专题 10 三角函数的概念 诱导公式（七大题型+模拟精练）
目录：
01 任意角与弧度制
02 求弧长、扇形面积
03 求弧长、扇形面积的实际应用
04 三角函数的概念（求三角函数值及应用）
05 同角三角函数的基本关系
06 诱导公式
07 三角函数的概念 诱导公式难点分析
01 任意角与弧度制
1．（2024 高三·全国·专题练习）下列说法中正确的是（ ）
A．锐角是第一象限角 B．终边相等的角必相等
C．小于90o的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角
【答案】A
【分析】利用角的定义一一判定即可.
【解析】锐角是指大于0o 小于90o的角，故其在第一象限，即 A 正确；
选项 B．终边相等的角必相等，两角可以相差360o整数倍，故错误；
选项 C．小于90o的角不一定在第一象限，也可以为负角，故错误；
选项 D．根据任意角的定义，第二象限角可以为负角，第一象限角可以为正角，此时第二象限角小于第一象
限角，故错误.
故选：A
5π
2．（23-24 高一上·湖南株洲·阶段练习）把 化成角度是（ ）
4
A．45° B．225° C．300° D．135°
【答案】B
【分析】根据弧度制与角度制的转化关系计算可得.
5π 5π 180°
【解析】 = = 225° .
4 4 π
故选：B
9π
3．（2023 高三·全国·专题练习）与 终边相同的角的表达式中，正确的是（
4 ）
π
A． 45° + 2kπ,k Z B． k ×360° + ,k Z
4
C． k ×360° + 315°,k Z D． 2kπ - 7π4 ,k Z
【答案】D
【分析】根据角度的表示方法分析判断 AB，根据终边相同的角的定义分析判断 CD.
【解析】在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以 A，B 错误．
9π 9π
与 终边相同的角可以写成 2kπ +
4 4
k Z 的形式，
k = -2 时， 2kπ 9π 7π
7π
+ 4 = - 4 ，315°换算成弧度制为 ，所以 C 错误，D 正确．4
故选：D．
a a a
4．（2023 高三·全国·专题练习）已知角a 第二象限角，且 cos = -cos ，则角 是（ ）
2 2 2
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
a a a a
【分析】由a 是第二象限角，知 在第一象限或在第三象限，再由 cos = -cos ，知 cos 0，由此能
2 2 2 2
a
判断出 所在象限．
2
o o o
【解析】因为角a 第二象限角，所以90 + k ×360 < a <180 + k ×360o k Z ，
所以 45o + k ×180o
a
< < 90o + k ×180o k Z ，
2
当 k 是偶数时，设 k = 2n n Z o o a o，则 45 + n ×360 < < 90 + n ×360o n Z ，
2
a
此时 为第一象限角；
2
k k = 2n +1 n Z 225o + n ×360o a当 是奇数时，设 ，则 < < 270o + n ×360o n Z ，
2
a
此时 为第三象限角.；
2
a
综上所述： 为第一象限角或第三象限角，
2
a a a a
因为 cos = -cos ，所以 cos 0，所以 为第三象限角．
2 2 2 2
故选：C．
ìa kπ π a kπ π5．（2014 高三·全国·专题练习）集合 í + + ,k Z
ü
中的角所表示的范围(阴影部分)是（4 2 ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】对 k 分奇偶，结合终边相同的角的定义讨论判断即可
【解析】当 k = 2n(n Z)
π π π π
时， 2nπ + a 2nπ + ,n Z ，此时a 表示的范围与 a 表示的范围一样；
4 2 4 2
当 k = 2n +1(n Z)时， 2nπ π
π a 2nπ π π π π+ + + + ,n Z，此时a 表示的范围与 + π a + π 表示的范围
4 2 4 2
一样，
故选：C．
ì π π ü
6．（22-23 高三上·贵州贵阳·期末）已知集合 A = ía 2kπ + a 2kπ + ,k Z ，
4 2
B ì π π= üía kπ + a kπ + , k Z ，则（4 2 ）
A． A B B．B A C． A = B D． A B =
【答案】A
【分析】根据角的范围及集合的关系即可判断.
【解析】当 k = 2n,n Z B =
ì
时， ía 2nπ
π
+ a π 2nπ + ,k Zü
4 2
= A，
π π
当 k = 2n +1,n Z时，B =
ì
ía 2nπ + π + a 2nπ + π + ,k Z
ü
，
4 2
所以 A B .
故选：A
02 求弧长、扇形面积
7．（23-24 高三上·安徽铜陵·阶段练习）已知扇形的周长为30cm，圆心角为3rad ，则此扇形的面积为（ ）
A．9cm2 B． 27cm2 C．48cm2 D．54cm2
【答案】D
【分析】根据扇形周长，应用扇形弧长公式列方程求半径，再由面积公式求面积即可.
【解析】令扇形的半径为 r ，则 2r + 3r = 5r = 30 r = 6 cm，
1 2
所以此扇形的面积为 3 6 = 54 cm2 .
2
故选：D
8．（23-24 高三下·浙江·开学考试）半径为 2 的圆上长度为 4 的圆弧所对的圆心角是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【分析】根据题意，结合扇形的弧长公式，即可求解.
【解析】设圆弧所对的圆心角为a ，因为半径为 2 的圆上圆弧长度为 4，可得a 2 = 4，所以a = 2 .
故选：B.
9．（22-23 高一下·河北张家口·期中）如图，已知扇形的周长为6，当该扇形的面积取最大值时，弦长 AB =
（ ）
A．3sin1 B．3sin 2 C．3sin1° D．3sin 2°
【答案】A
【分析】设扇形的圆心角为a ，半径为 r ，弧长为 l，可得出 l = 6 - 2r ，利用基本不等式可求得扇形面积的
最大值及其对应的 r 的值，进而可求出 l、a ，然后线段 AB 的中点E ，可得出OE ^ AB，进而可求得线段 AB
的长.
【解析】设扇形的圆心角为a ，半径为 r ，弧长为 l，则 l + 2r = 6 ， l = 6 - 2r ，
ìr > 0
由 í 0 < r < 3
l = 6 - 2r > 0
可得 ，
1 2
所以，扇形的面积为 S = lr = 3- r r 3 - r + r 9
2 ÷
= ，
è 2 4
3
当且仅当3- r = r ，即 r = 时，扇形的面积S 最大，此时 l = 6 - 2r = 3．
2
l 3
因为 l
a = = = 2
= ar ，则扇形的圆心角 r 3 ，
2
取线段 AB 的中点E ，由垂径定理可知OE ^ AB，
1 1
因为OA = OB，则 AOE = AOB = 2 =1，
2 2
所以， AB = 2AE = 2OAsin1 = 3sin1 .
故选：A.
10．（22-23 高三下·上海宝山·阶段练习）如图所示，圆心为原点O的单位圆的上半圆周上，有一动点
P x, y ( y > 0)．设 A(1,0)，点 B 是 P 关于原点O的对称点．分别连结 PA、PB、AB ，如此形成了三个区域，
标记如图所示．使区域Ⅰ的面积等于区域Ⅱ、Ⅲ面积之和的点 P 的个数是（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
【答案】C
π
【分析】设射线OP对应的角为q 且q 0, π ，由题设可得 sinq = ，故可得满足条件的 P 的个数.
4
【解析】设射线OP对应的角为q 且q 0, π ，
1
故区域Ⅰ的面积为 2 1 1 sinq = sinq ，
2
1
区域Ⅲ的面积为 π 1 π -q 1-q 12 - 1 1 sin π -q = - sinq ，
2 2 2 2
1 2 1 q 1
区域Ⅱ的面积为 q 1 - 1 1 sinq = - sinq ，
2 2 2 2
sinq π -q 1 q 1由题设有 = - sinq + - sinq ，
2 2 2 2
π
整理得到 sinq = ，因为q 0, π ，故此时q 仅有两解，
4
故选：C.
03 求弧长、扇形面积的实际应用
11．（23-24 高三上·广东肇庆·阶段练习）“顺德眼”是华南地区首座双立柱全拉索设计的摩天轮总共设有 36
个等间距座舱，其中亲子座舱 4 个，每 2 个亲子座舱之间有 8 个普通座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似
地看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，质点运行轨迹为圆弧，运行距离为弧长，“顺德眼”在旋转过程中，
座舱每秒运行约 0.2 米，转一周大约需要 21 分钟，则两个相邻的亲子座舱在运行一周的过程中，距离地面
2
的高度差的最大值约为（ ）（参考数据： 0.45，计算结果保留整数）
π
A．40 米 B．50 米 C．57 米 D．63 米
【答案】C
【分析】先根据题意求得圆的半径，再由当两个相邻的亲子座舱的连线与底面垂直时，距离地面的高度差
最大求解.
【解析】解： 设圆的半径为 r，由题意得： 2πr = 0.2 21 60，
r 126解得 = ，
π
如图所示：
当两个相邻的亲子座舱的连线与底面垂直时，距离地面的高度差最大，
所以两个相邻的亲子座舱在运行一周的过程中，距离地面的高度差的最大值约为：
2r 126 2= 57，
π
故选：C
12．（23-24 高三上·安徽·期中）扇子是引风用品，夏令必备之物.我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一
个组成部分.历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品.扇
子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇.如图 1 是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或绫绢做扇面
而制成的.完全打开后的折扇为扇形（如图 2），若图 2 中 ABC = q ，D，E 分别在BA，BC 上，
AD = CE = m ， AC 的长为 l，则该折扇的扇面 ADEC 的面积为（ ）
图 1 图 2
m l -q m l -qm m 2l -q m 2l -qmA B C D ． ． ． ．
2 2 2 2
【答案】D
【分析】先求得D E ，再根据扇环的面积公式求得正确答案.
l l
【解析】依题意， AB = BC = , BD = BE = - m ，
q q
l
所以D E = - m÷ ×q = l -qm ，
èq
ADEC l + l -qm
m 2l -qm
所以该折扇的扇面 的面积为 m = .
2 2
故选：D
13．（2024·湖南长沙·一模）“会圆术”是我国古代计算圆弧长度的方法，它是我国古代科技史上的杰作，如图
所示 AB 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C 是 AB 的中点，D在 AB 上，CD ^ AB ，则 AB 的弧长的近似
2
值 s
CD
的计算公式： s = AB + .利用上述公式解决如下问题：现有一自动伞在空中受人的体重影响，自然缓
OA
慢下降，伞面与人体恰好可以抽象成伞面的曲线在以人体为圆心的圆上的一段圆弧，若伞打开后绳长为 6
米，该圆弧所对的圆心角为60o ，则伞的弧长大约为（ ） 3 1.7
A．5.3 米 B．6.3 米 C．8.3 米 D．11.3 米
【答案】B
【分析】根据给定条件，结合垂径定理计算即可得解.
【解析】依题意，点O,C, D 共线，OC = 3 3 ，CD = 6 - 3 3 = 3(2 - 3)，
2
所以 s = 6 9(2 - 3)+ = 6 3+ (7 - 4 3) 6 3+ (7 - 4 1.7) = 6.3（米）.
6 2 2
故选：B
04 三角函数的概念（求三角函数值及应用）
14．（23-24 高三下·重庆渝中·阶段练习）已知角a 的终边经过点P 1,2sina ，则 sina 的值不可能是（ ）
A 3． B．0 C 3 1． - D．
2 2 2
【答案】D
2sina
【分析】由定义可得 sina = 2 ，计算可求 sina .1+ 4sin a
2sina
【解析】由定义， sina = 2 ，1+ 4sin a
当sina = 0，合题意；
当 sina 0 ，化简得 sin2 a
3
= ，由于横坐标1 > 0，角的终边在一、四象限，
4
3
所以 sina = ± ．
2
故选：D．
1 3 π
15．（2024·上海松江·二模）已知点A 的坐标为 , ÷÷，将OA绕坐标原点O逆时针旋转 至OP，则点 P
è 2 2 2
的坐标为 .
3 1
【答案】 - ,2 2 ÷÷è
xOA π xOP π π 5π【分析】由题意可求 = ， = + = ，利用任意角的三角函数的定义即可求解．
3 3 2 6
1 3 π
【解析】因为点A 的坐标为 ,2 2 ÷÷
，可得 xOA = ，
è 3
xOP π π 5π所以 = + = ，
3 2 6
x 5π 3
5π 1
可得 P = cos = - ， y6 2 P
= sin = ，
6 2
3 1
所以点 P 的坐标为 - , ÷÷ ，
è 2 2
3 , 1
故答案为： - .
è 2 2
÷÷
16．（2024·全国·模拟预测）已知角q 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的非负半轴．若P m, 2 是角q 终边上
3 10
一点，且 cosq = - ，则m = ．
10
【答案】-6
【分析】根据三角函数定义式列方程，解方程即可.
m 3 10
【解析】由题设知 cosq = = - ，
m2 + 4 10
10m2即 = 9 m2 + 4 ，且m < 0，
即m2 = 36，且m < 0，
解得m = -6，
故答案为：-6 .
5 1 1
17．（2023 高三·全国·专题练习）已知角a 的终边经过点P -x,-6 ，且 cosa = - ，则 + =13 ．sina tana
2
【答案】-
3
【分析】由题意结合三角函数的定义求出P -x,-6 点坐标，再求出 sina , tana 即可求解
5
【解析】因为角a 的终边经过点P -x,-6 ，且 cosa = -13，
所以 cosa
-x 5
= = -
-x 2 2 13 ，+ -6
5 5
解得 x = 或 x = - ，
2 2
5
因为点 P 的纵坐标为-6，且cosa = - < 0，
13
所以角a 的终边落在第三象限，
5 5
所以 x = ，即P - , -6
2 2 ÷
，
è
sina 12 , tana y 12所以 = - = = ，
13 x 5
1 1 13 5 2
所以 + = - + = - .
sina tana 12 12 3
2
故答案为：-
3
18．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，角a 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，
P 3,4 sina + 2cosa终边经过点 ，则 =（ ）
cosa - sina
A．11 B．-10 C．10 D．-11
【答案】B
【分析】由题意利用任意角的三角函数定义，可求得 sina , cosa 的值，代入计算即可.
【解析】因为角a 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，
且角的终边经过点P 3,4 ，
所以 sina
4 4 3 3
= = ， cosa = = ，
9 +16 5 9 +16 5
4 3
sina + 2cosa + 2
= 5 5所以 = -10 .
cosa - sina 3 4-
5 5
故选：B.
19．（2024·云南昆明·一模）已知角q 的顶点为坐标原点O，始边与 x 轴的非负半轴重合，点 A(1, a) （ a Z ）
在角q 终边上，且 OA 3，则 tanq 的值可以是 .（写一个即可）
【答案】1（ 0 ， ±1，±2均可）
【分析】
由 OA 3求得 a的取值范围，结合三角函数的定义进而可得解.
【解析】 OA 3，即1+ a2 9，解得-2 2 a 2 2 ，
又 a Z ，故 a的值可为-2、 -1、 0 、1、 2，
则 tanq
a
= = a ，即 tanq 的值可以是 0 或 ±1或±2 .
1
故答案为：1（ 0 ， ±1，±2均可）.
20．（2024 高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系 xOy 中，角a 的顶点为原点O，以 x 轴的非负半轴为始
边，终边经过点 P(1, m) (m < 0)，则下列各式的值恒大于 0 的有（ ）个．
sina
① ；② cosa - sina ；③ sina cosa ；④ sin a+cos a ．
tana
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据三角函数定义得到 sina < 0， cosa > 0， t an a < 0，再依次判断每个式子得到答案.
sina m【解析】 = < 0， cosa
1
= > 0
2 ， tana = m < 0，1+ m 1+ m2
sina
① > 0；② cosa - sina > 0；③ sina cosa < 0 ；④ sin a+cos a 符号不确定．
tana
故选：C．
21．（21-22 高三下·河南许昌·开学考试）已知某质点从平面直角坐标系 xOy 中的初始位置点 A 4,0 ，沿以 O
为圆心，4 为半径的圆周按逆时针方向匀速运动到 B 点，则 B 点的坐标为（ ）
A． 4cos AOB, 4sin AOB B． 4sin AOB, 4cos AOB
C． 4 | cos AOB , 4 sin AOB | D． 4 | sin AOB , 4 cos AOB |
【答案】A
【分析】根据任意角的三角函数定义直接求解
【解析】由三角函数的定义得，B 点的坐标为 4cos AOB, 4sin AOB .
故选：A
05 同角三角函数的基本关系
cosa 522．（21-22 高一上·安徽宿州·期末）已知 = -13，且
a 为第二象限角，则 sina =（ ）
12 5 12 12
A．- B．- C． D．
13 13 13 5
【答案】C
【分析】利用同角三角函数平方关系计算可得.
5
【解析】因为 cosa = - ,
13
所以 sina = ± 1- cos2a
12
= ± ，
13
因为a 为第二象限角，
12
所以 sina = .
13
故选：C.
cos x 1+ sin x
23．（21-22 高一上·四川遂宁·期末）已知 = 3 ，则 =（ ）
1- sin x cos x
A． 3 B 3 3．- 3 C． D．-
3 3
【答案】A
【分析】根据同角三角函数的基本关系求解.
cos x
【解析】从 = 3 可得， cos x 0，所以 sin x ±1，
1- sin x
cos x cos x 1+ sin x cos x 1+ sin x 1+ sin x
因为 = = = = 31- sin x 1- sin x 1+ sin x 1- sin2 x cos x ，
故选：A.
5sina + cos a
24．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知 tana = 2 ，则 =（
2sina cosa ）-
1 11 5
A． B． C． D．2
3 3 3
【答案】B
【分析】根据切弦互化法计算即可求解.
【解析】因为 tana = 2 ，
5sina + cosa 5 tana +1 5 2 +1 11
所以 = = = ．
2sina - cosa 2 tana -1 2 2 -1 3
故选：B．
π
25．（2023·全国·高考真题）若q 0, ÷ , tanq
1
= ，则 sinq - cosq = ．
è 2 2
5
【答案】-
5
【分析】根据同角三角关系求sinq ，进而可得结果.
π
【解析】因为q 0, ÷ ，则 sinq > 0,cosq > 0，
è 2
tanq sinq 1又因为 = =cos 2 ，则
cosq = 2sinq ，
q
且 cos2 q + sin2 q = 4sin2 q + sin2 q = 5sin2 q =1，解得 sinq 5= 或 sinq 5= - （舍去），
5 5
5
所以 sinq - cosq = sinq - 2sinq = -sinq = - .
5
5
故答案为：- .
5
| sina | | cosa |
26．（22-23 高三·全国·对口高考）已知角a 的终边落在直线 y = -3x(x < 0) 上，则 - = .
sina cosa
【答案】 2
【分析】根据题意得到角a 的终边位于第二象限，所以 cosa < 0,sina > 0，即可求解.
【解析】由角a 的终边落在直线 y = -3x(x < 0) 上，可得角a 的终边位于第二象限，
可得 cosa < 0,sina > 0
| sina | | cosa |
，所以 - =1- (-1) = 2 .
sina cosa
故答案为： 2 .
2
27．（2024 高一上·全国·专题练习）已知 tana
1
= sin a + sina cosa，则 的值为 ．
2 cos2 a +1
1
【答案】
3
【分析】由同角三角函数的基本关系式化简求值即可.
sin2 a + sina cosa sin2 a + sina cosa tan2 a + tana
【解析】 2 = = ，cos a +1 2cos2 a + sin2 a 2 + tan2 a
1 1
tana 1
sin2 a + sina cosa tan2 a + tana +
因为 = ，所以 = 4 2
1
2 cos2 a +1 2 + tan2
= 1 = .a 2 + 3
4
1
故答案为： .
3
06 诱导公式
sin 5p a 1 π+ = cos 28．（2024·全国·模拟预测）已知 ÷ ,则 +a ÷ = （ ）
è 8 3 è 8
1 1
A．- B．
3 3
C 3 D 3．- ．
3 3
【答案】B
【分析】本题考查诱导公式等知识．
π π é π π ù 5π 1
【解析】 cos +a ÷ = cos - -a ÷ = sin8 8 ê
-
2
- -a ÷ = sin +a ÷ = ．
è è ú è 8 è 8 3
故选:B．
2π 2 19π 13π
29．（2024·全国·模拟预测）已知 cos q - ÷ = ，则 2sin -q + cos q + =（5 3 10 ÷ 5 ÷ ）è è è
2 2
A．-2 B．2 C．- D．
3 3
【答案】A
【分析】利用已知的三角函数值，利用换元法，结合三角函数的诱导公式，可得答案.
m q 2p 2p 2【解析】令 = - ，则q = m + , cos m = ，
5 5 3
2sin 19π q cos q 13π é19π 2π ù é 2π 13π ù从而 - + +
÷ ÷ = 2sin -
10 5 ê 10
m + ÷ + cos m + ÷ +
è è è 5
ú ê
è 5 5
ú
2sin 3π= - m ÷ + cos(m + 3π) = -3cos m = -2 .
è 2
故选：A.
1 cos
π +a
30 23-24 · · sina + cosa = - 2 ÷．（ 高一上 江苏无锡 阶段练习）已知 ，则 è 的值为（ ）
2 1- tan -a
3 3 3 3
A．- B． C．- D．
4 4 16 16
【答案】A
cos π +a
【分析】对 sina + cosa
1
= - sina cosa ÷平方，得到 的值，然后对 è 2 化简求值即可.
2 1- tan -a
sina cosa 1 2 1【解析】因为 + = - ，所以 sina + cosa =1+ 2sina cosa = ，
2 4
所以 sina cosa
3
= - ，
8
cos π +a
3
è 2 ÷ -sina -sina -sina -sina cosa 8 3所以 = = = = = = - ，
1- tan -a 1+ tana 1 sina cosa + sina+ cosa + sina 1- 4
cosa cosa 2
故选：A.
π 1 π
31．（23-24 高一下·湖南株洲·开学考试）已知 sin( - x) = ,且 0 < x < ，则 tan(
2π
+ x) =
2 ．3 3 3
2
【答案】-
4
π 1 π 2 2
【分析】 sin( - x) = ,得 cos x - ÷ = ，然后根据角的变换可得.3 3 è 3 3
π π π π
【解析】因为 0 < x < ，所以- < x - <2 ，3 3 6
又 sin(
π é π ù π 1
- x) = sin ê-
x -
÷ú = -sin
x -
= ,，
3 ÷ è 3 è 3 3
所以 sin x
π 1
- = - < 0 π x π÷ ，所以- < - < 0
è 3 3 3 3
2
π 1 2 2
所以 cos x - ÷ = 1- - ÷ = ，
è 3 è 3 3
π - x + 2π 2π π 因为 3 ÷
+ x ÷ = π，所以 + x ÷ = π - - x ÷，
è è 3 è 3 è 3
sin x π- 1 ÷ -
所以 tan
2π + x é π ÷ = tan êπ - - x
ù
÷ú = - tan
π - x = tan x π- = è 3 = 3 2 ÷ = - ，
è 3 è 3 è 3 è 3
÷
cos x
π
- 2 2 4
3 ֏ 3
2
故答案为：-
4
sin 3π q 132．（2023 高三·全国·专题练习）已知 + = ，则
3
cos π +q cos q - 2π
+
cosq écos π +q -1ù sin 3π 3π 的值为 ． q - ÷cos q - π - sin2 +q2 ÷è è
【答案】18
【分析】利用诱导公式化简已知条件和所求的式子可得答案.
1 1
【解析】由 sin 3π +q = ，可得 sinq = - ，
3 3
cos π +q cos q - 2π
+
∴ cosq écos π +q -1ù sin q 3π cos q π sin 3π - ÷ - - +q 2 ÷è è 2
= -cosq + cosq = 1 + 1
cosq -cosq -1 -cos2 q + cosq 1+ cosq 1- cosq
= 2 = 2 =
2 =18
1+ cosq 1- cosq 1- cos2 q sin2 q ．
故答案为：18.
07 三角函数的概念 诱导公式难点分析
33．（23-24 高一上·山西运城·期末）若a , b 0,
π 4sin2 a - sin2 2÷，且 b + = 0，则当 2sina + cos b 取最大值
è 2 3
时， sin b 的值为（ ）
A 6． B 30 C 3 D 2． ． ．
6 6 3 6
【答案】B
【分析】由条件等式、平方关系结合基本不等式即可得解.
π
【解析】若a , b 0, ÷，且 4sin
2 a - sin2 b 2+ = 0，则
2 2sina = sin
2 b 2- ，
è 3 3
则 2sina + cos b = sin2 b 2- + 1- sin2 b ，
3
注意到 2 ab + a + b 2 a + b ，其中 a,b > 0，
所以 a + b 2 a + b ，等号成立当且仅当 a = b > 0，
2 2 6
所以 2sina + cos b = sin2 b - + 1- sin2 b 2 sin2 b - +1- sin2 b = ，
3 3 3
等号成立当且仅当 sin2 b
2
- =1- sin2 b 30，即 sin b = ，3 6
所以当 2sina + cos b 30取最大值时， sin b 的值为 .
6
故选：B.
π π
34．（22-23 高三上·山东枣庄·阶段练习）若0 < q < π，且点P cosθ,sin θ 与点Q cos q + ÷ ,sin q +6 ÷÷关è è è 6
于 x 轴对称，则 cosq = .
6 + 2
【答案】-
4
11
【分析】根据题意在单位圆中画出满足题意的情况，即可得到q 为 π，即可得到其余弦值.
12
ì
cos
q
π
+ ÷ = cosq
ì
cos
π
q + ÷ = cos -q
è 6 è 6
【解析】法一：由题意得 í ，即 í ，
sin
π π
q + = -sinq sin q + = sin -q
è 6
÷ ÷ è 6
π
所以q + = 2kπ -q , k Z，则q = kπ
π
- , k Z，Qq 0, π ，
6 12
q 11\k =1 = π cos π 2cos2 π时， ，而 = -1 3 π 6 + 2= ，解得12 cos =6 12 2 12 4
cosq cos11π cos π π π 6 + 2故 = = -
= -cos = - ,
12 è 12 ÷ 12 4
6 + 2
故答案为：- .
4
π π
法二：因为 P(cosq ,sinq ) Q cos
与 q +
6 ÷
,sin q + ÷÷均在单位圆上,
è è è 6
P 在第二象限, Q在第三象限,如下图所示：
则 POQ
π
= ,
6
p 11
因为P,Q 关于 x 轴对称，所以 2q + = 2π ,解得q = π ,
6 12
cos π 2cos2 π 1 3 cos π 6 + 2而 = - = ，解得 =
6 12 2 12 4
故 cosq cos
11π
= = cos π π 6 + 2
12
π - ÷ = -cos = - ,
è 12 12 4
6 + 2
故答案为：- .
4
35．（20-21 5 5 3 3高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知 sin q - cos q < 3 cos q - sin q 恒成立，则q 取值范围
是 ．
【答案】q (2kp
3p
- , 2kp p+ ), k Z
4 4
【解析】由已知不等式恒成立有 sin5 q + 3sin3 q < cos5 q + 3cos3 q 恒成立，可构造函数 f (x) = x5 + 3x3 ，而 f (x)
为增函数知 cosq > sinq ，即可求q 取值范围.
【解析】 sin5 q - cos5 q < 3 cos3 q - sin3 q 可化为 sin5 q + 3sin3 q < cos5 q + 3cos3 q ，
∴可令 f (x) = x5 + 3x3 ，而 f (x) 在 R 上是单调递增函数，
∴要使 sin5 q + 3sin3 q < cos5 q + 3cos3 q 恒成立，即有 cosq > sinq ，
q (2kp 3p , 2kp p∴ - + ), k Z .
4 4
故答案为：q (2kp
3p p
- , 2kp + ), k Z .
4 4
【点睛】关键点点睛：将不等式移项转化并构造 f (x) = x5 + 3x3 ，由不等式恒成立，依据其单调性有
cosq > sinq 成立求范围即可.
36．（2022·上海黄浦·二模）设 a,b R ， c 0,4p ．若对任意实数 x 都有 sin 2x
p
- ÷ = a sin bx + c ，则满
è 3
足条件的有序实数组 a,b,c 的组数为 ．
【答案】8
【分析】由恒成立的等式可确定 a =1， b = 2 ；结合三角函数诱导公式的知识，分别讨论 a,b不同取值时对
应的 c的取值，结合 c的范围可得结果.
【解析】Q对任意实数 x 都有 sin
2x p- ÷ = a sin bx + c ，
è 3
\ y = a sin bx p+ c 与 y = sin 2x - ÷ 的最值和最小正周期相同，
è 3
\ a =1， b = 2 ，即 a = ±1，b = ±2，
a 1 b 2 sin 2x
p
- ①当 = ， = 时， ÷ = sin 2x + c
p
，\c = - + 2kp k Z ，
è 3 3
又 c 0,4p c 5p 11p，\ = 或 c = ，则 a,b,c 1,2, 5p 11p= ÷或3 3 3
1,2, ÷；
è è 3
p
②当 a =1，b = -2时， sin 2x -
÷ = sin -2x + c = -sin 2x - c
p
，\c = + 2k +1 p k Z ；
è 3 3
又 c 0,4p 4p 10p 4p 10p，\c = 或 c = ，则 a,b,c = 1, -2, ÷ 或 1, -2, ÷；3 3 è 3 è 3
③当 a = -1，b = 2 时， sin
p
2x - ÷ = -sin 2x + c
p
，\c = - + 2k +1 p k Z ，
è 3 3
2p 8p 2p 8p
又 c 0,4p ，\c = 或 c = ，则 a,b,c = -1,2, 或3 3 3 ÷
-1,2, ÷ ；
è è 3
sin 2x p- = -sin -2x + c = sin 2x - c c p④当 a = -1，b = -2时， ÷ ，\ = + 2kp k Z ；
è 3 3
c 0,4p π 7p a,b,c 1, 2, p 7p 又 ，\c = 或 ，则 =
3 3
- - ÷或 -1, -2, ÷；
è 3 è 3
综上所述：满足条件的有序实数组 a,b,c 共有8组.
故答案为：8 .
一、单选题
a P sin 2π ,cos 2π 1．（2023·安徽·模拟预测）已知角 终边上有一点 ，则 π - a 为（ ）
è 3 3 ÷
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
【分析】根据终边相同角的定义即可求解.
2π 2π a P sin ,cos P 3 1
【解析】已知角 终边上有一点 ÷，即点 , -3 3 2 2 ÷÷
，
è è
π
\a = - + 2kπ k Z ，
6
\π 7π-a = - 2kπ k Z 为第三象限角.
6
故选：C.
3 4 π
2．（2024·黑龙江·二模）已知角a 的终边与单位圆的交点P ,- ，则 sin a -5 5 ÷ 2 ÷
= （ ）
è è
4 - 3 3 4A．- B． C． D．
5 5 5 5
【答案】B
【分析】根据题意可知 cosa
3
= ，利用诱导公式运算求解.
5
3 4 3
【解析】因为角a 的终边与单位圆的交点P ,- ÷，可知 cosa = ，
è 5 5 5
所以 sin a
π 3
- ÷ = -cosa = - .
è 2 5
故选：B.
1 sin
a π cos 3π+ - -a
3．（2024· ÷ ÷辽宁·三模）已知 tana = ，则 è 2 è 2 =（ ）2 cos -a - sin π -a
A．-1 B．1 C．-3 D．3
【答案】D
【分析】由三角函数的诱导公式和弦切关系化简可得.
π sin a + ÷÷ - cos
3π
-a ÷2 2 ÷ cosa + sina 1+ tana 1
1
+
【解析】 è è = = = 2 = 3，
cos -a - sin π -a cosa - sina 1- tana 1 1-
2
故选：D.
4．（2023·海南·模拟预测）若a 0, π ，且 cosa - sina 1= ，则 tana =（ ）
2
A 4 + 7． B 4 - 7． C 4 + 7． D 4 - 7．
5 5 3 3
【答案】D
3
【分析】先左右两边平方，得出 sinacosa = ，再应用弦化切，最后结合角的范围可得求出正切值．
8
∵ cosa - sina
1
= ∴ (cosa - sina )2
1
【解析】 ， = ，即1- 2sinacosa
1
= ，∴ sinacosa
3
= ，
2 4 4 8
sinacosa 3 tana 3
∴ 2 2 = ，得 = ，∴sin cos 8 1 tan2 8 3tan
2a -8tana + 3 = 0，
a + a + a
∴ tana 4 - 7 4 + 7= 或 tana = ，
3 3
a 0, π 1 a 0, π∵ ，且 cosa - sina = > 0 ，∴由三角函数定义知 ，
2 ֏ 4
∴ 0 < tana <1，故 tana 4 - 7= ．
3
故选：D.
5．（2024·全国·模拟预测）石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖
等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流
派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛
等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环 ABCD，如图（2），砖雕厚度为 6cm，
AD = 80cm，C D = 3 AB ，C D所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位： cm2 ）（ ）
A．3200π B． 480π + 960 C．6880π + 960 D．3680π + 960
【答案】C
【分析】先求出C D = 60πcm， AB = 20πcm ，进而求得梅花砖雕的侧面积及扇环 ABCD的面积可得该梅花砖
雕的表面积.
【解析】
延长DA与CB交于点O．由C D = 3 AB ， AD = 80cm，得OA = 40cm，OD =120cm．
因为C D所对的圆心角为直角，所以C D = 60πcm， AB = 20πcm ．
所以该梅花砖雕的侧面积 S侧 = 6 C D + AB + AD + BC = 480π + 960 cm2 ，
ABCD 1 π 1202 - π 402扇环 的面积为 = 3200π cm2 ，4
则该梅花砖雕的表面积 S表面积 = 480π + 960 + 2 3200π = 6880π + 960 cm2 ．
故选：C．
6．（2023·贵州遵义·三模）已知 a = sin 0.1，b =10-1， c = tan 0.1，则（ ）
A． c > b > a B．b > c > a C．b > a > c D． a > c > b
【答案】A
【分析】根据0
π
< a < 时， sina < a < tana 求解.
2
π
【解析】由0 < a < 时， sina < a < tana 可知， sin 0.1
1
< < tan 0.1，
2 10
即 a < b < c，
故选：A
7．（2023·山西·模拟预测）已知a , b ,g 均是锐角，设 sina cos b + sin b cosg + sin g cosa 的最大值为 tanq ，则
sinq sinq + cosq =（ ）
15 5
A． 3 B． C．1 D．13 13
【答案】B
3 tan2 q + tanq
【分析】根据三角恒等变换结合基本不等式求最值可得 tanq = ，然后由 sinq (sinq + cosq ) =
2 tan2 q +1
求解即可
sina cos b sin
2 a + cos2 b 2sin b cosg sin b + cos
2 g
【解析】由基本不等式可得 ， ，
2 2
sin2 2sin g cosa g + cos a ，
2
三式相加，可得 sina cos b + sin b cosg + sin g cosa
3
，
2
π
当且仅当a , b ,g 均为 时等号成立，
4
3
所以 tanq = ，
2
2
则 sinq (sinq + cosq ) sinq (sinq + cosq ) tan q + tanq 15= = = ．
sin2 q + cos2 q tan2 q +1 13
故选：B
8．（2024·浙江·二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、
1 1
余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数 cotq = ，正割函数 secq = ，余割函
tanq cosq
cscq 1数 = ，正矢函数 ver sinq =1- cosq ，余矢函数 ver cosq =1- sinq .如图角q 始边为 x 轴的非负半轴，
sinq
其终边与单位圆交点 P ，A 、 B 分别是单位圆与 x 轴和 y 轴正半轴的交点，过点 P 作PM 垂直 x 轴，作PN
垂直 y 轴，垂足分别为M 、 N ，过点A 作 x 轴的垂线，过点 B 作 y 轴的垂线分别交q 的终边于T 、S ，其中
AM 、PS 、BS 、 NB为有向线段，下列表示正确的是（ ）
A． ver sinq = AM B． cscq = PS
C． cotq = BS D． secq = NB
【答案】C
【分析】利用单位圆以及三角函数的定义可知 sinq = MP， cosq = OM ， tanq = AT ，然后结合新定义简单
计算可判断各个选项.
【解析】根据题意，易得VOMP :VOAT :VSBO :VPNO，
对于 A，因为1- cosq =1- OM = MA，即 ver sinq = MA，故 A 错误；
1 1 BO OS
对于 B，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得， cscq = = = = = OS ，故 B 错误；
sinq MP MP OP
1 1
对于 C， cotq = = = BS ，故 C 正确；
tanq tan OSB
1 1 OA OT
对于 D，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得 secq = = = = = OT ，故 D 错误.
cosq OM OM OP
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题属于新定义题，解题关键是读懂题意，根据新定义，利用三角函数定义结合相似
三角形相似比求解，注意有向线段.
二、多选题
9．（2023·贵州遵义·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．若 sina = sinb ，则a 与b 是终边相同的角
B．若角a 的终边过点P 3k, 4k k 0 sina 4，则 =
5
C．若扇形的周长为 3，半径为 1，则其圆心角的大小为 1 弧度
D．若 sina ×cosa > 0，则角a 的终边在第一象限或第三象限
【答案】CD
【分析】举反例a + b = p 判断 A；由三角函数的定义判断 B；由弧长公式判断 C；由 sina 与 cosa 同号判断
D.
【解析】对于 A：当a + b = p 时， sina = sinb ，但终边不同，故 A 错误；
4
对于 B： r = (3k)2 + (4k)2 = 5 | k |，当 k < 0时， sina = - ，故 B 错误；5
对于 C：由 2r + l = 3, r =1，得 l =1,a
l
= =1，故 C 正确；
r
对于 D： sina ×cosa > 0 ，即 sina 与 cosa 同号，则角a 的终边在第一象限或第三象限，故 D 正确；
故选：CD
π 1
10．（2023·辽宁·模拟预测）设a 为第一象限角, cos a - ÷ = ,则（ ）
è 8 3
sin 5π 1A． -a
÷ = -
è 8 3
7π 1
B． cos a +
÷ = -
è 8 3
sin 13π a 2 2C． - ÷ = -
è 8 3
D． tan
π
-a ÷ = -2 2
è 8
【答案】BD
π
【分析】首先由题意得a - 是第一象限角,所以 sin
π 2 2
a -
÷ = ,再利用诱导公式和同角三角函数关系式对8 è 8 3
选项逐个计算确定正确答案.
【解析】由题意得 2kπ a
π
< < + 2kπ, k Z ,
2
则 2kπ
π a π 3π- < - < + 2kπ,k Z ,
8 8 8
π
若a - 在第四象限,则 cos a π- ÷ > cos
π 2 1
= > ,
8 è 8 4 2 3
所以a
π
- π 2 2也是第一象限角,即 sin
8
a -
8 ÷
= ,
è 3
sin 5π π π π -a ÷ = sin + -a = cos -a = cos
a π 1- = ,A 项错误;
è 8 è 2 8 ÷ ÷ è 8 è 8 ÷ 3
cos a 7π+ = cos a π- + π = -cos π 1 ÷ ÷ a -
÷ = - ,B 项正确;
è 8 è 8 è 8 3
sin 13π -a ÷ = sin
3π π
+ -a
÷ = -cos
π
-a
÷ = -cos
a π 1 -
÷ = - ,C 项错误;
è 8 è 2 8 è 8 è 8 3
sin π
π
a - ÷
tan -a
π
÷ = - tan
a -
= - è 8 = -2 2 ,D 项正确.
è 8 ÷ è 8 cos a π -
è 8 ÷
故选:BD.
11．（2024·全国·模拟预测）质点 A 和 B 在以坐标原点 O 为圆心，半径为 1 的圆 O 上逆时针做匀速圆周运动，
同时出发，A 的起点在射线 y = 3x x 0 和圆 O 的交点处，A 的角速度为 2rad / s ，B 的起点为圆 O 与 x 轴
正半轴的交点，B 的角速度为3rad / s，则下列说法正确的是（ ）
A．在 1s 末时，点 A 的坐标为 cos 2,sin 2
B．在 2s 末时，点 B 的坐标为 cos 6, -sin 6
π
C．在 2s 末时，劣弧 AB 的长为 2 -
3
D．当 A 与 B 重合时，点 A 的坐标可以为 -1,0
【答案】CD
【分析】根据题意结合任意角的三角函数值的定义逐项分析判断.
π
【解析】由题意可知点 A 的起点所对的角a0 = ，点 B 的起点所对的角 b0 = 0 ，3
在 1s 末时，点 A 所对的角a = 2 +a 2
π
0 = + ，3
π π
所以点 A 的坐标为 cos 2 + ,sin 2 + ，故 A 错误；
è è 3
÷
è 3 ÷÷
在 2s 末时，点 B 所对的角 b = 6 + b0 = 6 ，
所以点 B 的坐标为 cos 6,sin 6 ，故 B 错误；
在 2s 末时，点 A 所对的角a = 4 a
π
+ 0 = 4 + ，3
b a 2 π则劣弧 AB 所对的角为 - = -
π
，所以劣弧 AB 的长为 2 - ，故 C 正确；
3 3
当 A 与 B 重合时，则 b -a = 3t
π π
- 2t +
÷ = t - = 2kπ,k Z
π
，解得 t = + 2kπ, k Z
è 3 3 3
可得a = 2t +a0 = π + 4kπ,k Z，
则 cosa = cos π + 4kπ = cosp = -1,sina = sin π + 4kπ = sinp = 0, k Z，
点 A 的坐标为 -1,0 ，故 D 正确；
故选：CD.
三、填空题
sin x 1+ cos x
12．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知 x (0, π)，若 = 3 ，则 = .
1- cos x sin x
【答案】 3
【分析】将所求式利用同角的三角函数基本关系式进行三角恒等变换化简即得.
sin x
【解析】由 = 3 知1- cos x 0,于是，
1- cos x
1+ cos x (1+ cos x)(1- cos x) 1- cos2 x sin2 x sin x
= = = = = 3.
sin x sin x(1- cos x) sin x(1- cos x) sin x(1- cos x) 1- cos x
1+ cos x
故 = 3.
sin x
故答案为： 3 .
ì
tan
π
x
-1, x > 0
è 32
÷
13．（2023·四川成都·一模）函数 f x = í x ，则 f é f -3 ù = .
1
÷ , x 0 è 2
【答案】 0
【分析】先计算 f -3 ，从而可求解.
1 -3 π
【解析】 f -3 = ÷ = 8，所以 f é f -3 ù = f 8 = tan -1 = 0 .
è 2 4
故答案为： 0
π
14．（2023·江西景德镇·三模）已知直线 x = a 0 < a < ÷与函数 f x = sin x和函数 g x = cos x 的图象分别交
è 2
于P,Q PQ
1
两点，若 = ，则线段 PQ中点的纵坐标为 .
4
31
【答案】
8
【分析】由 PQ = sin a cos a
1 1+ 2sin a cos a
- = ，平方后可求得 2sin a cos a 2，根据b = 可求得线段 PQ中点
4 4
的纵坐标b .
PQ sin a cos a 1【解析】由题意知： = - = ，
4
\ sin a - cos a 2 =1- 2sin a cos a 1 2sin a cos a 15= ，\ = ；
16 16
设 PQ中点的纵坐标为b ，
π sin a + cos a
当 a 0, ÷时， sin a > 0 ， cos a > 0，\b = > 0，
è 2 2
15
b2 1+ 2sin a cos a
1+ 31 31
\ = = 16 = ，\b = .
4 4 64 8
31
故答案为： .
8专题 10 三角函数的概念 诱导公式
目录
01 思维导图
02 知识清单
03 核心素养分析
04 方法归纳
一、角的概念
1.角的定义
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的 图形.旋转开始时的射线
叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边，射线 的端点叫做角的顶点.
2.角的分类
任意角包括：正角、负角、零角.
正角：一条射线按逆时针方向旋转形成的角.
负角：一条射线按顺时针方向旋转形成的角.
零角：一条射线没有进行任何旋转形成的角.
温馨提示：对于角的形成过程，既要有旋转量，又要有旋转方向。
二、终边相同的角
所有与角 a 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合 S={β|β=α+k
360°,k∈Z}, 即任一与角 α 终边相同的角，都可以表示成角 α 与整数个周角的和.
温馨提示：
1.相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差 360°的整
数倍；
2.终边在一条直线上的角之间相差 180°的整数倍；
3.终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差 90°的整数倍.
三、象限角与轴线角
1.象限角、轴线角的概念
(1)象限角
在平面直角坐标系中，如果角的顶点在原点，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么,角的终边在第几象
限，我们就说这个角是第几象限角.
(2)轴线角
如果角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何象限，称这个角为轴线角，
2.象限角的集合表示
锐角为{α|0
(1)终边在 x 轴上的角{a|a= k·180°,k∈Z}.
(2)终边在 y 轴上的角{a|a=k·180 °+90°,k∈Z).
(3)终边在坐标轴上的角{αlα=k·90°,k∈Z}.
(4)终边在 x 轴非负半轴上的角{ala=k·360°,k∈Z}.
(5)终边在 x 轴非正半轴上的角{a|a=k·360°+180°,k∈Z},
(6)终边在 y 轴非负半轴上的角{αla=k·360°+90°,k∈Z).
(7)终边在 y 轴非正半轴上的角{αla=k·360°+270 °,k∈Z}.
四、角度制与弧度制的概念
1.角度制
1
角可以用度为单位进行度量，1 度的角等于周角的 这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.
360
2.弧度制
(1)1 弧度的角
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角.
正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0.
(2)弧度制
用+弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.用符号 rad 表示，读作弧度.
温馨提示：无论是以弧度还是以度为单位的角的大小都是一个与半径的大小无关的定值.
(3)弧度数公式
l
如果半径为 r 的·圆的圆心角 α 所对弧的长为 l, 那么,角 α 的弧度数的绝对值是
r
五、角度与弧度的换算
角度与弧度的换算公式
360 =2π rad,180°=π rad.
1 rad 0.01745rad（角度化弧度）
180
1rad 180 （ ） 57.30 57 18（ 弧度化角度）
六、弧长公式、扇形面积公式
1.弧长公式
角度制： l n R 为圆心角的角度数，R 为扇形的半径).
180
弧度制：l=aR(a 为圆心角的弧度，0
n R2
角度制： s (n 为圆心角的角度数，R 为扇形的半径).
360
S 1 2 1弧度制： aR lR (a 为圆心角的弧度，0
温馨提示：涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式
结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示.
七、任意角的三角函数
(1) y定义：任意角 α的终边与单位圆交于点 P(x，y) 时，则 sin y ， cos x ， tan (x 0) ．
x
(2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点 P P(x，y) 是角 α终边上异于顶点的任一点，设点 P 到原点O的距
y x y
离为 r ，则 sin ， cos ， tan (x 0)
r r x
三角函数的性质如下表：
第一象 第二象限 第三象 第四象
三角函数 定义域
限符号 符号 限符号 限符号
sin R ＋ ＋ － －
cos R ＋ － － ＋
tan { | k ，k Z} ＋ － ＋ －
2
记忆口诀:三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦．
(3)三角函数线
当角 α 的终边与 x 轴重合时，正弦线、正切线都变成一个点，此时角 α 的正弦值和正切值都为 0;
当角 α 的终边与 y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角 α 的余弦值为 0,正切值不存
在.
八、同角三角函数基本关系
(1)平方关系： sin 2 cos2 1．
(2) sin 商数关系： tan ( k )；
cos 2
九、三角函数诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2k (k Z )
2 2
正弦 sin sin sin sin cos cos
余弦 cos cos cos cos sin sin
正切 tan tan tan tan
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限，说明：
（1 ）先将诱导三角函数式中的角统一写作 n × ± ；
2
（2 ）无论有多大，一律视为锐角，判断 n × ± 所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；
2
（3）当 n为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当 n为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．
温馨提示：
1．利用 sin 2 cos2 1可以实现角 sin 的正弦、余弦的互化，利用 tan 可以实现角 的弦切互
cos
化．
2． (sin cos )2 sin2 cos2 2sin cos 1 sin 2
(sin cos )2 sin2 cos2 2sin cos 1 sin 2
(sin cos )2 (sin cos )2 2
1.任意角、弧度制的概念，角度与弧度的互化是解三角函数的问题基础.
2.利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变
形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些问题，可利用已知条件，结合
同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．
3.若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次
幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一
类基本题型．
4.本专题在高考中多以选择题、填空题的形式出现；诱导公式在任意角三角函数的化简中起到重要作用.
一、角及其表示
例 1 (1)(多选)下列命题正确的是( )
A．终边落在 x 轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z}
B．终边落在 y 轴上的角的集合为{α|α＝90°＋kπ，k∈Z}
3π
C．第三象限角的集合为{α|π＋2kπ ≤ α ≤ ＋2kπ，k ∈ Z2 }
D．在－720°～0°范围内所有与 45°角终边相同的角为－675°和－315°
答案 AD
π
解析 B 项，终边落在 y 轴上的角的集合为{α|α＝ ＋kπ，k ∈ Z }，角度与弧度不能混用，故错误；2
3π
C 项，第三象限角的集合为{α|π＋2kπ < α < ＋2kπ，k ∈ Z }，故错误；2
D 项，所有与 45°角终边相同的角可表示为 β＝45°＋k·360°，k∈Z，
令－720°≤45°＋k·360°≤0°(k∈Z)，
17 1
解得－ ≤k≤－ (k∈Z)，
8 8
从而当 k＝－2 时，β＝－675°；
当 k＝－1 时，β＝－315°，故正确．
α
(2)已知 α 为第三象限角，则 是第______象限角，2α 是________的角．
2
答案 二、四 第一、二象限或 y 轴的非负半轴上
解析 ∵α 是第三象限角，
3
即 2kπ＋π<α<2kπ＋ π，k∈Z，
2
π α 3
∴kπ＋ <
4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z.
α α
当 k 为偶数时， 为第二象限角；当 k 为奇数时， 为第四象限角，而 2α 的终边落在第一、二象限或 y 轴的
2 2
非负半轴上．
方法归纳： (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的
所有角的集合，然后通过对集合中的参数 k(k∈Z)赋值来求得所需的角．
α
(2)确定 kα， (k∈N*)的终边位置的方法
k
α α
先写出 kα 或 的范围，然后根据 k 的可能取值确定 kα 或 的终边所在位置．
k k
二、弧度制及其应用
π
例 2 一扇形的圆心角 α＝ ，半径 R＝10 cm，求该扇形的面积．
3
π
解 由已知得 α＝ ，R＝10 cm，
3
1 1 π 50π
∴S 扇形＝ α·R2＝ · ·102＝ (cm2)．2 2 3 3
延伸探究
1．若本例条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积．
π 10π
解 l＝α·R＝ ×10＝ (cm)，
3 3
50π 1 π
S 弓形＝S 2扇形－S 三角形＝ － ·R ·sin 3 2 3
50π 1
2 3 50π－75 3＝ － ×10 × ＝ (cm2)．
3 2 2 3
2．若将本例已知条件改为：“扇形周长为 20 cm”，则当扇形的圆心角 α 为多少弧度时，这个扇形的面积最
大？
解 由已知得，l＋2R＝20，
则 l＝20－2R(0
所以 S＝ lR＝ (20－2R)R＝10R－R2
2 2
＝－(R－5)2＋25，
所以当 R＝5 cm 时，S 取得最大值 25 cm2，此时 l＝10 cm，α＝2 rad.
方法归纳： 应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
三、三角函数的概念
tan θ
例 3 (1)若 sin θ·cos θ<0， >0，则角 θ 是( )
sin θ
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案 D
tan θ 1
解析 由 >0，得 >0，
sin θ cos θ
所以 cos θ>0.又 sin θ·cos θ<0，
所以 sin θ<0，所以 θ 为第四象限角．
(2)已知 α 的终边在直线 y＝2x 上，则 sin α＝________.
2 5
答案 ±
5
解析 由题意可知，α 终边落在第一或第三象限，且 tan α＝2，若在第一象限，可在 α 终边上任取一点
(1,2)，
2 2 5
∴sin α＝ ＝ ，若在第三象限，可在 α 终边上任取一点(－1，－2)，
12＋22 5
－2 2 5
∴sin α＝ ＝－ .
－1 2＋ －2 2 5
3
(3)已知 α 的终边过点(x,4)，且 cos α＝－ ，则 tan α＝________.
5
4
答案 －
3
3
解析 ∵α 的终边过点(x,4)，且 cos α＝－ ，
5
∴x<0.
x 3
∵cos α＝ ＝－ ，
x2＋16 5
∴x＝－3，
4
∴tan α＝－ .
3
方法归纳： (1)利用三角函数的定义，已知角 α 终边上一点 P 的坐标可求 α 的三角函数值；已知角 α 的三
角函数值，也可以求出角 α 终边的位置．
(2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所
求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
四、同角三角函数基本关系
5
例 4 (1)已知 cos α＝－ ，则 13sin α＋5tan α＝ .
13
答案 0
5
解析 ∵cos α＝－ <0 且 cos α≠－1，
13
∴α 是第二或第三象限角．
①若 α 是第二象限角，
( 5 ) 12则 sin α＝ 1－cos2α＝ 1－ － 2＝ ，13 13
12
sin α 13 12∴tan α＝ ＝ ＝－ .
cos α 5 5
－13
12 12
此时 13sin α＋5tan α＝13× ＋5× － ＝0.
13 ( 5 )
②若 α 是第三象限角，
5
则 sin α＝－ 1－cos2α＝－ 1－(－13 )2
12
＝－ ，
13
12
sin α － 12
∴tan α 13＝ ＝ ＝ ，
cos α 5 5
－13
12 12
此时，13sin α＋5tan α＝13×(－ ＋5× ＝0.13 ) 5
综上，13sin α＋5tan α＝0.
1 sin α－3cos α
(2)已知 tan α＝ ，则 ＝ ；sin2α＋sin αcos α＋2＝ .
2 sin α＋cos α
5 13
答案 －
3 5
1
解析 已知 tan α＝ ，
2
sin α－3cos α tan α－3 5
所以 ＝ ＝－ .
sin α＋cos α tan α＋1 3
sin2α＋sin αcos α＋2
sin2α＋sin αcos α
＝ ＋2
sin2α＋cos2α
tan2α＋tan α
＝ ＋2
tan2α＋1
(1 2 12 ) ＋2 13
＝ ＋2＝ .
(1 )2 1 52 ＋
7
(3)已知 sin θ＋cos θ＝ ，θ∈(0，π)，则 tan θ＝ .
13
12
答案 －
5
7 60
解析 由 sin θ＋cos θ＝ ，得 sin θcos θ＝－ ，
13 169
因为 θ∈(0，π)，所以 sin θ>0，cos θ<0，
17
所以 sin θ－cos θ＝ 1－2sin θcos θ＝ ，
13
7 12
{sin θ＋cos θ＝ ， sin θ＝ ，13 13联立 17 解得 5sin θ－cos θ＝ ， {cos θ＝－ ，13 13
12
所以 tan θ＝－ .
5
方法归纳： (1)应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α 这三个式子，
利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
五、诱导公式
sin π
cos π
5 1 tan 3 è 2
÷
例 （ ）已知 ，则 .
sin π cos 3π
è 2 ÷
1
答案
3
分析 利用诱导公式化简，然后弦化切可得.
解析 因为 tan 3，
cos cos 1 1
所以，原式 .
sin sin tan 3
1
故答案为：
3
2cos π 3sin π
（2）点P 2,5 在角 终边上，则 4cos sin 2π ．
19
答案
13
分析 根据三角函数的定义和诱导公式求解.
解析 ∵点P 2,5 在角 终边上，
∴ sin = 5 29 2 29， cos = ，
29 29
2cos π 3sin π 2cos 3sin 19
∴ 4cos sin 2π 4cos sin 13 ，
19
故答案为： .
13
方法归纳： (1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
(2)诱导公式的应用步骤
利用诱 导公式 利用诱导公式一
任意负角的三角函数 ―――三―或 一――→任意正角的三角函数 ―――― ――→0～2π 内的角的三角函数
利用诱导公式二
―― 或―四或― 五或―六―→锐角三角函数．
六、同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
sin2 cos2
例 6 若 cos 2sin 0，则 sin sin π
的值为 ．
è 2 ÷
3
答案
2
1
分析 根据条件求出 tan 2 ，再将所求式子弦化切代入运算得解.
1
解析 因为 cos 2sin 0，所以 tan 2 ，
sin2 cos2 sin2 cos2 1 1 1 3
\ tan 1
sin sin π sin cos tan 2 2 . 2 ÷
è 2
3
故答案为： .
2
拓展
1．（1）求值：sin( 120 ) cos90 + cos( 30 )sin( 30 ) + tan45 ；
1 1- 2sin x cos x
（2）已知 tan x ，求
3 cos2 x - sin2
的值．
x
答案 （1） 11 3 3 （2） 2 4
分析 （1）由三角函数的诱导公式计算即可；（2）利用三角恒等变换化简后分子分母同时除以 cos x，再计
算即可.
解析 （1）原式 sin120ocos90o sin30ocos30o tan45o 3 1 3 3 3 0 1 1
2 2 2 4
1 2sinxcosx cosx sinx 22 cosx sinx（ ）
cos2x sin2x cosx sinx cosx sinx cosx sinx
分子分母同时除以 cos x得：
1
1- tanx 1- 3 1= 1 = ．1+ tanx 1+ 2
3
2 1 sinx 1 sinx
2
．已知函数 f x ，其中 为第三象限角且 f
1 sinx 1 sinx 3
3cos π π ÷ 2sin
2 ÷
(1) è è
2
求 的值；
2cos 3π 3sin 3π 2 ÷
è è 2 ÷
4 4
(2) cos 2cos sin sin 求 2 的值.2cos 1
7
答案 (1)
9
(2) 12
分析（1）根据题意结合同角三角关系分析可得 f x
2sinx
tan 1cosx ，进而可得 ，结合齐次式问题分析求3
解；
（2）根据同角三角关系结合齐次式问题分析求解.
解析 （1）由题意可得： f x 1 sin x 1 sin x
1 sin x 1 sin x
(1 sinx)2 (1 sinx)2
1 sinx 1 sinx 1 sinx 1 sinx
1 sinx 1 sinx 2sinx
cosx cosx cosx ，
因为
2sin
为第三象限角，则 f 2tan 2 1 ，即 tan ，
cos 3 3
1
3sin 2cos 3tan 2 3 2 3
所以原式 31 .2sin 3cos 2tan 3 2 3 11
3
1
（2）由（1）可知： tan ，
3
cos4 2cos sin sin4
由题意可得：
2cos2 1
cos2 sin2 cos2 sin2 2cos sin
2cos2 1
cos2 sin2 2cos sin
3cos2 sin2
1 tan2 2tan 1
.
3 tan2 2
方法归纳： (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵
活使用公式进行变形．
(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．专题 10 三角函数的概念 诱导公式（七大题型+模拟精练）
目录：
01 任意角与弧度制
02 求弧长、扇形面积
03 求弧长、扇形面积的实际应用
04 三角函数的概念（求三角函数值及应用）
05 同角三角函数的基本关系
06 诱导公式
07 三角函数的概念 诱导公式难点分析
01 任意角与弧度制
1．（2024 高三·全国·专题练习）下列说法中正确的是（ ）
A．锐角是第一象限角 B．终边相等的角必相等
C．小于90o的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角
5π
2．（23-24 高一上·湖南株洲·阶段练习）把 化成角度是（
4 ）
A．45° B．225° C．300° D．135°
9π
3．（2023 高三·全国·专题练习）与 终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）4
A． 45° + 2kπ,k Z B． k 360
π
× ° + ,k Z
4
C． k ×360° + 315°,k Z D 7π． 2kπ - 4 ,k Z
a a a
4．（2023 高三·全国·专题练习）已知角a 第二象限角，且 cos = -cos ，则角 是（ ）
2 2 2
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
ì π π ü
5．（2014 高三·全国·专题练习）集合 ía kπ + a kπ + ,k Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是（4 2 ）
A． B．
C． D．
ì π π ü
6．（22-23 高三上·贵州贵阳·期末）已知集合 A = ía 2kπ + a 2kπ + ,k Z4 2 ，
B = ìía kπ
π a kπ π+ + , k Zü
4 2
，则（ ）
A． A B B．B A C． A = B D． A B =
02 求弧长、扇形面积
7．（23-24 高三上·安徽铜陵·阶段练习）已知扇形的周长为30cm，圆心角为3rad ，则此扇形的面积为（ ）
A．9cm2 B． 27cm2 C．48cm2 D．54cm2
8．（23-24 高三下·浙江·开学考试）半径为 2 的圆上长度为 4 的圆弧所对的圆心角是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
9．（22-23 高一下·河北张家口·期中）如图，已知扇形的周长为6，当该扇形的面积取最大值时，弦长 AB =
（ ）
A．3sin1 B．3sin 2 C．3sin1° D．3sin 2°
10．（22-23 高三下·上海宝山·阶段练习）如图所示，圆心为原点O的单位圆的上半圆周上，有一动点
P x, y ( y > 0)．设 A(1,0)，点 B 是 P 关于原点O的对称点．分别连结 PA、PB、AB ，如此形成了三个区域，
标记如图所示．使区域Ⅰ的面积等于区域Ⅱ、Ⅲ面积之和的点 P 的个数是（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
03 求弧长、扇形面积的实际应用
11．（23-24 高三上·广东肇庆·阶段练习）“顺德眼”是华南地区首座双立柱全拉索设计的摩天轮总共设有 36
个等间距座舱，其中亲子座舱 4 个，每 2 个亲子座舱之间有 8 个普通座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似
地看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，质点运行轨迹为圆弧，运行距离为弧长，“顺德眼”在旋转过程中，
座舱每秒运行约 0.2 米，转一周大约需要 21 分钟，则两个相邻的亲子座舱在运行一周的过程中，距离地面
的高度差的最大值约为（ 2）（参考数据： 0.45，计算结果保留整数）
π
A．40 米 B．50 米 C．57 米 D．63 米
12．（23-24 高三上·安徽·期中）扇子是引风用品，夏令必备之物.我国传统扇文化源远流长，是中华文化的
一个组成部分.历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品.
扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇.如图 1 是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或绫绢做扇
面而制成的.完全打开后的折扇为扇形（如图 2），若图 2 中 ABC = q ，D，E 分别在BA，BC 上，
AD = CE = m ， AC 的长为 l，则该折扇的扇面 ADEC 的面积为（ ）
图 1 图 2
m l -q m l -qm m 2l -qA B C mD 2l -qm ． ． ． ．
2 2 2 2
13．（2024·湖南长沙·一模）“会圆术”是我国古代计算圆弧长度的方法，它是我国古代科技史上的杰作，如
图所示 AB 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C 是 AB 的中点，D在 AB 上，CD ^ AB ，则 AB 的弧长的近
CD2
似值 s的计算公式： s = AB + .利用上述公式解决如下问题：现有一自动伞在空中受人的体重影响，自然
OA
缓慢下降，伞面与人体恰好可以抽象成伞面的曲线在以人体为圆心的圆上的一段圆弧，若伞打开后绳长为 6
米，该圆弧所对的圆心角为60o ，则伞的弧长大约为（ ） 3 1.7
A．5.3 米 B．6.3 米 C．8.3 米 D．11.3 米
04 三角函数的概念（求三角函数值及应用）
14．（23-24 高三下·重庆渝中·阶段练习）已知角a 的终边经过点P 1,2sina ，则 sina 的值不可能是（ ）
A 3 B 3 1． ．0 C． - D．
2 2 2
1 3 π
15．（2024·上海松江·二模）已知点A 的坐标为 , ÷÷，将OA绕坐标原点O逆时针旋转 至OP，则点 P
è 2 2 2
的坐标为 .
16．（2024·全国·模拟预测）已知角q 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的非负半轴．若P m, 2 是角q 终边上
cosq 3 10一点，且 = - ，则m = ．
10
1 1
17．（2023 高三·全国·专题练习）已知角a
5
的终边经过点P -x,-6 ，且 cosa = - + =13，则 ．sina tana
18．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，角a 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重
sina + 2cosa
合，终边经过点P 3,4 ，则 =（ ）
cosa - sina
A．11 B．-10 C．10 D．-11
19．（2024·云南昆明·一模）已知角q 的顶点为坐标原点O，始边与 x 轴的非负半轴重合，点 A(1, a) （ a Z ）
在角q 终边上，且 OA 3，则 tanq 的值可以是 .（写一个即可）
20．（2024 高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系 xOy 中，角a 的顶点为原点O，以 x 轴的非负半轴为始
边，终边经过点 P(1, m) (m < 0)，则下列各式的值恒大于 0 的有（ ）个．
sina
① ；② cosa - sina ；③ sina cosa ；④ sin a+cos a ．
tana
A．0 B．1 C．2 D．3
21．（21-22 高三下·河南许昌·开学考试）已知某质点从平面直角坐标系 xOy 中的初始位置点 A 4,0 ，沿以 O
为圆心，4 为半径的圆周按逆时针方向匀速运动到 B 点，则 B 点的坐标为（ ）
A． 4cos AOB, 4sin AOB B． 4sin AOB, 4cos AOB
C． 4 | cos AOB , 4 sin AOB | D． 4 | sin AOB , 4 cos AOB |
05 同角三角函数的基本关系
22．（21-22 高一上·
5
安徽宿州·期末）已知 cosa = -13，且
a 为第二象限角，则 sina =（ ）
12 5 12 12
A．- B．- C． D．
13 13 13 5
cos x 1+ sin x
23．（21-22 高一上·四川遂宁·期末）已知 = 3 ，则 =（ ）
1- sin x cos x
A． 3 B．- 3 C 3． D 3．-
3 3
5sina + cos a
24．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知 tana = 2 ，则 =（ ）
2sina cosa -
1 11 5
A． B． C． D．2
3 3 3
π 1
25．（2023·全国·高考真题）若q 0, ÷ , tanq = ，则 sinq - cosq = ．
è 2 2
| sina | | cosa |
26．（22-23 高三·全国·对口高考）已知角a 的终边落在直线 y = -3x(x < 0) 上，则 - = .
sina cosa
1 2
27 2024 · · tana = sin a + sina cosa．（ 高一上 全国 专题练习）已知 ，则 2 的值为 ．2 cos a +1
06 诱导公式
28．（2024·全国·模拟预测）已知 sin
5p +a 1 π ÷ =
,则 cos +a = （
8 3 8 ÷ ）è è
1
A．-
1
B．
3 3
C 3．- D 3．
3 3
2π 2 19π 13π
29．（2024·全国·模拟预测）已知 cos q - ÷ = ，则 2sin -q ÷ + cos q +
=（
5 3 10 5 ÷ ）è è è
2
A．-2 B．2 C
2
．- D．
3 3
1 cos
π +a
30．（23-24 ÷高一上·江苏无锡·阶段练习）已知 sina + cosa = - ，则 è 2 的值为（ ）
2 1- tan -a
3 3 3 3
A．- B． C．- D．
4 4 16 16
π 1 2π
31 π．（23-24 高一下·湖南株洲·开学考试）已知 sin( - x) = ,且 0 < x < ，则 tan( + x) =2 ．3 3 3
sin 3π q 132．（2023 高三·全国·专题练习）已知 + = ，则
3
cos π +q cos q - 2π
+
cosq é cos π +q -1 ù sin q
3π
- ÷cos q
3π
- π - sin +q 的值为 ． ÷
è 2 è 2
07 三角函数的概念 诱导公式难点分析
π
33．（23-24
2
高一上·山西运城·期末）若a , b 0, ÷，且 4sin a - sin
2 b 2+ = 0，则当 2sina + cos b 取最大
è 2 3
值时， sin b 的值为（ ）
A 6． B 30． C 3 2． D．
6 6 3 6
π π
34．（22-23 高三上·山东枣庄·阶段练习）若0 < q < π，且点P cosθ,sin θ 与点Q cos q +
6 ÷
,sin q + 6 ÷÷
关
è è è
于 x 轴对称，则 cosq = .
35 20-21 · · sin5 q - cos5 q < 3 cos3 q - sin3．（ 高二上 贵州铜仁 阶段练习）已知 q 恒成立，则q 取值范围
是 ．
36．（2022·上海黄浦·二模）设 a,b R ， c 0,4p ．若对任意实数 x 都有 sin 2x
p
- ÷ = a sin bx + c ，则满
è 3
足条件的有序实数组 a,b,c 的组数为 ．
一、单选题
2π 2π
1．（2023·安徽·模拟预测）已知角a 终边上有一点P sin ,cos ÷，则 π - a 为（ ）
è 3 3
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
3 4 π
2．（2024·黑龙江·
二模）已知角a 的终边与单位圆的交点P ,- ÷，则 sin a -5 5 2 ÷
= （ ）
è è
4 - 3 3 4A．- B． C． D．
5 5 5 5
1 sin
π 3π
3 2024· ·
a + ÷ - cos -a ÷
．（ 辽宁 三模）已知 tana = ，则 è 2 è 2 （ ）
2 =cos -a - sin π -a
A．-1 B．1 C．-3 D．3
1
4．（2023·海南·模拟预测）若a 0, π ，且 cosa - sina = ，则 tana =（ ）
2
A 4 + 7 B 4 - 7 C 4 + 7． ． ． D 4 - 7．
5 5 3 3
5．（2024·全国·模拟预测）石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖
等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流
派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛
等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环 ABCD，如图（2），砖雕厚度为 6cm， AD = 80cm，
C D = 3 AB ，C D所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位： cm2 ）（ ）
A．3200π B． 480π + 960 C．6880π + 960 D．3680π + 960
6．（2023·贵州遵义·三模）已知 a = sin 0.1，b =10-1， c = tan 0.1，则（ ）
A． c > b > a B．b > c > a C．b > a > c D． a > c > b
7．（2023·山西·模拟预测）已知a , b ,g 均是锐角，设 sina cos b + sin b cosg + sin g cosa 的最大值为 tanq ，则
sinq sinq + cosq =（ ）
15 5
A． 3 B． C．1 D．13 13
8．（2024·浙江·二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、
1 1
余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数 cotq = ，正割函数 secq = ，余割函
tanq cosq
数 cscq
1
= ，正矢函数 ver sinq =1- cosq ，余矢函数 ver cosq =1- sinq .如图角q 始边为 x 轴的非负半轴，
sinq
其终边与单位圆交点 P ，A 、 B 分别是单位圆与 x 轴和 y 轴正半轴的交点，过点 P 作PM 垂直 x 轴，作PN
垂直 y 轴，垂足分别为M 、 N ，过点A 作 x 轴的垂线，过点 B 作 y 轴的垂线分别交q 的终边于T 、S ，其中
AM 、PS 、BS 、 NB为有向线段，下列表示正确的是（ ）
A． ver sinq = AM B． cscq = PS
C． cotq = BS D． secq = NB
二、多选题
9．（2023·贵州遵义·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．若 sina = sinb ，则a 与b 是终边相同的角
B．若角a 的终边过点P 3k, 4k k 0 sina 4，则 =
5
C．若扇形的周长为 3，半径为 1，则其圆心角的大小为 1 弧度
D．若 sina ×cosa > 0，则角a 的终边在第一象限或第三象限
a cos a π 110．（2023·辽宁·模拟预测）设 为第一象限角, - ÷ = ,则（8 3 ）è
sin 5πA． -a
1= -
è 8 ÷ 3
cos B． a
7π 1
+ ÷ = -
è 8 3
C sin 13π -a 2 2． ÷ = -
è 8 3
D． tan
π
-a
÷ = -2 2
è 8
11．（2024·全国·模拟预测）质点 A 和 B 在以坐标原点 O 为圆心，半径为 1 的圆 O 上逆时针做匀速圆周运动，
同时出发，A 的起点在射线 y = 3x x 0 和圆 O 的交点处，A 的角速度为 2rad / s ，B 的起点为圆 O 与 x 轴
正半轴的交点，B 的角速度为3rad / s，则下列说法正确的是（ ）
A．在 1s 末时，点 A 的坐标为 cos 2,sin 2
B．在 2s 末时，点 B 的坐标为 cos 6, -sin 6
π
C．在 2s 末时，劣弧 AB 的长为 2 -
3
D．当 A 与 B 重合时，点 A 的坐标可以为 -1,0
三、填空题
12．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知 x
sin x
(0, π)，若 = 3
1+ cos x
，则 = .
1- cos x sin x
ì
tan
π
x -1, x > 0
è 32
÷
13．（2023·四川成都·一模）函数 f x = í x ，则 f é f -3 ù = .
1
÷ , x 0 è 2
π
14．（2023·江西景德镇·
三模）已知直线 x = a 0 < a <
÷与函数 f x = sin x和函数 g x = cos x 的图象分别交
è 2
于P,Q PQ
1
两点，若 = ，则线段 PQ中点的纵坐标为 .
4
