安徽省皖北县中联盟(省重点高中)2023-2024高二下学期期中考试数学试题(含答案)

皖北县中联盟(省重点高中)2023-2024学年高二下学期期中考试
数学A卷
满分:150分 考试时间:120分钟
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写,字体工整、笔迹清晰。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知双曲线的方程为,则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
2.现有一批产品共9件,已知其中5件正品和4件次品,现从中选4件产品进行检测,则下列事件中互为对立事件的是( )
A.恰好两件正品与恰好四件正品
B.至少三件正品与全部正品
C.至少一件正品与全部次品
D.至少一件正品与至少一件次品
3.已知函数,则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知,,,则( )
A. B. C. D.
5.二项式的展开式中的系数为( )
A. B.40 C. D.60
6.已知抛物线的焦点为F,该抛物线C与直线:相交于M,N两点,则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知某曲剧社团有9名演员,其中会唱京剧的有5名演员,会唱豫剧的有6名演员,现有一地方请该曲剧社团做一台演出,需要3名京剧演员和3名豫剧演员,则不同的选择方法有( )
A.36种 B.52种 C.88种 D.92种
8.已知数列的前n项和为,满足,则( )
A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。
9.已知,展开式中的所有项的二项式系数和为64,下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
10.甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球,甲袋中装有5个红球和5个绿球;乙袋中装有4个红球和6个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放人乙袋中,再从乙袋中随机摸出一个小球,记表示事件“从甲袋摸出的是红球”,表示事件“从甲袋摸出的是绿球”,记表示事件“从乙袋摸出的是红球”,表示事件“从乙袋摸出的是绿球”.下列说法正确的是( )
A. ,是互斥事件 B. ,是独立事件
C. D.
11.二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制,二进制数据是用0和1两个数码来表示的数,它的基数为2,进位规则是“逢二进一”,借位规则是“借一当二”,由18世纪德国数理哲学大师莱布尼兹发现.当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统,数据在计算机中主要是以补码的形式存储的,我们用表示十进制数n在二进制下的各项数字之和,下列说法正确的是( )
A.十进制数25的二进制数为1101 B.
C. D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知函数在处的切线方程过点,则m的值为 .
13.已知椭圆:上有两点,,点P是椭圆C上异于M,N的点,则的面积的最大值为 .
14.已知函数为定义在R上的函数的导函数,若,,且,则 .
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
已知A,B,C三人同时参加对同一个问题竞答;游戏的规则为三人同答一道题,若其中至少一人答对此题,则视为闯过此关.已知此三人答对此题的概率分别为,,.
(1)求此三人闯过此关的概率;
(2)若此三人闯此关时,答对试题的人数为,求的分布列和数学期望.
16.(15分)
已知函数.
(1)若函数单调递减,求实数a的取值范围;
(2)若函数只有一个极值点,求实数a的取值范围.
17.(15分)
已知数列的前n项和为,满足,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列的前n项和为,证明:.
18.(17分)
已知点是椭圆:上的一点,A,B分别为椭圆C的左、右顶点,若的面积为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若点Q为椭圆C上的第一象限内一点,直线,与直线分别交于M,N点,若与的面积之比为t,求t的最小值.
19.(17分)
对于函数,,若存在,使得,则称为函数的一阶不动点;若存在,使得,则称为函数的二阶不动点;依此类推,可以定义函数的n阶不动点.其中一阶不动点简称“不动点”,二阶不动点简称为“稳定点”,函数的“不动点”和“稳定点”集合分别记为A和B,即,.
(1)若,,证明:集合A中有且仅有一个元素;
(2)若,,讨论集合B的子集的个数.
高二数学A卷参考答案
1.【答案】A
【解析】根据题意,,故选A.
2.【答案】C
【解析】根据题意可得:选项A为互斥事件,不是对立事件;选项B、D为可能同时发生;选项C为对立事件;故选C.
3.【答案】D
【解析】根据题意,,故选D.
4.【答案】C
【解析】根据题意,,
则,C正确;故选C.
5.【答案】B
【解析】根据题意,,故选B.
6.【答案】C
【解析】根据题意判断可得直线l过该抛物线的焦点F,所以,所以,
当且仅当时取“=”.故选C.
7.【答案】D
【解析】分析可得:有2名演员既会京剧也会豫剧,称为能手
(1)若既会唱京剧,也会唱豫剧的2人均没有选中,
此时只会唱京剧的3人全部选中,只会唱豫剧的4人选择3人,共种选择;
(2)若既会唱京剧,也会唱豫剧的2人选中1人,有种选择,
此人去进行唱京剧,则从只会唱京剧的3人选择2人,只会唱豫剧的4人选择3人,
有种选择,
此人去进行唱豫剧,则从只会唱京剧的3人全部选中,只会唱豫剧的4人选择2人,
有种选择,
此时共有种选择;
(3)若既会唱京剧,也会唱豫剧的2人均选中,
2人均进行唱京剧,则从只会唱京剧的3人选择1人,只会唱豫剧的4人选择3人,
有种选择,
2人均进行唱豫剧,则从只会唱京剧的3人选择3人,只会唱豫剧的4人选择1人,
有种选择,
2人有1人进行唱京剧,1人进行唱豫剧,有种选择,
再从只会唱京剧的3人选择2人,只会唱豫剧的4人选择2人,有种选择,
此时有种选择,
所以若既会唱京剧,也会唱豫剧的2人均选中,有种选择,
综上:共有种选择.
8.【答案】A
【解析】根据题意:
当n为奇数时,
当时,;..
∴.故选A.
9.【答案】BCD
【解析】,故A不正确;
当时,,故B正确;
,所以,故C正确;
,分析可得,
当时,,
,故D正确;故选BCD。
10.【答案】AD
【解析】依题意,因为每次只摸出一个球,,所以,是互斥事件,A正确;
,,
,,B错误;
,C错误;
,D正确,故选AD.
11.【答案】BCD
【解析】根据题意:,所以十进制数25的二进制数为11001,故A错误;
,所以十进制数100的二进制数为1100100,,故B正确;
设,,
所以,
,所以,故C正确;
,所以,故D正确;故选BCD.
12.【答案】2
【解析】根据题意,,
因为,,
所以该切线方程为.
13.【答案】
【解析】根据题意,点在椭圆上,所以,所以椭圆:,
当的面积最大,点P到直线的距离最大,
直线的方程为,
设直线:,当直线与椭圆:相切,
联立可得:,令,

所以直线l到直线的距离为,,
所以此时的面积为.
14.【答案】
【解析】函数的定义域为,因为,
所以函数关于点对称,
因为,两边求导:,
所以关于直线对称,
又,
所以函数关于对称,
,又,
所以,即,
所以,所以8为函数的一个周期,
所以,,,,
.
15.【解析】(1)三人中至少一人答对此题的概率为.
(2)此三人闯此关时没有人答对题目的概率;
此三人闯此关时只有1人答对题目的概率;
此三人闯此关时有2人答对题目的概率;
此三人闯此关时有3人答对题目的概率;
所以分布列为
0 1 2 3
.
16.【解析】(1)根据题意,,,
则,
解得,
当时,,成立,
所以a的取值范围为.
(2)依题意,,
则只有一个变号零点,
有一个变号交点,
令,
所以函数在和分别单调递减,
在上单调递增,
如右图象所示,可得:,
所以.
17.【解析】(1)根据题意,
法一:

当时,
,也满足.
法二:
可得,
所以数列是常数列,
.
(2),
所以,
设数列,
数列前n项和为,
分析可得,数列从第2项开始放缩成,
设数列
数列前n项和为,
所以(右边取“≤”亦给分).
18.【解析】(1)因为在椭圆:上,,
又的面积为,
解得,
代入,解得,
所以椭圆C的标准方程为.
(2)由,,三点共线,可得,
故,
同理,由,,三点共线,可得,
若与的面积分别为,,
则,
因为,
所以,
所以,
又,
故,
因为,
令,则,
所以,其中,
的开口向下,对称轴为,
故当时,故t的最小值为.
19.【解析】(1)依题意,,即,即,
令,,
则,,
解得,
当,,函数在上单调递增,
当,,函数在上单调递减,
所以函数在处取得最大值,
即函数在存在唯一的零点,
所以集合中有且仅有一个元素.
(2)当时,函数在上单调递增,
依题意可知的稳定点与的不动点等价,故只需研究的不动点即可;
令,,
则,,则在上单调递减,
①当时,恒成立,即在上单调递增,
当时,,又,
故存在唯一的,使得,即有唯一解,
所以此时有唯一不动点;
②时,,
当时,,此时,
存在唯一,使得,∴;
此时在上单调递增,在上单调递减,
故,
当时,,当时,∵,∴;
设,则在上单调递增,且,
又在时单调递增,
故(i)当时,即,此时,
方程有一个解,即有唯一不动点;
(ii)当,即,此时,
方程无解,即无不动点;
(iii)当时,即,此时,
方程有两个解,即有两个不动点;
综上,当时或时,有唯一稳定点,
即集合的子集的个数为2个;
当时,无稳定点,即集合的子集的个数为1个;
当,有两个稳定点,即集合的子集的个数为4个.

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