4.5 相似三角形性质及应用知识点分类训练
班级： 姓名：
考点一： 利用三角形相似性质求解
例1．若两个相似三角形的面积比是，则这两个三角形对应边上的高之比是（ ）
A． B． C． D．
变式1-1．如图，在中，，，，且．若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
变式1-2．如图，在平面直角坐标系中，，其中点A的坐标为，点C的坐标为，则与的面积比是（ ）
A． B． C． D．
考点二：利用三角形相似求坐标
例2．如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（ ）
① ② ③ ④
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
变式2-1．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数的图象上，点C在函数的图象上，若点B的横坐标为，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式2-2．已知直角坐标系中四点A(－2，4)、B(－2，0)、C(2，－3)、D(2，0)．若点P在x轴上，且PA、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，则所有符合上述条件的点P的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
考点三：相似三角形动点问题
例3．如图，在中，，，点P从点B出发以1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为（ ）
A． B． C．或 D．以上均不对
变式3-1．如图，在中，，，．如果点由点出发沿方向向点A匀速运动，同时点由点A出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动时间为，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形为菱形时，的值为（ ）
A． B． C． D．
变式3-2．如图，半径为5，弦，Q是弦上的一个动点，过点Q作弦，在点Q运动过程中，始终保持A点是的中点，则长度的最大值为（ ）
A．8 B．9.5 C．10 D．12
考点四：相似三角形性质综合
例4．如图，在中，，，点在边上，且，在上找一点．便得与原三角形相似，则的长是（ ）
A．2.4 B． C．2.4或 D．2.4或
变式4-1．西周数学家商高总结了用“矩”（如图）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图的位置，从矩的一端（人眼）望点，使视线通过点，记人站立的位置为点，量出长，即可算得物高．令，若，则关于的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
变式4-2．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作于点F，交于点E．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
考点五：相似三角形的应用
例5．如图，课后服务课上，刘老师让王刚同学站在点处去观测外的位于点处的一棵大树（），所用工具为一个平面镜和必要的长度测量工具（、、在一直线上）．已知王刚身高（），大树高，将平面镜放置在离王刚（ ）处才能观测到大树的顶端．
A． B． C． D．
变式5-1．如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔O的距离为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
变式5-2．图1是《九章算术》中记载的“测井深”示意图，译文指出：“如图2，今有井直径为5尺，不知其深．立5尺长的木于井上，从木的末梢点观察井水水岸处，测得“入径”为4寸，问井深是多少？（其中1尺寸）”根据译文信息，则井深为（ ）
A．500寸 B．525寸 C．550寸 D．575寸
参考答案
考点一： 利用三角形相似性质求解
例1．若两个相似三角形的面积比是，则这两个三角形对应边上的高之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是
∴这两个相似三角形的相似比是
∴这两个相似三角形对应边上的高之比是．
故选：D．
变式1-1．如图，在中，，，，且．若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由勾股定理得，
，，
，，
，
，
，
解得，
故选：D．
变式1-2．如图，在平面直角坐标系中，，其中点A的坐标为，点C的坐标为，则与的面积比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴相似比为：，
∴与的面积比是，
故选：A
考点二：利用三角形相似求坐标
例2．如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（ ）
① ② ③ ④
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【详解】解：在中，，，则是等腰直角三角形，
，
①、当点的坐标为时，，，则，故符合题意；
②、当点的坐标为时，，，则，故符合题意；
③、当点的坐标为时，，，则，故符合题意；
④、当点的坐标为时，，，则，故符合题意；
故选：D．
变式2-1．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数的图象上，点C在函数的图象上，若点B的横坐标为，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：过C点作CE⊥x轴，过A点作AF⊥x轴，
∵点A在函数的图象上，点C在函数的图象上，
∴，，
∵CE⊥x轴，
∴，，
∵在矩形OABC中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设点A坐标为，则点C坐标为，
连接AC、BO交于点P，则P为AC、BO的中点，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴点A坐标为，
故选A．
变式2-2．已知直角坐标系中四点A(－2，4)、B(－2，0)、C(2，－3)、D(2，0)．若点P在x轴上，且PA、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，则所有符合上述条件的点P的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【详解】解：如图，P有四种情况，
①∵，
∴，
设，
，
，（舍去），
；
②∵，
∴，
设，
，
，
；
③∵，
∴，
设，
，
，（舍去），
；
④∵，
∴，
设，
，
，
．
故选：B．
考点三：相似三角形动点问题
例3．如图，在中，，，点P从点B出发以1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为（ ）
A． B． C．或 D．以上均不对
【答案】C
【详解】解：设运动时间为，
由题意得：，，
，
，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为，
，
，
，
①当时，
则，即，
解得，符合题意；
②当时，
则，即，
解得，符合题意；
③当时，
则，即，
解得，符合题意；
④当时，
则，即，
解得，符合题意；
综上，运动时间为或，
故选：C．
变式3-1．如图，在中，，，．如果点由点出发沿方向向点A匀速运动，同时点由点A出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动时间为，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形为菱形时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图2，连接，交相交于点，当四边形为菱形时，垂直平分，即，，
，，，
，
点由点出发沿方向向点匀速运动，点由点出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为
∴，
，，
，
∴，
，
，
，
，
又 ，
，
解得，
，
当四边形是菱形时，的值为；
故选A．
变式3-2．如图，半径为5，弦，Q是弦上的一个动点，过点Q作弦，在点Q运动过程中，始终保持A点是的中点，则长度的最大值为（ ）
A．8 B．9.5 C．10 D．12
【答案】C
【详解】解：连接，
∵A点是的中点，
∴，
∴
又∵为公共角，
∴∽，
∴，
设，有，，
当时取最大值；
故选：C．
考点四：相似三角形性质综合
例4．如图，在中，，，点在边上，且，在上找一点．便得与原三角形相似，则的长是（ ）
A．2.4 B． C．2.4或 D．2.4或
【答案】C
【详解】解：由题意知，分，两种情况求解；
当时，，即，
解得，；
当时，，即，
解得，；
综上所述，的长是或，
故选：C．
变式4-1．西周数学家商高总结了用“矩”（如图）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图的位置，从矩的一端（人眼）望点，使视线通过点，记人站立的位置为点，量出长，即可算得物高．令，若，则关于的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：由图2可得，，
，
，
，
，
，
即，
，
化简，得，
故选：B．
变式4-2．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作于点F，交于点E．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴．
故选：B．
考点五：相似三角形的应用
例5．如图，课后服务课上，刘老师让王刚同学站在点处去观测外的位于点处的一棵大树（），所用工具为一个平面镜和必要的长度测量工具（、、在一直线上）．已知王刚身高（），大树高，将平面镜放置在离王刚（ ）处才能观测到大树的顶端．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意得：，，，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
经检验，是原方程的解且符合题意，
∴将平面镜放置在离王刚处才能观测到大树的顶端．
故选：B．
变式5-1．如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔O的距离为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】C
【详解】解：设像到小孔O的距离为
由题意得,
∴，,
∴
∴，
解得,
故选C．
变式5-2．图1是《九章算术》中记载的“测井深”示意图，译文指出：“如图2，今有井直径为5尺，不知其深．立5尺长的木于井上，从木的末梢点观察井水水岸处，测得“入径”为4寸，问井深是多少？（其中1尺寸）”根据译文信息，则井深为（ ）
A．500寸 B．525寸 C．550寸 D．575寸
【答案】D
【详解】解：由题意得：寸，寸，寸，，
∴寸，
∵，
∴，
∴，即，
∴寸，
故选：D．
