × (OA + OB + OC + OD)
uuur
= 4 | PO |2 +10 10，当点 P 与点O重合时，等号成立.
故选：C
04 平面向量的基本定理与坐标表示
uur uur
23．设 e2 、 e2 是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ）
ur ur uur ur uur ur uur
A． e1 和 e1 + 2e2 B． e1 + 2e2 与3e1 - e2
ur uur ur uur ur uur uur ur
C． e1 + 2e2 与-2e1 - 4e2 D．3e1 - e2 与 4e2 - e1
【答案】C
【分析】根据基底的概念及平面向量基本定理判断即可.
uur uur
【解析】 e2 、 e2 是不共线的两个非零向量，
ur ur uur 1 0 ur ur uur
对于 A， e1 和 e1 + 2e2 中， ， e1 和 e1 + 2e2 不共线，可作基底，A 不是；1 2
ur uur ur uur 1 2 ur uur ur uur
对于 B， e1 + 2e2 与3e1 - e2 中， ， e1 + 2e2 与3e - e3 -1 1 2
不共线，可作基底，B 不是；
ur uur ur uur 1 2 ur uur ur uur
对于 C， e1 + 2e2 与-2e1 - 4e2 中， = ， e1 + 2e2 与-2e1 - 4e2 共线，不能作基底，C 是；-2 -4
ur uur uur ur 3 -1 ur uur uur ur
对于 D，3e1 - e2 与 4e2 - e1 中， ，3e1 - e2 与 4e2 - e1 不共线，可作基底，D 不是.-1 4
故选：C
ur r ur r
24．在VABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b ， c .向量 p = a + c,-b , q = a + b,a - c ，若 p / /q，
则角C 的大小为（ ）
π π π 2π
A． B． C． D．
6 3 2 3
【答案】D
【分析】先由 p
r / /qr得到-ab = a2 + b2 - c2 ，再利用余弦定理即可得解.
ur r ur r
【解析】因为 p = a + c,-b , q = a + b,a - c ， p / /q，
所以 a + c × a - c - -b × a + b = 0 ，即-ab = a2 + b2 - c2 ，
2 2 2
cosC a + b - c -ab 1由余弦定理可得 = = = - .
2ab 2ab 2
因为C 0, π C 2π，所以 = ，
3
故选：D.
r r 2π r r uuur r r uuur r r uuur 1 uuur
25．已知向量 a ，b 的夹角为 ， a =1， b = 2，在VABC 中， AB = 2a + 3b，3 AC = 2a - b
，BD = BC ，
2
uuur
则 AD =（ ）
A．2 B． 2 2 C． 2 3 D．6
【答案】A
r r uuur r r
【分析】首先由数量积的定义求出 a ×b ，再由平面向量线性运算法则得到 AD = 2a + b，最后根据
uuur
AD = r r 22a + b 及数量积的运算律计算可得.
r r 2π r r
【解析】因为向量 a ，b 的夹角为 ， a =1， b = 2，3
r r r r
所以 a ×b = a b cos
2π 1
=1 2 -
3 2 ÷
= -1，
è
uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur 1 uuur又因为 AD = AB + BD = AB + BC = AB + AC - AB = AC + AB2 2 2 2
1 r r= 2a 1- b +2 2
r r
2a + 3b r r= 2a + b，
uuur r r 2 r 2 r r r2所以 AD = 2a + b = 4a + 4a ×b + b
= 4 12 + 4 -1 + 22 = 2 .
故选：A
r r r
26．已知向量 a = 1,0 ,b = 4,m ，若 2ar - b 不超过 2 2 ，则m 的取值范围为（ ）
A． é - 3, 3ù B． é- 2, 2ù C． -3,3 D． -2,2
【答案】D
r r r r
【分析】先求得 2a - b 的坐标，再由 2a - b 不超过 2 2 求解.
r r r
【解析】解：因为 2a - b = 2，0 - 4，m = -2 r，- m ，且 |2a - b|不超过 2 2 ，
所以 (-2)2 + (-m)2 ≤ 2 2 ，解得-2 m 2 ，
故选：D．
uuur uuur uur uuur
27．如图，在等腰梯形 ABCD中， AB = BC = 2,CD = 3, BC = 4BE ，则CA × DE = .
15
【答案】-
4
【分析】建立平面直角坐标系，坐标法求向量数量积.
【解析】在等腰梯形 ABCD中， AB = BC = 2,CD = 3，
FC 1B CD F = BF BC 2 FC 2 15过 作 的垂线，垂足为 ， ，2 = - =
，
2
以CD 的中点O为原点，OC 为 x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
3 3 15 15
依题意可得D - ,0÷ ,C ,0÷ , A2 2
-1, ÷÷ , B2 è è
1,
2 ÷÷
，
è è
uuur uuur 9 3 15
由BC = 4BE ，得E ,8 8 ÷÷ ，è
uuur
CA 5 , 15
uuur 21 3 15
所以 = - ,DE = , ，
è 2 2 ÷
÷
è 8 8 ÷
÷
uuur uuur
得CA × DE 5 21 15 3 15 15= - + = - .
2 8 2 8 4
15
故答案为：- .
4
uuur uuur uuur uuur uuur
28．如图，点O是VABC
m
的重心，点D是边BC 上一点，且BC = 4DC ，OD = mAB + nAC ，则 = （n ）
1 1 1 1
A． B．- C．- D．
5 4 5 4
【答案】C
uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur
【分析】延长 AO 交BC 于E ，根据题意，得到 AO = 2OE且 AE = AB + AC ，再由BC = 4DC ，可得D是2
uuur uuur uuur
BC 的四等分点，根据向量的运算法则，求得OD
1 5
= - AB + AC ，求得m, n的值，即可求解.
12 12
【解析】如图所示，延长 AO 交BC 于E ，
uuur uuur uuur 1 uuur uuur
由已知O为VABC 的重心，则点E 为BC 的中点，可得 AO = 2OE，且 AE = 2 AB + AC ，
uuur uuur
又由BC = 4DC ，可得D是BC 的四等分点，
uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur 1 1 uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur则OD = OE + ED = AE + BC = AB + AC + AC 5- AB = - AB + AC ，3 4 3 2 4 12 12
uuur uuur uuur 1 5 m 1
因为OD = mAB + nAC ，所以m = - ， n = ，所以 = - ．12 12 n 5
故选：C.
uuur uuur uuur
29．如图，边长为 2 的等边三角形的外接圆为圆 O，P 为圆 O 上任一点，若 AP = xAB + y AC ，则 x + y 的最
大值为（ ）
8 4
A． B．2 C． D．1
3 3
【答案】C
2 3 2 3
【分析】以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，设P( cosq , sinq )，根据题意，求得
3 3
2x y 2 3 2 3
4
+ = cosq +1且 3y = sinq 3+ ，得到 2x + 2y = sin(q
π 4
+ ) + ，结合三角函数的性质，即可求
3 3 3 3 3 3
解.
【解析】以O为坐标原点，过点O平行于 AB 的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，
3 3 2 3
如图所示，可得 A(-1, - ), B(1, - ),C(0, ) ，
3 3 3
因为VABC 2 3是边长为 2 的等边三角形，可得其外接圆的半径为R = ，
3
P VABC P(2 3 2 3因为点 在 的外接圆上，设 cosq , sinq )，其中q [0, 2π)，
3 3
uuur 2 3 2 3 3 uuur uuur
则 AP = ( cosq +1, sinq + )，且 AB = (2,0), AC = (1, 3)，
3 3 3
uuur uuur uuur
又因为 AP = xAB y AC 2x y 2 3+ ，可得 + = cosq 2 3 3+1且 3y = sinq + ，
3 3 3
2x 2y 2 3所以 + = cosq 1 2+ + sinq 1 4+ = sin(q π+ ) 4+ ，
3 3 3 3 3 3
q π π q π 8当 + = 时，即 = 时， 2x + 2y 取得最大值为 ，
3 2 6 3
4
所以 x + y 取得最大值为 .
3
故选：C.
30．如图，四边形 ABCD是边长为 1 的正方形，延长 CD 至 E，使得DE＝2CD．动点 P 从点 A 出发，沿正
uuur uuur uuur
方形的边按逆时针方向运动一周回到 A 点， AP = l AB + m AE ，则l + m 的取值范围为 ．
【答案】 0,4
【分析】建立适当的平面直角坐标系，讨论P AB, P BC, P CD, P DA四种情况，即可求出l + m 的取值
范围.
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系：
uuur uuur uuur
则B 1,0 , E -2,1 ，所以 AP = l AB + m AE = l - 2m, m ，
ì0 l - 2m 1
当P AB时，有 í ，即0 l 1, m = 0，此时l + m 的取值范围为 0,1 ，
m = 0
ìl - 2m =1
当P BC 时，有 í ，即1 l + m = l - 2m + 3m =1+ 3m 4，此时l + m 的取值范围为 1,4
0 1
，
m
ì0 l - 2m 1
当P CD 时，有 í ，即3 l + m = l - 2m + 3m = l - 2m + 3 41 ，此时l + m 的取值范围为 m =
3,4 ，
ìl - 2m = 0
当P DA时，有 í ，即0 l + m = l - 2m + 3m = 3m 3，此时l + m 的取值范围为 0,3 ，
0 m 1
综上所述，l + m 的取值范围为 0,4 .
故答案为： 0,4 .
uuur uuur
31．已知菱形 ABCD边长为 1，且 AB
1
× AD = - , E 为线段 AD 的中点，若F 在线段CE上，且
2
uuur uuur uuur
BF = lBA 5+ BC ，则l = ，点G 为线段 AC 上的动点，过点G 作BC 的平行线交边 AB 于点M ，过
6
uuuur uuuur uuur
点M 做BC 的垂线交边BC 于点 N ，则 MG + MN × MF 的最小值为 .
1 31
【答案】
3 80
【分析】建立适当平面直角坐标系，由题意可得各点坐标，从而可得所需向量的坐标表示，结合向量共线
uuuur uuuur uuur
的坐标表示可得l ，借助向量的数量积公式计算即可得 MG + MN × MF 的最小值.
【解析】如图所示，以A 为原点建立平面直角坐标系，则有 A 0,0 、B 1,0 ，
uuur uuur 1
由 AB × AD = - ，则 DAB =120°，
2
D 1 , 3
E 1
, 3 C 1 , 3
则 - ÷÷ ，则2 2
- ，
4 4 ÷÷ ÷÷
，
è è è 2 2
uuur uuur
BC 1 3
uuur uuur 5 uuur
则BA = -1,0 ， = - , ，由BF = lBA + BC ，
è 2 2 ÷
÷
6
uuur
即BF
5
= -l - ,
5 3 F l 7 , 5 3，则 - +
12 12 ÷÷ 12 12 ÷÷
，
è è
uuur 1 3 uuur 5 3
则CF = -l + , - ，EF = -l + , ，
è 12 12 ÷
÷ ÷÷
è 6 6
1 3 5 3
又F 在线段CE上，故有 -l + ÷ - -l +
12 6 6 ÷
- ÷÷ = 0，è è è 12
1 uuur 3 5 3 1 5 3
解得l = ，即BF = - ， ÷÷ ，F 3
, ÷÷ ；
è 4 12 è 4 12
uuur uuur
设 AG = m AC ，m 0,1 ，
则G
1
m,
3 m ÷÷ ，由GM / /BC ，则M m,0 ，
è 2 2
由MN ^ BC ， DAB =120°，则 ABC = 60°，则 NMB = 30°，
MN 3 3
3 1 3
则 = BM = 1- m ，故 N + m, 1- m ÷，
2 2 4 4 4 ֏
uuuur 1 uuuur uuur
则MG = - m,
3 m ÷÷，MN
3 3
= - m,
3 1- m 1÷÷ ，MF = - m,
5 3
2 2 4 4 4 4 12 ÷÷
，
è è è
uuuur uuuur uuur é ù则 MG MN MF 1 3 3 1 3 3 5 3+ × = - m + - m ÷ - m ÷ + ê m + 1- m
è 2 4 4
ú
è 4 2 4 12
3 5 1 3 = - m
÷
- m
÷ + m
3 5 3
+ ÷
è 4 4 è 4 4 4 ÷è 12
5 17
= m 2 - m 3 5 m 5+ + +
4 16 16 16 16
5
= m 2 3 1- m +
4 4 2
5 3
2 31
=
4
m - ÷ + ，
è 10 80
3 uuuur uuuur uuur
则当m = 时， MG + MN × MF 31有最小值 .10 80
1 31
故答案为： ； .
3 80
05 平面向量的综合应用
uuur uuur
uuur uuur uuur2 uAuCur uAuB 232．在VABC 中，BA × AC + AC = 0， × ur =AC AB 2 ，则VABC 的形状为（ ）
A．等腰直角三角形 B．三边均不相等的三角形
C．等边三角形 D．等腰（非直角）三角形
【答案】A
uuur uuur π π
【分析】由数量积的运算律得到BC × AC = 0，即可得到 ACB = ，再由数量积的定义求出 CAB = ，即2 4
可判断.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur
【解析】因为BA × AC + AC = 0，即 BA + AC × AC = 0，即BC × AC = 0，
uuur uuur π
所以BC ^ AC ，即 AC ^ BC ，则 ACB = ，2
uuur uuur
AC
uuur uuur
AB uuur
又 表示与 AC 同向的单位向量， uuurAB 表示与 AB 同向的单位向量，AC
uuur uuur
uAuC所以 ur u
AB
× uur =1 1 cos CAB 2=
2 ，又 CAB
π
0, π
AC AB ÷ ，所以
CAB = ，
è 2 4
π
所以 CBA = ，
4
所以VABC 是等腰直角三角形．
故选：A
33．已知圆锥 SO 的底面半径为 2，点 P 为底面圆周上任意一点，点 Q 为侧面（异于顶点和底面圆周）上任
uuur uuur
意一点，则OP ×OQ 的取值范围为（ ）
A． -4,4 B． -4,4 C． -2,2 D． -2,2
【答案】A
【分析】利用空间向量的线性运算及数量积公式结合夹角余弦的范围计算即可.
【解析】
如图所示，延长 SQ 交底面圆周于 B，过 Q 作QG ^底面圆于 G 点，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur显然OP ×OQ = OP × OG + GQ = OP ×OG = 2cosOP,OG × OG ，
uuur uuur
由题意可知 cosOP,OG -1,1 ,0 < OG < 2，
uuur uuur
所以OP ×OQ 的取值范围为 -4,4 .
故选：A
34．已知圆C 的半径为 1，过圆C 外一点 P 作一条切线与圆C 相切于点A ， | PA |= 2，Q为圆C 上一个动点，
uuur uuur
则PA × PQ的取值范围为（ ）
A． 2,4 B． 2,6 C． 0,4 D． 4,6
【答案】B
【分析】方法一：建立合适的坐标系，设Q(cosq ,sinq )，根据余弦函数的范围即可得到数量积范围；方法二：
根据数量积与投影向量之间的关系进行转化即可.
【解析】方法一：不妨设圆心C(0,0)， A(0, -1)， P(-2,-1)，Q(cosq ,sinq )，
uuur uuur
所以PA × PQ = (2,0) × (cosq + 2,sinq +1) = 2cosq + 4 ，
因为-1 cosq 1，
uuur uuur
所以 2 PA × PQ 6 .
方法二：如图，过圆心C 作MN ∥PA，且与圆C 交于点 M，N，连接PM ，PN ，
过 M，N 分别作MG ^ PA， NH ^ PA，垂足分别为 G，H，过Q作QT ^ PA，垂足为T ，
uuur uuur uuur
则PQ在PA方向上的投影向量为 PT ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
则PA × PQ = PA × PT = PA × PT ， PA = 2，
uuur uuur uuur
又1 PT 3，所以 2 PA × PQ 6 .
故选：B.
uuur uuur uuur r
35．如图所示，O 点在VABC 内部，D, E 分别是 AC, BC 边的中点，且有OA + 2OB + 3OC = 0 ，则△AEC 的
面积与VAOC 的面积的比为（ ）
3 2 4 3
A． B． C3 ． D．2 3 4
【答案】A
DE 3
【分析】由题意可知O, D, E 三点共线，且 =OD 2 ，再由三角形面积公式即可求解.
uuur uuur uuur r uuur uuur uuur uuur
【解析】由OA + 2OB + 3OC = 0可得OA + OC = -2 OB + OC ，
又因为D, E 分别是 AC, BC 边的中点，
uur uuur uuur uuur uuur uuur
所以OA + OC = 2OD，OB + OC = 2OE ，
uuur uuur uuur uuur
所以 2OD = -4OE ，即OD = -2OE ，
DE 3
所以O, D, E 三点共线，且 =OD 2 ，
3
所以E 到 AC 的距离与O到 AC 的距离之比也为 ，
2
又△AEC 的面积与VAOC 的面积都以 AC 为底，
3
所以△AEC 的面积与VAOC 的面积的比为 ．
2
故选：A
06 三角形的“心”的向量表示
uuur uuur uuur
36．已知在VABC 中， H 为VABC 的垂心，O是VABC 所在平面内一点，且OA + OB = CH ，则以下正确的
是 （ ）
A．点O为VABC 的内心 B．点O为VABC 的外心
C． ACB = 90 o D．VABC 为等边三角形
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用向量数量积运算律，结合向量加减计算判断得解.
【解析】在VABC 中，由 H 为VABC 的垂心，得CH ^ AB，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
由OA + OB = CH ，得 (OA + OB) × (OA - OB) = CH × (OA - OB) = CH × BA = 0，
uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
则OA = OB ，即 | OA |=| OB |，又 AH = AO + OC + CH = AO + OC + (OA + OB) = OC + OB ，
uuur uuur uuur uuur
显然 AH ^ BC ，同理得 | OC |=| OB |，因此点O为VABC 的外心，B 正确，无判断 ACD 成立的条件.
故选：B
uuur uuur uuur uuur
37．已知O，A ， B ，C 是平面上的 4 个定点，A ， B ，C 不共线，若点 P 满足OP = OA+l(AB+ AC)，其
中l R ，则点 P 的轨迹一定经过VABC 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】A
uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】取线段BC 的中点E ，则 AB+ AC = 2AE ，依题可得 AP / / AE ，即可得答案.
uuur uuur uuur
【解析】取线段BC 的中点E ，则 AB+ AC = 2AE .
uuur uuur uuur uuur
动点 P 满足：OP = OA+l(AB+ AC)，l R ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
则OP - OA= 2l AE ，即 AP = 2l AE ，所以 AP / / AE ，
又 AP I AE = A，所以 A, E, P 三点共线，即点 P 的轨迹是直线 AE ，
一定通过VABC 的重心.
故选：A.
38．在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，点O,G, P,Q 分别为VABC 所在平面内一点，且有
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r
| OA |2 + | BC |2 =| OB |2 + | CA |2 =| OC |2 + | AB |2 ，GA + GB + GC = 0，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur rPA + PB × AB = PB + PC × BC = PC + PA ×CA = 0， aQA + bQB + cQC = 0，则点O,G, P,Q 分别为VABC 的
（ ）
A．垂心，重心，外心，内心 B．垂心，重心，内心，外心
C．外心，重心，垂心，内心 D．外心，垂心，重心，内心
【答案】A
【分析】根据三角形垂心，重心，外心，内心的定义和性质结合平面向量的线性运算和共线定理，分别推
导即可.
uuur uuur uuur uuur uuur
2 2 2 2 2
uuur 2 uuur 2 uuur 2
【解析】由 | OA | + | BC | =| OB | + | CA | ，得 OA - OB = CA - BC ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur即 OA + OB OA - OB = CA + BC CA - BC ，
uuur uuur
则 OA + OB uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurBA = BA CA + CB OA + OB - CA - CB BA = 0，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 2OC × BA = 0，则OC ^ AB，同理可得OA ^ BC ，OB ^ AC ，
即O是VABC 三边上高的交点，则O为VABC 的垂心；
uuur uuur uuur r uuur uuur uuur
由GA + GB + GC = 0，得GA + GB = -GC ，
uuur uuur uuuur uuur
设 AB 的中点为M ，则GA + GB = 2GM = -GC ，即G ，M ，C 三点共线，
所以G 在VABC 的中线CM 上，同理可得G 在VABC 的其余两边的中线上，
即G 是VABC 三边中线的交点，故G 为VABC 的重心；
uuur uuur uuur uuuur uuur由 PA + PB × AB = 0 uuuur uuur，得 2PM × AB = 0，即PM⊥AB，
又M 是 AB 的中点，所以 P 在 AB 的垂直平分线上，
同理可得， P 在BC ， AC 的垂直平分线上，
即 P 是VABC 三边垂直平分线的交点，故 P 是VABC 的外心；
uuur uuur
延长CQ交 AB 于点 N ，因为Q，C ， N 三点共线，则设QN = kQC （ k < 0），
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
且QA = QN + NA = kQC + NA，QB = QN + NB = kQC + NB ，
uuur uuur uuur r uuur uuur uuur uuur uuur r
代入 aQA + bQB + cQC = 0，得 a kQC + NA + b kQC + NB + cQC = 0，
uuur uuur uuur r
即 ak + bk + c QC + aNA + bNB = 0 ①，
uuur uuur uuur uuur uuur
又因为 NA与 NB共线，QC 与 NA、 NB不共线，
uuur uuur r
则只能当 ak + bk + c = 0且 aNA + bNB = 0时，①成立，
uuur uuur NA AC NA NB
即 aNA = -bNB
b
= = =
NB a BC ，则 AC BC ,
sin ACN sin BCN
由正弦定理得： = ，
sin ANC sin BNC
又 ANC + BNC = π，则 sin ANC = sin BNC ，
即 sin ACN = sin BCN ，又0 < ACB < π ，所以 ACN = BCN ，
则CN 是 ACB 的角平分线，即点Q在 ACB 的角平分线上，
同理可得，Q在 ABC ， BAC 的垂直平分线上，
即Q是VABC 内角平分线的交点，故Q是VABC 的内心；
故选：A.
39．点 O 是平面a 上一定点，A，B，C 是平面a 上VABC 的三个顶点， B， C 分别是边 AC，AB 的对
角.有以下四个命题：
uuur uuur uuur uuur
①动点 P 满足OP = OA + PB + PC ，则VABC 的外心一定在满足条件的 P 点集合中；
uuur uuur uuur uuur
OP OA l uAuBur uAC
②动点 P 满足 = + + uur ÷ (l > 0)，则VABC 的内心一定在满足条件的 P 点集合中；
è AB AC
÷
uuur uur uuur uuurAB AC
③动点 P 满足OP =OA+l uuur + uuur
÷
AB sin B AC sinC ÷÷
(l > 0)，则VABC 的重心一定在满足条件的 P 点集合中；
è
uuur uuur uuur uuur
OP OA l uuurAB uuurAC
④动点 P 满足 = + + ÷ (l > 0) ，则VABC 的垂心一定在满足条件的 P 点集合中.
è AB cos B AC cosC
÷
其中正确命题的个数为 .
【答案】2
【分析】根据 VABC 的外心、内心、重心、垂心分别是三边中垂线的交点、角平分线的交点、中线的交点、
高的交点，这些几何特征与向量建立联系，进而判断每个命题的正误.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【解析】①当动点 P 满足OP = OA + PB + PC AP = PB + PC 时，
则点 P 是VABC 的重心，所以①不正确；
uuur uuur
②显然 u
AuBur AC+ uuur uuur在 BACAB AC 的角平分线上，而 AP 与 BAC 的平分线所在向量共线，
所以VABC 的内心一定在满足条件的点 P 集合中，因此②正确；
uuur uur uuur uuurAB AC uuur uuur uuur
③OP =OA+l uuur + uuur ÷(l > 0) AB变形为 AP = l( uuur + uuurAC ) ，
AB sin B AC sinC ÷÷ | AB | sin B | AC | sin C
è
uuur uuur
而 | AB | sin B ， | AC | sin C 表示点 A 到BC 边的距离，设为 AD ，
uuur l uuur uuur uuur uuur
所以 AP = (AB + AC)AD ，而 AB + AC 表示BC 边的中线向量，
uuur
所以 AP 表示BC 边的中线向量，
因此VABC 的重心一定在满足条件的 P 点集合中，所以③正确；
④当 A = 90°时，VABC 的垂心与点 A 重合，但显然此时垂心点 P 不满足公式，所以④不正确；
故答案为：2.
一、单选题
r r r r r
1．（2024·海南·模拟预测）已知向量 a = (2,m),b = (1, -1) ，若 (a - b) ^ b ，则m =（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】利用向量垂直关系可得向量积为 0，然后用向量的坐标运算即可求得结果.
r r r r
【解析】Qa = (2,m),b = (1, -1) ,\a - b = (2,m) - (1, -1) = (1,m +1) ,
r r r r r r
由 (a - b) ^ b 得： (a - b) ×b = 0 ，
r r r
则 a - b ×b = 1, m +1 × 1, -1 =1- m -1 = -m = 0，所以m = 0，
故选：B.
r r r r r
2．（2024· r r重庆·三模）已知 a = (1,2) ，向量b 为单位向量， (a + b) × a = 4，则cosáa,b =（ ）
A 5 B 5
1 1
． ．- C． D．-
5 5 5 5
【答案】B
r r r r r r
【分析】由向量 a坐标求出模，将 (a + b) × a = 4，运用向量数量积运算律展开求得 a ×b ，最后利用向量夹角
公式计算即得.
r r r r r r r r
【解析】因为 | a |= 5，由 (a + b) × a = a ×b + a 2 = 4 r，则 a ×b = -1，
r r r
r
cos a,b a ×br -1 5所以 = r = = -a × b 5 5 .
故选：B
π
3．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知VABC 的三个内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c， A = 3 ，
uuur uuur
DC = 2BD，b = 3， c =1，则线段 AD 的长为（ ）
A 7 B 19 C 31 43． ． ． D．
3 3 3 3
【答案】B
【分析】直接利用向量的线性运算和数量积运算求出结果即可.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【解析】因为DC = 2BD，所以 AC - AD = 2(AD - AB) ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
整理得3AD = AC + 2AB，即 AD
1
= AC 2+ AB ，
3 3
uuur2 1 uuur2 4 uuur uuur uuur2
所以 AD = AC + AC·AB
4 AB 1 9 4 1 3 1 4 19+ = + + = ，
9 9 9 9 9 2 9 9
19
所以 AD = .
3
故选：B.
uuur 1 uuur
4．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知VABC 是边长为 1 的正三角形， AN = NC, P 是BN 上一点且
3
uuur uuur 2 uuur uuur uuurAP = mAB + AC ，则 AP × AB = （ ）9
2 1 2
A． B C D9 ． ． 3 ．19
【答案】A
uuur uuur 8 uuur 1
【分析】根据题意得 AP = mAB + AN ，由 P, B, N9 三点共线求得m = ，利用向量数量积运算求解.9
uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur uuur 2 uuur uuur 8 uuur
【解析】Q AN = NC ，\ AN = AC ，且 AP = mAB + AC = mAB + AN ，
3 4 9 9
而 P, B, N
8 1
三点共线，\m + =1，即m = ，
9 9
uuur 1 uuur 2 uuur
\ AP = AB + AC ，
9 9
uuur uuur 1 uuur uuur uuurAP AB AB 2 AC AB 1 2 2所以 × = + ÷ × = + cos 60
o = .
è 9 9 9 9 9
故选：A.
uuur uuur uuur
5．（2024·江苏泰州·模拟预测）在平行四边形 ABCD中 A = 45o , AB =1, AD = 2 ，若 AP = AB + xAD x R ,
uuur
则 AP 的最小值为（ ）
A 1 2． 2 B． C．1 D． 22
【答案】B
uuur
【分析】利用平面向量的数量积的运算律，求出 | AP |2 的表达式，利用二次函数的最值即得.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【解析】由 AP = AB + xAD 可得 | AP |2 = (AB + xAD)2 =| AB |2 +x2 | AD |2 +2xAB × AD
=1+ 2x2 + 2x 1 2 cos 45o 2x2 2x 1 2(x 1 1= + + = + )2 + ，
2 2
1 uuur uuur
因 x R ，故 x = - 时， | AP |2
1
min = ，即 AP
2
的最小值为 .
2 2 2
故选：B．
6．（2024·四川成都·三模）已知正方形 ABCD 的边长为 1，M，N 分别是边 AB，AD 上的点 (均不与端
uuuur uuur uuur uuur
点重合)，记 VAMN，VCMN 的面积分别为 S1，S2 . 若 S1 = CM × AB × CN × AD ，则 S2 的取值范围是
（ ）
é1 3 é 2 1 3 é1 1 é 2 1 1 A． ê ， ÷ B． ê - ， ÷ C． 4 4 4 ê
， D． - ，
4 2 ÷ ê ÷ 2
【答案】D
【分析】由三角形的面积公式，结合平面向量数量积的运算及基本不等式求解即可.
【解析】设 AM = x, AN = y, y 0,1 ，
则 S
1
1 = xy ， S2 =1
1 xy 1 1 x 1 1 x + y - xy- - - - - y = ，
2 2 2 2 2
由平面向量数量积的运算可得：
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuurCM × AB = CB + BM × AB = BM × AB = BM × AB =1- x，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurCN × AD = CD + DN × AD = DN × AD = DN × AD =1- y，
uuuur uuur uuur uuur
又 S1 = CM × AB × CN × AD = 1- x 1- y ，
1
所以 xy = 1- x 1- y ，即 x + y =1 1+ xy ，
2 2
即1
1
+ xy 2 xy ，当且仅当 x = y 时取等，
2
又 xy > 0，即0 < xy 2 - 2 ，即0 < xy 6 - 4 2 ，
S 1 1 xy 1 1则 2 = - - 1- x - 1
x + y - xy
- y =
2 2 2 2
1 1+ xy - xy
= 2 1 1= - xy 1 é 2 -1, .
2 2 4 ê 2 ÷
故选：D.
7．（2024·四川绵阳·模拟预测）如下图所示，三个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一直线上，边B3C3 上
uuuur uuur
有 10 个不同的点P1，P2，…，P10 ，记M i = AB2 × APi i =1,2, × × ×,10 ，则M1 + M 2 + ×××+ M10 =（ ）
A．18 B．180 C．-18 D．-180
【答案】B
【分析】建立坐标系，求出直线B3C3 的方程，利用坐标法表示数量积即可求解.
【解析】以A 为坐标原点， AC1所在直线为 x 轴建系，如图所示：
则 B1(1, 3)， B2 (3, 3) ， B3 (5, 3)，C3 (6,0) ，直线B3C3 的方程为： y = - 3 x - 6 ，
uuuur uuur
设Pi (xi , yi ) ， i =1,2, × × ×,10 ，则有 3xi + yi = 6 3 ， AB2 = (3, 3)， APi = (xi , yi )，
uuuur uuur
则M i = AB2 × APi = 3xi + 3yi = 3 3xi + yi =18，
所以M1 + M 2 + ×××+ M10 =10 18 =180 .
故选：B
r r r
8 r．（2024·广东广州·三模）设向量 a = x1, y1 ，b = x2 , y2 ，当 x1 x2，且 y1 > y2 时，则记作 a b ；当
r
x r1 < x2，且 y1 y2 时，则记作 a = b ，有下面四个结论：
r r r
①若 a = 2,-4 ，b = 3,4 ，则 ar = b ；
② ar
r
lar
r
若 b 且 mb ，则l m ；
r r cr r r
r
③ a b r若 ，则对于任意向量 ，都有a - c b - c ；
r r r r④若 a = b r，则对于任意向量 c ，都有 a ×cr b ×cr；
其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①④
【答案】C
【分析】根据题意结合向量的坐标运算逐项分析①③，举反例判断②④.
r r ì2 3 r r【解析】对于①：若 a = 2, -4 ，b = 3,4 ，则 í ，所以 ，故①正确；
-4 < 4
a = b
r r r r
对于②：取 a = 1,1 ,b = -1,-1 ,l = -1, m = 2，满足 a b ，
r r
则la
r
= -1, -1 , mb = -2,-2 r，满足la mb ，但l < m ，故②错误；
r
对于③ ar：若 b ，则 x1 x2，且 y1 > y2 ，
cr
r
设 = x0 , y0
r r
，则 a - c = x1 - x0 , y1 - y0 ,b c
r
- = x2 - x0 , y2 - y0 ，
ìx1 - x0 x2 - x0 r r r r
可知 í ，所以 a - c b - cy - y > y - y ，故③正确； 1 0 2 0
r r r r r
对于④：取 a = -2, -2 ,b = c = -1,-1 ，可知 a = b ，
r r r r r r r
但 a ×c = 4,b ×c = 2 ar，即 ×c > b ×c ，故④错误；
故选：C.
二、多选题
r r r
9．（2020·山东泰安·模拟预测）已知向量 a = 2,1 ,b = 1, -1 ,c = m - 2, -n ，其中m, n均为正数，且
r r ra - b ∥c，下列说法正确的是（ ）
r r
A． a 与b 的夹角为钝角
r r
B 5．向量 a 在b 方向上的投影为 5
C． 2m + n = 4
D．mn 的最大值为 2
【答案】CD
r r r r
【分析】通过求出 a ×b ，向量 a 在b 方向上的投影，利用平行关系结合基本不等式，即可得出结论.
【解析】由题意，m, n均为正数，
r r r
a = 2,1 ,b = 1, -1 ,c = m - 2, -n ，
A 项，
r r
∵ a ×b = 2 -1 =1 > 0 ，
r r
∴ a 与b 的夹角不为钝角，A 错误；
B 项，
r r
ar×b 1 2∵ = =b 2 ，1 + -1 2 2
r r
∴ 2向量 a 在b 方向上的投影为 ，B 错误；
2
C 项，
r r r r r
∵ a - b = 1,2 ， a - b ∥c，
∴ 2 m - 2 = -n ，即 2m + n = 4 ，C 正确；
D 项，
∵ 4 = 2m + n 2 2mn ，即mn 2，当且仅当 2m = n = 2时等号成立，
∴ mn 的最大值为 2，D 正确；
故选：CD.
10．（2024·辽宁·二模）VABC 的重心为点G ，点 O，P 是VABC 所在平面内两个不同的点，满足
uuur uuur uuur uuur
OP = OA + OB + OC ，则（ ）
O, P,G uuur uuurA． 三点共线 B．OP = 2OG
uuur uuur uuur uuur
C．2OP = AP + BP + CP D．点 P 在VABC 的内部
【答案】AC
【分析】根据三角形重心的性质，向量共线的判定及向量的线性运算即可判断．
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【解析】OP = OA + OB + OC = OG + GA + OG + GB + OG + GC
uuur uuur uuur uuur
= 3OG + GA + GB + GC ，
因为点G 为VABC 的重心，
uuur uuur uuur r uuur uuur
所以GA + GB + GC = 0 ，所以OP = 3OG ，
所以O, P,G 三点共线，故 A 正确，B 错误；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AP + BP + CP = AO + OP + BO + OP + CO + OP
uuur uuur uuur uuur
= (AO + BO + CO) + 3OP，
uuur uuur uuur uuur
因为OP = OA + OB + OC ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 (AO + BO + CO) + 3OP = -OP + 3OP = 2OP，即2OP = AP + BP + CP，故 C 正确；
uuur uuur
因为OP = 3OG ，
所以点 P 的位置随着点O位置的变化而变化，故点 P 不一定在VABC 的内部，故 D 错误；
故选：AC．
11．（2023·福建·模拟预测）半圆形量角器在第一象限内，且与 x 轴、 y 轴相切于D、E 两点.设量角器直径
AB = 4 ，圆心为C ，点 P 为坐标系内一点.下列选项正确的有（ ）
uuur uuur
A．C 点坐标为 2,2 B． OA + OB = 2 2
é1 5 uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur
C． cos AOB 4 2ê , ÷÷ D．若 PA + PB + PO 最小，则3 5 OP = 3
【答案】ACD
【分析】根据题意，结合平面向量的运算以及坐标运算，对选项逐一判断，即可得到结果.
【解析】由题意得，量角器与 x 轴、 y 轴相切于D、E 两点，且 AB = 4 ，则C 2,2 ，故 A 正确；
uuur uuur uuur uuur
由 A 可知，C 2, 2 ，则 OC = 22 + 22 = 2 2 ，则 OA + OB = OC + CA + uuur uuurOC + CB
uuur
= 2OC = 2 2 2 = 4 2 ，故 B 错误；
uuur uuur
记 t = 2 OC ×CA 0,8 ，则 C 选项
uuur uuur uuur uuur uuur uuurOA ×OB OC + CA OC + CB cos AOB = uuur uuur =
uuur uuur uuur uuurOA OB OC + CA OC + CB
uuur2 uuur2
OC - CA
= uuur2 uuur uuur uuur2 uuur2 uuur uuur uuur2
OC + 2OC ×CA + CA OC + 2OC ×CB + CB
4 é1 5
=
uuur uuur uuur uuur
ê ,
3 5 ÷
÷，故 C 正确；
12 + 2OC ×CA × 12 - 2OC ×CA
uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur 2
设P x, y ，则 PA + PB + PO = 2 PC + CA + PO
= 2 é x - 2
2 + y - 2 2 + 4ù 2 2 + x + y
2
= 3 x2 + y2 -8 3 x + yx + y + 24 -8 x + y + 24，2
uuur
当 x = y
4
= 时，
3 OP
4 2
= ，故 D 正确；
min 3
故选：ACD
三、填空题
uuur uuur uuur uuur uuur
12．（2024·江西·二模）在VABC 中，已知DC = 3BD ， P 为线段 AD 的中点，若BP = lBA + m BC ，则
1 1
+ =
l m ．
【答案】10
uuur 1 uuur uuur
【分析】根据题意，由向量的线性运算公式可得 BP = BA
1
+ BD
2 8 ，由平面向量基本定理可得
l 、m 的值，进
而计算可得答案．
uuur uuur uuur 1 uuur
【解析】根据题意，在VABC 中，已知DC = 3BD ，则BD = BC ，4
由于 P 为线段 AD 的中点，
uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur则BP = BD + DP = BD + DA = BD + BA - BD = BA + BD = BA + BC ，2 2 2 2 2 8
uuur uuur uuur uuur uuur 1 1
又BP = lBA + m BC ，BA、BC 不共线，故l = ，m = ，2 8
1 1
所以 + = 2 + 8 = 10l m ．
故答案为：10．
uuur uuur uuur uuur uuur 2
13．（2024·湖南长沙·三模）在VABC ，已知 2 AB × AC = 3 AB AC = 3BC ， B < C .则 sin C = .
3
【答案】
2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2
【分析】先由 2 AB × AC = 3 AB AC 可得角A ，由 3 AB AC = 3BC 可得 sin C sin B 3= ，结合角B,C 的
4
关系，解方程即可得答案.
【解析】设BC = a ， AC = b ， AB = c，
uuur uuur uuur uuur
由 2 AB × AC = 3 AB AC
3
得 2bc cos A = 3bc，所以 cos A = .
2
又 A 0, π ，因此 A π 5π= ，B = - C .
6 6
uuur uuur uuur 2
由 3 AB AC = 3BC ，得bc = 3a2 ；
于是sinC sin B = 3sin2 A 3= ，
4
所以 sin C sin 5π 3 - C
÷ = ，
è 6 4
p
∴ 2sinCcosC+2 3sin2 C = 3，即 sin 2C - 3 ÷
= 0 .
è
A π 5π∵ =
π
，∴ 0 < C < ，∴ - < 2C
π 4π
- < ，
6 6 3 3 3
2C π 0 π π2C π 2π∴ - = 或 - = ，∴ C = 或C = .
3 3 6 3
π 2π
又∵ B < C ，∴ A = ，C = B π， = 36 ，则6 3 sin C =
.
2
3
故答案为：
2
π
14．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知VABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为 a , b ,c ， BAC = 6 ，b =1，
uuur m uuur 2n uuur uuur
c = 3，若 AD = AB + AC AD2(m + n) m + n ，则 的最小值为 ．
21
【答案】
7
uuur uuur uuuur uuur uuur m uuur n uuuur uuur
【分析】取 AB = 2AN 和 AM = 2AC ，转化为 AD = AN + AM ，得到M , N , D 三点共线，得到 ADm + n m + n
的最小值，即为VAMN 中边MN 上的高，在VAMN 中，结合余弦定理和面积相等，列出方程，即可求解.
【解析】在VABC
π
中，因为 BAC = ,b =1,c = 3 ，
6
uuur uuur
如图所示，取 AB 的中点 N ，可得 AB = 2AN ，
uuuur uuur
再延长 AC 到点M ，使得 AM = 2AC ，可得 AM = 2AC ，
uuur m uuur 2n uuur m uuur n uuuur
因为 AD = AB + AC = AN + AM2(m + n) m ，+ n m + n m + n
m n
因为 + =1，所以M , N , D 三点共线，
m + n m + n
uuur
所以 AD 的最小值，即为VAMN 中边MN 上的高d ，
VAMN MN 2 = AM 2 + AN 2在 中，由余弦定理得 - 2 AM AN cos A 3 3 3 7= 4 + - 2 2 = ，所以
4 2 2 4
MN 7= ，
2
S 1 1 3 1 3又由 VAMN = AM AN sin A = 2 = ，2 2 2 2 4
1
可得 MN d 3 1 7 d 3 21 = ，即 = ，解得 d = ，
2 4 2 2 4 7
uuur
AD 21所以 的最小值为 .
7
21
故答案为： .
7
四、解答题
a1 b1
n ar
a ÷ r b ÷ r r r r
15 2 2．（2024·全国·模拟预测）设有 维向量 = ÷，b = ÷ éa,b ù = a b + a b + ×××+ a b ××× ÷ ，称 为向量 a和× × ×÷ 1 1 2 2 n n b
è a
÷ ÷
n èbn
r r r r
的内积，当 é a,b ù = 0，称向量 a和b 正交．设 Sn 为全体由 -1和 1 构成的 n元数组对应的向量的集合．
1
r 2÷ r r r
(1)若 a = ÷ 3 ÷，写出一个向量b ，使得
é a,b ù = 0．
4֏
B xr, yr xr, yr(2)令 = Sn ．若m B，证明：m + n为偶数．
r
(3)若 n = 4， f 4 是从 S r4 中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足 éa,b ù = 0，猜测 f 4 的值，并
给出一个实例．
1
r 1 ÷
【答案】(1) b = ÷ 1÷（答案不唯一）-
÷
è 0
(2)证明见解析
(3) f 4 = 4，答案见解析.
【分析】（1）根据定义写出满足条件的即可；
r
（2）根据 x, y
r S r r n，结合定义，求出 x, y ，即可得证；
（3）利用反证法求证.
1
r 1 ÷
【解析】（1）由定义，只需满足b1 + 2b2 + 3b3 + 4b4 = 0，不妨取b = ÷ 1÷（答案不唯一）．-
÷
è 0
x1 y1
r x ÷ ÷
（2 2）对于m B， i =1，2，× × × ， n，存在 x = ÷
y
x -1,1 yr = 2 ÷ y -1,1
÷， i ， ÷， i ，使得 x
r, yr = m．
× × × × × ×
÷ ÷
è xn è yn
ì1, x = y n
当 xi = yi时， xi yi =1 x
i i
；当 i yi 时， xi yi = -1．令li = í ， k = l
0, x y
i ．
i i i=1
r r n
所以 x, y = xi yi = k - n - k = 2k - n ．
i=1
所以m + n = 2k - n + n = 2k 为偶数．
（3）当 n = 4时，可猜测互相正交的 4 维向量最多有 4 个，即 f 4 = 4．
1 -1 -1 1
ar
1÷ r ÷ ÷ ÷
不妨取 = ÷ ， a =
1 ÷ ar
-1÷ r， = ， a =
-1÷
1 1÷ 2 -1÷ 3 1 ÷ 4 -1÷，
1÷ 1 ÷ 1 ÷ ÷è è è è 1
则有 ar1,a
r
2 = 0， a
r r r r r r r r r r
1,a3 = 0， a1,a4 = 0， a2 ,a3 = 0 ， a2 ,a4 = 0， a3 , a4 = 0 ．
-1 1 1
r r r r ÷ 1 ÷ -1
÷ 1 ÷
若存在a5，使 a1,a5 = 0，则 a ÷5 = 1 ÷ 或 1 ÷或
÷
．-1÷
è -1
÷ ÷ ÷
è -1 è -1
-1
r ÷
当 a =
1 ÷ r
5 a ,a
r
= -4
1 ÷ 时，
4 5 ；
÷
è -1
1
r -1÷
当 a = ÷5 时， a
r r
2 ,a5 = -4 1 ÷ ；
1֏ -
1
1 ÷
当 a
r r r
5 = ÷ 时， a3 , a5 = -4 -1÷ ，
÷
è -1
故找不到第 5 个向量与已知的 4 个向量互相正交．
【点睛】关键点点睛：新定义问题，理解定义内容、会运用新定义运算，是解决问题的关键.专题 16 平面向量及其应用
目录
01 思维导图
02 知识清单
03 核心素养分析
04 方法归纳
一、平面向量的概念及线性运算
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或模)．
(2)零向量：长度为 0 的向量，记作 0．
(3)单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算 法则(或几何意义) 运算律
交换律：a＋b＝b＋a；
加法
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 a－b＝a＋(－b)
|λa|＝|λ||a|，当 λ>0 时，λa 的方向与 a
λ(μa)＝(λμ)a；
的方向相同；
数乘 (λ＋μ)a＝λa＋μa；
当 λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；
λ(a＋b)＝λa＋λb
当 λ＝0 时，λa＝0
3.向量共线定理
向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 λ，使 b＝λa.
温馨提示：
—→
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A1A2＋
—→ —→ ———→ —→
A2A3＋A3A4＋…＋ An－1An ＝A1An，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
→ 1 → →
2．若 F 为线段 AB 的中点，O 为平面内任意一点，则OF＝ (OA＋OB)．
2
→ → → → 1 → →
3．若 A，B，C 是平面内不共线的三点，则PA＋PB＋PC＝0 P 为△ABC 的重心，AP＝ (AB＋AC)．
3
4．对于任意两个向量 a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
二、平面向量的数量积
1．向量的夹角
→ →
已知两个非零向量 a，b，O 是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量 a 与
b 的夹角．
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 θ，我们把数量|a||b|cos θ 叫做向量 a 与 b 的数量积，记作 a·b.
3．平面向量数量积的几何意义
→ → →
设 a，b 是两个非零向量，它们的夹角是 θ，e 与 b 是方向相同的单位向量，AB＝a，CD＝b，过AB的起点 A
→
和终点 B —→，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为 A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量 a 向向量 b
A—→投影， 1B1叫做向量 a 在向量 b 上的投影向量．记为|a|cos θ e.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ.
几何表示 坐标表示
数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2
模 |a|＝ a·a |a|＝ x21＋y21
a·b x1x2＋y1y2
夹角 cos θ＝ cos θ＝
|a||b| x21＋y12 x22＋y22
a⊥b 的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
a∥b 的充要条件 a＝λb(λ∈R) x1y2－x2y1＝0
|a·b|≤|a||b| 2 2 2 2
|a·b|与|a||b|的关系 |x1x2＋y1y2|≤ x1＋y1 x2＋y2
(当且仅当 a∥b 时等号成立)
温馨提示：
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
已知向量 a，b.
(1)若 a 与 b 的夹角为锐角，则 a·b>0；若 a·b>0，则 a 与 b 的夹角为锐角或 0.
(2)若 a 与 b 的夹角为钝角，则 a·b<0；若 a·b<0，则 a 与 b 的夹角为钝角或 π.
三、平面向量的基本定理与坐标运算
1．平面向量基本定理
如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，
λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.
若 e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝ x21＋y21.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
→ →
②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝ x2－x1 2＋ y2－y1
2.
4．平面向量共线的坐标表示
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，则 a∥b x1y2－x2y1＝0.
温馨提示：
x1＋x2 y1＋y2
已知 P 为线段 AB 的中点，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点 P 的坐标为( ， )；已知△ABC 的顶点2 2
(x1＋x2＋x3 y1＋y2＋y3A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC 的重心 G 的坐标为 ， .3 3 )
本专题在近年来的高考试题中经常出现，向量的运算及位置关系等是考查的重点，多以选填题、填空
题的形式出现。
一、向量的基本概念
例 1 下列说法正确的是（ ）
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行
C．模为 1 的向量都是相等向量
D．向量的模可以比较大小
答案 D
分析 由向量的相关概念逐一判断即可.
解析 向量是有大小又有方向的矢量，不能比较大小，故 A 错；
由于零向量的方向不确定，故规定零向量与任意向量平行，故 B 错；
长度相等、方向相同的向量称为相等向量，模长为 1 的向量只规定了长度相等，方向不一等相同，故 C 错；
向量的模长是一个数量，因此可以比较大小，故 D 正确.
故选：D.
方法归纳: 平行向量有关概念的四个关注点
(1)非零向量的平行具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．
a
(4) 是与 a 同方向的单位向量．
|a|
二、平面向量的线性运算
命题点 2 向量的线性运算
例 2 如图，在平行四边形 ABCD中，E、F 分别是CD 边上的两个三等分点，则下列选项错误的是（ ）
uuur uuur uuur
A．EF
1
= AB B．
3 AD + DC = AB + BC
uuur uuur uuur uuur 2 uuur 1 uuur
C．CB - CE = EB D． AF = AD + AC3 3
答案 D
分析 根据向量加法法则、向量减法法则及平面向量基本定理即可求解.
uuur uuur
解析 对 A：由题意知，E、F 分别是CD 边上的两个三等分点，且EF 与 AB 方向相同，
uuur 1 uuur 1 uuur
则EF = DC = AB，故 A 正确；
3 3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
对 B：由图可知， AD + DC = AC ， AB + BC = AC ，所以 AD + DC = AB + BC ，
故 B 正确；
uuur uuur uuur
对 C：CB - CE = EB ，故 C 正确；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
对 D： AF = AD + DF = AD
2
+ DC AD 2 AC AD 1 AD 2= + - = + AC ，故 D 错误.3 3 3 3
故选：D.
命题点 3 根据向量线性运算求参数
例 3 3．在VABC中，E 在边BC 上，且EC = 3BE, D是边 AB 上任意一点， AE 与CD 交于点 P ，若
uuur uuur uuur
CP = xCA + yCB，则3x + 4y = （ ）
3 3
A． B．- C．3 D．-3
4 4
答案 C
uuur uuur uuur uuur 3 3 uuur
分析 利用向量的线性运算，得CP = CE + EP = tCA + - t ÷CB ，再利用平面向量基本定理，可得
è 4 4
x t, y 3 3= = - t ，然后就可得到结果.
4 4
uuur uuur
解析 Q A P E 三点共线，设EP = tEA(0 < t <1)，
uuur uuur uuur 3 uuur uuur 3 uuur uuur 3 uuur uuur 3 3 uuur
则CP = CE + EP = CB + tEA = CB + t CA - CB ÷ = tCA + - t CB ，4 4 è 4 ÷ è 4 4
uuur uuur uuur 3 3
又QCP = xCA + yCB，所以 x = t, y = - t ，即3x + 4y = 3 .
4 4
故选：C.
方法归纳: 平面向量线性运算的常见类型及解题策略
(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义．
(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．
三、共线定理及其应用
r r
例 4 设 a ，b 是不共线的两个向量.
uuur r r uuur r r uuur r r
(1)若 AB = 2a - b ，BC = a + b，CD = a - 2b，求证：A，B，D 三点共线；
r r r r
(2)若8a + kb 与 ka + 2b共线，求实数 k 的值.
答案 (1)证明见解析
(2) k = ±4 .
uuur uuur
分析 （1）根据平面向量的线性运算可得 BD = AB ，即可证明；
r r r r r r r
（2）易知 ka + 2b 0，根据共线向量可得存在实数l 使8a + kb = kla + 2lb ，结合相等向量的概念建立方程
组，解之即可.
uuur uuur uuur r r uuur
解析 （1）由题意知，BD = BC + CD = 2a - b = AB，
uuur uuur
∴ BD / / AB ，且有公共点 B，
∴A，B，D 三点共线；
r r r r r
（2）∵ a ，b 不共线，∴ ka + 2b 0，
r r r r
又8a + kb 与 ka + 2b共线，
r r r r
∴存在实数l ，使8a + kb = kla + 2lb ，
ìkl = 8
∴ í2 k ，解得
k = ±4 .
l =
方法归纳: 利用共线向量定理解题的策略
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．
(2)若 a 与 b 不共线且 λa＝μb，则 λ＝μ＝0.
→ → →
(3)OA＝λOB＋μOC(λ，μ 为实数)，若 A，B，C 三点共线，则 λ＋μ＝1.
四、平面向量数量积的基本运算
r r r r r ur r r r ur
例 5 已知向量 a,b不共线，且 c = la + b ， d = a + 2l -1 b，若 c与 d 同向共线，则实数l 的值为（ ）
1 1 1
A．1 B．- C．1 或- D． -1或-
2 2 2
答案 A
r
分析 由共线定理可知存在m m > 0 使得 cr = md ，然后由平面向量基本定理可得.
r ur r
解析 因为 c与 d 同向共线，所以存在m m > 0 使得 cr = md ，
r r r r r
即la + b = m é a + 2l -1 b ù = ma
r
+ m 2l -1 b ，
r r ìl = m 1
又向量 a,b不共线，所以 í l = -1 = m 2l -1 ，解得 （舍去）或l = 1 . 2
故选：A
方法归纳: 计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)利用坐标运算，若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
五、平面向量数量积的应用
命题点 1 向量的模
r r r r r r
例 6 已知 a，b ， c 均为平面单位向量，且两两夹角为 120°，则 a - b + c = ．
答案 2
r r r r
分析 r r先利用向量加减法化简 a - b + c ，进而求得 a - b + c 的值.
r r r r r r
解析 a，b ， c 均为平面单位向量，夹角为 120°，则 a + c = -b
r r r r
则 a - b + c = -2b = 2．
故答案为：2
命题点 2 向量的夹角
r 2er ar7 e - = 10, ar 2er er 5er ar er例 已知 是单位向量，且 + 在 上的投影向量为 ，则 与 的夹角为（ ）
π π π 5π
A． B． C． D．
6 4 3 12
答案 B
r r
2e - a = 10, ar2 4ar r分析 根据 ，推理得到 - × e = 6，再由投影向量求得 a
r er× = 3，联立得到 a
r
= 3 2 ，利用
两向量的夹角公式计算即得.
er
r r
解析 因为 是单位向量，且 2e - a = 10 ，
两边平方得，4er2 r- 4a × er r r r r+ a 2 = 10，即a 2 - 4a × e = 6（*），
ar + 2er ×er r r
由 ar 2er er+ r在 上的投影向量为5e ，可得 r 2 ×e = 5e ，e
r r r r r r r
所以 a + 2e ×e = 5，即 a ×e = 3，代入（*）可得，a2 =18，即 a = 3 2 ，
r r ar r
所以 cosa,e
×e 3 2
= r r = = ，a e 3 2 2
r
因为 a,e
r
0, π r r π，所以 a,e = ．
4
故选：B．
命题点 3 向量的垂直
r r r r r r r r
例 8 已知 a ^ b， a = 5， b = 6，且 4a + lb与 2a - b 垂直，则实数l 的值为（ ）
50 50 9
A． B．- C 50． ± D．
9 9 9 50
答案 A
r r r r r r
分析 由题意先解出 a ×b = 0 ，由 4a + lb 与 2a - b 垂直，解出l 即可.
r r r r
解析 因为a ^ b ，所以 a ×b = 0 ，
r r r r r r r r
又因为 4a + lb 与 2a - b 垂直，则 4a + lb × 2a - b = 0 ，
r 2 r r r 50得8a + 2l - 4 a ×b - lb 2 = 0，即 200 - 36l = 0，解得l = .9
故选：A.
方法归纳: (1)求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝ a·a及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；
②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再
利用余弦定理等方法求解．
(2)求平面向量的夹角的方法
a·b
①定义法：cos θ＝ ，求解时应求出 a·b，|a|，|b|的值或找出这三个量之间的关系；
|a||b|
②坐标法．
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|(其中 a≠0，b≠0)．
六、平面向量的实际应用
ur uur
例 9 如图，一条河的南北两岸平行.游船在静水中的航行速度 v1 的大小为10km / h ，水流的速度 v2 的大小为
4km / h ，则游船要从 A 行到正北方向上位于北岸的码头 B 处，其航行速度的大小（ ）
A． 2 21km / h B． 2 37km / h C． 2 10km / h D．14km / h
答案 A
2 r uur
分析 根据平面向量加法的几何意义、数量积的运算性质可得 cos = - ，然后再求出 v1 + v2 即可5
ur uur
解析 设 v1 与 v2 所成的角为 (0 < < π) ，
vr vr r r r r由题意得， 1 + 22 ×v2 = v1 ×v2 + v2 =10 4 cos +16 = 0，
则 cos
2
= -
5
vr vr 2 r r r r 2 r
uur
1 + 2 = v 2 + v 21 2 + 2v1 ×v2 =100 +16 - 2 10 4 = 84, v1 + v2 = 2 21 .5
故选:A
方法归纳: 用向量方法解决实际问题的步骤
七、平面向量基本定理的应用
uuur uuur uuur uuur
例 10 在VABC 中，D 为边BC 的中点，E，F 分别为边 AB ， AC 上的点，且 AB = 3AE， AC = 4AF ，若
uuur uuur uuur
AD = l AE + m AF ，l, m R ，则2l - m 值为（ ）
7
A．1 B． C．3 D．5
2
答案 A
分析 由向量的线性运算分别求出l, m 的值即可.
uuur uuur uuur l uuur m uuur
解析 AD = l AE + m AF = AB + AC ，因为 D 为边BC 的中点，
3 4
l m 1
所以 = = ，所以l
3
= , m = 2 ，从而 2l - m = 1 .
3 4 2 2
故选：A.
方法归纳: (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、
减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量
的形式，再通过向量的运算来解决．
八、平面向量的坐标运算
r r r r
例 11 已知向量 a = -1, -2 ，b = 1,l ，若 a，b 的夹角为钝角，则l 的取值范围是（ ）
- , 1- 1 A． ÷ B． - , 2÷ 2, +
è 2 è 2
1- , + C． 2 ÷
D． 2, +
è
答案 B
r r r r
分析 由 ar r，b 的夹角为钝角，可得a ×b < 0，且 a与b 不共线，从而可求出l 的取值范围.
r r r
解析 因为 a = -1, -2 ，b = 1,l ar， ，b 的夹角为钝角，
ì-1- 2l < 0
1
所以 í 1 l ，解得l > - ，且l 2，
2 -1 -2
1
即l
的取值范围是 - , 2
÷ 2, + ，
è 2
故选：B
方法归纳: 向量的坐标表示把点与数联系起来，引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化，成为数与形
结合的载体．
方法归纳: 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，则 a∥b 的充要条件是 x1y2＝x2y1.
(2)在求与一个已知向量 a 共线的向量时，可设所求向量为 λa(λ∈R)．专题 16 平面向量及其应用（六大题型+模拟精练）
目录：
01 平面向量的有关概念
02 平面向量的线性运算
03 平面向量的数量积
04 平面向量的基本定理与坐标表示
05 平面向量的综合应用
06 三角形的“心”的向量表示
01 平面向量的有关概念
1．下列说法错误的是（ ）．
A．零向量没有方向
B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同
C．只有零向量的模等于 0
uuur uuur
D．向量 AB 与BA的长度相等
r r
2．若向量 a与b 为非零向量，下列命题中正确的是（ ）
r r rA．若 a = b ，则 2ar > 3b
uuur uuur uuur uuur
B．BC - BA - DC = DA
r r r r
C．若非零向量 a + b = a + b
r
，则 ar与b 的方向相同
r r r
D r
r r
．若 a = b = c ，则 a = b = c
r
3．与向量 a = 1,1 平行的所有单位向量为（ ）
2 2 2 2
A． ,2 2 ÷÷
B． - , -2 2 ÷÷è è
2 2 2 2 2 2
C． ± ,±2 2 ÷÷
D． , ÷÷或 - , -2 2 2 2 ÷÷è è è
r r r r
4．已知两个单位向量 a ，b 的夹角是60°，则 a - 3b = .
02 平面向量的线性运算
uuur uuur uuur
5．在VABC 中，D是BC 的中点，E 在 AD 上，且 AE = 2ED ，则BE =（ ）
1 uuur 2 uuurAB AC 1
uuur uuur
A． - B．- AB
2
+ AC
3 3 3 3
2 uuur 1 uuur uuurAB AC 2 AB 1
uuur
C． - D．- + AC
3 3 3 3
uuur r uuur r uuur
6．如图所示，在VABC 中，D为 BC 边上的三等分点，若 AB=a ， AC = b ，E 为 AD 中点，则BE =（ ）
2 r r
A．- a
r 1 b 2 ar 1+ B． + b
3 6 3 6
1 r r
C．- a
r 1 1 r 1
+ b D． a + b
3 6 3 6
7．如图，在平行四边形 ABCD中，E、F 分别是CD 边上的两个三等分点，则下列选项错误的是（ ）
1 uuur uuur uuur
A．EF = AB B．
3 AD + DC = AB + BC
uuur uuur uuur uuur 2 uuur 1 uuur
C．CB - CE = EB D． AF = AD + AC3 3
uuur uuur uuur
8．在VABC 中，D为BC 中点，连接 AD ，设E 为 AD 中点，且BA xr= , BE r= y ，则BC = （ ）
A． 4x
r
+ 2yr B．-4x
r r
+ y
C．-4x
r 2yr- D． 4y
r 2xr-
r r
9．如图所示， a - b = （ ）
ur uur ur uur
A． 2e1 - 3e2 B．-2e1 + 3e2
ur uur ur uur
C．3e1 - 2e2 D．-3e1 + 2e2
r r 1 r 3 r
10．已知向量 ar,b r不共线，则向量-ta + b 与 a - b(t R)共线时，实数 t =（t 2 ）
6 6 2 2A． B．± C． D．±
3 3 3 3
uuuur uuuur
11．已知M 是边长为1的正VABC的边 AC 上靠近C的四等分点， N 为 AB 的中点，则BM × MN 的值是（ ）
1 1 1
A．- B．- C 1． D．
2 4 2 4
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
12．在VABC 中， AC × BC = 0且 (AC + BC) × (AC - BC) = 0，则错误的选项为（ ）
uur uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur
A． | CA - CB |=| CA + CB | B． | AB - AC |=| BA - BC |
uur uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur uur
C． | CA - BA |=| CB - AC | D． | CA + CB |2 =| AB - AC |2 + | BA - CA |2
03 平面向量的数量积
uuur uuur
13．在VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c
sinB
，D是BC 的中点，BC × AD = 2c2 ，则 = ．sinC
uuur
V 2
uuur uuur uuur uuur x + y
14．在 ABC 中，BD = BC ，P 是线段 AD 上的动点（与端点不重合），设CP = xCA + yCB，则 xy 的最3
小值是 .
r r r r r r r r
15．已知向量 a,b满足 a = b = 2 ， a - b = 2 3 ，则a ×b =（ ）
A．－2 B．-2 3 C． 2 3 D．6
ur r ur r ur r r r
16．已知平面向量m ， n均为单位向量，若 | m - 3n |= 7 ，则向量m ， n的夹角 m, n =（ ）
π π π 2π
A． B． C． D．
6 4 3 3
r r
17．若向量 a = l,1 与b = 4,2 的夹角为锐角，则实数l 的取值范围是 .
r r r
18 er 2e - a = 10, ar 2er er．已知 是单位向量，且 + 在 上的投影向量为5er，则 a r与 e 的夹角为（ ）
π π π 5π
A． B． C． D．
6 4 3 12
uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur19．已知向量 OA = 3， OB = 2 ，BC = m - n OA + 2n - m -1 OB ，若OA与OB 的夹角为60°，且OC
uuur n
⊥ AB ，则实数 的值为（m ）
7 4 6 1
A． B． C． D．
8 3 5 6
20．在矩形 ABCD中， AB = 4 ，BC = 2，E 为 AD 的中点，F 为 AB 的中点，Q 为边CD 上的动点（包括端
uuur uuur
点），则QE ×QF 的取值范围为 ．
uuuur uuur uuur
21．已知 AB 是圆 O： x2 + y2 = 2的直径，M，N 是圆 O 上两点，且 MON = 120°，则 OM + ON × AB的最小
值为（ ）
A．0 B．-2 C．-4 D．-4 3
22．在平行四边形 ABCD中， AC = 2BD = 4 ，点 P 为该平行四边形所在平面内的任意一点，则
uuur uuur uuur uuur
| PA |2 + | PB |2 + | PC |2 + | PD |2 的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
04 平面向量的基本定理与坐标表示
uur uur
23．设 e2 、 e2 是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ）
ur ur uur ur uur ur uur
A． e1 和 e1 + 2e2 B． e1 + 2e2 与3e1 - e2
ur uur ur uur ur uur uur ur
C． e1 + 2e2 与-2e1 - 4e2 D．3e1 - e2 与 4e2 - e1
ur r ur r
24．在VABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b ， c .向量 p = a + c,-b , q = a + b,a - c ，若 p / /q，
则角C 的大小为（ ）
π π π 2π
A． B． C． D．
6 3 2 3
r r 2π r r uuur r r uuur r r uuur 1 uuur
25．已知向量 a ，b 的夹角为 ， a =1， b = 2，在VABC 中， AB = 2a + 3b，3 AC = 2a - b
，BD = BC ，
2
uuur
则 AD =（ ）
A．2 B． 2 2 C． 2 3 D．6
r r r
26．已知向量 a = 1,0 r,b = 4,m ，若 2a - b 不超过 2 2 ，则m 的取值范围为（ ）
A． é - 3, 3ù B． é - 2, 2ù C． -3,3 D． -2,2
uuur uuur uur uuur
27．如图，在等腰梯形 ABCD中， AB = BC = 2,CD = 3, BC = 4BE ，则CA × DE = .
uuur uuur uuur uuur uuur m
28．如图，点O是VABC 的重心，点D是边BC 上一点，且BC = 4DC ，OD = mAB + nAC ，则 = （n ）
1 1 1 1
A． B．- C．- D．
5 4 5 4
uuur uuur uuur
29．如图，边长为 2 的等边三角形的外接圆为圆 O，P 为圆 O 上任一点，若 AP = xAB + y AC ，则 x + y 的最
大值为（ ）
8 4
A． B．2 C． D．1
3 3
30．如图，四边形 ABCD是边长为 1 的正方形，延长 CD 至 E，使得DE＝2CD．动点 P 从点 A 出发，沿正
uuur uuur uuur
方形的边按逆时针方向运动一周回到 A 点， AP = l AB + m AE ，则l + m 的取值范围为 ．
uuur uuur 1
31．已知菱形 ABCD边长为 1，且 AB × AD = - , E 为线段 AD 的中点，若F 在线段CE上，且
2
uuur uuur 5 uuurBF = lBA + BC ，则l = ，点G 为线段 AC 上的动点，过点G 作BC 的平行线交边 AB 于点M ，过
6
uuuur uuuur uuur
点M 做BC 的垂线交边BC 于点 N ，则 MG + MN × MF 的最小值为 .
05 平面向量的综合应用
uuur uuur
uuur uuur uuur2 AC AB 232．在VABC 中，BA × AC + AC = 0， uuur × uuur =AC AB 2 ，则VABC 的形状为（ ）
A．等腰直角三角形 B．三边均不相等的三角形
C．等边三角形 D．等腰（非直角）三角形
33．已知圆锥 SO 的底面半径为 2，点 P 为底面圆周上任意一点，点 Q 为侧面（异于顶点和底面圆周）上任
uuur uuur
意一点，则OP ×OQ 的取值范围为（ ）
A． -4,4 B． -4,4 C． -2,2 D． -2,2
34．已知圆C 的半径为 1，过圆C 外一点 P 作一条切线与圆C 相切于点A ， | PA |= 2，Q为圆C 上一个动点，
uuur uuur
则PA × PQ的取值范围为（ ）
A． 2,4 B． 2,6 C． 0,4 D． 4,6
uuur uuur uuur
35．如图所示，O 点在VABC 内部，D, E 分别是 AC, BC
r
边的中点，且有OA + 2OB + 3OC = 0 ，则△AEC 的
面积与VAOC 的面积的比为（ ）
3 4 3
A． B
2
． C． D．
2 3 3 4
06 三角形的“心”的向量表示
uuur uuur uuur
36．已知在VABC 中， H 为VABC 的垂心，O是VABC 所在平面内一点，且OA + OB = CH ，则以下正确的
是 （ ）
A．点O为VABC 的内心 B．点O为VABC 的外心
C． ACB = 90 o D．VABC 为等边三角形
uuur uuur uuur uuur
37．已知O，A ， B ，C 是平面上的 4 个定点，A ， B ，C 不共线，若点 P 满足OP = OA+l(AB+ AC)，其
中l R ，则点 P 的轨迹一定经过VABC 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
38．在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，点O,G, P,Q 分别为VABC 所在平面内一点，且有
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
2 uuur uuur uuur r| OA | + | BC |2 =| OB |2 + | CA |2 =| OC |2 + | AB |2 ，GA + GB + GC = 0，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur rPA + PB × AB = PB + PC × BC = PC + PA ×CA = 0， aQA + bQB + cQC = 0，则点O,G, P,Q 分别为VABC 的
（ ）
A．垂心，重心，外心，内心 B．垂心，重心，内心，外心
C．外心，重心，垂心，内心 D．外心，垂心，重心，内心
39．点 O 是平面a 上一定点，A，B，C 是平面a 上VABC 的三个顶点， B， C 分别是边 AC，AB 的对
角.有以下四个命题：
uuur uuur uuur uuur
①动点 P 满足OP = OA + PB + PC ，则VABC 的外心一定在满足条件的 P 点集合中；
uuur uuur uuur uuurAB AC
②动点 P 满足OP = OA + l uuur + uuur ÷ (l > 0)，则VABC 的内心一定在满足条件的 P 点集合中；
è AB AC
÷
uuur uur uuur uuur
OP OA l AB AC
③动点 P 满足 = + uuur + uuur
÷
÷(l > 0)，则VABC 的重心一定在满足条件的 P 点集合中； AB sin B AC sinC ÷
è
uuur uuur uuur uuur
④动点 P 满足OP = OA + l uuur
AB
+ uuurAC ÷ (l > 0) ，则VABC 的垂心一定在满足条件的 P 点集合中.
è AB cos B AC cosC
÷
其中正确命题的个数为 .
一、单选题
r r r r r
1．（2024·海南·模拟预测）已知向量 a = (2,m),b = (1, -1) ，若 (a - b) b ，则m =（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
r r r r r
2．（2024·重庆·三模）已知 a = (1,2) ，向量b 为单位向量， (a
r b) ar+ × = 4，则cosáa,b =（ ）
5 5 1 1A． B．- C． D．-
5 5 5 5
3．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知VABC 的三个内角A ， B ，C π的对边分别为 a，b ， c， A = 3 ，
uuur uuur
DC = 2BD，b = 3， c =1，则线段 AD 的长为（ ）
A 7 B 19． ． C 31 D 43． ．
3 3 3 3
uuur 1 uuur
4．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知VABC 是边长为 1 的正三角形， AN = NC, P 是BN 上一点且
3
uuur uuur 2 uuur uuur uuurAP = mAB + AC ，则 AP × AB = （ ）9
1
A 2 2． 9 B． C． 3 D．19
uuur uuur uuur
5．（2024·江苏泰州·模拟预测）在平行四边形 ABCD中 A = 45o , AB =1, AD = 2 ，若 AP = AB + xAD x R ,
uuur
则 AP 的最小值为（ ）
A 1． 2 B
2
． C．1 D． 2
2
6．（2024·四川成都·三模）已知正方形 ABCD 的边长为 1，M，N 分别是边 AB，AD 上的点 (均不与端
uuuur uuur uuur uuur
点重合)，记 VAMN，VCMN 的面积分别为 S1，S2 . 若 S1 = CM × AB × CN × AD ，则 S2 的取值范围是
（ ）
é1 3 é 3 é1 1 é 1
A． ê ， ÷ B． ê 2 -1， ÷ C． ê ， ÷ D． 2 -1，4 4 4 4 2 ê 2 ÷
7．（2024·四川绵阳·模拟预测）如下图所示，三个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一直线上，边B3C3 上
uuuur uuur
有 10 个不同的点P1，P2，…，P10 ，记M i = AB2 × APi i =1,2, × × ×,10 ，则M1 + M 2 + ×××+ M10 =（ ）
A．18 B．180 C．-18 D．-180
r r r
8．（2024·广东广州·三模）设向量 a = x1, y1 ，b = x2 , y2 r，当 x1 x2，且 y1 > y2 时，则记作 a b ；当
r
x1 x2，且 y1 y
r
2 时，则记作 a = b ，有下面四个结论：
r r r
①若 a = 2,-4 ，b = 3,4 ar，则 = b ；
r r
② r r若a b 且la mb ，则l m ；
r r r
③ r若 a b r，则对于任意向量 c ，都有a - cr b - cr ；
r r r④若 a = b ，则对于任意向量 c
r
ar cr r，都有 × b ×c ；
其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①④
二、多选题
r r r
9．（2020·山东泰安·模拟预测）已知向量 a = 2,1 ,b = 1, -1 ,c = m - 2, -n ，其中m, n均为正数，且
r r ra - b ∥c，下列说法正确的是（ ）
r r
A． a 与b 的夹角为钝角
r r
B 5．向量 a 在b 方向上的投影为 5
C． 2m + n = 4
D．mn 的最大值为 2
10．（2024·辽宁·二模）VABC 的重心为点G ，点 O，P 是VABC 所在平面内两个不同的点，满足
uuur uuur uuur uuur
OP = OA + OB + OC ，则（ ）
O, P,G uuur uuurA． 三点共线 B．OP = 2OG
uuur uuur uuur uuur
C．2OP = AP + BP + CP D．点 P 在VABC 的内部
11．（2023·福建·模拟预测）半圆形量角器在第一象限内，且与 x 轴、 y 轴相切于D、E 两点.设量角器直径
AB = 4 ，圆心为C ，点 P 为坐标系内一点.下列选项正确的有（ ）
uuur uuur
A．C 点坐标为 2,2 B． OA + OB = 2 2
é
cos AOB 1 , 5
uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur
C ÷ D PA + PB + PO OP 4 2． ê3 5 ÷ ．若 最小，则 = 3
三、填空题
uuur uuur uuur uuur uuur
12．（2024·江西·二模）在VABC 中，已知DC = 3BD ， P 为线段 AD 的中点，若BP = lBA + m BC ，则
1 1
+ =
l m ．
uuur uuur uuur uuur uuur 2
13．（2024·湖南长沙·三模）在VABC ，已知 2 AB × AC = 3 AB AC = 3BC ， B C .则 sin C = .
π
14．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知VABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为 a , b ,c ， BAC = 6 ，b =1，
uuur m uuur 2n uuur uuur
c = 3，若 AD = AB + AC2(m + n) m + n ，则 AD 的最小值为 ．
四、解答题
a1 b1
r a ÷ r b ÷ r r r
15．（2024·全国· 2 2模拟预测）设有 n维向量 a = ÷，b = ÷，称 éa,b ù = a1b1 + a2b2 + ×××+ a
r
÷ ÷ n
bn 为向量 a和× × × × × × b
è a
÷ ÷
n èbn
r r r r
的内积，当 éa,b ù = 0，称向量 a和b 正交．设 Sn 为全体由 -1和 1 构成的 n元数组对应的向量的集合．
1
ar
2÷
(1)若 = ÷
r r r
3 ÷，写出一个向量b ，使得
éa,b ù = 0．
÷
è 4
r
(2)令B = x, yr xr, yr Sn ．若m B，证明：m + n为偶数．
r r
(3)若 n = 4， f 4 是从 S4 中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足 éa,b ù = 0，猜测 f 4 的值，并
给出一个实例．
