专题 03 等式性质与不等式性质（十一大题型+模拟精练）
目录：
01 由已知条件判断所给不等式是否正确
02 由不等式的性质比较数（式）的大小
03 作差法比较代数式的大小
04 作商法比较代数式的大小
05 由不等式的性质证明不等式
06 利用不等式求取值范围
07 不等式与三角函数、平面向量
08 不等式与函数
09 高考新考法—不等式在生活情景、传统文化中的综合应用
10 不等式与数列
10 不等式与数列
11 不等式与导数
01 由已知条件判断所给不等式是否正确
1．（2024·全国·模拟预测）已知 x > y ，则下列不等式正确的是（ ）
x
A．1- x <1- y B． x2 > y2 C． | |> 1y D．
xz > yz
2．（23-24 高三上·北京西城·期末）设 a,b R ，且 a > b，则（ ）
A 1． a <
1
b B． tan a > tan b C．3 - a < 2 - b D．
a a > b b
3．（2024 高三·全国·专题练习）若 a < b < 0，则下列不等式一定成立的是（ ）
1 1
A． > B． a2 < ab
a - b b
b b +1
C． n
+ > b
n
02 由不等式的性质比较数（式）的大小
4．（2024·上海杨浦·二模）已知实数 a，b ， c，d 满足： a > b > 0 > c > d ，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． a + d > b + c B． ad > bc C． a + c > b + d D． ac > bd
5．（2024·北京丰台·二模）若 a,b R ，且 a > b，则（ ）
1 1
A． < B． a2b > ab2
a2 +1 b2 +1
C． a2 > ab > b2 D． a
a + b
> > b
2
1 1
6．（2024·北京西城·一模）设 a = t - ,b = t + ,c = t 2 + t ，其中-1 < t < 0 ，则（ ）
t t
A．b < a < c B． c
7．（2024 高三·全国·专题练习）若 a＝（x＋1）（x＋3），b＝2（x＋2）2，则 a 与 b 的大小关系为 ．
8．（23-24 高三上·河南·开学考试）已知：a > b > c > 0, A = ab + bc, B = ac + b2 ,C = a2 + b2 ，则 A、B、C 大小
关系是 ．
π π
9．（22-23
高三·全国·对口高考）若 cosa > sina > tana ，其中a - , ÷ ，则a .
è 2 2
04 作商法比较代数式的大小
ln 2 ln 3
10．（2022 高三·全国·专题练习）若 a＝ ，b＝ ，则 a b(填“＞”或“＜”)．
2 3
11 1．（22-23 高二上·广东江门·阶段练习）已知3a = 4b = 5c = 0.3- 3 ，则 a, 2b,c大小关系是 ．
12．（2024·吉林·模拟预测）请写出一个幂函数 f (x) 满足以下条件：①定义域为[0, + ) ；② f (x) 为增函数；
x1 + x2 f x + f x③对任意的x 1 2 1， x2 [0, + ) ，都有 f ÷ ，则 f (x) = ．è 2 2
05 由不等式的性质证明不等式
13．（22-23 高一下·云南玉溪·期中）若 a,b R ，则“ (a - b)a2 < 0 ”是“ a < b ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．（2024·四川成都·模拟预测）命题“ x + y + x - y 2 ”是“ x 1，且 y 1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
15．（22-23 高三上·上海浦东新·开学考试）已知 x1 y1 x2 y2 x3 y3为 6 个不同的正实数，满足：①
x1 < y1, x2 < y2 , x3 < y3，② x1y1 = x2 y2 = x3 y3 ，③ x1 + y1 x3 + y3 = x2 + y
2
2 ，则下列选项中恒成立的是
（ ）
A． 2y2 < y1 + y3 B． 2y2 > y1 + y3
C 2 2． y2 < y1 y3 D． y2 > y1y3
06 利用不等式求取值范围
16．（2024·全国·模拟预测）已知实数 x，y 满足-1 < x < y <1，则 x + y 的取值范围是 ．
17．（2024·浙江·模拟预测）已知正数 a，b，c 满足 a2 + c2 =16，b2 + c2 = 25，则 k = a2 + b2 的取值范围
为 ．
18．（2024·河北石家庄·二模）若实数 x, y, z 0，且 x + y + z = 4,2x - y + z = 5，则M = 4x + 3y + 5z 的取值范
围是 .
07 不等式与三角函数、平面向量
19．（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系 xOy 中，角a 以Ox 为始边，终边在第三象限.则（ ）
A． sina - cosa tana B． sina - cosa tana
C． sina ×cosa < tana D． sina ×cosa > tana
20．（2024 高三·全国·专题练习）已知四边形 ABCD， AB ^ BC ， AB = BC = AD = 2，CD = 3， AC 与BD
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
交于点O，若记 a = OA × OB ，b = OB ×OC ， c = OC × OD ，则（ ）
A． a < b < c B． a < c < b C． c < a < b D．b < a < c
08 不等式与函数
21．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数① y＝logax；② y＝logbx；③ y＝logcx；④ y＝logdx 的大致图
象如图所示，则下列不等关系正确的是（ ）
A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋c
C．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c
22．（2024·全国·模拟预测）若 logab >1，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． a > b B． ab < a + b
1
-1 C． a + > b
1 1 1
+ D． a - < b -
b a b a
23．（2024·陕西西安·模拟预测）若 a = 0.311.5 ,b = log312,c = log
2
3
2 6,d = - ，则有（ ）3
A． a > b > c B．b > a > d
C． c > a > b D．b > c > a
09 高考新考法—不等式在生活情景、传统文化中的综合应用
24．（2024 高三上·全国·竞赛）某考试评定考生成绩时，采取赋分制度：只有原始分排名前 3%的同学才能
赋分 97 分及以上．若这些学生的原始分的最大值为 a，最小值为 b，令 f (x) 为满足 f (a) =100, f (b) = 97的一
次函数．对于原始分为 x(b x a)的学生，将 f (x) 的值四舍五入得到该学生的赋分．已知小赵原始分 96，
赋分 100；小叶原始分 81，赋分 97；小林原始分 89，他的赋分是（ ）
A．97 B．98 C．99 D．98 或 99
25．（2024·全国·模拟预测）如图，一个筒车按逆时针方向转动．设筒车上的某个盛水筒W 到水面的距离为d
（单位：米）（在水面下，则d 为负数）．若以盛水筒W 刚浮出水面时开始计算时间，d 与时间 t （单位：分
π
钟）之间的关系为 d = 4sin 2t - ÷ + 2．某时刻 t0 （单位：分钟）时，盛水筒W 在过点O（O为筒车的轴心）
è 6
π
的竖直直线的左侧，且到水面的距离为 5 米，则再经过 分钟后，盛水筒W （ ）
6
A．在水面下 B．在水面上
C．恰好开始入水 D．恰好开始出水
26．（2024·全国·一模）我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用新
型材料-强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似，某科研小组研发的新材料水滴
角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气—液两相界面的切线与液—固两相交线所成
的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液—固两者
的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为 1，
2，则（ ）
x2 y2 x x y y附：椭圆 2 + 2 =1 a > b > 0 上一点 x0 , y0 处的切线方程为 02 + 0 =1 .a b a b2
A． 1 < 2 B． 1 = 2
C． 1 > 2 D． 1和 2的大小关系无法确定
10 不等式与数列
27．（2022·全国·模拟预测）已知 Sn 是数列 an 的前 n项和，Tn 是数列 bn 的前 n项积，
S = n2n + 2n,
1 1
+ =1，则 an 与Tb a n 的大小关系是（ ）n n
A． an Tn B． an > Tn C． an < Tn D． an Tn
11 不等式与导数
28．（2024·四川攀枝花·三模）已知正数 a,b,c满足 a ln b = bec = ca ，则（ ）
A． a > b > c B． a > c > b C．b > a > c D．b > c > a
1 2
-
29．（2024·辽宁·一模）设 a 2= ，b = 2 - e3，c =1- e 3 则（ ）
3
A． a < b < c B． c < b < a
C．b < c < a D． a < c < b
30．（2024·云南贵州·二模）已知 a = ln( 2e),b
e +1,c ln 5= = +1，则 a,b,c的大关系为（ ）
e 5
A． c > a > b B．b > a > c
C． a > b > c D．b > c > a
一、单选题
1．（2024·河北沧州·一模）下列命题为真命题的是（ ）
A．"x > 0,ex > cosx B．"a > b, a2 > b2
C．$x > 0,cosx ex D．$a > b,a3 < b3
2．（2024·全国·模拟预测） a b 是 am2 bm2 的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3 a b．（2024·陕西安康·模拟预测）若 a,b,c满足 2 > 2 , log3c < 0，则（ ）
1
A． > 0 c c b - a c B．a > b
C． ac > bc D． a + c > bc
4．（2024·浙江台州·二模）已知 x，y 为正实数，则可成为“ x < y ”的充要条件的是（ ）
1 1
A． < x + ln y < y + ln xx y B．
C． sin x < sin y D． x - cos y < y - cos x
5．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知1< a < 3,3 < b < 6
b
，则 的取值范围为（
2a ）
3A． ,1
÷ B． 2,6 C． 1,6
1
D． ,3
÷
è 2 è 2
a ln4,b tan 1 tan1,c 36．（2024·全国·模拟预测）设 = = + = ，则（ ）
2 2
A． a < b < c B．b < c < a C． c
7 2024· · - x3 - x2 < 2 < x2 x．（ 全国 模拟预测）已知 ×2 的解集为 a,b U c,+ ，则下列结论错误的是（ ）
2
A． abc > 0 B． a + c < 0 C．-3 < a < -2 D． b - a > b - c
8．（2024·陕西咸阳·模拟预测）某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变
ì
x t = X 0cosh abt b- Y0sinh abt a
化遵循兰彻斯特模型： í ，其中正实数 X 0 ，Y0 分别为红、蓝两方的初
a
y t = Y0cosh abt - X 0sinh abt b
始兵力， t 为战斗时间； x t ， y t 分别为红、蓝两方 t 时刻的兵力；正实数 a，b 分别为红方对蓝方、蓝方
x - x x - x
对红方的战斗效果系数； coshx e + e= 和 sinhx e - e= 分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定：当
2 2
红、蓝两方任何一方兵力为 0 时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T ．则下列
结论不正确的是（ ）
A．若 X 0 > Y0 且 a = b，则 x t > y t 0 t T
1 X 0 +YB 0．若 X 0 > Y0 且 a = b，则T = lna X 0 -Y0
X
C 0
b
．若 >Y a ，则红方获得战斗演习胜利0
X b
D．若 0 > ，则红方获得战斗演习胜利
Y0 a
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）已知 a > b > 0,c > 0，则下列式子正确的是（ ）
1 1 a + b 1 a a + c
A． c - b > c - a B． < C． D． <
ac bc a + 2 2ab 2 b b + c
10．（2024·湖北·模拟预测）已知 x 1， y > 1，且 xy = 4，则（ ）
A．1 x 4，1< y < 4 B． 4 x + y 5
y 1
C． 的最小值为 ，最大值为 4 D． 4x + y2 的最小值为 12
x 4
E
11．（2024·河南·模拟预测）1889 a年瑞典的阿伦尼乌斯提出了阿伦尼乌斯公式： -k = Ae RT （ R 和A 均为大于 0
的常数）， k 为反应速率常数（与反应速率成正比），T 为热力学温度（T > 0），在同一个化学反应过程中Ea
为大于 0 的定值.已知对于某一化学反应，若热力学温度分别为T1和T2时，反应速率常数分别为 k1和 k2 （此
过程中A ， R 与Ea 的值保持不变），则（ ）
A．若T1>T2 ，则 k1 > k2
B．若T1>T2 ，则 k1 < k2
E k 3
C．若T2 = 3T1 ，-
a = M 1，则 ln = MRT1 k2 2
E
D T = 3T - a = M ln
k1 2
．若 2 1 ， ，则 = MRT1 k2 3
三、填空题
sin1
12．（2023·内蒙古赤峰· a = b 3 c π 2 - 3一模）已知 = = - a,b,c3 ， ， ，则 的大小关系是 .2π 9 6
13．（2021·全国·模拟预测）已知不为1的正实数m, n满足 log1 m > log1 n,则下列不等式中一定成立的是 .
3 3
（将所有正确答案的序号都填在横线上）
1 1
① > ；② em > en
1 1
；③ ln n - m > 0；④ 3m-n <1；⑤ > ．m -1 n -1 m n
1 1
14．（2024·
ì ü
河北邯郸·三模）记min{x, y, z}表示 x，y，z 中最小的数．设 a > 0，b > 0，则min ía, , + 3b
b a
的最大值为 ．专题 03 等式性质与不等式性质
目录
01 思维导图
02 知识清单
03 核心素养分析
04 方法归纳
一、不等式的定义
用不等号(<、>、≤、≥、≠)表示不等关系的式子叫不等式，如f(x)＞g(x),f(x)≥g(x) 等.用“<”或“>”连接的不等
式叫严格不等式，用“≤”“≥”连接的不等式叫非严格不等式.
如 果a-b是正数，那么a>b; 如 果a-b等于0 , 那么a=b;如 果a-b是负数，那么a
文字语言 数学符号 文字语言 数学符号
大于 ＞ 至少 ≥
小于 ＜ 至多 ≤
大于或等于 ≥ 不少于 ≥
小于或等于 ≤ 不多于 ≤
二、不等式的分类
1.按照不等号的开口方向分类
(1)同向不等式：在两个不等式中，如果每一个的左边都大于右边，或每一个的左边都小于右边，这样的
两个不等式叫同向不等式.例：a>b,c>d.
(2)异向不等式：在两个不等式中，如果一个不等式的左边大于右边，而另一个不等式的左边小于右边，
那么这两个不等式叫异向不等式.例：a>b,c
(1)绝对不等式：无论用什么实数代替不等式中的字母都能使不等式成立的不等式 .例：x+5>x+4
.
(2)条件不等式：只有用某些范围内的实数代替不等式中的字母才能使不等式成立的不等式.例：2x-1>1-x.
(3)矛盾不等式：无论用什么实数代替不等式中的字母都不能使不等式成立的不等式.例：x <-2.
三、用不等式表示不等关系
大于 小于
文字语言 大于 小于 至多 至少 不多于 不少于
或等于 或等于
数学符号 > < ≥ ≤ ≤ ≥ ≤ ≥
将实际的不等关系写成对应的不等式时，应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间
的正确转换，这影响到不等式表达不等关系的正确性.
温馨提示：在常用的符号中，要注意“≥”(或“≤”)的含義，例如：a≥b, 应读作“a 大于或等于b”,其含義与“a不
小于b”相同.a
1.作差法{a－b > 0 a > b，a－b＝0 a＝b，a－b < 0 a < b.
a
> 1（a ∈ R，b > 0） a > b（a ∈ R，b > 0），
b
a
2.作商法{ ＝1 a＝b（a，b ≠ 0），ba < 1（a ∈ R，b > 0） a < b（a ∈ R，b > 0）.
b
3.函数性质法：如指数函数、对数函数的单调性:a＞1时单调递增；0＜a＜1时单调递减.、
五、等式的性质
等式有下面的基本性质：
(1) 如果 a＝b，那么 b＝a；（对称性）
(2)如果 a＝b，b＝c，那么 a＝c；（传递性）
(3) 如果 a＝b，那么 a±c＝b±c；（同加性，同减性）
(4) 如果 a＝b，那么 ac＝bc；（同乘性）
(5)如果 a＝b，c≠0 a b，那么 = .（同除性）
c c
六、不等式的基本性质
1 .对称性 ：a>b b
2.传递性：a>b,b>c→a>c,c
推论：(移项法则)a+b>c a>c-b.
4. 同向可加性：a>b,c>d→a+c>b+d.
5 .可乘性 ：a>b,c>0→ac>bc.
6 . 同向同正可乘性：a>b>0,c>d>0→ac>bd.
7 . 可 乘 方 性 ：a>b>0→a”>b”(n∈N,n≥1).
8. 可开方性：a>b>0→ *a>b.
常用结论：
1.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
2.有关分式的性质
b b＋m b b－m
(1)若 a>b>0，m>0，则 < ； > (b－m>0).
a a＋m a a－m
1 1
(2)若 ab>0，且 a>b < .
a b
不等式常常结合指数、对数函数比较大小，有时结合充要条件的判定，多以选择、填空题形式出现.
一、比较两个数(式)大小的方法
1.比较法：分作差法、作商法和介值比较法三种
(1)作差比较法的基本步骤：
① 作差：a-b.
② 变形：分解因式.
③ 定号：判断差值的符号.
④ 下结论：a-b>0 a>b,a-b<0 a
a
① 作商：
b
② 变形：用相关运算性质化简.
③ 判定大小：判定与1的大小关系
④ 下结论： ,
(3)介值比较法
①介值比较法的理论依据是若a>b,b>c,则a>c, 其中b是a与c的中介值.
②介值比较法的关键是通过对不等式恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值.该方法常用在以后将要学习
的指、对、幂式比较大小问题中。
2 . 反证法
如果正面证明不等式有困难，或正面证明需要分多种情况但反面只有一种情况时，通常采用反证法来证明
不等式.其大致步骤为：
(1)假设要证的不等式不成立，即得出与结论相反的不等式。
(2)以假设为依据，作出一系列的推理，得出与题干条件或相关定理矛盾的结果.
(3)否定假设，得出要证的不等式成立。
3.函数性质法
(1)使用范围：比较两个指数形式或对数形式的实数的大小.
(2)步骤：利用公式化为同底的指数或对数形式→依据函数性质比较大小。
温馨提示：
1.比较两个实数a与b的大小，作差法须归结为判断它们的差a—b的符号，
因此，因式分解越彻底越好，若用配方法化成和的形式，则各项符号须相同
2.用作商法比较大小时，被除数与除数同号，否则不等号方向有可能弄错
3.比较两个数或代数式(均大于零)的大小，也可化为比较两个数平方的大小
4.在比较两个数的大小时，若作差后不易变形，则可与中间量(如0或1等)进行比较，再由不等式的传递性得
到两数的大小关系。
5.在比较两个数的大小时，若差式中变量较多，不易变形，则应考虑消元，减少式中的变量，有利于判断差
式的符号.
二、利用不等式性质求范围的方法
1.借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；
2.整体使用所给条件，切不可随意拆分所给条件；
3.结合不等式的传递性进行求解.
温馨提示：在不等式中，没有同向相减、同向相除，应把“相减”“相除”转化为“同向相加”“同向正相乘”后再
进行相关计算。专题 03 等式性质与不等式性质（十一大题型+模拟精练）
目录：
01 由已知条件判断所给不等式是否正确
02 由不等式的性质比较数（式）的大小
03 作差法比较代数式的大小
04 作商法比较代数式的大小
05 由不等式的性质证明不等式
06 利用不等式求取值范围
07 不等式与三角函数、平面向量
08 不等式与函数
09 高考新考法—不等式在生活情景、传统文化中的综合应用
10 不等式与数列
10 不等式与数列
11 不等式与导数
01 由已知条件判断所给不等式是否正确
1．（2024·全国·模拟预测）已知 x > y ，则下列不等式正确的是（ ）
x
A．1- x <1- y B． x2 > y2 C． | |> 1 D． xz > yzy
【答案】A
【分析】利用不等式的性质可判断 A 项正确，D 项错误，通过举反例可说明 B,C 两项错误.
【解析】Q x > y,\-x < -y,\-x +1< -y +1，即1- x <1- y，故选项 A 正确；
x -1 1
当 x = -1, y = -2时，满足 x > y ，但 x2 =1, y2 = 4，此时 x2 < y2 ， | |=| |= < 1y -2 2 ，故选项 B，C 错误；
当 z < 0时，由 x > y 可得 xz < yz ，故选项 D 错误.
故选:A．
2．（23-24 高三上·北京西城·期末）设 a,b R ，且 a > b，则（ ）
A 1 < 1． B． tan a > tan b C．3 - a < 2 - b D． a a > b ba b
【答案】D
【分析】利用特殊值以及函数的图象、单调性等知识确定正确答案.
【解析】A 选项，若 a =1,b = -1
1 1
，满足 a > b，但 > ，所以 A 选项错误.
a b
a 2πB 选项，若 = ,b
π
= ，满足 a > b，但 tan a < tan b，所以 B 选项错误.
3 3
C 选项，若 a = 3,b = 2，满足 a > b，但3 - a = 2 - b ，所以 C 选项错误.
ìx2 , x 0
D 选项，对于函数 y = x x = í 2 ，图象如下图所示，
-x , x < 0
由图可知函数在R 上单调递增，所以 D 选项正确.
故选：D
3．（2024 高三·全国·专题练习）若 a < b < 0，则下列不等式一定成立的是（ ）
1 1
A． > B． a2 < ab
a - b b
b b +1
C． < D． an na a +1 > b
【答案】C
【分析】对 A、D，可借助特殊值法举出反例即可得；对 B、C，借助不等式的基本性质即可得.
【解析】对 A，令 a = -2
1 1 1
，b = -1，有 = = -1 = ，故 A 错误；
a - b -1 b
对 B，由 a < b < 0，故 a2 > ab > 0，故 B 错误；
b b +1
对 C， < b a +1 < a b +1 a b + b < a b + aa a ，+1
即只需， b < a ，由 a < b < 0，故 b < a ，故 C 正确；
对 D，令 n = 0，有 an = bn =1，故 D 错误.
故选：C.
02 由不等式的性质比较数（式）的大小
4．（2024·上海杨浦·二模）已知实数 a，b ， c，d 满足： a > b > 0 > c > d ，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． a + d > b + c B． ad > bc C． a + c > b + d D． ac > bd
【答案】C
【分析】举例说明判断 ABD；利用不等式的性质推理判断 C.
【解析】对于 ABD，取 a = 2,b =1,c = -2,d = -4，满足 a > b > 0 > c > d ，
显然 a + d = -2 < -1 = b + c， ad = -8 < -2 = bc， ac = -4 = bd ，ABD 错误；
对于 C， a > b > 0 > c > d ，则 a + c > b + d ，C 正确.
故选：C
5．（2024·北京丰台·二模）若 a,b R ，且 a > b，则（ ）
1 1
A． 2 < B． a
2b > ab2
a +1 b2 +1
a + b
C． a2 > ab > b2 D． a > > b
2
【答案】D
【分析】举反例即可求解 ABC，根据不等式的性质即可求解 D.
【解析】由于 a > b，取 a =1,b = -1
1 1 1 1 1
， 2 2 2 2
a2
= = ， ，无法得到 < ， a b > ab ，
+1 b2 a b = ab = 1+1 2 a2 +1 b2 +1
故 AB 错误，
取 a = 0,b = -2 ,则 a2 = 0,ab = 0,b2 = 4 ，无法得到 a2 > ab > b2 ，C 错误，
a + b
由于 a > b，则 2a > b + a > 2b，所以 a > > b ，
2
故选：D
1 1
6．（2024·北京西城·一模）设 a = t - ,b = t + ,c = t 2 + t ，其中-1 < t < 0 ，则（ ）
t t
A．b < a < c B． c
【分析】借助正负性、对勾函数的性质及二次函数的性质判断即可得.
1 1
【解析】由-1 < t < 0 ，故 - ,-1 ，故 a = t - > 0，
t t
由对勾函数性质可得b t
1
= + < - 1+1 = -2 ，
t
c = t 2 + t < 0 ，且 c = t × 2 + t = t 2 + 2t = t +1 2 -1 -1，
综上所述，有b
03 作差法比较代数式的大小
7．（2024 高三·全国·专题练习）若 a＝（x＋1）（x＋3），b＝2（x＋2）2，则 a 与 b 的大小关系为 ．
【答案】a＜b
【解析】
解析：因为 b－a＝2（x＋2）2－（x＋1）（x＋3）＝2x2＋8x＋8－（x2＋4x＋3）＝x2＋4x＋5＝（x＋2）2＋1
＞0，所以 a＜b.
【考查意图】
作差比较法比较大小．
8．（23-24 高三上·河南·开学考试）已知：a > b > c > 0, A = ab + bc, B = ac + b2 ,C = a2 + b2 ，则 A、B、C 大小
关系是 ．
【答案】C > A > B
【分析】根据给定条件，利用作差法结合不等式性判断作答.
【解析】由 a > b > c > 0，得 a2 > ab,b2 > bc ，因此C = a2 + b2 > ab + bc = A，
显然 A - B = (ab + bc) - (ac + b2 ) = (a - b)(b - c) > 0，则A > B，
所以 A、B、C 大小关系是C > A > B .
故答案为：C > A > B
π π
9．（22-23 高三·全国·对口高考）若 cosa sina > > tana ，其中a - ,
÷ ，则a .
è 2 2
π
【答案】 - ,02 ÷è
π π π π
【分析】由 cosa > sina 确定a
- ,
÷，讨论a
- ,0
÷ 、a [0, )，应用作差法比较 sina , tana2 大小，è 2 4 è 4
即可得答案.
a π【解析】由 - ,
π π π
÷ 且 cosa > sina a
- ,
è 2 2
，则 ，
è 2 4 ÷
当a
π
- ,0 ÷ 时， sina - tana
1 1
= sina × (1- )
2 ，此时 sina < 0， >1，è cosa cosa
所以 sin a - tan a > 0，即 sina > tana ，满足题设；
当a [0,
π)时， sina - tana sina (1
1 1
= × - )，此时 sina > 0， 1，
4 cosa cosa
所以 sina - tana 0 ，即 sina tana ，不满足题设；
a π 综上， - ,02 ÷ .è
π
故答案为： - ,02 ÷è
04 作商法比较代数式的大小
ln 2 ln 3
10．（2022 高三·全国·专题练习）若 a＝ ，b＝ ，则 a b(填“＞”或“＜”)．
2 3
【答案】＜
【分析】作商法比较大小，结合对数的运算律和性质，即得解
b
a b 2ln 3 ln 3
2 ln 9
【解析】易知 ， 都是正数， ＝ = 3 = ＝log89＞1，所以 b＞a.a 3ln 2 ln 2 ln8
故答案为：＜
11 1．（22-23 高二上·广东江门·阶段练习）已知3a = 4b = 5c = 0.3- 3 ，则 a, 2b,c大小关系是 ．
【答案】 2b > a > c
【分析】设3a = 4b = 5c
1
= 0.3- 3 = t >1，得 a = log3 t ，b = log4 t ， c = log5 t ，然后作商法比较 a,c 和 2b,c 大小
解决即可.
1 1
【解析】因为0.3- 3 >1，设3a = 4b = 5c = 0.3- 3 = t >1，
所以 a = log3 t ，b = log4 t ， c = log5 t ，
因为 t > 1，
所以 a > 0，b > 0， c > 0，
a log3 t lg 5
因为 = = >1c log ，5 t lg 3
所以 a > c ．
a log3 t lg 4 lg 4
因为 = = = <12b 2log4 t 2lg 3 lg 9
，
所以 2b > a．
故答案为： 2b > a > c ．
12．（2024·吉林·模拟预测）请写出一个幂函数 f (x) 满足以下条件：①定义域为[0, + ) ；② f (x) 为增函数；
x + x f x1 + f x③ 2 对任意的x1， x2 [0, + ) ，都有 f 1 2 ÷ ，则 f (x) = ．è 2 2
1
【答案】 x 2 （答案不唯一）
【分析】根据幂函数的性质可写出一个符合①②的幂函数，利用作差法说明其也满足③，即可得答案.
1
【解析】由题意可知 f (x) = x 2 的定义域为[0, + ) ，且 f (x) 在[0, + ) 上为增函数；
下面证明该函数满足③：
取任意的x1， x2 [0, + ) ，
x1 + x2 x1 + x2 f x1 + f xf = > 0, 2 x + x = 1 2 > 0 ，
è 2 ÷ 2 2 2
2 2
x 1 + x2 x1 + x2 x1 + x则 ÷ - ÷ = 2
- 2 x1x2 2 x 1
x2 - 2 x1x2
2 ÷ 2 ÷ 4 = 0
，
è è 4
当且仅当 x1 = x2时取等号，
f x1 + x2
f x1 + f x2 1
即 ÷ ，即
è 2 2 f (x) = x
2 满足③，
1
故答案为： x 2
05 由不等式的性质证明不等式
13．（22-23 高一下·云南玉溪·期中）若 a,b R ，则“ (a - b)a2 < 0 ”是“ a < b ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据不等式的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【解析】由不等式 (a - b)a2 < 0，可得 a - b < 0，可得 a < b ，即充分性成立；
反之：由 a < b ，可得 a - b < 0，又因为 a2 0，所以 (a - b)a2 0，所以必要性不成立，
所以 (a - b)a2 < 0是 a < b 的充分不必要条件.
故选：A.
14．（2024·四川成都·模拟预测）命题“ x + y + x - y 2 ”是“ x 1，且 y 1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据绝对值三角不等式和充分条件必要条件的定义即可判断.
【解析】若 x + y + x - y 2，
2 x = x + y + x - y x + y + x - y 2，即 x 1，
2 y = x + y - x + y x + y + x - y 2 ，即 y 1，
则充分性成立；
若 x 1且 y 1，
当 (x + y)(x - y) 0时， x + y + x - y = x + y + x - y = 2 x 2，
当 (x + y)(x - y) < 0时， x + y + x - y = x + y - x + y = 2 y 2，
则必要性成立；
综上所述：“ x + y + x - y 2 ”是“ x 1，且 y 1”的充分必要条件.
故选：C.
15．（22-23 高三上·上海浦东新·开学考试）已知 x1 y1 x2 y2 x3 y3为 6 个不同的正实数，满足：①
x1 < y1, x2 < y2 , x3 < y3，② x1y1 = x2 y2 = x3 y3 ，③ x1 + y1 x3 + y3 = x2 + y2
2
，则下列选项中恒成立的是
（ ）
A． 2y2 < y1 + y3 B． 2y2 > y1 + y3
C y2． 2 < y1 y D y
2
3 ． 2 > y1y3
【答案】D
x + x y + y
【分析】利用不等式的性质，得到 x y < 1 3 × 1 3
x + x y + y
2 2 与 x
2 + y2
1 3 + 1 3 ，由此排除 A、B 选项，
2 2 2 2
2 2 2 2
再得到 y2 - x1x3 y2 - y1y3 > 0与 y2 > x1x3，由此得到 y2 < y1 y3 ，即 D 选项正确，C 选项错误.
【解析】不妨设 x1 < x3 ，则由 x1y1 = x3 y3 得 y1 > y3 ，故 x1 - x3 < 0， y3 - y1 < 0，
则 x1 - x3 y3 - y1 > 0，即 x1y3 + x3 y1 - x1 y1 - x3 y3 > 0，即 x1y1 + x3 y3 < x1y3 + x3 y1，
故 2 x1y1 + x3 y3 < x1 y3 + x3 y1 + x1 y1 + x3 y3 = x1 + x3 y1 + y3 ，
x + x y + y
所以 4x y < x + x y + y ，即 x y < 1 3 × 1 32 2 1 3 1 3 2 2 （1），2 2
2
x + y 2
é ù
又因为 2 2 = x1 + y1
x + y + x + yx 3 + y 1 1 3 33 ê 2 ú ，
x1 + y1 +x y x3 + y3 x1 + x3 y所以 + = + 1 + y3 2 2 （2），2 2 2
y + y y + y
由（1）（2）可知 y 1 3 1 32 < 或 y2 > 皆有可能，故 A、B 错误；2 2
由 x1 + y1 x3 + y3 = x + y
2 2 2
2 2 得 x1x3 + x1 y3 + y1x3 + y1y3 = x2 + y2 + 2x2 y2 ，
2
所以 x1x3 + x1 y3 + y1x3 + y1y3 = x2 + y
2
2 + x1y1 + x3 y3，
2 2
所以 x2 + y2 - x1x3 - y1y3 = x1 - x3 y3 - y1 ，
不妨设 x3 > x1 ，则 y3 < y
2
1，所以 x2 + y
2
2 - x1x3 - y1y3 = x1 - x3 y3 - y1 > 0，
所以 x2 2 4 22 y2 + y2 > x1x3 y2 + y
2
1 y3 y2 ，所以 y22 - x1x3 y22 - y1y3 > 0，
又 x1y1 = x2 y = x y
2 2
2 3 3 ，所以 x2 y2 = x1x3 y1 y3，所以 y
2
2 > x1x3 y1 y3 > x1x3 ，
y2所以 2 - x1x3 > 0, y
2
2 - y1 y3 > 0，
同理当 x3 < x1时， y22 - y1y3 > 0，
2
所以 y2 > y1y3 ，故 D 正确，C 错误；
故选：D.
06 利用不等式求取值范围
16．（2024·全国·模拟预测）已知实数 x，y 满足-1 < x < y <1，则 x + y 的取值范围是 ．
【答案】 -2,2
【分析】根据不等式的性质即可求解.
【解析】由-1 < x < y <1可得-1 < x <1，-1 < y <1，所以-2 < x + y < 2，
故答案为： -2,2
17．（2024·浙江·模拟预测）已知正数 a，b，c 满足 a2 + c2 =16，b2 + c2 = 25，则 k = a2 + b2 的取值范围为 ．
【答案】9 < k < 41
【分析】
根据不等式的性质即可求解.
【解析】
Q正数 a、b 、 c满足 a2 + c2 =16，b2 + c2 = 25，
\c2 =16 - a2， a2 > 0所以0 < c2 <16
同理：有 c2 = 25 - b2得到0 < c2 < 25，所以0 < c2 <16
两式相加： a2 + b2 + 2c2 = 41
即 a2 + b2 = 41- 2c2
又Q-16 < -c2 < 0 ,即-32 < -2c2 < 0
\9 < 41- 2c2 < 41
即9 < k < 41．
故答案为：9 < k < 41
18．（2024·河北石家庄·二模）若实数 x, y, z 0，且 x + y + z = 4,2x - y + z = 5，则M = 4x + 3y + 5z 的取值范
围是 .
【答案】 15,19
【分析】先得到 x = 3
2z z
- , y =1- ，并根据 x, y, z 0
4z
得到0 z 3，从而求出M = +15 15,19 .
3 3 3
【解析】因为 x + y = 4 - z, 2x - y = 5 - z ，故 x = 3
2z
- , y z=1- ，
3 3
ì3 2z - 0
3
由 x, y, z 0
z 得 í1- 0 ，解得0 z 3，
3
z 0
故M = 4x + 3y 5z 4
3 2z z 4z+ = -
÷ + 3 1-
3 3 ÷
+ 5z = +15 15,19 .
è è 3
故答案为： 15,19
07 不等式与三角函数、平面向量
19．（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系 xOy 中，角a 以Ox 为始边，终边在第三象限.则（ ）
A． sina - cosa tana B． sina - cosa tana
C． sina ×cosa < tana D． sina ×cosa > tana
【答案】C
【分析】对 A、B：举出反例即可得；对 C、D：借助三角函数的商数关系及其值域计算即可得.
【解析】由题意可得 sina < 0、 cosa < 0， tana > 0，
对 A：当 sina 0- 时， cosa -1，则 sina - cosa 1， tana 0，
此时 sina - cosa > tana ，故 A 错误；
5π
对 B：当a = 时， sina - cosa sin
5π cos 5π 5π= - = 0 < tan =1，故 B 错误；
4 4 4 4
对 C、D： sina ×cosa = cos2 a
sina
× = cos2 a × tana ，由-1 < cosa < 0，
cosa
故 cos2 a 0,1 ，则 cos2 a × tana < tana ，即 sina ×cosa < tana ，
故 C 正确，D 错误.
故选：C.
20．（2024 高三·全国·专题练习）已知四边形 ABCD， AB ^ BC ， AB = BC = AD = 2，CD = 3， AC 与BD
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
交于点O，若记 a = OA × OB ，b = OB ×OC ， c = OC × OD ，则（ ）
A． a < b < c B． a < c < b C． c < a < b D．b < a < c
【答案】C
uuur uuur
【分析】根据向量形式的余弦定理计算可得 AC × DB > 0 ，再利用作差法即可比较 a,b,c的大小关系.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【解析】在△ADC 中，根据余弦定理有 | CD |2 + | CA |2 - | AD |2 = 2 | CA | × | CD | cos ACD = 2CA ×CD；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
在VABC 中，根据余弦定理有 | CB |2 + | CA |2 - | AB |2 = 2 | CA | × | CB | cos ACB = 2CA ×CB ；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
两式作差得 2CA × (CD - CB) =| AB |2 + | CD |2 - | CB |2 - | AD |2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur2
AC DB | AB | + | CD |
2 - | CB |2 - | AD |2 5
即 × = = > 0 ，
2 2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以b - a = OB ×OC - OA × OB = OB × AC = tDB × AC >（0 t > 0）.
uuur uuur uuur uuur
又 AC × DB =| AC || DB | cos BOC > 0 ，所以 cos BOC > 0，则 cos AOB < 0，
uuur uuur uuur uuur
由图易知 OD > OA , OC > OB ，
uuur uuur uuur uuur
所以 c - a = OC ×OD - OA ×OB = uuur uuur uuur uuurOC OD - OA OB cos AOB < 0，
所以 c < a < b .
故选：C．
08 不等式与函数
21．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数① y＝logax；② y＝logbx；③ y＝logcx；④ y＝logdx 的大致图
象如图所示，则下列不等关系正确的是（ ）
A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋c
C．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c
【答案】A
【解析】
解析：由已知可得 b＞a＞1＞d＞c，则 a＋b＞a＋c，b＋d＞a＋c，故 A 正确，D 错误；又 a＋d 与 b＋c 的大
小不确定，故 B，C 错误．故选 A.
22．（2024·全国·模拟预测）若 logab >1，则下列不等式一定成立的是（ ）
1 1 1 1
A． a > b B． ab < a + b -1 C． a + > b + D． a - < b -
b a b a
【答案】D
【分析】由 logab >1
1
，分类讨论 0 < a < 1和 a > 1可判断 A，B；取特值可判断 C；根据 y = x + 的单调性可判
x
断 D.
【解析】因为 logab >1，所以 logab > logaa ，
当 0 < a < 1时，解得 0 < b < a <1；当 a > 1时，解得1< a < b，
所以 a -1 b -1 > 0，即 ab > a + b -1，A，B 错误.
当 a = 2,b = 3
1
时， a + < b
1
+ ，C 错误.
b a
y x 1因为 = + 在 0,1 上单调递减，在 1, + 上单调递增，所以 a 1 1+ < b +a b ，x
a 1即 - < b
1
- ，D 正确.
b a
故选：D.
23．（2024·陕西西安·模拟预测）若 a = 0.311.5 ,b = log 12,c log 6,d 23 = 2 = 3 - ，则有（ ）3
A． a > b > c B．b > a > d
C． c > a > b D．b > c > a
【答案】B
2
【分析】由题意首先得0 < a <1, d = 3 - < 0，进一步b = log312 =1+ log3 4 > 2,c = log2 6 =1+ log23 > 2，从而3
我们只需要比较 log3 4, log2 3的大小关系即可求解，两式作商结合基本不等式、换底公式即可比较.
2
【解析】 a = 0.311.5 < 0.310 =1，所以0 < a <1, d = 3 - < 0，
3
b = log312 =1+ log3 4 > 2,c = log2 6 =1+ log23 > 2，
ln4 + ln2
2
又因为 log3 4 ln4 × ln2
÷
è 2 (ln2 2)2 ，= < = <1
log23 ln3 × ln3 ln3 × ln3 (ln3)
2
所以b < c ，即 d < a < b < c .
故选：B.
09 高考新考法—不等式在生活情景、传统文化中的综合应用
24．（2024 高三上·全国·竞赛）某考试评定考生成绩时，采取赋分制度：只有原始分排名前 3%的同学才能赋
分 97 分及以上．若这些学生的原始分的最大值为 a，最小值为 b，令 f (x) 为满足 f (a) =100, f (b) = 97的一次
函数．对于原始分为 x(b x a)的学生，将 f (x) 的值四舍五入得到该学生的赋分．已知小赵原始分 96，赋
分 100；小叶原始分 81，赋分 97；小林原始分 89，他的赋分是（ ）
A．97 B．98 C．99 D．98 或 99
【答案】D
ì99.5 96m + n 100
【分析】根据题意设 f (x) = mx + n，得到 í
96.5 81m n 97
，从而得到
+
f (89) 89m n 8 7= + = (96m + n) + (81m + n)，代入不等式即可求解.
15 15
【解析】设 f (x) = mx + n ( m , n为常数) ，由题可得99.5 f (96) = 96m + n 100，
99.5 96m + n 100
96.5 f (81) ì= 81m + n 97，即 í96.5 81m n 97 ， +
ì 8
96s + 81t = 89 s =
由于 f (89) = 89m + n
ì
，令89m + n = s(96m + n) + t(81m + n)
15，即 ís t 1 ，解得： ， + =
í
t 7=
15
所以89m n
8 (96m n) 7 (81m n) 8+ = + + + ，则 99.5
7
+ 96.5 89m 8+ n 100 7+ 97，即
15 15 15 15 15 15
98.1 89m + n 98.6，
所以小林原始分 89，他的赋分是 98 或 99.
故选：D
25．（2024·全国·模拟预测）如图，一个筒车按逆时针方向转动．设筒车上的某个盛水筒W 到水面的距离为d
（单位：米）（在水面下，则d 为负数）．若以盛水筒W 刚浮出水面时开始计算时间，d 与时间 t （单位：分
d 4sin 2t π钟）之间的关系为 = -
÷ + 2．某时刻 t0 （单位：分钟）时，盛水筒W 在过点O（O为筒车的轴心）
è 6
π
的竖直直线的左侧，且到水面的距离为 5 米，则再经过 分钟后，盛水筒W （ ）
6
A．在水面下 B．在水面上
C．恰好开始入水 D．恰好开始出水
【答案】B
【分析】根据题意列出计算式，再用两角和差公式计算即可.
π
【解析】由题意，5 = 4sin 2t0 - ÷ + 2，
è 6
sin 2t π 3- = cos 可得 0 ÷ ， 2t
π 7
- = - 70 ÷ 或 （舍去）．è 6 4 è 6 4 4
é π π ù é π π ù 3 1 7 3 3- 21
所以 sin ê2 t0 + ÷ -è 6 6 ú
= sin ê 2t0 - ÷ + ú = + - ÷ = ，
è 6 3 4 2 ÷è 4 2 8
π 3 - 21 7 - 21
所以再经过 分钟，可得d = 4 + 2 = > 0，所以盛水筒在水面上．6 8 2
在判断 d > 0时，可以采用放缩法更为直接，过程如下：
21 < 25 - 21 21> -5 - > -2.5 7 - 21 > 3.5 - 2.5 =1 d >1，
2 2
d > 0 ,故盛水筒在水面上．
故选：B．
26．（2024·全国·一模）我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用新
型材料-强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似，某科研小组研发的新材料水滴角
测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气—液两相界面的切线与液—固两相交线所成的
角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液—固两者的
相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为 1， 2，
则（ ）
x2 y2
附：椭圆 + x , y
x0x y+ 0 y =1
a2 b2
=1 a > b > 0 上一点 0 0 处的切线方程为 a2 b2 .
A． 1 < 2 B． 1 = 2
C． 1 > 2 D． 1和 2的大小关系无法确定
【答案】A
【分析】运用圆和椭圆的切线方程分别求得 tan 1 、 tan 2 ，结合b < R可判断两者大小.
【解析】由题意知，若将水滴轴截面看成圆的一部分，圆的半径为 R ，如图所示，
5
则R2 = (R -1)2 + 4，解得R = ，
2
tan 2 4所以 1 = = ，R -1 3
x 2 y2
若将水滴轴截面看成椭圆的一部分，设椭圆方程为 2 + 2 =1 (a > b > 0)，如图所示，a b
则切点坐标为 (-2,b -1)，
x 2 y2 -2x (b -1)y
则椭圆 2 + 2 =1上一点 (-2,b -1)的切线方程为 + =1，a b a2 b2
2b2
所以椭圆的切线方程的斜率为 k2 = tan 2 = 2 ，a (b -1)
(-2,b -1) 4 (b -1)
2
1 4b
2
将切点坐标 代入切线方程可得 2 + 2 = ，解得 2 = 2b -1，a b a
1
2b2 (2b -1)所以 tan 2 1 (2 1= = = + )，2 a2 (b -1) b -1 2 b -1
5
又因为b < R = ，
2
1 1 4
所以 tan 2 = (2 + ) > = tan ，即 tan > tan ，2 b -1 3 1 2 1
所以 1 < 2 .
故选：A.
10 不等式与数列
27．（2022·全国·模拟预测）已知 Sn 是数列 an 的前 n项和，Tn 是数列 bn 的前 n项积，
S 2 1 1n = n + 2n, + =1b a ，则 an 与
Tn 的大小关系是（ ）
n n
A． an Tn B． an > Tn C． an < Tn D． an Tn
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用 an = Sn - Sn-1,n 2求出 an ，进而求出bn ，再结合不等式的性质及累乘法的思
想推理判断得解.
【解析】当 n =1时， a1 = S1 = 3，当 n 2 2时， Sn-1 = n -1，则 an = Sn - Sn-1 = 2n +1，
1 1 a 2n +1
显然 a1 = 3符合上式，因此 an = 2n +1，由 + =1，得bn =
n =
bn an an -1 2n
，
T 3 5 7 2n +1 2n +1 2n则 n = L ，而 2n × 2n > (2n -1)(2n +1)，即有 < ，2 4 6 2n 2n 2n -1
3 5 7 L 2n +1 2 4 6 2n于是 < L ，
2 4 6 2n 1 3 5 2n -1
(3 5 7 L 2n +1)2 2 3 4 5 6 L 2n 2n +1从而 < = 2n +1，
2 4 6 2n 1 2 3 4 5 2n -1 2n
3 5 7 2n +1
所以 L < 2n +1，即 a > T
2 4 6 2n n n
.
故选：B
【点睛】易错点睛：由数列前 n项和求通项，需按 n 2和 n =1分段求解，并且还要验证 n =1的结果是否满
足 n 2时的表达式.
11 不等式与导数
28．（2024·四川攀枝花·三模）已知正数 a,b,c满足 a ln b = bec = ca ，则（ ）
A． a > b > c B． a > c > b C．b > a > c D．b > c > a
【答案】A
【分析】法一：由alnb = ca 得 c = lnb，构造函数 f x = ln x - x x > 0 ，求导利用导数判断函数的单调性求
a ec ex
最值，进而比较b 、 c；由 ca = bec 两边同除以bc得 = ，构造函数 g x = x > 0 ，求导利用导数判断
b c x
函数的单调性求最值，进而比较b 、 a，由此可比较 a，b ， c的大小. 法二：化 c = lnb为b = ec，作差法并
x
构造函数 h x = e - x x > 0 ，求导利用导数求出函数最值，比较b 、 c大小，再利用作差法比较 a、b 大小，
即可比较 a，b ， c的大小.
【解析】法一：
由alnb = ca 得 c = lnb，令 f x = ln x - x x > 0 ，则 f x 1- x= x ，
当 x 0,1 时， f x > 0， f x 在 0,1 上单调递增，
当 x 1,+ 时， f x < 0， f x 在 1, + 上单调递减，
所以 fmax x = f 1 = -1，所以 f x -1在 0, + 上恒成立，
所以 f b < 0，即 lnb < b ，所以 c = lnb < b ，所以b > c；
a ec ex
由 ca = bec 两边同除以bc得 = ，令 g x = x > 0 ，
b c x
ex x -1
则 g x = x > 0 ，所以 g x e在 0, + 2 上恒成立，x
当 x 0,1 时， g x < 0， g x 在 0,1 上单调递减，
当 x 1,+ 时， g x > 0， g x 在 1, + 上单调递增，
所以 gmin x = g 1 = e，所以 g x e在 0, + 上恒成立，
ec a ec
所以 g c >1，即 >1，所以 = > 1 a > b，从而 a > b > c．
c b c
法二：
由alnb = ca 得 c = lnb，即b = ec，所以b - c = ec - c ，
令 h x = ex - x x > 0 ， h x = ex -1 x > 0 ，
当 x 0, + 时， h x > 0， h x 在 0, + 单调递增，
所以 h x > h 0 = 0，所以 h c = ec - c > 0，
则有b - c = ec - c > 0 b > c；
e2c
由bec = ca 得 ec ×ec = ca ，即 a = ，
c
e2c e2c - cec e
c
c ec - c 所以 a - b = - e = = ，
c c c
因为 ec > 0 ， c > 0， ec - c > 0 ，所以 a - b > 0，即 a > b
故 a > b > c．
故选：A
【点睛】方法点睛：比较大小时，可根据数值构造函数，利用函数的单调性，最值比较大小.
1 2
-
29 2．（2024·辽宁·一模）设 a = ，b = 2 - e3，c =1- e 3 则（ ）
3
A． a < b < c B． c < b < a
C．b < c < a D． a < c < b
【答案】B
【分析】利用导数证明不等式 ex x +1，可得b < a,c < a
2 1
；根据不等式的性质可证得 -1+ e 3 > e3 ，则 c < b ，即
可求解.
【解析】对于函数 f (x) = ex - x -1， f (x) = ex -1，
令 f (x) < 0 x < 0, f (x) > 0 x > 0，
所以函数 f (x) 在 (- ,0)上单调递减，在 (0, + )上单调递增，
所以 f (x)min = f (0) = 0，则 f (x) 0，即 ex x +1 .
1 2
-
所以 b = 2 - e3 2 - (
1 2 2 2
+1) = ， c = 1- e 3 1- (- +1) = .
3 3 3 3
1 2 2 1
2 2 1
- 1 1 2
由 e < 8 3 3 3，得 e3 < 83 = 2，所以 e < 1 ，则1+ e = 1+ 2 > 2 2 = 1 > e ，
e3 e3 e3 e3
2 1
所以 -1- e 3 < 2 - e3 ，即 c < b .
所以 c < b < a .
故选：B
【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：
（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，
（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，
（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.
e +1 ln 5
30．（2024·云南贵州·二模）已知 a = ln( 2e),b = ,c = +1，则 a,b,c的大关系为（ ）
e 5
A． c > a > b B．b > a > c
C． a > b > c D．b > c > a
【答案】B
【分析】根据 a,b,c
1
的特点，构造函数 f (x)
ln x
= ，判断其单调性，得到 f (x)max = f (e) = ，故有x e
f (e) > f (5), f (e) > f (2)，再运用作差法比较 f (5), f (2)即得.
ln x 1- ln x
【解析】设 f (x) = ，则 f (x) = 2 ，x x
当0 < x < e时， f (x) > 0 ， f (x) 在 (0, e)上递增；
当 x>e时， f (x) < 0 ， f (x) 在 (e,+ ) 上递减,
f (x) 1故 max = f (e) = .e
1 ln 5 , 1 ln 2则 > > ，即b > c,b > a；
e 5 e 2
25
由 ln 5 ln 2 2ln 5 - 5ln 2 ln c < a- = = 32 < 0可知 ，故b > a > c .
5 2 10 10
故选：B.
一、单选题
1．（2024·河北沧州·一模）下列命题为真命题的是（ ）
A．"x > 0,ex > cosx B．"a > b, a2 > b2
C．$x > 0,cosx ex D．$a > b,a3 < b3
【答案】A
【分析】根据指数函数和余弦函数的性质即可判断 AC；举出反例即可判断 B；由作差法即可判断 D.
【解析】对于 AC，当 x > 0时，"x > 0,ex >1,cosx 1，
所以"x > 0,ex > cosx，故 A 正确，C 错误；
对于 B，当 a = 0,b = -1时， a2 = 0 <1 = b2，故 B 错误；
é 2 ù
对于 D 3 3， a - b = a - b a2 + ab 1 3+ b2 = a - b ê a + b 2 2 ÷ + b ú ，ê è 4 ú
é 1 2 ù
a > b a3 - b3因为 ，所以 = a - b ê a + b
3+ b2÷ ú > 0，故 D 错误.
ê è 2 4 ú
故选：A.
2．（2024·全国·模拟预测） a b 是 am2 bm2 的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用不等式的性质，分别判断充分性和必要性.
【解析】由不等式的性质可知， a b 时一定有 am2 bm2 成立，
而 am2 bm2 成立时，若m = 0就不能推出 a b .
所以 a b 是 am2 bm2 的充分不必要条件.
故选：B.
3 2024· · a,b,c 2a > 2b．（ 陕西安康 模拟预测）若 满足 , log3c < 0，则（ ）
1
A． > 0 B．ac > bc b - a c
C． ac > bc D． a + c > bc
【答案】C
【分析】根据指数函数、对数函数性质得 a > b,0 < c <1，由不等式的性质可判定 AC，由特殊值法可判定
BD.
a b 1
【解析】由 2 > 2 , log3c < 0，得 a > b,0 < c <1，所以b - a < 0，所以 < 0 b - a c ，所以A 错误；
令 a = -1,b = -2,c
1
= ，此时 ac 与bc 无意义，所以B错误；2
因为 a > b,0 < c <1，所以由不等式的性质可得 ac > bc ，所以C 正确；
令 a = -2,b = -3,c
1 3
= ，则 a + c = - = bc ，所以D 错误.
2 2
故选：C .
4．（2024·浙江台州·二模）已知 x，y 为正实数，则可成为“ x < y ”的充要条件的是（ ）
1 1
A． < B． x + ln y < y + ln xx y
C． sin x < sin y D． x - cos y < y - cos x
【答案】D
【分析】作差法可判断 A；构造函数 F (x) = x - ln x、 f (x) = x + cos x，利用导数研究其单调性，并结合充分、
必要性的定义可判断 BD；特值法可判断 C.
1 1 y - x
【解析】对于 A，已知 x，y 为正实数，若 x < y ， - = > 0x y xy ，
1 1
则 >x y ，故 A 错误；
对于 B，由 x + ln y < y + ln x可得： x - ln x < y - ln y ，
令F x = x - ln x x > 0 ，
F x 1 1 x -1= - = ，令F x < 0，解得：0 < x <1，
x x
则F x 在 0,1 上单调递减，
若 x < y 0,1 ，则F x > F y ，故 B 错误；
x < y x π , y 2π对于 C，已知 x，y 为正实数，若 ，取 = = ，
3 3
则 sin x = sin y，故 C 错误；
对于 D，由 x - cos y < y - cos x ，则 x + cos x < y + cos y ，
令 f (x) = x + cos x，则 f (x) =1- sin x 0，
即 f (x) 在定义域上递增，故 x < y ，
反之 x < y 也有 x - cos y < y - cos x 成立，满足要求，故 D 正确.
故选：D.
b
5．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知1< a < 3,3 < b < 6 ，则 的取值范围为（
2a ）
3 ,1 2,6 1,6 1 A． ÷ B． C． D．2 ,32 ÷è è
【答案】D
【分析】由不等式的性质即可得解.
【解析】因为1< a < 3,3 < b < 6
1 1 1
，所以 2 < 2a < 6， < < ，
6 2a 2
1 b b b
所以 < < < < 3 .
2 6 2a 2
故选：D.
6．（2024·全国·模拟预测）设 a = ln4,b = tan
1
+ tan1,c 3= ，则（ ）
2 2
A． a < b < c B．b < c < a C． c
【分析】构造函数 f x = tan x - x, x π 0,
÷，利用导数判断单调性，可得 tan x > x，进而得b > c，再结合
è 2
对数的性质，利用作差比较法可得 a < c，从而可得正确答案.
π
【解析】构造函数 f x = tan x - x, x 0, ÷，
è 2
f x sin x则 =
2 2 2
÷ - x
cos x + sin x sin x
= 2 -1 = = tan
2 x > 0，
è cos x cos x cos2 x
所以 f x 0, π 在 f 0 = tan 0 - 0 = 0
è 2 ÷
内单调递增，又 ，
于是 f x π 在 0, 2 ÷内 tan x - x > 0，即 tan x > x恒成立.è
0 1 π 1 1由 < <1< ，得 < tan ,1 < tan1，
2 2 2 2
所以 tan
1
+ tan1 1 3> +1 = ，故b > c；
2 2 2
ln 4 3
3 1 1
又 - = ln 4 - ln e2 = ln 16 2 - ln e3 2 1 16= ln ，2 2 e3
易知，函数 y = ln x
16 16
在 0, + 内单调递增，又 3 <1，所以 ln 3 < ln1 = 0，e e
于是 ln 4
3 1
- = ln 163 < 0，即 ln 4
3
< ，故 a < c．
2 2 e 2
综上所述， a < c < b．
故选:D.
1
7．（2024· · 3 2全国 模拟预测）已知- x - x < 2 < x2 ×2 x 的解集为 a,b U c,+ ，则下列结论错误的是（ ）
2
A． abc > 0 B． a + c < 0 C．-3 < a < -2 D． b - a > b - c
【答案】D
1 3 2
【分析】构造相应函数并借助导数解出不等式 - x - x < 2及
2 2 < x
2 ×2 x ，可得 a -3, -2 ，b = -1， c =1，
再逐项判断即可得.
1 3 2
【解析】由- x - x < 2可得 x32 + 2x
2 + 4 > 0 ，
f x = x3 2设函数 + 2x + 4，则 f x = 3x2 + 4x，
当 x
- ,
4
- ÷ 0, + 时， f x > 0， f x 单调递增，
è 3
4
当 x - ,0÷时 f x < 0， f x 单调递减，
è 3
则函数 f x 的极小值 f 0 = 4 > 0，又 f -3 = -5 < 0， f -2 = 4 > 0，
所以由零点存在定理可得，存在 x0 -3, -2 使得 f x0 = 0，
1 3 2
则- x - x < 2的解集为 x0 ,+ 且 x2 0
-3, -2 ，
g x = x2 × 2 x令 ，易知 g x x 2为偶函数，且当 x > 0时， g x = 2 2x + x ln2 > 0，
g x 单调递增，又 g 0 = 0， g 1 = 2 ，故若 g x > 2，则 x >1，
由 g x 为偶函数可知当 x < 0 时，若 g x > 2，则 x < -1，
故 2 < x2 ×2 x 的解集为 - ,-1 1,+ ，
故原不等式的解集为 x0 ,-1 1, + 且 x0 -3, -2 ，
则 a -3, -2 ，b = -1， c =1，
选项 A：因为 a < 0，b < 0， c > 0，所以 abc > 0，A 正确；
选项 B：因为 a -3, -2 ， c =1，所以 a + c < 0，B 正确；
选项 C： a -3, -2 ，C 正确；
选项 D： b - a 1,2 ， b - c = 2，所以 b - a < b - c ，D 错误.
故选：D.
1 3 2
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造相应函数并借助导数解出不等式- x - x < 2及 2 < x2 ×2 x ，从2
而解出 a -3, -2 ，b = -1， c =1 .
8．（2024·陕西咸阳·模拟预测）某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变
ì
x t = X 0cosh abt b- Y0sinh abt a
化遵循兰彻斯特模型： í ，其中正实数 X 0 ，Y0 分别为红、蓝两方的初
y t = Y0cosh abt
a
- X sinh
b 0 abt
始兵力， t 为战斗时间； x t ， y t 分别为红、蓝两方 t 时刻的兵力；正实数 a，b 分别为红方对蓝方、蓝方
x - x x - x
对红方的战斗效果系数； coshx e + e= 和 sinhx e - e= 分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定：当
2 2
红、蓝两方任何一方兵力为 0 时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T ．则下列
结论不正确的是（ ）
A．若 X 0 > Y0 且 a = b，则 x t > y t 0 t T
B．若 X 0 > Y
1
0 且 a = b，则T = ln
X 0 +Y0
a X 0 -Y0
X 0 bC．若 >Y a ，则红方获得战斗演习胜利0
X
D．若 0
b
> ，则红方获得战斗演习胜利
Y0 a
【答案】C
at
【分析】对于 A 根据已知条件利用作差法比较大小即可得出 x t - y t = e X 0 -Y0 > 0，对于 B，利用 A
eat + e-at eat - e-at
中结论可得蓝方兵力先为 0，即 Y
2 0
- X 0 = 0解得T ；对于 C 和 D，若要红方获得战斗演习胜2
利，分别解出红、蓝两方兵力为 0 时所用时间 t1 、 t2 ，比较大小即可.
ìx t = X 0 cosh at -Y0 sinh at
【解析】对于 A，若 X 0 > Y0 且 a = b，则 í
y t
，
= Y0 cosh at - X 0 sinh at
ì eat + e-at at -at
x t X
e - e
= - Y
2 0 2 0 at
即 í ，所以 x t - y t = e X 0 -Yeat e-at eat e-at 0
，
y t
+
= Y -- X
2 0 2 0
由 X 0 > Y
at
0 可得 x t - y t = e X 0 -Y0 > 0，即 A 正确；
对于 B，当 a = b时根据 A 中的结论可知 x t > y t ，所以蓝方兵力先为 0 ，
at -at at -at
即 y t e + e e - e= Y0 - X 0 = 0
at
，化简可得 e X 0 -Y0 = e-at X +Y ，2 2 0 0
即 e2at
X +Y
= 0 0 2at ln X 0 +Y= 0
X -Y ，两边同时取对数可得 ÷，0 0 è X 0 -Y0
1 X 0 +Y0 t ln 1 ln X 0 +Y0 T 1 ln X 0 +Y即 = ÷ = 0，所以战斗持续时长为 = ，所以 B 正确；2a è X 0 -Y0 a X 0 -Y0 a X 0 -Y0
对于 C，若红方获得战斗演习胜利，则红方可战斗时间大于蓝方即可，
设红方兵力为 0 时所用时间为 t1 ，蓝方兵力为 0 时所用时间为 t2 ，
X b0 +Y0
x t = X cosh abt b- Y sinh abt = 0 e2 abt a即 1 0 1 0 1 ，可得 1 = >0a Y b0 - Xa 0
Y a0 + X 0 X 0 +Y
b Y + X a
b 0 a 0 0 b X 22 abt 0 b
同理可得 e 2 = >0，即 > ，解得 > ，
X a Y Y b X X a
Y 20 a
0 - - -Yb 0 0 a 0 0 b 0
又因为 X ,Y , a,b
X b
0 0 都为正实数，所以可得
0 > ，红方获得战斗演习胜利；
Y0 a
所以可得 C 错误，D 正确.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题给的信息比较多，关键是理解题意，然后利用相应的知识（作差法、指数函数
的性质）进行判断.
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）已知 a > b > 0,c > 0，则下列式子正确的是（ ）
1 1 a + b 1 a a + c
A． c - b > c - a B． < C． D． <
ac bc a + 2 2ab 2 b b + c
【答案】ABC
【解析】根据不等式的性质可得 A、B 的正误；根据基本不等式可得 C 的正误；利用作差法可得 D 的正误.
【分析】由 a > b > 0,c > 0，得-a < -b < 0，所以 c - a < c - b ，A 正确．
1 1
因为 a > b > 0,c > 0，所以 ac > bc > 0，所以 ac > bc > 0，所以 > > 0 ，B 正确．bc ac
因为a > b > 0，所以 a + 2 2ab a + a + 2b = 2 a + b ，当且仅当 a = 2b时取等号，
a + b a + b 1
所以 =a + 2 2ab 2 a + b 2 ，C 正确．
a a + c a(b + c) - b(a + c) (a - b)c
- = = > 0 a a + c因为 b b c b(b c) b(b c) ，所以
> ，D 错误．
+ + + b b + c
故选：ABC．
10．（2024·湖北·模拟预测）已知 x 1， y > 1，且 xy = 4，则（ ）
A．1 x 4，1 < y < 4 B． 4 x + y 5
y 1
C． 的最小值为 ，最大值为 4 D． 4x + y2 的最小值为 12
x 4
【答案】BD
4 4
【分析】对于选项 A: 由已知得 x = 1， y = >1y ，整理即可判断；对于选项 B:结合双钩函数的单调性即x
y y2
可判断；对于选项 C:结合题意可得 = ，通过构造函数利用单调性即可判断；对于选项 D:设
x 4
h x 16= 4x + y2 = 4x + 2 ，借助导数分析单调性即可求最值.x
4
【解析】对于选项 A:由已知得 x = 1， y
4
= >1
y ，x
则1 x < 4，1< y 4 .故 A 错误；
对于选项 B:令 t = x + y，
则 t = x
4
+ y = x + 在 x 1,2 单调递减，在 x 2,4 单调递增，
x
得 4 x + y 5，故 B 正确；
C: y y
2 y2
对于选项 结合题意可得 = ，令 f y = ，
x 4 4
2 1 y
则 f y y= 在 y 1,4 上单调递增，得 < 4，故 C 错误.
4 4 x
对于选项 D:设 h x = 4x + y2 = 4x 16 32+ ，则 h x = 4 - ，
x2 x3
当 x 1,2 时， h x 单调递减，当 x 2,4 时， h x 单调递增，
所以 h x = h 2min =12 .故 D 正确.
故选:BD.
E
11．（2024·河南· a模拟预测）1889 年瑞典的阿伦尼乌斯提出了阿伦尼乌斯公式： -k = Ae RT （ R 和A 均为大于 0
的常数）， k 为反应速率常数（与反应速率成正比），T 为热力学温度（T > 0），在同一个化学反应过程中Ea
为大于 0 的定值.已知对于某一化学反应，若热力学温度分别为T1和T2时，反应速率常数分别为 k1和 k2 （此
过程中A ， R 与Ea 的值保持不变），则（ ）
A．若T1>T2 ，则 k1 > k2
B．若T1>T2 ，则 k1 < k2
E k 3
C．若T2 = 3T
a
1 ，- = M
1
RT ，则
ln = M
1 k2 2
E k 2
D．若T2 = 3T -
a = M 11 ， RT ，则
ln = M
1 k2 3
【答案】AD
【分析】利用不等式性质以及指数型函数单调性即可判断 AB，由T2 = 3T1 ，利用对数运算可求得 D 正确.
E E
【解析】由T1>T2 ，Ea > 0 R > 0
a a
， ，根据不等式性质可得- > -RT1 RT
，
2
Ea Ea Ea Ea
所以 - - - -e RT1 > e RT k > k2 ，又 A > 0 ，所以 Ae RT1 > Ae RT2 ，故 1 2 ，故 A 选项正确，B 选项错误；
Ea 1 1 k - -
易知 1 = e R è T1 T
÷
2 ，
k2
k Ea 2- × kT = 3T 1 = e R 3T1 ln 1
2 Ea 2
若 2 1 ，可得 ，所以 = - = Mk 3 RT 3 ，故 C 选项错误，D 选项正确.k2 2 1
故选：AD.
三、填空题
sin1
12．（2023·内蒙古赤峰·一模）已知 a = ，b 3 c π 2 - 3= ， = - ，则 a,b,c3 的大小关系是 .2π 9 6
【答案】 c > a > b
【分析】构造函数 f x sinx= ，利用函数的单调性比较出 a与b 的大小，再用作差比较出 a与 c的大小，即
3x
可得出结果.
f x sinx f x xcosx - sinx【解析】根据题意，设 = ，则其导数 = 2 .3x 3x
令 g(x) = xcosx - sinx， g (x) = cosx - xsinx - cosx = -xsinx
π
故在区间 0, ÷上， g (x) < 0恒成立，则有 g(x) < g(0)2 ，即 xcosx - sinx < 0 恒成立è
\ f x < 0 在 0, π \ f2 ÷上恒成立， 函数 x
0, π 在 2 ÷上单调递减，è è
sin π
则有 f 1 f π sin1 3 3> ÷ ，即 >
è 3 3 3 π
=
2π
3
\a > b
c a π 2 - 3 sin1 2π - 6 + 3 3 - 6sin1又 - = - - = ，而 sin1 < sin π 3= ，
9 6 3 18 3 2
c a 2π - 6\ - > > 0，即 c > a
18
故答案为： c > a > b
【点睛】方法点睛：构造适当的函数，利用函数的单调性来比较大小是一种常用的方法.
13．（2021·全国·模拟预测）已知不为1的正实数m, n满足 log1 m > log1 n,则下列不等式中一定成立的是 .
3 3
（将所有正确答案的序号都填在横线上）
1 1 1 1
① > ；② em > en ；③ ln n - m > 0；④ 3m-n <1；⑤ > ．m -1 n -1 m n
【答案】④⑤.
【分析】根据对数函数单调性先分析出m, n的大小关系，然后结合函数性质以及不等式的性质逐项分析.
【解析】因为 log1 m > log1 n且m, n不为1，由对数函数 y = log1 x的单调性可知0 < m < n，
3 3 3
①当0 < m <1, n >1
1 1 1 1
时， < 0, > 0，所以 < ，故①不一定成立；
m -1 n -1 m -1 n -1
②因为m < n ，由指数函数 y = ex 的单调性可知 em < en ,故②不成立；
③当0 < m < n < 1时，0 < n - m <1，所以 ln n - m < 0，故③不一定成立；
④因为m - n < 0，所以3m-n < 30 =1，故④一定成立；
1 1
⑤因为0 < m < n，所以 > > 0，故⑤一定成立；
m n
故答案为：④⑤.
14．（2024·河北邯郸·三模）记min{x, y, z}
1 1
表示 x y z
ì ü
， ， 中最小的数．设 a > 0，b > 0，则min ía, , + 3b
b a
的最大值为 ．
【答案】2
a 1 a 1 min ì 1 ü【分析】分 是否大于 进行讨论，由此即可简化表达式，若 ，则可以得到 a, + 3b 2，并且
b b í a
b 1 ì
1
存在 a = 2， = ，使得min ía, + 3b
ü 1 ì 1 1 ü
= 2，，同理 a > 时，我们可以证明min ía, , + 3b < 2b a ，由此即可2 a b
得解.
1 ì 1 1 ü ì 1 ü
【解析】若 a ，则 ab 1，此时min a, , + 3b = min a, + 3b ，
b í b a í a
a 1 + 3b 1因为 ÷ =1+ 3ab 4a ，所以
a和 + 3b中至少有一个小于等于 2，
è a
min ì 1所以 ía, + 3b
ü 1 1 1
a
2，又当 a = 2，b = 时， a = = + 3b = 2，
2 b a
所以min
ì
ía,
1 , 1 + 3bü 的最大值为 2．
b a
1 1 1 1
若 a
1
> ，则ab >1 ì ü ì ü，此时min
b í
a, , + 3b = min í , + 3bb a b a ，
1 1
因为 + 3b
1= + 3 < 4 1 1 + 3b 2
b è a ÷ ab
，所以 和 中至少有一个小于 ，
b a
min ì所以 ía,
1 , 1 + 3bü < 2．
b a
min ìa, 1 , 1 + 3bü综上， í b a 的最大值为
2．
故答案为：2.
1
【点睛】关键点点睛：关键是分 a是否大于 进行讨论，结合不等式的性质即可顺利得解.
b
