专题 11 三角恒等变换及应用（八大题型+模拟精练）
目录：
01 两角和与差的三角函数
02 二倍角公式
03 半角公式
04 辅助角公式及应用
05 降幂公式
06 万能公式
07 积化和差与和差化积公式
08 三角恒等变换的应用
01 两角和与差的三角函数
1．（23-24 高三上·广东肇庆·阶段练习） cos50°cos 70° + sin 50°cos160° =（ ）
3 3 1A． - B 1． C．- D．
2 2 2 2
【答案】C
【分析】利用三角函数的诱导公式与和差公式即可得解.
【解析】 cos50°cos 70° + sin 50°cos160°
= cos50°cos 70° + sin 50°cos 90° + 70°
= cos50°cos 70° - sin 50°sin 70°
= cos 50° + 70° = cos120 1° = - .
2
故选：C.
2．（2023·福建厦门·模拟预测）已知 sina sin
a 2π π+ +
3 ÷
= sin -a ÷，则 sina =（3 ）è è
A．0 B 21 C 2 3．± ．± D．±
7 2 2
【答案】A
【分析】利用两角和差的正弦公式将题给条件化简，得到关于 sina 的方程，解之即可求得 sina 的值.
sina + sin a 2π+
1
【解析】 ÷ = sina + - sina
3
+ cosa
3 2 2 ֏ ֏
1
= sina 3+ cosa ，
2 2
sin π 3 1 -a
÷ = cosa - sina ，
è 3 2 2
又 sina + sin
2π π
a +
÷ = sin
-a
3 3 ÷
，
è è
1 sina 3则 + cosa 3 1= cosa - sina ，则sina = 0
2 2 2 2
故选：A
3．（23-24 高三上·广东江门·阶段练习）如图，a ，b 是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，
则a + b = （ ）
π π π 5π
A． B． C． D．
6 4 3 12
【答案】B
【分析】求出a , b 的正切值，即可得出a + b 的正切值，进而求出a + b 的度数.
1 1
【解析】由题意及图得， tana = ， tan b = ，
3 2
1 + 1
∴ tan(a + b )
tana + tan b
= = 2 3 = 1
1- tana + tan ．b 1- 1 1
2 3
π π
∵a 0,
÷ ， b 0, ，
è 2 ÷ è 2
a b π∴ + = ．
4
故选：B.
1 1
4．（2023·四川宜宾·二模）已知 tana = , tan b = ，则 tan(b -a ) =（
3 2 ）
4 1 7
A．1 B． C． D．
3 7 6
【答案】C
【分析】根据正切的和差角公式即可代入求解.
1 1
tan(b a ) tan b - tana
-
- = = 2 3 1【解析】 = ，
1+ tan b tana 1 1 1+ 7
2 3
故选：C
π
5．（2024·广西·模拟预测）已知a 0, π ，若 3 sina + sin 2a + cosa - cos 2a = 0 ，则 sin a + ÷ =（12 ）è
A 2 B 3 C 6 + 2 D 6 - 2． ． ． ．
2 2 4 4
【答案】A
【分析】利用正弦两角和公式和正弦函数的性质求出a ，代入即可求解.
【解析】因为 3 sina + sin 2a + cosa - cos 2a = 0，
3 1 1
所以 sina + cosa = cos2a 3- sin2a ，
2 2 2 2
所以 sin
a π π+ 6 ÷
= sin - 2a ÷，
è è 6
a π π π π所以 + = - 2a + 2kπ ， k Z或a + + - 2a = 2kπ + π， k Z，
6 6 6 6
又a 0, π 2π，所以a = ，
3
sin a π sin 2π π+ = + sin 3π 2所以 ÷ ÷ = = ，
è 12 è 3 12 4 2
故选：A
02 二倍角公式
6．（21-22 高三上·陕西汉中·阶段练习）已知 sin 2x = sin x ， x 0, π ，则 cos x = （ ）
A．0 B．2 C．0.5 D．0 或 2
【答案】C
【分析】由正弦的二倍角公式求解即可.
【解析】因为 x 0, π ，所以 sin x 0 ，
1
所以由 sin 2x = 2sin x cos x = sin x得 cos x = ，
2
故选：C
π 1
7．（20-21 高三上·吉林松原·期末）若 cos +q ÷ = ，则 sin2q = （4 2 ）è
1
A 3 1 3．- B． - C． D．
2 2 2 2
【答案】C
【分析】利用和角的余弦公式展开，再平方即得解.
2
【解析】解：由题得 cosq 2- sinq 1= ,\cosq - sinq 2= ，
2 2 2 2
1 1
两边平方得1- sin 2q = ,\sin 2q = .
2 2
故选：C
cosa
8．（23-24 高三上·福建宁德·期中）已知a 是第一象限角， cosa 2 5= ，则 cos2a - = （ ）
5 sina
13 7 13 1
A．- B．- C． D．
5 5 5 10
【答案】B
【分析】由同角三角函数关系式及二倍角公式化简求值.
2 5
【解析】因为a 是第一象限角， cosa = ，
5
2
所以 sina = 1- cos2 a 1 2 5 5= - 5 ÷÷
= ，
è 5
2 2 5
cosa 2 cosa 2 5 7
所以 cos2a - = 2cos a -1- = 2
sina sina ÷÷
-1- 5 = - ，
è 5 5 5
5
故选：B.
π
9．（2024·江西·模拟预测）若 tan a + ÷ = 3，则4 sin2a + cos
2a =（ ）
è
8 6 4
A． B．1 C． D．
5 5 3
【答案】A
【分析】根据两角和的正切公式求出 tana ，再由二倍角公式公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再
代入计算可得.
tana + tan π
【解析】因为 tan
π tana +1
a + ÷ = 4 = = 3，即 tana
1
= ，
è 4 1- tana π× tan 1- tana 2
4
2 12 +1
则 sin2a + cos
2a 2sinacosa + cos a 2tana +1 8= = = 2 =
sin2a + cos2a tan2a +1 2 ． 1 5
÷ +1
è 2
故选：A
10．（2024·辽宁·一模）若 tan 2a
4
= 2 + 2cos 2a - 3sin 2a，则 =1 cos 2 （- a ）3
1 1 1A．- 或 2 B．-2或 -
2 2
C．2 D．
2
【答案】C
【分析】
根据已知条件，利用正切的二倍角公式求出 tanα，再利用正余弦二倍角公式和同角三角函数的商数关系化
简要求值的式子，带值计算即可得到答案.
tan2a 4 2tana 4【解析】 = = tana
1
= 或-2，
3 1- tan2a 3 2
2 + 2cos 2a - 3sin 2a
1- cos 2a
2 + 2 2cos2 a -1 - 6sina cosa
=
1- 1- 2sin2 a
4cos2 a - 6sina cosa
=
2sin2 a
2 - 3tana
=
tan2a
代入 tanα 求得值均为：2.
故选：C.
11．（2024·全国·模拟预测）已知 tanacos
π -a cos π π- +a = 0 a 0, sin2a 4 ÷ ÷
， ÷ ，则 =（ ）
è è 4 è 2 4cos2 sin2
a + a
A． 2 3 - 2 B． 4 2 - 3 C． 2 2 D．3- 2 2
【答案】D
【分析】先利用诱导公式和差角公式求出正切值，再利用齐次式可求答案.
【解析】因为 tanacos
π
-a ÷ - cos
π
+a
÷ = 0，所以 tanacos
π -a - sin π -a
4 4 4 ÷ ÷
= 0 ，
è è è è 4
a π π π又
0,
÷ ，所以 cos
-a
2 4 ÷
0，所以 tana - tan -a ÷ = 0 ，
è è è 4
即 tana
1- tana
- = 0，解得 tana = 2 -1或1 tana tana = - 2 -1
，
+
π
因为a 0, 2 ÷
，所以 tana = 2 -1，
è
sin2a 2sinacosa tana 2 -1
所以 2 = 2 = = = 3 - 2 2 ．4cos a + sin2a 4cos a + 2sinacosa 2 + tana 2 +1
故选：D
03 半角公式
a
12．（2024·全国·模拟预测）已知角a 是第二象限角，且终边经过点 -3,4 ，则 tan =（ ）
2
A 3 B 1． ． 2 C． 2 D
1
． 2 或 2
【答案】C
【分析】根据已知条件求出 sina 和 cosa 的值，再利用 tan
a sina
= 求解即可.
2 1+ cosa
【解析】∵角a 是第二象限角，且终边经过点 -3,4 ，
∴ sina =
4 3
， cosa = - ，
5 5
sin aa 2 ×sin
a
×cos a 4
∴ tan = 2 = 2 2
sina
a a = =
5 = 2
2 cos 2cos2 1+ cosa 1+ 3-
.
2 2 ֏ 5
故选：C．
1 15 a
13．（23-24 高三下·云南·阶段练习）已知角a 的终边经过点P , -
2
，则 2cos + sina = （ ）
è 4 4 ÷
÷
2
A 5 - 15 B - 15 - 5 C 5 + 15 D 15 - 5． ． ． ．
4 4 4 4
【答案】A
【分析】根据三角函数定义求出正弦和余弦，结合半角公式求出答案.
15 1
【解析】由三角函数定义得 sina = - ，cosa =
4 4
a
所以 2cos2 + sina =1+ cosa + sina 1 15 1 5 - 15= - + = .
2 4 4 4
故选：A.
14 2023· · a cosa 1+ 5
a
．（ 全国 高考真题）已知 为锐角， = ，则 sin = （2 ）．4
A 3- 5 B -1+ 5 C 3- 5． ． ． D -1+ 5．
8 8 4 4
【答案】D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
cosa 1 2sin2 a 1+ 5【解析】因为 = - = ，而a 为锐角，
2 4
a
解得： sin = 3- 5
2
5 -1 5 -1
2 = =
．
8 16 4
故选：D．
q
15．（22-23 高三上· · 1+ cosq 3河北石家庄 期末）已知 = ，则 tan = .
sinq 3 2
【答案】 3
【分析】利用半角公式即可求解.
1+ cosq 2cos
2 q cos q
= 2 = 2 1 1+ cosq 3【解析】因为
sinq 2sin q cos q sin q
= q ，且 = ，tan sinq 3
2 2 2 2
所以 tan
q
= 3
2 ，
故答案为： 3 .
04 辅助角公式及应用
é π ù 3 5 tan x 3πx 0, ,sinx cosx - 16．（23-24 高三下·四川绵阳·阶段练习）已知 ê ú + = ，则 ÷ = ． 4 5 è 4
【答案】3
【分析】借助辅助角公式与同角三角函数基本关系计算即可得.
【解析】 sinx + cosx = 2 sin x
π 3 5 π 3 10+ = ，故 sin x + = ，
è 4 ÷ 5 4 ÷è 10
2
由 x
é π ù π π π
ê0, ú ，则 x +
é , ù
4 4 ê
，故
4 2 ú cos
π 3 10 10
x +
4 ÷
= 1- = ，
è è 10 ÷
÷
10
sin x π+ 3 10
tan x 3π 3π
÷
- ÷ = tan
x - + π
= tan x π+ ÷ ÷ =
è 4 = 10 = 3 .
è 4 è 4 è 4 cos x π+ 10
è 4 ÷ 10
故答案为：3 .
p
17．（2024·新疆喀什·二模）已知函数 f x = sin x -j - cosx ，其中0 < j < p ，满足 f 0 = f ÷，则
è 3
j = ．
5p
【答案】 6
p
【分析】根据 f 0 = f ÷代入计算，化简可得关于j 的方程，解方程即可.
è 3
【解析】因为 f x = sin x -j - cosx ， f 0 f p= ÷，
è 3
所以-sinj -1 = sin(
p j) 1- - ，
3 2
3 1
所以 cosj - sinj sinj 1 3+ + = 0，即 cosj 1+ sinj 1= - ，
2 2 2 2 2 2
所以 sin(j
p 1
+ ) = - ，
3 2
0 < j < p j+ p = 7p j= 5p又因为 ，所以 ，即 .
3 6 6
5p
故答案为： .6
π
18．（2024·
é ù
全国·模拟预测）设 x ê0, 2 ú ，则函数 y = sin x + cos x 的最大值为 ．
3
【答案】 24
2
【分析】平方后，设 t = sin x + cos x y2 t 2 t -1，得到 = + ，1 t 2 ，根据函数单调性得到最值，得到答
2
案.
é π ù
【解析】设 y = sin x + cos x ， x 0, ，两边平方得 y2ê 2 ú = sin x+cos x+2 sin xcos x ．
设 t = sin x + cos x ，两边平方得 t 2 = sin2 x + 2sin x cos x + cos2 x =1+ 2sin x cos x，
2
则 sin x cos x t -1= ，
2
π
由于0 x
π π π 3π
， x + ，则 t = sin x + cos x = 2 sin x + ，
2 4 4 4 4 ÷ 1 t 2
，
è
t 2y2 t -1又由于 = + 2 在区间[1, 2]上单调递增，
2
所以当 t = 2 时, y2 的最大值为 2 2 ，
é π ù 1 3
则 y = sin x + cos x 在区间 ê0, ú上的最大值为2 (2 2)2 = 2
4 ．
3
故答案为： 24
19．（2024·河南新乡·三模）已知函数 f (x) = sinwx - 3coswx(w > 0)，若存在 x1 [0, π]，使得 f (x1) = -2，则w
的最小值为 .
11 5
【答案】 /1
6 6
【分析】利用辅助角公式化简函数 f (x) ，求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求解即得.
【解析】函数 f (x) = 2sin(wx
π
- ) ，由 x [0, π] wx
π [ π , πw π1 ，得 1 - - - ]，3 3 3 3
x [0, π] πw π 3π 11由存在 1 ，使得 f (x1) = -2，得 - ，解得w ，3 2 6
11
所以w 的最小值为 .
6
11
故答案为：
6
05 降幂公式
sin80° +1
20．（2022·云南·模拟预测） =（ ）
sin2 5° -1
A 2 B 2．- ． C．-2 D．2
2 2
【答案】C
【分析】利用诱导公式和降幂公式化简即得解.
sin80° +1 cos10o +1 o
2 = o = 2
cos10 +1
= -2
【解析】解：由题得 sin 5° -1 1- cos10 -cos10o-1 -1
.
2
故选：C
21．（22-23 高三下·安徽·开学考试）已知 sinq + 2cos2
q 5
= ，则 sin 2q = （
2 4 ）
15 15 3 3
A．- B． C．- D．
16 16 4 4
【答案】A
【分析】先利用降幂公式，再利用二倍角公式化简即得解.
【解析】由已知 sinq + 2cos2
q 5 5
= ，化简得 sinq +1+ cosq = ,\sinq + cosq
1
= ．
2 4 4 4
1
平方得1+ sin 2q = ，
16
所以 sin 2q
15
= - ．
16
故选：A．
1- cos2q + sin 2q
22．（2021·四川巴中·模拟预测）已知 = 2，则 tanq = （ ）
1+ cos2 q + sin 2q
A．1 B．2 C．3 D． 2
【答案】B
【解析】根据降幂公式和二倍角的正弦公式化简等式左边即可得解.
1- cos2q + sin 2q
【解析】因为 = 2，
1+ cos2q + sin 2q
2sin2 q + 2sinq ×cosq
所以 = 2，
2cos2 q + 2sinq ×cosq
sinq (sinq + cosq )
所以 = 2cosq (cosq + sinq ) ，
所以 tanq = 2 .
故选：B
【点睛】本题考查了降幂公式，考查了二倍角的正弦公式，属于基础题.
23．（22-23 高三上·广西柳州·阶段练习）已知的数 f (x) = 2cos2
wx
÷ - 5（w > 0），若对任意的实数 t， f (x)
è 2
在区间 (t, t + 6)上的值域均为[-5,-3]，则w 的取值范围为（ ）
π π , π , é πA． 0,
÷ B． + C． + D． ,+
è 3 ÷ è 6 è 3 ÷ ÷ ê 3
【答案】D
【分析】对 f x 运用倍角公式作恒等变换求出周期，则其周期T t + 6 - t = 6 ，据此可以求解.
2 wx 2π
【解析】 f x = 2cos 2 ÷ - 5 = cos wx - 4 ，其周期为T = ，è w
T t 6 t 6, 2π由题意有： + - = \ 6,w
π
.
w 3
故选：D.
06 万能公式
24．（20-21 高一下·陕西西安·期末）若 tana = 3，则 sin 2a =（ ）
3 3 3 3
A． B．- C．- D．
5 5 4 4
【答案】A
【分析】利用二倍角的正弦公式以及弦化切可求得 sin 2a 的值.
2sina cosa
sin 2a 2sina cosa 2sina cosa cos
2 a 2 tana 2 3 3
【解析】 = = sin2 a + cos2
= = = = .
a sin2 a + cos2 a tan2 a +1 32 +1 5
cos2 a
故选：A.
π 2
25．（2022· ·
全国 模拟预测）已知第二象限角a 满足 tana × tan a + 4 ÷
=
3 ，则 cos 2a = （ ）è
4 4 3 3
A．- B． C． D．-
5 5 5 5
【答案】D
【分析】由 tana × tan
a
π
+
2
4 ÷
=
3 结合正切和角公式化简，求得
tana ，利用万能公式即可求解.
è
tana tan a π tana tana +1 2【解析】∵ × + ÷ = × = 24 1- tana 3 ，∴ 3tan a + 5tana - 2 = 0，è
1
解得 tana = -2或 tana = （舍去），
3
2
cos 2a cos2 a sin2 a cos a - sin
2 a 1- tan2 a 3
所以 = - = 2 = = - .cos a + sin2 a 1+ tan2 a 5
故选：D
26．（2021·河北邯郸·一模）已知 2sin p -a = 3sin p +a
÷，则 sin
2 a 1- sin 2a - cos2 a =（
2 ）è 2
5 1 5 1
A． B．- C．- D．
13 13 13 13
【答案】B
【分析】运用诱导公式及齐次化即可或解.
【解析】由 2sin(p a )
p 3
- = 3sin( +a ) ，得 2sin a = 3cosa ，所以 tana = ，
2 2
2
sin2 a 1 sin 2a cos2 a sin a - sina cosa - cos
2 a tan2 a - tana -1 1
从而 - - =
2 sin2
= = -
a + cos2 a tan2 a +1 13
故选：B
07 积化和差与和差化积公式
π 3π π π
27．（2021 高三·全国·专题练习）求 cos +cos -2sin cos8 8 的值；8 4
【答案】0
【分析】利用和差化积进行化简求值即可得解.
π 3π π π
【解析】cos +cos -2sin cos8 8 4 8
π 3π π 3π
= +
π
2cos 8 8 cos
-
8 8 - 2 cos 8
2 2
π π
- 2 π π π=2cos cos cos = 2 cos - 2 cos =0.4 8 8 8 8
28．（22-23 高三上·广东汕头·期末）设锐角三角形 ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知
a = b cos A - a cos B ．
(1)求证：B＝2A；
b + c
(2)求 的取值范围．
a
【答案】(1)证明过程见解析.
(2) 2 +1, 3 + 2
【分析】（1）利用正弦定理及积化和差得到 sin A = sin B - A ，结合角的范围，得到B = 2A；
b + c 2 π π2 （ ）利用正弦定理得到 = 4 cos A 1 5 + ÷ - ，根据三角形为锐角三角形，得到 A , ÷，a è 4 4 è 6 4
2 3 cos A , ，从而求出取值范围.
è 2 2
÷÷
【解析】（1） a = bcos A - a cos B ，
由正弦定理得： sin A = sin B cos A - sin Acos B ，
由积化和差公式可得：
sin A 1= sin B A 1+ + sin B - A 1- sin A + B 1- sin A 1- B = sin B 1- A - sin A - B ，
2 2 2 2 2 2
1
因为 sin A - B 1= - sin B - A ，
2 2
所以 sin A = sin B - A ，
π
因为三角形 ABC
为锐角三角形，故 A, B 0, 2 ÷
，
è
π π
所以B - A - , ，
è 2 2 ÷
故 A = B - A，即B = 2A；
（2）由（1）知：B = 2A，
由正弦定理得：
b + c sin B + sin C sin 2A + sin B + A sin 2A + sin 3A
= = = ，
a sin A sin A sin A
其中 sin 3A = sin 2A + A = sin 2Acos A + cos 2Asin A = 2sin Acos2 A + cos 2Asin A，
因为 sin A 0 ，
b + c 2sin Acos A + 2sin Acos2 A + cos 2Asin A
所以 = = 2cos A + 2cos2 A + cos 2A
a sin A
2
= 2cos A + 2cos2 A + 2cos2 A -1 = 4cos2 A + 2cos A -1 = 4 cos A
1 5
+ ÷ - ，
è 4 4
由B = 2A
0,
π A π 得：
2 ÷
0,
4 ÷
，
è è
C = π - A - B = π - 3A 0, π π π 由 ÷，解得： A , ÷，
è 2 è 6 3
A 0, π A π π
2 3
结合 ÷ 可得：
,6 4 ÷，
cos A
2
,
2 2 ÷
，
è è ÷è
b + c 2 2 3
故 = 4 cos A
1
+
5
÷ - 在 cos A , ÷上单调递增，a è 4 4 ÷è 2 2
b + c
所以 = 4cos2 A + 2cos A -1
1
4 + 2 -1,4
3
+ 3 -1 ÷，a è 2 4
b + c
即 2 +1, 3 + 2 .
a
08 三角恒等变换的应用
29．（2024·山东·二模）已知函数 f x = 3sin2x - cos2x，则下列结论正确的是（ ）．
A．函数 f x 的最大值是 3
B．函数 f x é π π ù在 ê- , ú 上单调递增 6 3
C．该函数的最小正周期是 2π
π
D．该函数向左平移 个单位后图象关于原点对称
6
【答案】B
f x = 2sin 2x π- 【分析】根据题意，化简函数 ÷，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
è 6
【解析】由函数 f x = 3sin2x - cos2x = 2sin 2x π- ÷ ，
è 6
可得最大值是 2，最小正周期是 π，所以选项 A，C 错误；
当 x
é π π π π π ê- ,
ù é ù
6 3 ú，可得
2x - ê- , ú，根据正弦函数的性质， 6 2 2
可得函数 f x = 2sin 2x
π
- é
π π ù
÷在 ê- , ú 上单调递增，所以 B 正确；è 6 6 3
π π
将函数 f x 图象向左平移 得到函数 f x = 2sin 2x + ，
6 ֏ 6
此时函数 f x 的图象不关于原点对称，所以 D 错误.
故选：B．
wx
30．（2024·四川·模拟预测）已知函数 f x = sinwx + 2cos2 (w > 0) 在 0, π 上有且仅有 4 个零点．则 f x
2
图象的一条对称轴可能的直线方程为（ ）
x π πA． = B． x =
20 10
3π
C． x = - D． x
5π
=
20 14
【答案】D
7
【分析】化简 f x ，由零点个数整体思想求出 w < 5，并求出对称轴判断其范围，结合赋值法判断各选
2
项.
【解析】 f x = sinwx 2cos2 wx π+ = sinwx +1+ coswx = 2sin wx +
2 4 ÷
+1，
è
令 f x = 0 sin wx π 2，得 +
÷ = - ，
è 4 2
x π π π因为 0, π ，所以wx + é ,wπ + ù ，
4 ê 4 4 ú
f x 0, π 15π π 21π 7若 在 上有且仅有 4 个零点，则 wπ + < ，解得 w < 5，
4 4 4 2
wx π π 4kπ+π 7令 + = kπ+ , k Z，得 x = ,k Z，因为 w < 5，
4 2 4w 2
4kπ+π 4kπ+π 4kπ+π
所以 < , k
π π
Z ．当 k = 0， < x ,
20 4w 14 20 14
k 1 π x 5π , k 1, 3π 3π当 = ， < 当 = - - < x - ，只有 D 符合.
4 14 20 14
故选：D．
1
31．（22-23 高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数 f x = sin4 x - cos4 x + 2 3 sin x cos x - x R .
2
(1)求 f x 的最小正周期和单调递减区间；
a π π a π 1 π(2)若 - ,
2 2 ÷ ，且
f + = ，求 cos2 12 ÷ 2
2a +
4 ÷
的值.
è è è
é π 5π ù
【答案】(1)最小正周期为 π，单调递减区间为 ê + kπ, + kπú k Z 3 6
(2) 2 - 6
4
【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简得到 f x = 2sin 2x
π 1
- ÷ - ，根据正弦型函数最小正周期和单
è 6 2
调区间的求法可直接求得结果；
f a π+ 1 π（2）由 ÷ = 可求得 sina ，进而得到a = ，利用两角和差余弦公式可求得结果.
è 2 12 2 6
2 2 2
【解析】（1）Q f x = sin x - cos x sin x + cos2 x 1 1+ 3 sin 2x - = -cos 2x + 3 sin 2x -2 2
= 2sin 2x π- 1 ÷ - ，
è 6 2
\ f x T 2π的最小正周期 = = π2 ；
π
令 + 2kπ 2x
π 3π π 5π
- + 2kπ k Z ，解得： + kπ x + kπ k Z ，
2 6 2 3 6
\ f x é π 5π ù的单调递减区间为 ê + kπ, + kπú k Z . 3 6
f a π （2）由（1）得： + ÷ = 2sina
1 1
- = ，\sina
1
= ，
è 2 12 2 2 2
Qa π π - ,
π
，\a = ，
è 2 2 ÷ 6
\cos 2a π+ ÷ = cos
π π
+
÷ = cos
π cos π π π 2 - 6- sin sin = .
è 4 è 3 4 3 4 3 4 4
32．（2024 高三下·全国·专题练习）已知函数 f x = 2sin x cos x a sin2 x cos2 x f x f x 5p- - - = - ，若 6 ÷ ，è
则直线 24x - 9p y -8p = 0与 f x 的图象的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】先将函数 f x 化简得 f x == sin 2x + a cos 2x 5p，再结合 f -x = f x -
÷ 以及 x 的任意性求出 a
è 6
的值，从而求出 f x 的解析式，再数形结合探究即可得出结果.
【解析】由题 f x = 2sin x cos x - a sin2 x - cos2 x = sin 2x + a cos 2x ，
由 f -x = f 5π 5π x -
÷知 f 0 = f - ÷ ，
è 6 è 6
a sin 5π a cos 5π所以 = - ÷ + -
3 3 ÷
，解得 a = 3，
è è
f x = sin 2x + 3 cos 2x = 2sin π 所以 2x + ÷ .
è 3
对于 24x - 9πy -8π = 0 y = 0 x π
13π
，令 ，得 = 3 ；令
y = 2，得 x = ，
12
故直线 24x
13π
- 9πy -8π = 0 π 经过点 ,03 ÷与点
, 2÷ .
è è 12
f x π ,0 13π ,2 易知 的图象也过点 3 ÷与点 ，è è 12 ÷
在同一平面直角坐标系中作出函数 f x 的图象与直线 24x - 9πy -8π = 0，如图所示：
结合图象可知 f x 的图象与直线 24x - 9πy -8π = 0恰有 5 个交点，
故选：C.
33．（23-24 高三下·浙江宁波·阶段练习）VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且
sin A - B cosC = cosBsin A - C .
(1)判断VABC 的形状；
1 2 1 1
(2)若VABC 为锐角三角形， sinA = ，求 2 + + 的最大值.b a 2b 2c
【答案】(1) VABC 为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形
(2) 2 +1
【分析】
（1）利用三角恒等变换公式化简后分别讨论各项为 0 时的情况即可；
（2）先根据（1）中的结论判断此时 VABC 为等腰三角形，再利用正弦定理将边化为角，构造关于角 B 的
三角函数求值域，注意角 B 在锐角三角形中的范围即可.
【解析】（1）由题意： sinAcosB - cosAsinB cosC = cosB × sinAcosC - cosAsinC ，
整理得 cosA × cosBsinC - sinBcosC = cosA ×sin C - B = 0，
故 cosA = 0或 sin C - B = 0，
当 cosA = 0时， A
π
= ，VABC 为直角三角形，
2
当 sin C - B = 0时， B = C ，VABC 为等腰三角形，
当 cosA = 0且 sin C - B = 0 π π时， A = ，B = C = ，VABC 为等腰直角三角形.
2 4
所以VABC 为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.
（2）由（1）知，若VABC 为锐角三角形，则一定为等腰三角形，\b = c ，
a b 1
由正弦定理 = 得 asinB = bsinA =1，\a = ，
sinA sinB sinB
2 1 1 2 1
\ 2 + + = 2 + = 2sin
2B + sinA
a 2b 2c a b
π
\2sin2B + sinA =1- cos2B + sin2B =1+ 2sin 2B -
÷，
è 4
ì
0 < B
π
<
VABC 2 π π因为 为锐角三角形，所以 í ，解得 < B < ，
0 π< A = π - 2B < 4 2
2
\ 2B π π 3π当 - = 时，即B = 时取最大值，最大值为
4 2 8 2 +1
.
综上，最大值为 2 +1
一、单选题
π π
1．（2024·福建厦门·三模）已知a 0, ÷ ， sin 2a
3
= ，则 sin a +
= （
4 4 ÷ ）è 5 è
4
A 5． B 5 2 5． C． D．
25 5 5 5
【答案】C
【分析】由a 0,
π
÷ 可得 sin
a
π
+
4 ÷
> 0，再利用整体思想结合诱导公式与二倍角公式计算即可得.
è 4 è
【解析】由a 0,
π a π π π ÷ ，则 + , ÷，则 sin
a π+ > 0
è 4 4 è 4 2
è 4
÷ ，
sin 2a = sin é2 a π π ù π+ ê ÷ - ú = -cos 2 a + ÷ = 2sin
2 a π+ 3 ÷ -1 = ，
è 4 2 è 4 è 4 5
2
则 sin a
π 4
+ = sin a π+ π 2 5÷ ，由4 5 4 ÷
> 0，故 sin
è
a +
4 ÷
= .
è è 5
故选：C.
tana 3cosa2．（2024·河北保定·二模）已知 = ，则 cos 2a = （
sin 11 ）a +
A．-
7 7 7 7
B． C． D．-
8 8 9 9
【答案】B
【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出 sina ，再结合二倍角公式即可求解.
sina 3cosa
【解析】因为 = ，
cosa sina +11
所以 4sin2a +11sina - 3 = 0，
解得 sina
1
= 或 sina = -3（舍去），
4
所以 cos2a =1- 2sin2a
7
= ．
8
故选：B.
π a
3．（2024·
贵州·模拟预测）已知a , π
÷， 25cos 2a -10sina -1 = 0 tan =2 ，则 （ ）è 2
4 3 1
A．3 B． C． D．
3 4 3
【答案】A
a π 【分析】由二倍角的余弦公式，同角三角形函数的平方关系及 , π ÷求出 sina2 和
cosa ，再根据二倍角
è
a
的正弦公式及降幂公式化简 tan ，代入计算即可．
2
【解析】由题设有 25 1- 2sin2 a -10sina -1 = 0，即 25sin2 a + 5sina -12 = 0，
π
解得 sina
3
= 或 sina
4 3 4
= - ，因为a , π ÷，所以 sina = ，则 cosa = - 1- sin
2 a = - ，
5 5 è 2 5 5
sin a 2sin a cos a 3
则 tan
a
= 2 2 2 sina 5a = = = = 3，2 cos 2cos2 a 1+ cosa 1 4-
2 2 5
故选：A．
sinx cosx 1
π
4．（2024·河南·二模）已知 + = ，则 cos 2x - =3 è 2 ÷
（ ）
3 3 8 8
A．- B． C． D．-
5 5 9 9
【答案】D
【分析】对已知等式两边平方结合平方关系、二倍角公式以及诱导公式即可运算求解.
1 2 1 8 π 8
【解析】Qsinx + cosx = ,\(sinx + cosx) =1+ sin2x = ,\sin2x = - ,\cos 2x - ÷ = sin2x = - .3 9 9 è 2 9
故选：D.
5．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系 xOy 中，已知P,Q 是单位圆上不同的两点，其中 P 在第一象限，
Q在第二象限，直线OP,OQ a , b P,Q
3
的倾斜角分别为 ，若点 的横坐标分别为 ,
1
- ，则 sin b -a =（ ）
5 2
A 4 3 - 3 B 4 3 + 3． ．
10 10
C 3 3 - 4 D 3 3 + 4． ．
10 10
【答案】D
4 3 3
【分析】根据三角函数的定义，可得 sina = ,sinb = , cosa = ， cosb
1
= - ， 即可利用和差角公式求解.
5 2 5 2
【解析】单位圆的方程为 x2 + y2 =1，将点P,Q 的横坐标分别代入单位圆的方程，可求得
P 3 4
1 3
, ÷ ,Q - , ÷÷，è 5 5 è 2 2
sina 4 ,sinb 3 ,cosa 3根据三角函数的定义知 = = = ， cosb
1
= - ，
5 2 5 2
因此 sin b -a = sinbcosa sinacosb 3 3 + 4- = ．
10
故选:D．
π π tana 2
6．（2024·江苏扬州·模拟预测）若- < a < b < ，且 cosa sin b
1
= ， = ，则 cos a - b =tan b 3 （ ）4 4 2
A 11 B 11 35 35． ．- C． D．-
6 6 6 6
【答案】C
【分析】利用切化弦可得 sina cos b
1
=
3 ，再由两角和差公式先求
sin a - b ，最后由同角基本关系式求解.
sina
tana 2 2
【解析】因为 = cosa = sina cos b
2 1
= cosa sin b =
tan b 3 ，则 sin b 3 ，则 ，3 3
cos b
所以 sin a - b = sina cos b cosa sin b 1 1 1- = - = - ，
3 2 6
π a b π π而- < < < ，则- < a - b < 0，
4 4 2
所以 cos a - b 35= 1- sin2 a - b = .
6
故选：C
0 x π sin 2x + 3cos 2x + 37．（2024·全国·三模）当 < 时， 的最大值是（ ）
2 cos x
A．2 B． 10 C．0 D． 2 10
【答案】D
【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解即得.
2sin x cos x + 3 2cos2 x
【解析】原式= = 2sin x + 6cos x = 2 10 sin(x +j)，
cos x
其中锐角j 由 tanj = 3确定，由0
π
x < ，得0 < j x +j
π
< +j < π，
2 2
所以[2 10 sin(x +j)]max = 2 10 .
故选：D
8．（2024·陕西榆林·三模）已知a 0,2π ，若当 x 0,1 时，关于 x 的不等式
sina + cosa +1 x2 - 2sina +1 x + sina > 0恒成立，则a 的取值范围为（ ）
π , 5π π , 5π π , π π , 5π A． 12 12 ÷
B． ÷ C6 6 ． 6 3 ÷
D． ÷
è è è è 3 6
【答案】A
【分析】令 f x = sina + cosa +1 x2 - 2sina +1 x + sina ，易得 f x 的对称轴为
ì
1 f 0 > 0sina +
x = 2 0,1 ，则 í f 1 > 0 ，进而可得出答案.
sina + cosa +1
1
sina +
f 2
÷
> 0
sina + cosa +1
÷
÷
è
【解析】令 f x = sina + cosa +1 x2 - 2sina +1 x + sina ，
ì f 0 > 0 ìsina > 0
由题意可得 í
f 1 > 0
，则 ícosa ， > 0
又因为a 0,2π ，所以a 0,
π
2 ÷
，
è
1
f x sina +函数 的对称轴为 x = 2 0,1 ，
sina + cosa +1
ì
sina > 0
则 ícosa > 0 ，
2
sina
1
+ sina 1+
sina + cosa +1 2
÷
÷ - 2sina +1 ×
2 + sina > 0
sina + cosa +1÷ sina + cosa +1
è
ìsina > 0
即 ícosa > 0 ，
(2sina +1)
2 - 4sina sina + cosa +1 < 0
ì
sina > 0
即 ícosa > 0 a
π
，结合
0,
π 5π
÷ ，解得 < a < .
è 2 12 12
sin2a 1>
2
故选：A.
二、多选题
3
9．（2023·全国·模拟预测）若 tana = ，a (0, π) ，则（ ）
4
a 1
A． sina > cosa B．0 < a tana <1 C． tan = D． cos 2a
p 17 2
+ ÷ = -2 3 è 4 50
【答案】BCD
【分析】利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
3
【解析】选项 A：由 tana = > 0，a 0, π ，可知a 为锐角，
4
ì sina 3
= 3 4 π
且 ícosa 4 ，解得 sina = ， cosa = 且0 < a < <1，
sin
2 a + cos2 a =1 5 5 4
所以 sina < cosa ，故 A 错误；
选项 B：因为0 < tana <1，0 < a <1，因此0 < a tana <1，故 B 正确；
3 2 tan
a
a π
选项 C：因为 tana = = 2
且 0,
．
4 1- tan2 a 2
8 ֏
2
a 1
所以 tan = ，所以 C 正确；
2 3
3 4
选项 D：因为 sina = ， cosa = ，
5 5
所以 sin 2a = 2sina cosa
24
= ， cos 2a = 2cos2 a 1
7
- = ，
25 25
π 2 17 2
所以 cos 2a + ÷ = (cos 2a - sin 2a ) = - ，所以 D 正确．
è 4 2 50
故选：BCD
10．（2023·浙江·二模）已知函数 f x = sin x +j - sin x + 7j 为奇函数，则参数j 的可能值为（ ）
π π 3π π
A． B． C． D．
8 4 8 2
【答案】AC
【分析】根据奇函数 f 0 = 0 ，运用排除法，再验算即可.
【解析】Q f x 是奇函数，并在 x = 0 时有意义，\ f 0 = 0 ，
π 7π π π
对于 A， f 0 = sin - sin = sin - sin π - ÷ = 0 ，8 8 8 è 8
又 f x = sin x
π sin x 7π+ ÷ - +
÷ = sin
x
π sin éπ x π ù π+ - + - π
8 8 8 ÷ ê 8 ÷
= sin x + ÷ + sin x - ÷
è è è è
ú
è 8 è 8
π
= sin x cos + cos x sin π sin x cos π+ - cos x sin π = 2cos π sin x ；
8 8 8 8 8
\ f -x = - f x ，是奇函数，正确；
对于 B， f 0 = sin π 7π π π π- sin = sin - sin 2π -
÷ = 2sin 0 ，错误；4 4 4 è 4 4
3π 21π 3π 5π 3π 3π
对于 C， f 0 = sin - sin = sin - sin 2π + ÷ = sin - sin π - ÷ = 0 ，8 8 8 è 8 8 è 8
f x sin x 3π 21π又 = +
÷ - sin
x +
÷ = sin
x 3π+ - sin 5π ÷ x + 2π +
è 8 ÷ è 8 è 8 è 8
sin x 3π sin 3π= + - ÷ x + π - ÷ = 2cos
3π sin x ；
è 8 è 8 8
f -x = - f x ，是奇函数，正确；
对于 D， f 0 = sin π - sin 7π = sin π - sin 4π π- = 2sin π = 2 0 ，错误；
2 2 2 è 2 ÷ 2
故选：AC.
11 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知 f x = sin wx
π
+ - cos2 ÷ wx
π
+ ÷ (w > 0)，下列判断正确的是（ ）
è 3 è 3
A．若 f x1 = f x = 0
π
2 ，且 x1 - x2 =min ，则w = 22
x πB．w =1时，直线 = 为 f x 图象的一条对称轴
6
π
C．w =1时，将 f x 的图象向左平移 个单位长度后得到的图象关于原点对称
3
f x 0,2π w é 53 , 59D 9 ．若 在 上恰有 个零点，则 的取值范围为 ê24 24 ÷
【答案】BD
【分析】利用二倍角公式化简 f (x) ，利用余弦函数的图象和性质依次判断选项即可.
é 2 π 2 π ù 2π
【解析】 f x = - êcos wx + ÷ - sin wx + ÷ú = -cos 2wx + ÷ ,w > 0，
è 3 è 3 è 3
T π 2π
对于A ，根据条件，可得 = ,\T = π = ,\w =1，故 A 错误；
2 2 2w
2π π π 2π
对于B，当w =1时， f x = -cos 2x + ÷ ,\ f3 ÷ = -cos + = -cosπ =1，è è 6 è 3 3 ÷
π
所以直线 x = 为 f x 的一条对称轴，故 B 正确；
6
2π π
对于C ，当w =1时， f x = -cos 2x + ÷，将 f x 向左平移 个单位长度后可得
è 3 3
y cos é= - ê2
x π 2π ù+ π 3 ÷
+ ú = cos 2x + ÷，
è 3 è 3
为非奇非偶函数，故 C 错误；
x 0,2π 2π 2wx 2π对于 D，由题意 ，则 + 4wπ 2π+ ，因为 f x 在 0,2π 上恰有 9 个零，
3 3 3
19π 4wπ 2π 21π 53 59所以 + < ，解得 w < ，故 D 正确.
2 3 2 24 24
故选：BD.
三、填空题
6cosa
12．（2024·全国·二模）已知 tana = ，则 cos2a = .
7 - sina
7
【答案】 /0.28
25
【分析】切化弦，然后整理可得 sina ，再利用倍角公式计算即可.
6cosa tana sina【解析】 = = ，
7 - sina cosa
得 7 - sina sina = 6cos2 a = 6 1- sin2 a ，
解得 sina
3
= 或 sina = -2（舍）
5
2
所以 cos2a = 1- 2sin2 a = 1- 2
3 7
÷ = .
è 5 25
7
故答案为： .
25
13．（2024·湖北·三模）设函数 f (x) = sin(x +j) + cos(x +j)对任意的 x(x R) 均满足 f (-x) = f (x)，则 tanj =
【答案】1
【分析】由两角和的正弦公式先进行化简，再利用条件可得 f (x) 为偶函数，可求得j 的值，代入求解即可.
【解析】因为 f (x) = sin(x + j) + cos(x + j) = 2 sin(x + j
π
+ )
4 ，
又因为 f (-x) = f (x)，所以函数 f (x) 为偶函数，
j π π即 + = + kπ4 2 ，
k Z，
π
\j = + kπ(k Z)
4 ，
所以 tanj = tan(
π
+ kπ) = 1 k Z .
4
故答案为：1.
14．（2024·全国· A 3b - c模拟预测）已知锐角三角形 ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，若 sin = ，则
2 4b
a
的取值范围是 .
b
【答案】 2, 3
c - b
【分析】由二倍角公式可得 cosA = ，利用正弦定理边化角，结合和差公式整理可得 sinB = sin A - B ，
2b
可得 A = 2B，根据三角形 ABC 为锐角三角形求出角 B 的范围，然后利用正弦定理和二倍角公式可得
a
= 2cosB ，可得范围.
b
A 3b - c 2 A 3b - c 2 A c - b
【解析】因为 sin = ，所以 sin = ，所以 cosA =1- 2sin = ，
2 4b 2 4b 2 2b
cosA sinC - sinB由正弦定理得 = ，即 2sinBcosA = sinC - sinB，
2sinB
所以 2sinBcosA = sin A + B - sinB ，
所以 sinAcosB - cosAsinB = sinB，即 sinB = sin A - B ，
所以B = A - B或B + A - B = π （舍去），
π
因为三角形 ABC 为锐角三角形，所以 A = 2B 0,
2 ÷
，
è
又 A B 3B
π π π 2 3
+ = , π ÷，解得B , ，所以 cosB , .
è 2 è 6 4 ÷
÷÷
è 2 2
a sinA sin2B 2cosB a因为 = = = ，所以 的取值范围为 2, 3 .
b sinB sinB b
故答案为： 2, 3
四、解答题
r x x x r x x x
15．（2024·黑龙江·二模）已知向量m = 3 sin ,sin + cos ÷， n = 2cos ,sin - cos ，且函数
è 2 2 2 è 2 2 2 ÷
f x = mr ×nr - a在 x R 上的最大值为 2 - 3 ．
(1)求常数 a的值；
(2)求函数 f x 的单调递减区间．
【答案】(1) 3
é2π 2kπ, 5π(2) ê + + 2kπ
ù
3 3 ú
k Z
【分析】（1）根据向量数量积运算、二倍角和辅助角公式可化简 f x ，根据正弦型函数最大值可构造方程
求得 a的值；
π
（2）采用整体代换的方式，构造不等式 + 2kπ x
π 3π
- + 2kπ k Z ，解不等式即可求得单调递减区间.
2 6 2
r r x x x x π
【解析】（1）Qm × n = 2 3 sin cos + sin2 - cos2 = 3 sin x - cos x = 2sin x -
÷，2 2 2 2 è 6
\ f x = 2sin x π - ÷ - a ，\ f x = 2 - a = 2 - 3max ，解得：6 a = 3 .è
π
（2）由（1）知： f x = 2sin x - ÷ - 3 ，
è 6
π 2kπ x π 3π 2kπ k Z 2π 5π令 + - + ，解得： + 2kπ x + 2kπ k Z ，
2 6 2 3 3
\ f x é2π的单调递减区间为 ê + 2kπ,
5π
+ 2kπùú k Z . 3 3
16．（2024·江苏南京·模拟预测）已知在VABC 中，三边 a,b,c所对的角分别为 A, B,C ，已知
a cosA + cosBcosC = 3bsinAcosC ．
(1)求C ；
(2)若a = 2,△ABC 外接圆的直径为 4，求VABC 的面积．
π
【答案】(1) C =
3
(2) 2 3
【分析】（1）由正弦定理化边为角，利用三角形中三内角的三角函数关系消去角A ，解三角方程即得；
（2）由正弦定理求得边 c，再由余弦定理求出边b ，利用面积公式即得.
【解析】（1）因为 a cosA + cosBcosC = 3bsinAcosC ，
由正弦定理得， sinA cosA + cosBcosC = 3sinBsinAcosC ，
因为 A 0, π ,sinA 0，所以 cosA + cosBcosC = 3sinBcosC ，
因为 cosA = -cos B + C = sinBsinC - cosBcosC ．
所以 sinBsinC = 3sinBcosC ，
又 sinB 0，则 tanC = 3 ，因为C 0, π C π，所以 = ．3
c
（2）由正弦定理， = 4，则
sin C c = 4sinC = 2 3
，
a2 + b2 - c2 4 + b2 -12 1
由余弦定理， cosC = = = ，
2ab 4b 2
解得b = 4 或b = -2（舍去），
故VABC
1
的面积 S = absinC = 2 3 ．
2
17．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知VABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，且b = -2acosC ．
(1)证明： tanC + 3tanA = 0；
(2)若VABC 的面积为 2 3,b = 2 2 ，判断VABC 是否为等腰三角形，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2) VABC 为等腰三角形，理由见解析
【分析】（1）已知等式利用正弦定理与两角和的正弦公式化简，再由同角三角函数的商数关系得到结论.
（2）由已知条件结合三角形面积公式，求出VABC 的三个内角，判断三角形形状.
【解析】（1）已知b = -2acosC ，由正弦定理得 sinB = -2sinAcosC ，
由 A + B + C = π，有B = π - A + C ，可得 sin A + C = -2sinAcosC ，
所以 sinAcosC + cosAsinC = -2sinAcosC ，即 cosAsinC = -3sinAcosC ，
cosC 0,cosA 0 sinC -3sinA由 ，有 = ，即 tanC = -3tanA，
cosC cosA
所以 tanC + 3tanA = 0．
（2）VABC 为等腰三角形，理由如下：
由题知b = -2acosC ，b = 2 2 ， VABC 的面积为 2 3 ，
2
则有 S 1 1 b b
2 2 2
△ABC = absinC = × ×bsinC = - tanC = - tanC = 2 3 ，2 2 -2cosC 4 4
2π
所以 tanC = - 3 ，又0 < C < π，所以C = ，3
π π π
由（1）知 tanA 3= ，又0 < A < ，所以 A = ，则 B =
3 3 6 6
，
所以VABC 是等腰三角形．
π
18．（2024· · f (x) = 2sin2江苏苏州 模拟预测）已知函数 x + 3sin x cos x + cos2 x +
4 ÷
+ a．
è
(1)若 x R ，求函数 f (x) 的单调递减区间；
(2)当 x
é0, π ùê 2 ú 时函数
f (x) 的最小值为 2，求实数 a的值．
é 3 7 ù
【答案】(1) êkπ + π, kπ + π k Z； 8 8 ú
3
(2) a = ．
2
【分析】（1）根据降幂公式、辅助角公式，结合正弦型函数的单调性进行求解即可；
（2）根据正弦型函数的最值性质进行求解即可.
1+ cos 2x
π
+
【解析】（1） ÷f (x) 1 cos 2x 3 sin 2x è 2 a，= - + + +
2 2
= sin 2x - cos2x 3+ + a
2
2 sin 2x π 3= - ÷ + + a
è 4 2
2kπ π+ 2x π- < 2kπ 3+ π， kπ
3
+ π 7 x kπ + π ，
2 4 2 8 8
3 7
\ é ù减区间为 êkπ + π, kπ + πú k Z． 8 8
π π π 3 2 π
2 （ ）0 x 0 2x p - 2x - π ，\- sin 2x -
2 4 4 4 2 4 ÷
1，
è
sin π 2
3
当 2x - ÷ = - 时， f (x) 有最小值为-1+ + a ，
è 4 2 2
由已知 a
1 3
+ = 2，\a = ．
2 2
ìx = ax + by
19．（2024·安徽·二模）在平面直角坐标系 xOy 中，利用公式 í ①（其中 a，b ， cy cx dy ，d 为常数）， = +
将点P x, y 变换为点P x , y 的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①
a b a b
可由 a
，b ， c，d 组成的正方形数表 c d ÷唯一确定，我们将 c d ÷称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英è è
文字母A ， B ，…表示．
p
(1)在平面直角坐标系 xOy 中，将点P 3,4 绕原点O按逆时针旋转 得到点 P （到原点距离不变），求点 P
3
的坐标；
(2)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，将点P x, y 绕原点O按逆时针旋转a 角得到点P x , y （到原点距离
不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
uuur x
(3)向量OP = x, y （称为行向量形式），也可以写成 ÷，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①
è y
x a b x x a b x r
可以表示为： y ÷
= c d ÷ y ÷ ，则称 y ÷是二阶矩阵 c d ÷与向量 y ÷的乘积，设
A 是一个二阶矩阵，m ，
è è è è è è
r r r r rn是平面上的任意两个向量，求证： A m + n = Am + An ．
3 3 3
【答案】(1) P - 2 3,2 +
è 2 2 ÷
÷
ìx = x cosa - y sina cosa -sina
(2) í
y = x sina + y cos
，
a è sina cosa
÷
(3)证明见解析
【分析】（1）利用三角函数的定义得到旋转之前的 cosq 和sinq ，再由两角和的正弦、余弦公式得到点 P 的
坐标；
（2）利用三角函数的定义得到旋转之前的 cosq 和sinq ，再由两角和的正弦、余弦公式得到点 P 的坐标，
再根据变换公式的定义得到变换公式及与之对应的二阶矩阵；
r r r r r r r r
（3）根据定义分别计算 A m + n 、 Am 、 An ，证明 A m + n = Am + An 即可.
cosq 3 4【解析】（1）可求得OP = OP = 5，设 POx = q ，则 = ， sinq = ，
5 5
P x , y POx q p设点 ， = + ，
3
故 x = 5cos
q
p 1 3 3+ ÷ = 53
cosq - sinq ÷÷ = - 2 3è è 2 2 2
y = 5sin q
p 5 1 sinq 3+ ÷ = + cosq
3 3
3 2 2 ÷
= 2 +
è ÷è 2
3
所以P - 2 3,2
3 3
+
2 2 ÷÷
.
è
（2）设OP = OP = r， POx = q ，则 x = r cosq ， y = r sinq ， P Ox = q +a ，
故 x = r cos q +a = r cosq cosa - r sinq sina = x cosa - y sina
y = r sin q +a = r sinq cosa + r cosq sina = x sina + y cosa
ìx = x cosa - y sina
所以坐标变换公式为 í
y = x sina + y cos
，
a
cosa -sina
该变换所对应的二阶矩阵为 ÷
è sina cosa
a b r x r x r r x + x
（3 1 2 1 2）设矩阵 A = m =c d ÷，向量 y ÷，
n = y ÷，则
m + n =
è è 1 è 2 è y1 + y
÷ ．
2
r r a b x1 + x2 a x1 + x2 + b yA m + n = = 1
+ y2
c d ÷ è è y1 + y
÷
2 èc x
÷，
1 + x2 + d y1 + y2
ì x = a x1 + x2 + b y1 + y2
对应变换公式为： í
y = c x
，
1 + x2 + d y1 + y2
r a b x1 ax1 + byAm 1
Anr
a b x2 ax2 + by = ÷ ÷ = = =
2
èc d è y1 ècx1 + dy
÷ ， ÷ ÷ ÷
1 èc d è y2 ècx2 + dy2
r r ax1 + by1 ax2 + by2 a x1 + x2 + b y1 + y2
所以 Am + An == + =
ècx + dy
÷ cx ÷ 1 1 è 2 + dy2 èc x1 + x2 + d y1 + y2
÷
ì x = a x1 + x2 + b y1 + y2
故对应变换公式同样为 í
y = c x1 + x2 + d y1 + y2
A mr nr r r所以 + = Am + An 得证.
【点睛】方法点睛：利用三角函数的定义解题：（1）角a 的顶点与坐标原点重合；（2）角的始边与 x 轴正半
轴重合；在角a 的终边上任取一点P(x, y)
y x
，该点到原点的距离 r = x2 + y2 ，则： sina = ； cosa = ； r r
tana y= .
x专题 11 三角恒等变换及应用
目录
01 思维导图
02 知识清单
03 核心素养分析
04 方法归纳
一、两角和与差的余弦、正弦、正切公式
1．cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
2．cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
3．sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
4．sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
tan α－tan β
5．tan(α－β)＝
1＋tan αtan β
tan α＋tan β
6．tan(α＋β)＝
1－tan αtan β
二、二倍角公式
1．基本公式
(1)sin 2α＝2sinαcosα；
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
2tan α
(3)tan 2α＝ ．
1－tan2α
2．公式变形
1＋cos 2α 1－cos 2α 1
(1)降幂公式：cos2α＝ ；sin2α＝ ；sin αcos α＝ sin 2α；
2 2 2
α α α α
(2)升幂公式：cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；1＋sin α＝(sin ＋cos )2；1－sin α＝(sin －cos 2 2 2 2)2．
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β)
三、辅助角公式、半角公式
(1)辅助角公式
a b
asin x＋bcos x＝ a2＋b2( sin x＋ cos x ，a2＋b2 a2＋b2 )
a b
令 cos φ＝ ，sin φ＝ ，则有 asin x＋bcos x＝ a2＋b2(cos φsin x＋sin φcos x)＝ a2＋b2sin(x＋
a2＋b2 a2＋b2
b
φ)，其中 tan φ＝ ，φ 为辅助角．
a
(2)半角公式
α 1－cos α
sin ＝± ，
2 2
α 1＋cos α
cos ＝± ，
2 2
α 1－cos α
tan ＝± ，
2 1＋cos α
α sin α 1－cos α
tan ＝ ＝
2 1＋cos α sin α
拓展：万能公式：
α 2t 1－t2 2t
设 tan ＝t，则 sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ ．
2 1＋t2 1＋t2 1－t2
四、积化和差与和差化积公式
1．积化和差公式
cos cos 1 [cos( ) cos( )] sin sin
1
[cos( ) cos( )]
2 2
sin cos 1 1 [sin( ) sin( )] cos sin [sin( ) sin( )]
2 2
2．和差化积公式
α＋β α－β α＋β α－β
sin α＋sin β＝2sin cos sin α－sin β＝2cos sin
2 2 2 2
α＋β α－β α＋β α－β
cos α＋cos β＝2cos cos cos α－cos β＝－2sin sin
2 2 2 2
能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒
等变换;利用三角恒等变换求值是近年来高考考查的重点，常常与三角函数的其他内容相结合，难度中等选
择题、填空题、解答题都有出现.
一、三角函数式的化简
π cos α
例 1 (2021·全国甲卷)若 α∈(0， )，tan 2α＝ ，则 tan α 等于( )2 2－sin α
15 5 5 15
A. B. C. D.
15 5 3 3
答案 A
sin 2α 2sin αcos α
解析 方法一 因为 tan 2α＝ ＝ ，
cos 2α 1－2sin2α
cos α 2sin αcos α cos α 1 π
且 tan 2α＝ ，所以 ＝ ，解得 sin α＝ .因为 α∈ 0， ，
2－sin α 1－2sin2α 2－sin α 4 ( 2 )
15 sin α 15
所以 cos α＝ ，tan α＝ ＝ .
4 cos α 15
2sin α
2tan α cos α 2sin αcos α 2sin αcos α cos α 2sin αcos α
方法二 因为 tan 2α＝ ＝ ＝ ＝ ，且 tan 2α＝ ，所以
1－tan2α 2 2 21 sin α cos α－sin α 1－2sin
2α 2－sin α 1－2sin2α
－cos2α
cos α
＝ ，
2－sin α
1 π
解得 sin α＝ .因为 α∈
4 (0，2 )，
15 sin α 15
所以 cos α＝ ，tan α＝ ＝ .
4 cos α 15
方法归纳：
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公
式之间的联系点．
二、三角函数式的求值
命题点 1 给角求值
例 2 (1) cos 28o cos73o cos62o cos17o （ ）
A 3． B 3 2 2． C． D．
2 2 2 2
答案 C
分析 利用诱导公式以及逆用两角和的正弦公式计算可得答案.
解析 cos 28o cos73o cos62o cos17o cos 28o sin17o sin 28o cos17o sin 45o 2 .
2
故选：C.
(2) 1 cos160°化简 1 sin160° 的结果是（ ）
2
A． cos10° B． sin10°
C． 2sin10° cos10° D． 2cos10° sin10°
答案 D
分析
利用正余弦的二倍角公式化简即可.
解析
原式化简为
2
1 cos 20° 1 2cos 10° 1
1 sin 20° 1 2sin10°cos10°
2 2
cos10° cos10° sin10° 2cos10° sin10° .
故选：D.
命题点 2 给值求值
π 3 π π
例 3 (1)已知 cos ÷ ，且 0, ÷ ，则 cos ÷ .
è 4 5 è 4 è 2
2
1
答案 / 2
10 10
π 4
分析 根据题意，由同角三角函数的平方关系可得 sin ，即可得到
è 4 ÷ 5
cos π sin sin é π π ù ÷
ê ÷ ú ，由正弦函数的和差角公式代入计算，即可得到结果.è 2 è 4 4
π π π π π 3
解析 因为 0, ÷ ，所以 4
,
4 2 ÷，又
cos ÷ ，
è 4 è è 4 5
所以 sin
π
÷ 1 cos
2
π 4
，
è 4 ÷ è 4 5
π
所以 cos ÷ sin sin
é π π ù
è 2 ê
÷
è 4 4
ú
sin
π
÷cos
π
cos ÷sin
è 4 è 4
4 2 3 2 2
.
5 2 5 2 10
2
故答案为：
10
(2)(已知 , 为锐角，满足 sin sin 5 2 1 ,cos ，则 sin ，
6 9 2
cos ．
1 1
答案 5 / 5 / 0.25
3 3 4
分析 由 , ，利用两角和与差的正弦公式和余弦的二倍角公式，求出
2 2 2 2
sin ；再用余弦的二倍角公式求出 cos .
2
解析 因为 , ，所以
2 2 2 2
sin sin sin ÷ sin
2sin cos 2 2 2 2 ÷
× ，
è è 2 2
sin sin 5 2 sin 又 ，所以 cos 5 2 ，
6 2 2 12
, 因为 为锐角，所以 为锐角，
2
又cos 1 2sin2 1 5，所以 ，
2 9 sin 2 3
又 sin cos 5 2 ，所以cos 10 ，
2 2 12 2 4
所以cos 2cos2 1 2 10 1 1 ．
2 16 4
5 1
故答案为： ； .
3 4
[拓展]
1．已知 tanx
1 sinx sinx
，则 .
3 cos3xcos2x cos2xcosx
10 1
答案 /1
9 9
sinx sinx
分析 利用三角恒等变换化简算式得 tan3x tanx，已知 tanx
1
，由正切的倍角公
cos3xcos2x cos2xcosx 3
式求出 tan3x 即可求得结果.
sinx
sin 3x 2x sin3xcos2x cos3xsin2x
解析 tan3x tan2x，
cos3xcos2x cos3xcos2x cos3xcos2x
sinx sin 2x x sin2xcosx cos2xsinx
tan2x tanx ，
cos2xcosx cos2xcosx cos2xcosx
sinx sinx
所以 tan3x tanx，
cos3xcos2x cos2xcosx
2tanx
2 tanx 3
而 tan3x tan 2x x tan2x tanx 3tanx tan x 13 1 tan x 1 tan2xtanx 1 2tan
2x
1 3tan
2x 9 ，
1 tan2x
13 1 10
因此原式 .
9 3 9
10
故答案为： 9 .
命题点 3 给值求角
2 7 3 3
例 4 已知 α，β 均为锐角，cos α＝ ，sin β＝ ，则 cos 2α＝ ，2α－β＝ .
7 14
1 π
答案
7 3
2 7
解析 因为 cos α＝ ，
7
1
所以 cos 2α＝2cos2α－1＝ .
7
3 3
又因为 α，β 均为锐角，sin β＝ ，
14
21 13
所以 sin α＝ ，cos β＝ ，
7 14
4 3
因此 sin 2α＝2sin αcos α＝ ，
7
4 3 13 1 3 3 3
所以 sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝ × － × ＝ .
7 14 7 14 2
因为 α 为锐角，所以 0<2α<π.
π
又 cos 2α>0，所以 0<2α< ，
2
π π
又 β 为锐角，所以－ <2α－β< ，
2 2
3 π
又 sin(2α－β)＝ ，所以 2α－β＝ .
2 3
方法归纳： (1)给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系
寻找转化方法．
(2)给值(角)求值问题的一般步骤
①化简条件式子或待求式子；
②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；
③将已知条件代入所求式子，化简求值．
三、三角恒等变换的综合应用
例 5 已知函数 f x cosx 3sinx 3cosx a p , 3 的图像经过点 6 2 ÷．è
(1)求实数 a的值，并求 f x 的单调递减区间；
(2) é当 x ê0,
p ù
ú 时， f x m 恒成立，求实数m 的取值范围． 2
3 é π 7π ù
答案 (1) a ， ê kπ, kπú k Z 2 12 12
3 ù
(2) ,
è 2 ú
分析 （1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数性质的应用求出函数的单调区间；
（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步利用恒成立问题求出参数m 的取值范围．
π π π 3
解析 （1）由题意得， cos 3 sin 3cos a .
6 ֏ 6 6 2
a 3解得 .
2
所以 f x cos x 3 sin x 3cos x 3 3 sin x cos x 3 3cos2 x 2 2
3 sin 2x 3 1 cos 2x 3
2 2 2
3
sin 2x 3cos 2x 3 sin 2x π ，
2 2 ֏ 3
π 2kπ 2x π 3π由 2kπ, k Z
π kπ x 7π ，得 kπ,k Z，
2 3 2 12 12
π 7π
所以 f (x)
é
的单调递减区间为 ê kπ, kπ
ù k Z .
12 12 ú
f x 3 sin 2x π （2）由（1）可知 3 ÷.è
因为0 x
π π 2x π 4π ，所以 .
2 3 3 3
3
所以 3 sin
π
2
2x 3.
è 3 ÷
3
所以 f x 3.
2
2x π 4π当 ，即 x
π 3
2 时，
f (x) 取得最小值 .
3 3 2
f (x) m m f x m 3因为 恒成立等价于 min ，所以 .2
m 3 ù所以实数 的取值范围是 , .
è 2 ú
[拓展]
1．已知函数 f x 2cos x( 3 sin x cos x) a 的最小值为 3 .
(1)求实数 a的值；
π
(2)将 f x 1图象上所有点向右平移 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的 2 ，纵坐标不变，12
得到函数 g x 的图象，若 g x m 2 π π在 x [ , )上有两个不同的解，求实数m 的取值范围．
4 2
答案 (1) 0
(2) 5, 3 3
分析 （1） 利用三角函数恒等变换化简 f x 2sin(2x π ) 1 a，结合函数 f x 的最小值，列出方程，
6
即可求解；
π π
（2） 根据题意，利用三角函数图象的变换，得到 g x 2sin(4x ) 1，根据题意转化为 2sin(4x ) m 3
3 3
在 x
π π
[ , )上有两个不同的解，画出图象，结合图象和正弦型函数的性质，即可求解.
4 2
解析 （1）解：由函数 f x 2cos x( 3 sin x cos x) a 3 sin 2x cos 2x 1 a 2sin(2x π ) 1 a，
6
因为函数 f x 的最小值为 3，可得 2 1 a 3，解得 a 0 .
（2）解：由（1）知 f x 2sin(2x π ) 1，
6
g x 2sin(4x π π π所以 ) 1 2sin(4x ) 1，
6 6 3
因为 g x m 2在 x [π , π)上有两个不同的解，
4 2
等价于 g x m 2 ，即 2sin(4x π ) m 3在 x [π , π)上有两个不同的解，
3 4 2
π π
又因为 x [ , )，可得 4x
π [2π , 5π) ，
4 2 3 3 3
令 t 4x
π
，则 t [
2π , 5π)，画出函数 h t 2sin t 的图形，
3 3 3
如图所示，结合图象，可得 2 < m 3 < 3 ，解得 5 < m < 3 3 ，
所以实数m 的取值范围为 5, 3 3 .
方法归纳： (1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式
的逆用和变形使用．
(2)形如 y＝asin x＋bcos x 化为 y＝ a2＋b2sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称
性．专题 11 三角恒等变换及应用（八大题型+模拟精练）
目录：
01 两角和与差的三角函数
02 二倍角公式
03 半角公式
04 辅助角公式及应用
05 降幂公式
06 万能公式
07 积化和差与和差化积公式
08 三角恒等变换的应用
01 两角和与差的三角函数
1．（23-24 高三上·广东肇庆·阶段练习） cos50°cos 70° + sin 50°cos160° =（ ）
3 3 1A． - B． C．- D 1．
2 2 2 2
2π π
2．（2023·福建厦门·模拟预测）已知 sina + sin a + ÷ = sin -a3 3 ÷
，则 sina =（ ）
è è
A．0 B 21．± C 2．± D 3．±
7 2 2
3．（23-24 高三上·广东江门·阶段练习）如图，a ，b 是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，
则a + b = （ ）
π π π 5π
A． B． C． D．
6 4 3 12
1 1
4．（2023·四川宜宾·二模）已知 tana = , tan b = ，则 tan(b -a ) =（
3 2 ）
4 1 7
A．1 B． C． D．
3 7 6
π
5．（2024·广西·模拟预测）已知a 0, π ，若 3 sina + sin 2a + cosa - cos 2a = 0，则 sin a + =（ ）
è 12 ÷
A 2 B 3 C 6 + 2 D 6 - 2． ． ． ．
2 2 4 4
02 二倍角公式
6．（21-22 高三上·陕西汉中·阶段练习）已知 sin 2x = sin x ， x 0, π ，则 cos x = （ ）
A．0 B．2 C．0.5 D．0 或 2
π 1
7．（20-21 高三上·吉林松原·期末）若 cos +q ÷ = ，则 sin2q = （4 2 ）è
1
A - B 3 C 1 D 3． ． - ． ．
2 2 2 2
cosa
8．（23-24 2 5高三上·福建宁德·期中）已知a 是第一象限角， cosa = ，则 cos2a - = （ ）
5 sina
13 7 13 1
A．- B．- C． D．
5 5 5 10
π
9．（2024·江西·模拟预测）若 tan a + ÷ = 3，则 sin2a + cos24 a =（ ）è
8 6 4
A． B．1 C． D．
5 5 3
tan 2a 4= 2 + 2cos 2a - 3sin 2a10．（2024·辽宁·一模）若 ，则 =
3 1- cos 2
（
a ）
1 1
A．- 或 2 B 1．-2或 2 C．2 D．-2 2
π
11．（2024·全国·模拟预测）已知 tanacos -a ÷ - cos
π π
+a
÷ = 0，a
0, sin2a
4 4 ÷
，则
è è è 2 4cos2
=（ ）
a + sin2 a
A． 2 3 - 2 B． 4 2 - 3 C． 2 2 D．3- 2 2
03 半角公式
12．（2024·全国·模拟预测）已知角a 是第二象限角，且终边经过点 -3,4 a，则 tan =（ ）
2
A 1 1．3 B． 2 C． 2 D． 2 或 2
a P 1 15
13 2
a
．（23-24 高三下·云南·阶段练习）已知角 的终边经过点 , - ，则 2cos + sina = （ ）
è 4 4 ÷
÷
2
A 5 - 15 B - 15 - 5 C 5 + 15 D 15 - 5． ． ． ．
4 4 4 4
14 1+ 5．（2023·全国·高考真题）已知a 为锐角， cosa = ，则 sin
a
= （
2 ）．4
A 3- 5． B -1+ 5 C 3- 5 -1+ 5． ． D．
8 8 4 4
q
15．（22-23 1+ cosq 3高三上·河北石家庄·期末）已知 = ，则 tan = .
sinq 3 2
04 辅助角公式及应用
π 3 5 3π
16．（23-24 é ù高三下·四川绵阳·阶段练习）已知 x
ê
0,
4 ú
,sinx + cosx = ，则 tan x - ÷ = ．
5 è 4
f x sin x j cosx 0 j p f 0 f p 17．（2024·新疆喀什·二模）已知函数 = - - ，其中 < < ，满足 = ÷，则
è 3
j = ．
π
18．（2024·
é
全国·模拟预测）设 x ê0,
ù
2 ú ，则函数 y = sin x + cos x 的最大值为 ．
19．（2024·河南新乡·三模）已知函数 f (x) = sinwx - 3coswx(w > 0)，若存在 x1 [0, π]，使得 f (x1) = -2，则w
的最小值为 .
05 降幂公式
sin80° +1
20．（2022·云南·模拟预测） 2 =（ ）sin 5° -1
A 2 B 2．- ． C．-2 D．2
2 2
q 5
21．（22-23 · · sinq + 2cos2高三下 安徽 开学考试）已知 = ，则 sin 2q = （
2 4 ）
15 15 3 3
A．- B． C．- D．
16 16 4 4
1- cos2q + sin 2q
22．（2021·四川巴中·模拟预测）已知 = 2，则 tanq = （ ）
1+ cos2 q + sin 2q
A．1 B．2 C．3 D． 2
wx
23．（22-23 2高三上·广西柳州·阶段练习）已知的数 f (x) = 2cos ÷ - 5（w > 0），若对任意的实数 t， f (x)
è 2
在区间 (t, t + 6)上的值域均为[-5,-3]，则w 的取值范围为（ ）
0, πA
π , π+ é π ． ÷ B．
è 3 ÷
C． ,+ D． ,+
è 6 è 3 ÷ ê ÷ 3
06 万能公式
24．（20-21 高一下·陕西西安·期末）若 tana = 3，则 sin 2a =（ ）
3 - 3 3 3A． B． C．- D．
5 5 4 4
25．（2022·全国·模拟预测）已知第二象限角a 满足 tana × tan a
π 2
+
=
4 ÷ 3 ，则 cos 2a = （ ）è
4 4 3
A．- B． C． D．-
3
5 5 5 5
2sin p -a = 3sin p +a sin2 a 126．（2021· 2河北邯郸·一模）已知 ÷，则 - sin 2a - cos a =（2 ）è 2
5 1 5 1
A． B．- C．- D．
13 13 13 13
07 积化和差与和差化积公式
π 3π π π
27．（2021 高三·全国·专题练习）求 cos +cos -2sin cos8 8 4 8
的值；
28．（22-23 高三上·广东汕头·期末）设锐角三角形 ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知
a = b cos A - a cos B ．
(1)求证：B＝2A；
b + c
(2)求 的取值范围．
a
08 三角恒等变换的应用
29．（2024·山东·二模）已知函数 f x = 3sin2x - cos2x，则下列结论正确的是（ ）．
A．函数 f x 的最大值是 3
B．函数 f x é π在 ê- ,
π ù
ú 上单调递增 6 3
C．该函数的最小正周期是 2π
π
D．该函数向左平移 个单位后图象关于原点对称
6
wx
30．（2024·四川·模拟预测）已知函数 f x = sinwx + 2cos2 (w > 0) 在 0, π 上有且仅有 4 个零点．则 f x
2
图象的一条对称轴可能的直线方程为（ ）
x π x πA． = B． =
20 10
x 3π x 5πC． = - D． =
20 14
1
31．（22-23 高三上· 4 4宁夏银川·阶段练习）已知函数 f x = sin x - cos x + 2 3 sin x cos x - x R .
2
(1)求 f x 的最小正周期和单调递减区间；
a π , π f a π 1 π(2)若 -
2 2 ÷ ，且
+ ÷ = ，求 cos 2a + ÷的值.
è è 2 12 2 è 4
32．（2024 高三下·全国·专题练习）已知函数 f x 5p= 2sin x cos x - a sin2 x - cos2 x ，若 f -x = f x - ，
è 6 ÷
则直线 24x - 9p y -8p = 0与 f x 的图象的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
33．（23-24 高三下·浙江宁波·阶段练习）VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且
sin A - B cosC = cosBsin A - C .
(1)判断VABC 的形状；
1 2 1 1
(2)若VABC 为锐角三角形， sinA = ，求 2 + + 的最大值.b a 2b 2c
一、单选题
1．（2024·福建厦门·三模）已知a 0,
π
÷ ， sin 2
π
a 3= ，则 sin a +
= （
4 4 ÷ ）è 5 è
5 5 2 5 4A． B． C． D．
25 5 5 5
3cosa
2．（2024·河北保定·二模）已知 tana = ，则 cos 2a = （ ）sina +11
A．-
7 7 7 7
B． C． D．-
8 8 9 9
π a
3．（2024· ·
贵州 模拟预测）已知a , π ÷， 25cos 2a -10sina -1 = 02 ，则
tan =（ ）
è 2
4 3 1
A．3 B． C． D．
3 4 3
1 cos 2x π4．（2024·河南·二模）已知 sinx + cosx =
，则 - =3 è 2 ÷
（ ）
- 3 3 8 8A． B． C． D．-
5 5 9 9
5．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系 xOy 中，已知P,Q 是单位圆上不同的两点，其中 P 在第一象限，
Q在第二象限，直线OP,OQ
3 1
的倾斜角分别为a , b ，若点P,Q 的横坐标分别为 ,- ，则 sin b -a =（ ）
5 2
A 4 3 - 3 B 4 3 + 3． ．
10 10
C 3 3 - 4 D 3 3 + 4． ．
10 10
π tana 2
6．（2024·江苏扬州·模拟预测）若- < a < b
π
< ，且 cosa sin b
1
= ， =tan b 3 ，则
cos a - b = （ ）
4 4 2
A 11 B 11 C 35． ．- ． D 35．-
6 6 6 6
7．（2024·全国·三模）当0 x
π sin 2x + 3cos 2x + 3
< 时， 的最大值是（ ）
2 cos x
A．2 B． 10 C．0 D． 2 10
8．（2024·陕西榆林·三模）已知a 0,2π ，若当 x 0,1 时，关于 x 的不等式
sina + cosa +1 x2 - 2sina +1 x + sina > 0恒成立，则a 的取值范围为（ ）
π , 5π π , 5π π , π π , 5π A． B． C． D．
è12 12 ÷ è 6 6 ÷ ÷ è 6 3 è 3 6 ÷
二、多选题
9．（2023·全国·模拟预测）若 tana
3
= ，a (0, π) ，则（ ）
4
a 1
A p 17 2． sina > cosa B．0 < a tana <1 C． tan = D． cos 2a +
2 3 4 ÷
= -
è 50
10．（2023·浙江·二模）已知函数 f x = sin x +j - sin x + 7j 为奇函数，则参数j 的可能值为（ ）
π π 3π π
A． B． C． D．
8 4 8 2
11 2024· · f x = sin2 π ．（ 湖南长沙 模拟预测）已知 wx + ÷ - cos2
wx
π
+ ÷ (w > 0)，下列判断正确的是（ ）
è 3 è 3
A．若 f x1 = f x2 = 0，且 x1 - x
π
2 =min ，则w = 22
π
B．w =1时，直线 x = 为 f x 图象的一条对称轴
6
C．w =1时，将 f x π的图象向左平移 个单位长度后得到的图象关于原点对称
3
D．若 f x 在 0,2π é 53 59 上恰有 9 个零点，则w 的取值范围为 ê , ÷ 24 24
三、填空题
12．（2024·全国·二模）已知 tana
6cosa
= ，则 cos2a = .
7 - sina
13．（2024·湖北·三模）设函数 f (x) = sin(x +j) + cos(x +j)对任意的 x(x R) 均满足 f (-x) = f (x)，则 tanj =
14 2024· · ABC A, B,C a,b,c sin A 3b - c．（ 全国 模拟预测）已知锐角三角形 的内角 的对边分别为 ，若 = ，则
2 4b
a
的取值范围是 .
b
四、解答题
r x x x r x x x
15．（2024·黑龙江·二模）已知向量m = 3 sin ,sin + cos ÷， n = 2cos ,sin - cos ÷，且函数
è 2 2 2 è 2 2 2
f x = mr r×n - a在 x R 上的最大值为 2 - 3 ．
(1)求常数 a的值；
(2)求函数 f x 的单调递减区间．
16．（2024·江苏南京·模拟预测）已知在VABC 中，三边 a,b,c所对的角分别为 A, B,C ，已知
a cosA + cosBcosC = 3bsinAcosC ．
(1)求C ；
(2)若a = 2,△ABC 外接圆的直径为 4，求VABC 的面积．
17．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知VABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，且b = -2acosC ．
(1)证明： tanC + 3tanA = 0；
(2)若VABC 的面积为 2 3,b = 2 2 ，判断VABC 是否为等腰三角形，并说明理由．
18．（2024· 2江苏苏州·模拟预测）已知函数 f (x) = 2sin x + 3sin x cos x cos2
x π+ + ÷ + a．
è 4
(1)若 x R ，求函数 f (x) 的单调递减区间；
π
(2) x é0, ù当 ê f (x) a 2 ú 时函数 的最小值为 2，求实数 的值．
ìx = ax + by
19．（2024·安徽·二模）在平面直角坐标系 xOy 中，利用公式 í ① a b c
y
（其中 ， ， ，d 为常数），
= cx + dy
将点P x, y 变换为点P x , y 的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①
a ba c
a b
可由 ，b ， ，d 组成的正方形数表 c d ÷唯一确定，我们将 è èc d
÷称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英
文字母A ， B ，…表示．
(1)在平面直角坐标系 xOy 中，将点P 3,4 p绕原点O按逆时针旋转 得到点 P （到原点距离不变），求点 P
3
的坐标；
(2)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，将点P x, y 绕原点O按逆时针旋转a 角得到点P x , y （到原点距离
不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
uuur x
(3)向量OP = x, y （称为行向量形式），也可以写成 ÷，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①
è y
x a b x x a b x r
可以表示为： y ÷
= c d ÷ y ÷ ，则称 ÷是二阶矩阵 ÷与向量 ÷的乘积，设
A 是一个二阶矩阵，m ，
è è è è y èc d è y
r r r r rn是平面上的任意两个向量，求证： A m + n = Am + An ．
