2025 年高考一轮复习第一次月考卷 01（测试范围：集合+不等式+函数）
（满分 150 分，考试用时 120 分钟）
一 选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1．已知集合 A = x x > a ，B = x 1 < x 2 ，且 AU R B = R ，则实数 a的取值范围是（ ）
A． a a 1 B． a a <1 C． a a 2 D． a a > 2
2．已知 a,b R ，则“ a > b ”是“ a3 > b3 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．下列不等式恒成立的是（ ）
1
A． x + 2 B．
x a + b 2 ab
C a + b
2
a2 + b2
． 2 2 ÷ D． a + b 2ab
è 2 2
4．已知函数 f x = 2x2 - mx +1在区间 -1, + 上单调递增，则 f 1 的取值范围是（ ）．
A． 7, + B． 7,+
C． - ,7 D． - ,7
1 -0.35 ．已知 a = 30.3，b = log4 3， c = ÷ ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
è 2
A．b < a < c B．b
达到 20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，
其血液中的酒精含量上升到了0.6mg / mL．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度
减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（ ）（结果取整数，参考数据： lg3 0.48, lg7 0.85）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知 a > 0，b R ，若 x > 0时，关于 x 的不等式 ax - 2 x2 + bx - 4 0恒成立，则b 4+ 的最小值为
a
（ ）
A． 2 B． 2 5 C． 4 D．3 2
ìlg -x , x < 0
8．已知函数 f x = í1- x -1 ,0 x < 2的图象在区间 -t, t (t > 0)内恰好有5对关于 y 轴对称的点，则 t 的值
f x - 2 , x 2
可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二 多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9．下列选项正确的是（ ）
A．命题“ $x > 0, x2 + x +1 0 ”的否定是"x 0, x2 + x +1 < 0
B．满足 1 M 1,2,3 的集合M 的个数为 4
C．已知 x = lg3, y = lg5，则 lg45 = 2x + y
D x．已知指数函数 f x = a （ a > 0且a 1）的图象过点 2,4 ，则 loga 2 = 1
10．已知 a2 + 4b2 + 2ab =1，则（ ）
1 5
A． ab的最大值为 B． a2 + 4b2 的最小值为
6 7
C． a2
1
+ 4b2 的最大值为 2 D． ab的最小值为-
3
11．若函数 f x 是定义域为R 的奇函数，且 f x + 2 = - f x ， f 1 =1，则下列说法正确的是（ ）
A． f 3 = -1 B． f x 的图象关于点 2,0 中心对称
C． f x 的图象关于直线 x =1对称 D． f 1 + f 2 + f 3 + ×××+ f 2023 + f 2024 =1
三 填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12 1+ x．函数 y = log2 1 的定义域是 .- x
A ìx N 1 3x+1 27ü13 2．已知集合 = í < < ，B = x x - 3x + m = 0 ，若1 AI B，则 A B 的子集的个数为 ．
3
14．已知函数 f x = log6 2x + 3x ， g x = log 6x - 2x3 .给出下列四个结论：
① f
1 1
÷ < g
；
è 2 ÷ è 2
②存在 x0 0,1 ，使得 f x0 = g x0 = x0；
③对于任意的 x 1,+ ，都有 f x < g x ；
④ 1- f 1 < g 1 -1 .
其中所有正确结论的序号是 .
四 解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．计算：
7 0.5
2
(1) 2 0.1-2 2 10
-
3 0 37
9 ÷
+ + ÷ - 3π + ；
è è 27 48
(2) log2 3 × log 4 + lg5
2
3 + lg5 × lg 20
1
+ lg16 - 2log2 3 .
2
16 A = x∣x2．已知集合 + x - 6 < 0 , B = {x∣1- m < x < 2m + 3} .
(1)若 AI B = A，求实数m 的取值范围；
(2)若“ x A ”是“ x B ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.
x
17．已知函数 f x 4= x + a ，且 f lg 2 + f lg5 = 3 .4 + 2
(1)求 a 的值；
(2)当 x -1,1 时， f x 4x + m 恒成立，求 m 的取值范围.
18．随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，
医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.宁波医疗公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术
生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为 300 万元，最大产能为 80 台.每生产 x 台，需另投入成本G x
ì 2x2 + 80x,0 < x 40
万元，且G x = í ，由市场调研知，该产品的售价为 200 万元，且全年内生产
201x
3600
+ - 2100,40 < x 80
x
的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润W x 万元关于年产量 x 台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
19．已知函数 f (x) 和 g(x)的定义域分别为D1和D2 ，若对任意的 x0 D1都存在 n个不同的实数
x1, x2 , x3 ,Lxn D2 ，使得 g(x +i ) = f (x0 )（其中 i =1,2,3,Ln,n N ），则称 g(x)为 f (x) 的“ n重覆盖函数”．
(1)试判断 g(x) = x (-2 x 2)是否为 f x =1+ sin x x R 的“2 重覆盖函数”？请说明理由；
x
(2)求证： g(x) = cos x(0 < x < 4π)是 f x 2 -1= x x R 的“4 重覆盖函数”；2 +1
ìax2 + (2a - 3)x +1, x 1
g(x) f (x) log 2
x -1
(3)若 = í 为 = 的“2 重覆盖函数”，求实数 a 的取值范围．
log2 x, x >1
1 x
2 2 +12025 年高考一轮复习第一次月考卷 01（测试范围：集合+不等式+函数）
（满分 150 分，考试用时 120 分钟）
一、选择题
1．已知集合 A = x x > a ，B = x 1 < x 2 ，且 AU R B = R ，则实数 a的取值范围是（ ）
A． a a 1 B． a a <1 C． a a 2 D． a a > 2
【答案】A
【分析】根据补集运算求出 RB，然后利用数轴分析可得.
【解析】因为B = x 1 < x 2 ，所以 RB = x | x 1或 x > 2 ，
又 A RB = R，所以 a 1 .
故选：A
2．已知 a,b R ，则“ a > b ”是“ a3 > b3 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【解析】因为函数 y = x3在定义域R 上单调递增，
所以由 a > b推得出 a3 > b3，故充分性成立；
由 a3 > b3推得出 a > b，故必要性成立，
所以“ a > b ”是“ a3 > b3 ”的充要条件.
故选：C
3．下列不等式恒成立的是（ ）
A． x
1
+ 2 B．
x a + b 2 ab
a + b 2C a
2 + b2
． 2 2 2 ÷
D． a + b 2ab
è 2
【答案】D
【分析】根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案.
【解析】解：对于 A 选项，当 x < 0 时，不等式显然不成立，故错误；
对于 B 选项， a + b 2 ab 成立的条件为 a 0,b 0，故错误；
对于 C 选项，当a = -b 0时，不等式显然不成立，故错误；
D a2 + b2 - 2ab = a - b 2对于 选项，由于 0，故 a2 + b2 2ab，正确.
故选：D
4．已知函数 f x = 2x2 - mx +1在区间 -1, + 上单调递增，则 f 1 的取值范围是（ ）．
A． 7, + B． 7,+
C． - ,7 D． - ,7
【答案】A
【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得解得m -4，再由 f 1 = 3 - m，进而求得 f 1 的取值范围.
2 m
【解析】由函数 f x = 2x - mx +1的对称轴是 x = ，
4
因为函数在区间 -1, + m上是增函数，所以 -1，解得m -4，
4
又因为 f 1 = 3 - m，因此3 - m 7，所以 f 1 的取值范围是 7, + .
故选：A．
-0.3
5．已知 a = 30.3，b = log
1
4 3， c = ÷ ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
è 2
A．b < a < c B．b
【分析】由幂函数和对数函数的单调性即可得出答案.
【解析】因为0 = log4 1 < b = log4 3 < log4 4 =1，
1 -0.3c = =20.3 ÷ >1， a = 30.3 >1，
è 2
因为 y = x0.3 在 0, + 上单调递增，
所以 20.3 < 30.3 ，所以b
6．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量
达到 20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，
其血液中的酒精含量上升到了0.6mg / mL．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度
减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（ ）（结果取整数，参考数据： lg3 0.48, lg7 0.85）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】设经过 x 个小时才能驾驶，则0.6 100 1- 30% x < 20，再根据指数函数的性质及对数的运算计算
可得.
1
【解析】设经过 x 个小时才能驾驶，则0.6 100 1- 30% x < 20即0.7x < .
3
1
由于 y = 0.7x 在定义域上单调递减， x log 1
lg
3 lg1- lg3 -0.48 0.48> .0.7 = = = = = 3.23 lg 0.7 lg 7 -1 0.85 -1 0.15
他至少经过 4 小时才能驾驶.
故选：D.
7．已知 a > 0，b R ，若 x > 0时，关于 x 的不等式 ax - 2 x2 + bx - 4 0 4恒成立，则b + 的最小值为
a
（ ）
A． 2 B． 2 5 C． 4 D．3 2
【答案】C
2 2
【分析】注意到原题条件等价于当0 < x 时， x2 + bx - 4 0恒成立，当 x 时， 2 恒成立，a a x + bx - 4 0
2 2
故当 x = 时， y = x2 + bx - 4 = 0，从而得b = 2a - ，由此结合基本不等式即可求解.
a a
【解析】设 y = ax - 2(x > 0)， y = x2 + bx - 4(x > 0)，
因为 a
2
> 0，所以当0 < x < 时， y = ax - 2 < 0；
a
当 x
2
= 时， y = ax - 2 = 0 ；
a
2
当x > 时， y = ax - 2 > 0 ；
a
ìax - 2 0 ìax - 2 0由不等式 ax - 2 x2 + bx - 4 0恒成立，得 í 2 或 ，
x + bx - 4 0
í 2
x + bx - 4 0
即当0 < x
2
时， x2a + bx - 4 0
恒成立，
当 x
2
时， x2 + bx - 4 0恒成立，a
所以当 x
2
= 时， y = x2 + bx - 4 = 0，
a
4 2b 2
则 2 + - 4 = 0，即b = 2a - ，a a a
4 2 4 2 2 2a 2则当 a > 0时，b + = 2a - + = 2a + 2 2a = 4，当且仅当 = ，即 a =1时等号成立，
a a a a a a
4
故b + 的最小值为 4．
a
故选：C．
ìlg -x , x < 0
8．已知函数 f x = í1- x -1 ,0 x < 2的图象在区间 -t, t (t > 0)内恰好有5对关于 y 轴对称的点，则 t 的值
f x - 2 , x 2
可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
ì 1- x -1 ,0 x < 2
【分析】令 g x = í ，
m x = lg x
g x 2 , x 2 ，根据对称性，问题可以转化为
m x 与 g x 的图象在
-
0, t (t > 0)内有5个不同的交点，画出函数图象，数形结合即可判断.
ì 1- x -1 ,0 x < 2
【解析】令 g x = íg x 2 , x 2 ，
m x = lg x，
-
因为m x = lg x与 y = lg -x 的图象关于 y 轴对称，
ìlg -x , x < 0
因为函数 f x = í1- x -1 ,0 x < 2的图象在区间 -t, t (t > 0)内恰好有5对关于 y 轴对称的点，
f x - 2 , x 2
ì 1- x -1 ,0 x < 2
所以问题转化为m x = lg x与 g x = í 的图象在 0, t (t > 0)内有5个不同的交点，
g x - 2 , x 2
ì 1- x -1 ,0 x < 2
在同一平面直角坐标系中画出m x = lg x与 g x = íg x 的图象如下所示： - 2 , x 2
因为m 10 = lg10 =1，当 x >10 时m x >1， g 1 = g 3 = g 5 = g 7 = g 9 = g 11 =1，
结合图象及选项可得 t 的值可以是6，其他值均不符合要求,.
故选：C
ì1- x -1 ,0 x < 2
【点睛】关键点点睛：本题关键是转化为m x = lg x与 g x = í 的图象在 0, t (t > 0)g x 2 , x 2 内有5 -
个不同的交点.
二、多选题
9．下列选项正确的是（ ）
A．命题“ $x > 0, x2 + x +1 0 ”的否定是"x 0, x2 + x +1 < 0
B．满足 1 M 1,2,3 的集合M 的个数为 4
C．已知 x = lg3, y = lg5，则 lg45 = 2x + y
D x．已知指数函数 f x = a （ a > 0且a 1）的图象过点 2,4 ，则 loga 2 = 1
【答案】BC
【分析】利用特称命题的否定形式可判定 A；利用集合的基本关系可判定 B；利用对数的运算可判定 C；利
用指数函数的性质可判定 D.
【解析】对于 A，根据特称命题的否定形式可知命题“ $x > 0, x2 + x +1 0 ”的否定
是“ "x > 0, x2 + x +1< 0 ”，故 A 错误；
对于 B，由集合的基本关系可知满足 1 M 1,2,3 的集合M 可以
为 1 , 1,2 , 1,3 , 1,2,3 ，故 B 正确；
对于 C，由 lg45 = lg9 + lg5 = 2lg3+ lg5 = 2x + y，故 C 正确；
对于 D，由题意可知 a2 = 4 a = 2，所以 loga 2
1
= log2 2 = ，故 D 错误.2
故选：BC
10．已知 a2 + 4b2 + 2ab =1，则（ ）
A． ab
1 5
的最大值为 B． a2 + 4b2 的最小值为
6 7
2 2 1C． a + 4b 的最大值为 2 D． ab的最小值为-
3
【答案】AC
【分析】借助基本不等式逐项判断即可得.
【解析】对 A：由 a2 + 4b2 4ab ，得 a2
1
+ 4b2 + 2ab 6ab，所以 ab ，6
当且仅当 a = 2b时取等号，故 A 正确；
a2B 2ab a 2b + 4b
2 3 a2 + 4b2
对 ：由 = × ，得 a22 + 4b
2 + 2ab ，
2
a2 4b2 2所以 + ，当且仅当 a = 2b时取等号，故 B 错误；
3
a2 + 4b2 2 2
对 C：由 2ab = a ×2b - ，得 a2 + 4b2 + 2ab a + 4b ，
2 2
所以 a2 + 4b2 2，当且仅当 a = -2b 时取等号，故 C 正确；
对 D：由 a2 + 4b2 -4ab ，得 a2 + 4b2 + 2ab -2ab ，
ab 1所以 - ，当且仅当 a = -2b 时取等号，故 D 错误.
2
故选：AC.
11．若函数 f x 是定义域为R 的奇函数，且 f x + 2 = - f x ， f 1 =1，则下列说法正确的是（ ）
A． f 3 = -1 B． f x 的图象关于点 2,0 中心对称
C． f x 的图象关于直线 x =1对称 D． f 1 + f 2 + f 3 + ×××+ f 2023 + f 2024 =1
【答案】ABC
【分析】对于 A：根据 f x + 2 = - f x ，赋值令 x =1，即可得结果；对于 C：根据 f x + 2 = - f x 结合奇
函数定义可得 f x + 2 = f -x ，即可得结果；对于 B：根据选项 B 中结论分析可得
f x + 2 + f -x + 2 = 0，即可得结果；对于 D：分析可知：4 为 f x 的周期，结合周期性分析求解.
【解析】因为 f x + 2 = - f x ， f 1 =1，
对于选项 A：令 x =1，可得 f 3 = - f 1 = -1，故 A 正确；
对于选项 C：因为函数 f x 是定义域为R 的奇函数，则 f x = - f -x ，
则 f x + 2 = - f x = f -x ，所以 f x 的图象关于直线 x =1对称，故 C 正确；
对于选项 B：因为 f x + 2 = f -x ，可得 f -x + 2 = f x ，
则 f x + 2 = f -x = - f x = - f -x + 2 ，
即 f x + 2 + f -x + 2 = 0，所以 f x 的图象关于点 2,0 中心对称，故 B 正确；
对于选项 D：因为 f x + 2 + f -x + 2 = 0，
令 x = 0，可得 2 f 2 = 0, f 2 = f 0 = 0，
令 x =1，可得 f 3 + f 1 = 0，
又因为 f x + 2 = - f x ，则 f x + 4 = - f x + 2 = f x ，
可知 4 为 f x 的周期，可得 f 2 + f 4 = 0，即 f 1 + f 2 + f 3 + f 4 = 0，
因为 2024 = 4 506，所以 f 1 + f 2 + f 3 + ×××+ f 2023 + f 2024 = 0，故 D 错误；
故选：ABC.
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中
根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问
题．
三、填空题
1+ x
12．函数 y = log2 的定义域是 .1- x
【答案】 -1,1
1+ x
【分析】根据已知，可得 > 0，解出不等式即可得到结果.
1- x
1+ x 1+ x 1+ x
【解析】要使函数 y = log2 > 0 < 01- x 有意义，则应满足 ，即1- x x -1
该不等式等价于 x -1 x +1 < 0，解得-1 < x <1 .
1+ x
所以，函数 y = log2 的定义域是 -1,1 .1- x
故答案为： -1,1 .
A ìx N 1 ü13．已知集合 = í < 3x+1 < 27 ，B = x x2 - 3x + m = 0 ，若1 AI B，则 A B 的子集的个数
3
为 ．
【答案】8
【分析】由1 AI B求得m = 2 ，求得集合 A、B，进而求得 A B ，结合元素个数可得结果.
【解析】由1 AI B可知，则1 B，可得1- 3 + m = 0，解得：m = 2 ，
2
所以B = x x - 3x + 2 = 0 = x x -1 x - 2 = 0 ，即B = 1,2 .
A ì= íx N
1
< 3x+1 < 27ü = x N 3-1 < 3x+1 < 33 = x N -2 < x < 2 = 0,1 ,
3
所以 A B= 0,1,2 ，则 A B 的子集的个数为 23 = 8 .
故答案为：8
14 x x x x．已知函数 f x = log6 2 + 3 ， g x = log3 6 - 2 .给出下列四个结论：
① f
1 1
2 ÷
< g ÷ ；
è è 2
②存在 x0 0,1 ，使得 f x0 = g x0 = x0；
③对于任意的 x 1,+ ，都有 f x < g x ；
④ 1- f 1 < g 1 -1 .
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】②③④
【分析】
构造函数，根据函数的单调性可判断各选项.
【解析】
f 1 log 2 3 log 2 3 1 log 1 1 对于①， =2 ÷ 6 + ，而 6 + - =è 2 6 + ，è 2 3 ÷
2
1 1 1 1 1
+ -1
6 1
= - > 0，故 + >1，故 log 2 + 3 - > 0，
è 2 3
÷
3 6 2 3
6 2
故 log6 2 + 3 1> .2
1 g ÷ = log3 6 - 2 ，而 log3 6 2 1- - = log 22 2 3 2 - ÷÷ ，è è 3
2
1 1 1
而 2
2 5 4
- ÷÷ -1 = - < 0
，故 log3 6 - 2 < ，故 f > g ，
è 3 3 3 2 è 2
÷
è 2 ÷
故①错误.
对于②，设 h x = f x - x = log 1 1+ 6
è 3x 2x ÷
，
1
因为 y = x , y
1
= x 在R 均为减函数，故 h x 为R 上的减函数，3 2
而 h 0 = log 56 2 > 0， h 1 = log6 < 0 ，故 h x 为 0,1 上存在唯一零点 x0 ，6
且 h x0 = f x0 - x0 = 0 即 2x0 + 3x0 = 6x0 即3x0 = 6x0 - 2x0 ，
故 log3 6x0 - 2x0 = x0 ，所以 g x0 - x0 = 0，
故存在 x0 0,1 ，使得 f x0 = g x0 = x0 .故②正确.
对于③，由②的分析可得 h x f x 1 1= - x = log 6 3x + 2x ÷在 1, + 上为减函数，è
故 h x < h(1) = log 56 < 0即 f x < x恒成立.6
x
设 s x = g x - x = log 23 2
x - ÷ ，
è è 3
÷
÷
同理可得 s x 为 1, + 上的增函数，故 s x > s 1 = log 43 > 0，故 g x > x，3
对于④，由 f 1 = log6 5 <1， g 1 = log3 4 >1，
1 f 1 log 6 log 4所以 - = 6 < 6 < log
4
3 = g 1 -1 ，④正确；5 3 3
故答案为：②③④.
【点睛】
函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看
似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能
起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，
这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多
问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
四、解答题
15．计算：
7 0.5
2
-
(1) 3 2 + 0.1
-2 + 2 10 37- 3π0 + ；
è 9 ÷ 27 ÷ è 48
2 1
(2) log2 3 × log3 4 + lg5 + lg5 × lg 20 + lg16 - 2log2 3 .2
【答案】(1)100
(2)1
【分析】（1）根据指数幂的运算法则直接化简求解即可；
（2）根据对数运算法则直接化简求解即可.
7 0.5
2 1 2
【解析】（1） 2 0.1-2 2 10
-
3 3π0 37 25
2
102 27
3 37
÷ + + ÷ - + = ÷ + +
÷ - 3+
è 9 è 27 48 è 9 è 64 48
5
= +100 9 37+ - 3 + = 3 + 97 =100 .
3 16 48
2 1 lg3 lg 4
（2） log2 3 × log
log2 3
3 4 + lg5 + lg5 × lg 20 + lg16 - 2 = × + lg5 × lg5 + lg 20 + 2lg 2 - 32 lg 2 lg3
= 2 + lg5 × lg100 + 2lg 2 - 3 = 2 + 2 lg5 + lg 2 - 3 = 2 + 2 - 3 =1.
16 2．已知集合 A = x∣x + x - 6 < 0 , B = {x∣1- m < x < 2m + 3} .
(1)若 AI B = A，求实数m 的取值范围；
(2)若“ x A ”是“ x B ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.
【答案】(1) 4, + ；
m 1(2) - , -
ù
è 2ú
.
【分析】（1）依题先求出 A 集合，再判断 A、B 集合的包含关系，即可得
（2）先判断出 B 是 A 的真子集，再考虑 B 是否为空集两种情况考虑
【解析】（1）由题意知 A = {x∣- 3 < x < 2}，
因为 AI B = A，所以 A B ，
ì1- m -3
则 í m 42m 3 2，解得 ，则实数
m 的取值范围是 4,+ ；
+
（2）因为“ x A ”是“ x B ”的必要不充分条件，所以 B 是 A 的真子集，
2
当B = 时，1- m 2m + 3解得m - ；
3
ì 1- m -3
当B 时， í 2m + 3 2
2 1
（等号不能同时取得），解得- < m - ，
3 2
1- m < 2m + 3
1 ù
综上，m - , - .
è 2ú
4x17．已知函数 f x = + a ，且 f lg 2 + f lg5 = 3x .4 + 2
(1)求 a 的值；
(2) x当 x -1,1 时， f x 4 + m 恒成立，求 m 的取值范围.
【答案】(1)1
(2) - ,
7
- ù
è 3ú
【分析】（1）根据 f x + f 1- x =1+ 2a ，即可由对数运算代入求解.
（2）根据一元二次不等式与二次函数的性质即可求解.
x
【解析】（1）因为 f x 4= x + a ，4 + 2
x 1-x x
所以 f x + f 1- x 4 a 4 4 4=
4x
+ +
+ 2 41-x
+ a = x + x + 2a =1+ 2a ,+ 2 4 + 2 4 + 2 4
因为 lg 2 + lg5 =1，所以 f lg 2 + f lg5 =1+ 2a = 3，
则 a =1 .
2
（2）由（1 x）可知， f x 4 + m 等价于 4x + m × 4x + 2m - 2 0 .
1
令 t = 4x，则 t
é , 4ùê ú， 4
é1 ù
原不等式等价于 t 2 + mt + 2m - 2 0在 ê , 4ú 上恒成立， 4
ì 1 1
+ m + 2m - 2 0 7
则 í16 4 ，解得m - ，
16 + 4m + 2m - 2 0
3
7 ù
故 m 的取值范围为 - , -
è 3ú
.
18．随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，
医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.宁波医疗公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术
生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为 300 万元，最大产能为 80 台.每生产 x 台，需另投入成本G x
ì 2x2 + 80x,0 < x 40
万元，且G x = í 3600 ，由市场调研知，该产品的售价为 200 万元，且全年内生产
201x + - 2100,40 < x 80 x
的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润W x 万元关于年产量 x 台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
ì-2x2 +120x - 300,0 < x 40
【答案】(1)W x = í 3600 ；
-x - +1800,40 < x 80 x
(2)年产量为 60 台时，公司所获利润最大，最大利润为 1680 万元.
【分析】（1）根据G X 的解析式，结合已知条件，根据利润的计算公式，直接求解即可；
（2）根据（1）中所求的函数解析式，结合函数单调性和基本不等式，即可直接求得结果.
【解析】（1）由该产品的年固定成本为 300 万元，投入成本G x 万元，
ì 2x2 + 80x,0 < x 40
且G x = í ，
201x
3600
+ - 2100,40 < x 80
x
当0 < x 40时，W x = 200x - 300 - G x = -2x2 +120x - 300，
当 40 < x 80
3600
时，W x = 200x - 300 - G x = -x - +1800
x
ì-2x2 +120x - 300,0 < x 40
所以利润W x 万元关于年产量 x 台的函数解析式W x = í
x 3600
.
- - +1800,40 < x 80 x
（2）当0 < x 40时， x = 30最大，最大值为 1500；
40 3600 3600当 < x 80 W x = - 时， x +
÷ +1800 1800 - 2 x =1680，
è x x
3600
当且仅当 x = 时，即 x = 60时等号成立，
x
综上可得，年产量为 60 台时，公司所获利润最大，最大利润为 1680 万元.
19．已知函数 f (x) 和 g(x)的定义域分别为D1和D2 ，若对任意的 x0 D1都存在 n个不同的实数
x1, x +2 , x3 ,Lxn D2 ，使得 g(xi ) = f (x0 )（其中 i =1,2,3,Ln,n N ），则称 g(x)为 f (x) 的“ n重覆盖函数”．
(1)试判断 g(x) = x (-2 x 2)是否为 f x =1+ sin x x R 的“2 重覆盖函数”？请说明理由；
x
(2)求证： g(x) = cos x(0 < x < 4π) 2 -1是 f x = x x R 的“4 重覆盖函数”；2 +1
ìax2 + (2a - 3)x +1, x 1 x
(3)若 g(x) f (x) log
2 -1
= í 为 = 1 x 的“2 重覆盖函数”，求实数 a 的取值范围．
log2 x, x >1 2 2 +1
【答案】(1) g(x)不是 f (x) 的“2 重覆盖函数”理由见解析；
(2)证明见解析；
(3) éê0
2 ù
，
3 ú
.
【分析】（1）：根据两个函数的值域，结合偶函数的性质进行判断即；
（2）：可根据两个函数的值域，结合余弦函数的周期性进行判断即可；
（3）：将题转化为对任意0 < k <1， g(x) = k 有 2 个实根，根据 g(x)的性质即可求解．
【解析】（1）由-1 sin x 1可知：0 f (x) 2，函数 g(x) = x (-2 x 2)的图像如图所示：
x 3π当 = 时， f (
3π) =1+ sin 3π = 0 ，
2 2 2
当 g(x) = x = 0时，解得 x = 0，
所以 g(x)不是 f (x) 的“2 重覆盖函数”；
（2）证明：因为 2x > 0，
2x 1 1 1 2所以 + > x <1 x < 2 ，2 +1 2 +1
2x -1 2
又因为 f (x) = x =1- x >1- 2 = -1，2 +1 2 +1
又因为 2x -1< 2x +1，
f (x) 2
x -1
所以 = x <1，2 +1
x
所以-1< f (x) 2 -1= x <1，2 +1
又因为 g(x) = cos x(0 < x < 4π)，
所以 g(x) -1,1 ，
又因 f (x) 1
2
= - ，可得 f (x)x 为奇函数且单调递增，2 +1
作出两函数的 0,4π 内的大致图像，如图所示：
g(4π) = cos 4π =1，
x
而函数 f (x) 在 0,4π 上单调递增，且-1 < f (x) 2 -1= <1，所以 f (4π) <1
2x
，
+1
由此可知 f (x) = g(x)在 0,4π 内有 4 个解．
所以 g(x)是 f (x) 在 0,4π 的“4 重覆盖函数”；
x
（3）可得 f (x) = log
2 -1
1 x = log 1 (1
2
- x ) 的定义域为 0, + ，
2 2 +1 2 2 +1
即对任意 x0 R ，存在 2 个不同的实数 x1, x2 -2, + ，使得 g(xi ) = f (x0 )（其中 i =1,2,3,Ln,n N+ ），
∵ 2x >1，∴ 2x +1 > 2
1 1 2
x < 0 < <1，2 +1 2 2x +1
2
所以0 <1- x <1，2 +1
x
所以 f (x) = log
2 -1
1 x 0,+ ，
2 2 +1
2
即 g(xi ) = f (x0 ) = log 1 (1- x ) 0,+ 2 +1 ，02
即对任意 k > 0， g(x) = k 有 2 个实根，
当 x >1时， g(x) = log2 x = k 已有一个根，故只需 x 1时， g(x) = k 仅有 1 个根，
当 a = 0时， g(x) = -3x +1，符合题意，
当 a > 0时，则需满足 g(1) = 2 + 2a - 3+1 0，解得0 < a
2
，
3
当 a < 0时，抛物线开口向下， g(x)有最大值，不能满足对任意 k > 0， g(x) = k 仅有 1 个根，故不成立．
é0 2 ù综上，实数 a 的取值范围是 ê ， ． 3 ú
【点睛】在处理两函数图像交点问题时，可通过分离变量交点问题转化为 y = k 与 y = f (x) 两个函数的图像
交点情况.
