浙教版九年级上册数学同步练习卷
1.3 二次函数的性质
一、单选题
1．如图，平面直角坐标系xOy中，点A．B，C．D都在边长为1的小正方形网格的格点上，过点M（1，﹣2）的抛物线y＝mx2+2mx+n（m＞0）可能还经过（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】D
【详解】解: ∵抛物线过点M(1，－2)，
∴m+2m+n=-2，
即3m+n=-2．
若抛物线过点A (2，-3)，则4m+4m+n=-3．则，解得m=-0.2与m>0矛盾． 故选项A不符合题意；
若抛物线过点B (-1, 0)，则m-2m+n=0．则，解得m=-0.5与m>0矛盾，故选项B不符合题意；
若抛物线过点C(-2,-1)，则4m-4m+n=-1．则，解得与m>0矛盾，故选项C不符合题意；
若抛物线过点D(-4, 1),则16m-8m+n=1．则，解得．故选项D符合题意．
2．已知P，Q两点关于y轴对称，点P在反比例函数的图象上，点Q在直线上．若点P的坐标为（m，n），则下列关于二次函数的说法正确的是（ ）
A．有最大值，且最大值是 B．有最小值，且最小值是
C．有最大值，且最大值是 D．有最小值，且最小值是
【答案】B
【详解】解：∵P，Q两点关于y轴对称，P（m，n），
∴Q（-m，n），
∵点P在反比例函数的图象上，
∴mn=1，
∵点Q在直线上，
∴n=-m+5，即：m+n=5，
∴二次函数，
∵a=5＞0，
∴二次函数有最小值，且最小值是，
3．关于二次函数的图象，下列结论正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．顶点纵坐标是－3 D．当时，函数值随值的增大而增大
【答案】C
【详解】解：A、∵，
∴a=2>0，
∴图象的开口向上，故本选项错误不符合题意；
B、∵，
∴图象的对称轴是直线x=1，故本选项错误不符合题意；
C、∵，
∴图象的顶点纵坐标是－3，故本选项正确符合题意；
D、∵，
∴a=2>0，
∴图象的开口向上，图象的对称轴是直线x=1，
∴当时，函数值随值的增大而增大，故本选项错误不符合题意；
4．当函数的值随的增大而增大时，的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：函数，，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，y值随的增大而增大,
5．抛物线与y轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令，则
因此抛物线与y轴的交点坐标为，
6．将二次函数的图像先向左平移2个单位，再向上平移7个单位．所得新抛物线的表达式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：将二次函数的图像先向左平移2个单位，再向上平移7个单位，
所得新抛物线的表达式为．
7．将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位，再向下平移3个单位长度所得对应点的坐标为（-2，-3），
所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2-3．
8．已知关于x的方程的两个根分别是，，若，，是二次函数图象上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：方程的两个根分别是，，
，
二次函数的对称轴为直线．
∴为顶点，
∵，
抛物线开口向下，
∵，，，
，
9．要得到地物线y＝2（x﹣5）2＋2，可以将抛物线y＝2x2（ ）
A．向左平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度
C．向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度
D．向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度
【答案】C
【详解】解：∵y＝2（x﹣5）2＋2的顶点坐标为（5，2），y＝2x2的顶点坐标为（0，0），
∴将抛物线y＝2x2向右平移5个单位，再向上平移2个单位，可得到抛物线y＝2（x﹣5）2＋2．
10．二次函数的图像如图所示，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：抛物线的开口向上，
，①
二次函数与轴交于负半轴，
，②
抛物线与轴有两个交点，则，
，③，
联立①②③解之得：．
的取值范围是．
11．将抛物线向左平移4个单位，向上平移1个单位所得新抛物线的表达式为（ ）
A．y＝-2（x-4）2-4 B．y＝-2（x+4）2-2 C．y＝-2x2+4 D．y＝-2x2-4
【答案】B
【详解】解：抛物线向左平移4个单位，向上平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是．
12．抛物线的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由二次函数的对称轴公式得：
二、填空题
13．已知二次函数，当时，该函数取最大值12．设该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为x1，若，则a的取值范围是 ．
【答案】/
【详解】解：∵当时，该函数取最大值12，
∴，
∴该函数对称轴为，函数开口向下；
∵，
∴当时，函数值大于0，
即，解得：，
∴a的取值范围：．
14．已知，抛物线与直线交于点和点，则关于的一元二次方程的解是 ．
【答案】，
【详解】将代入得：，
∴直线解析式为：，
将代入得：，
即：点A的坐标为（-2，1），
对于原方程变形为：，
即为求抛物线与直线的交点横坐标，
由前序步骤得，，
15．若抛物线y＝x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，对称轴为直线x＝1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，平移后抛物线的顶点坐标为 ．
【答案】（-1，-4）
【详解】解：∵抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，对称轴为直线x=1，
∴抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点坐标为（0，0），（2，0），
∴抛物线解析式为y=x（x-2），即y=x2-2x；
∵y=x2-2x=（x-1）2-1，
∴抛物线y=x2+ax+b的顶点坐标为（1，-1），
∵点（1，-1）向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到对应点的坐标为（-1，-4），
∴平移后抛物线的顶点坐标为 （-1，-4）．
16．已知抛物线的解析式为，则这条抛物线的顶点坐标是 ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴这条抛物线的顶点坐标是，
17．对于抛物线，当时，关于x的一元二次方程有解，则t的取值范围是 ．
【答案】﹣1≤t＜8
【详解】解：当时，关于x的一元二次方程有解，
∴
即在图象上和在相交，
∵
当x=2时， 有最小值﹣1
当x＝﹣1是， 有最大值8
即当是，﹣1≤y1＜8
∴﹣1≤t＜8
18．已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为 ．
【答案】2021
【详解】解：将代入函数表达式，得，
∴，
∴．
19．二次函数的最小值是 ．
【答案】0
【详解】解：∵，
∴当时，函数取得最小值为；
20．把抛物线向右平移2个单位，再向上平移4个单位，平移后的抛物线表达式为 ．
【答案】
【详解】解：抛物线，向右平移2个单位，再向上平移4个单位，
平移后抛物线的表达式为．
三、解答题
21．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示：
(1)求这个二次函数的表达式，并写成一般式：
(2)当时，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵当时，，
∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，
设解析式为，代入
∴，
解得：，
∴；
（2）∵，抛物线开口向上，顶点坐标为，
则当时，最小值为，
∵，
∴当时取得最大值，最大值为
∴当时，的取值范围为．
22．已知抛物线
对称轴为______，顶点坐标为______；
在坐标系中利用五点法画出此抛物线．
x ______ ______ ______ ______ ______
y ______ ______ ______ ______ ______
若抛物线与x轴交点为A、B，点在抛物线上，求的面积．
【答案】（1） ， ；（2）详见解析；（3）10.
【详解】解：函数的对称轴为：，顶点坐标为，
取顶点和对称轴两侧各2个点，如表格：
x ___-1___ 0 1 2 3
y 0 ___-3___ ___-4___ ___-3___ 0
作图如下：
，
当时，
．
23．二次函数与（a，b是实数，）．
(1)当时，完成以下表格：
函数表达式
对称轴 直线 直线______
顶点坐标 （，____）
与坐标轴交点 ，（_____，0）
再取几对不同的a，b值，继续探究这两个二次函数图象的对称轴、顶点坐标和与坐标轴的交点，观察发现，它们图象的_______（填序号）相同．
①形状 ②对称轴 ③顶点坐标 ④与坐标轴的交点
(2)若函数的图象经过（．点是图象上的一点．可以利用这两个函数图象之间的关系，快速求出t的值，请你也求一求．
(3)若函数的图象向上平移6个单位，与x轴仅有一个交点．点均在的图象上，求a的值．
【答案】(1)，，；②④；(2)；(3)的值为6．
【详解】（1）解：，
顶点坐标为，
令，则，
解得，，
与轴的交点为，；
，
对称轴直线为，
故答案为：，，；②④；
（2）解：抛物线可表示为，
把代入得，
解得，
抛物线的解析式为，
当时，；
（3）解：函数的图象向上平移6个单位后抛物线解析式为，
平移后的抛物线与轴仅有一个交点，
△，
点，均在的图象，
抛物线的对称轴为直线，
即，
解得，
，
解得（舍去），，
即的值为6．
24．已知抛物线的解析式为．求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点．
【答案】
【详解】证明：∵
，
∴此抛物线与x轴必有两个不同的交点．
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浙教版九年级上册数学同步练习卷
1.3 二次函数的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，平面直角坐标系xOy中，点A．B，C．D都在边长为1的小正方形网格的格点上，过点M（1，﹣2）的抛物线y＝mx2+2mx+n（m＞0）可能还经过（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
2．已知P，Q两点关于y轴对称，点P在反比例函数的图象上，点Q在直线上．若点P的坐标为（m，n），则下列关于二次函数的说法正确的是（ ）
A．有最大值，且最大值是 B．有最小值，且最小值是
C．有最大值，且最大值是 D．有最小值，且最小值是
3．关于二次函数的图象，下列结论正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．顶点纵坐标是－3 D．当时，函数值随值的增大而增大
4．当函数的值随的增大而增大时，的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
5．抛物线与y轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．将二次函数的图像先向左平移2个单位，再向上平移7个单位．所得新抛物线的表达式（ ）
A． B．
C． D．
7．将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知关于x的方程的两个根分别是，，若，，是二次函数图象上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
9．要得到地物线y＝2（x﹣5）2＋2，可以将抛物线y＝2x2（ ）
A．向左平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度
C．向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度
D．向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度
10．二次函数的图像如图所示，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
11．将抛物线向左平移4个单位，向上平移1个单位所得新抛物线的表达式为（ ）
A．y＝-2（x-4）2-4 B．y＝-2（x+4）2-2 C．y＝-2x2+4 D．y＝-2x2-4
12．抛物线的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知二次函数，当时，该函数取最大值12．设该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为x1，若，则a的取值范围是 ．
14．已知，抛物线与直线交于点和点，则关于的一元二次方程的解是 ．
15．若抛物线y＝x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，对称轴为直线x＝1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，平移后抛物线的顶点坐标为 ．
16．已知抛物线的解析式为，则这条抛物线的顶点坐标是 ．
17．对于抛物线，当时，关于x的一元二次方程有解，则t的取值范围是 ．
18．已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为 ．
19．二次函数的最小值是 ．
20．把抛物线向右平移2个单位，再向上平移4个单位，平移后的抛物线表达式为 ．
三、解答题
21．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示：
(1)求这个二次函数的表达式，并写成一般式：
(2)当时，求的取值范围．
22．已知抛物线
对称轴为______，顶点坐标为______；
在坐标系中利用五点法画出此抛物线．
x ______ ______ ______ ______ ______
y ______ ______ ______ ______ ______
若抛物线与x轴交点为A、B，点在抛物线上，求的面积．
23．二次函数与（a，b是实数，）．
(1)当时，完成以下表格：
函数表达式
对称轴 直线 直线______
顶点坐标 （，____）
与坐标轴交点 ，（_____，0）
再取几对不同的a，b值，继续探究这两个二次函数图象的对称轴、顶点坐标和与坐标轴的交点，观察发现，它们图象的_______（填序号）相同．
①形状 ②对称轴 ③顶点坐标 ④与坐标轴的交点
(2)若函数的图象经过（．点是图象上的一点．可以利用这两个函数图象之间的关系，快速求出t的值，请你也求一求．
(3)若函数的图象向上平移6个单位，与x轴仅有一个交点．点均在的图象上，求a的值．
24．已知抛物线的解析式为．求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点．
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