第四章综合测试卷 相似三角形
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一、选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分)
1.己知 则 的值为( )
A B C D
2.如图,已知△ABC∽△DEF,AB:DE=1:2,则下列等式一定成立的是( )
C. = D. =
3.如图,在直角坐标系中,△OAB的顶点为O(0,0),A(4,3),B(3,0).以点O为位似中心,在第三象限内作与△OAB 的位似比 的位似图形△OCD,则点C坐标为( )
A. (-1,-1) D. (-2,-1)
4. 如图，四边形ABCD是正方形，E是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件中，不能推出 △ABP 与△ECP相似的是( )
A.∠APB=∠EPC B. ∠APE=90° C. 点 P是BC的中点 D. BP: BC=2:3
5.如图,在△ABC中,点D在BC边上,连结AD,点E在AC边上,过点E作EF∥BC,交 AD于点F,过点E作EG∥AB,交BC于点G,则下列式子一定正确的是( )
6. 如图，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD 的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE=BC=0.5m，A，B，C 三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点 G处，测得CG=15m，然后沿直线CG后退到点E 处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得 EG=3m，小明身高EF=1.6m,则凉亭的高度AB约为( )
A. 8.5m B. 9m C. 9.5m D. 10m
7. 在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，“马”落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似( )
A. ①处 B. ②处 C. ③处 D. ④处
8. 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,按如下步骤作图:
第一步，分别以点A，D为圆心，以大 AD的长为半径在AD 两侧作弧，交于两点M，N
第二步,连结MN分别交AB,AC于点E,F;
第三步,连结DE,DF.
若BD=6,AF=4,CD=3,则BE的长是( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
9. 如图,在△ABC中,点 D 为BC 边上的一点,且AD=AB=2,AD⊥AB,过点 D作DE⊥AD,DE交AC于点E,若DE=1,则△ABC的面积为( )
A. B. 4 D. 8
10. 在四边形 ABCD中,∠B=90°,AC=4,AB∥CD,DH垂直平分 AC,点 H 为垂足.设AB=x，AD=y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为( )
二、填空题(本大题有6小题，每小题4分，共24分)
11. 如图所示，点 E 是平行四边形ABCD 的边BC 延长线上一点，连结AE，交 CD 于点F，连结BF.写出图中任意一对相似三角形： .
12. 已知 且a+b-2c=6,则a的值为 .
13. 如图,在平行四边形ABCD中,AB=10,AD=6,点E是AD 的中点,在AB上取一点F,使△CBF∽△CDE,则 BF的长是 .
14. 如图，在一块斜边长为30cm的直角三角形木板(Rt△ACB)上截取一个正方形CDEF，点D在边BC 上，点E在斜边AB上，点F 在边AC上，若AF：AC=1：3，则这块木板截取正方形 CDEF 后，剩余部分的面积为 .
15.如图①，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图②是此时的示意图，则图②中水面高度为
16. 如图所示，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2).如果点C在x 轴上，且点 C与点O及点A 不重合，当点 C的坐标为 时，使得由点B，O，C构成的三角形与△AOB 相似(至少找出两个符合条件的点).
三、解答题(本大题有8小题，共66分)
17.(6分)如图,在 中， 求证：
18. (6分)如图，一块材料的形状是锐角三角形 ABC，边 高AD=80mm,把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少
19.(6分)如图,点 P 是⊙O的直径AB 延长线上一点,且AB=4,点 M为A 上一个动点(不与A，B重合)，射线 PM与⊙O交于点 N(不与M重合).
(1)当M在什么位置时，△MAB的面积最大 并求出这个最大值；
(2)求证:△PAN∽△PMB.
20. (8 分)如图,在 中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分线,BD交AC于点E,求AE 的长.
21. (8分)如图,在 中,点 D,E分别在边AB,AC上,且 BE,CD交于点G,连结DE.
(1)求证:
(2)如果BE平分 求证:DE=CE.
22.(10分)如图,在 中,点D,E,F分别在AB,BC,AC边上,
(1)求证:
(2)设
①若. ，求线段BE的长；
②若△EFC的面积是20,求△ABC的面积.
23.(10分)在矩形ABCD中,AE⊥BD于点E,点 P 是边AD 上一点.
(1)若BP 平分∠ABD,交 AE于点G,PF⊥BD于点F,如图①,证明四边形 AGFP 是菱形;
(2)如图②,若PE⊥EC,求证:AE·AB=DE·AP;
(3)在(2)的条件下,若AB=1,BC=2,求AP的长.
24.(12分)如图,已知 是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB,BC匀速运动,其中点 P 运动的速度是 1cm/s,点 Q运动的速度是2cm/s,当点 Q到达点C时，P，Q两点都停止运动.设运动时间为t(s)，解答下列问题：
(1) 当 时，判断 的形状，并说明理由；
(2)设 的面积为 求S与t 的函数表达式；
(3)如图,作 交AC于点R,连结PR,当t为何值时,△APR∽△PRQ
第四章综合测试卷 相似三角形
1. C 2. D 3. B 4. C 5. C 6. A 7. B 8. D9. B 10. D 11. △ADF∽△ECF(答案不唯一)12. 12 13. 1.8 14. 100cm 15.
16. (-1,0)或(1,0)或(-4,0)(答案不唯一)
17. 证明:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∵EF∥AB,∴△EFC∽△ABC,∴△ADE∽△EFC.
18. 解：设这个正方形零件的边长为 xmm，则△AEF的边EF上的高AK=(80-x) mm.∵四边形EF-HG 是正方形,∴EF∥GH,即 EF∥BC.∴△AEF 即 ∴这个正方形零件的边长是48mm.
19. (1)解:当点 M在 的中点处时，△MAB的面积最大，此时( (2)证明:∵∠PMB=∠PAN,∠P=∠P,∴△PAN∽△PMB.
20. 解: ∵BD 为∠ABC 的平分线,∴∠ABD =∠CBD,∵AB∥CD,∴∠D=∠ABD,∴∠D=∠CBD,∴BC=CD.∵BC=4,∴CD=4.∵AB∥ ∴AE=2CE,∵AC=6=AE+CE,∴AE=4.
21. 证明:(1)∵∠ABE=∠ACD,且∠A 是公共角, 即 又∵∠A 是公共角,∴△AED∽△ABC. (2)∵∠ABE=∠ACD,∠BGD=∠CGE,∴△BGD∽ 即 又∵∠DGE=∠BGC,∴△DGE∽△BGC.∴∠GBC=∠GDE,∵BE平分∠ABC,∴∠GBC=∠ABE,∵∠ABE=∠ACD,∴∠GDE=∠ACD.∴DE=CE.
22. (1)证明:∵DE∥AC,∴∠BED=∠C.∵EF∥AB,∴∠B=∠FEC,∴△BDE∽△EFC.
(2)解:①
②∵EF∥AB,∴△EFC∽△BAC,∴S△BC= 又∵△EFC的面积是20, 即△ABC的面积是45.
23. (1)证明:∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠BAD=90°,∵AE⊥BD,∴∠AED=90°,∴∠BAE+∠EAD=90°,∠EAD+∠ADE=90°,∴∠BAE=∠ADE,∵BP平分∠ABD,∴∠ABG=∠PBD.∵∠AGP=∠BAG+∠ABG,∠APB=∠ADE+∠PBD,∠ABG=∠PBD,∴∠AGP=∠APG,∴AP=AG,∵PA⊥AB,PF⊥BD,BP平分∠ABD,∴PA=PF,∴PF=AG,∵AE⊥BD,PF⊥BD,∴PF∥AG,∴四边形AGFP是平行四边形,∵PA=PF,∴四边形AGFP 是菱形.
(2)证明:∵AE⊥BD,PE⊥EC,∴∠AED=∠PEC=90°,∴∠AEP=∠DEC,∵∠EAD+∠ADE=90°,∠ADE+∠CDE=90°,∴∠EAP=∠EDC,∴△AEP∽△DEC,∴DE·AP.
(3)解:∵四边形 ABCD是矩形,∴AD=BC=2,∠BAD=90°,∴BD=√AB +AD
24. 解:(1)△BPQ是等边三角形.当t=2时,AP=21 =2( cm),BQ=2×2=4( cm),∴BP=AB-AP=6-2=4( cm),∴BQ=BP,又∵∠B = 60°,∴△BPQ是等边三角形.
(2)如图,过点 Q作QE⊥AB,垂足为 E,由 QB=2tcm,∠B=60°,∠BEQ=90°,得 由AP= tcm,得 BA,∴∠QRC=∠A=60°,∠RQC=∠B=60°,∴△QRC是等边三角形,∴QR=RC=QC=(6- QR,EP=QR,∴四边形 EPRQ是平行四边形,∴PR=EQ tcm.又∵∠PEQ=90°,∴∠APR∠PRQ=90°,∴△APR∽△PRQ,∴∠QPR=∠A 解得 ∴当 时,△APR∽△PRQ.
