皖北县中联盟（省重点高中）2023-2024学年高二下学期期中考试
数学A卷
满分：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
2.现有一批产品共9件，已知其中5件正品和4件次品，现从中选4件产品进行检测，则下列事件中互为对立事件的是（ ）
A.恰好两件正品与恰好四件正品
B.至少三件正品与全部正品
C.至少一件正品与全部次品
D.至少一件正品与至少一件次品
3.已知函数，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4.已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
5.二项式的展开式中的系数为（ ）
A. B.40 C. D.60
6.已知抛物线的焦点为F，该抛物线C与直线：相交于M，N两点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7.已知某曲剧社团有9名演员，其中会唱京剧的有5名演员，会唱豫剧的有6名演员，现有一地方请该曲剧社团做一台演出，需要3名京剧演员和3名豫剧演员，则不同的选择方法有（ ）
A.36种 B.52种 C.88种 D.92种
8.已知数列的前n项和为，满足，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知，展开式中的所有项的二项式系数和为64，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有5个红球和5个绿球；乙袋中装有4个红球和6个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放人乙袋中，再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”.下列说法正确的是（ ）
A. ，是互斥事件 B. ，是独立事件
C. D.
11.二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制，二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，由18世纪德国数理哲学大师莱布尼兹发现.当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统，数据在计算机中主要是以补码的形式存储的，我们用表示十进制数n在二进制下的各项数字之和，下列说法正确的是（ ）
A.十进制数25的二进制数为1101 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数在处的切线方程过点，则m的值为 .
13.已知椭圆：上有两点，，点P是椭圆C上异于M，N的点，则的面积的最大值为 .
14.已知函数为定义在R上的函数的导函数，若，，且，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
已知A，B，C三人同时参加对同一个问题竞答；游戏的规则为三人同答一道题，若其中至少一人答对此题，则视为闯过此关.已知此三人答对此题的概率分别为，，.
（1）求此三人闯过此关的概率；
（2）若此三人闯此关时，答对试题的人数为，求的分布列和数学期望.
16.（15分）
已知函数.
（1）若函数单调递减，求实数a的取值范围；
（2）若函数只有一个极值点，求实数a的取值范围.
17.（15分）
已知数列的前n项和为，满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前n项和为，证明：.
18.（17分）
已知点是椭圆：上的一点，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，若的面积为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点Q为椭圆C上的第一象限内一点，直线，与直线分别交于M，N点，若与的面积之比为t，求t的最小值.
19.（17分）
对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点；依此类推，可以定义函数的n阶不动点.其中一阶不动点简称“不动点”，二阶不动点简称为“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”集合分别记为A和B，即，.
（1）若，，证明：集合A中有且仅有一个元素；
（2）若，，讨论集合B的子集的个数.
高二数学A卷参考答案
1.【答案】A
【解析】根据题意，，故选A.
2.【答案】C
【解析】根据题意可得：选项A为互斥事件，不是对立事件；选项B、D为可能同时发生；选项C为对立事件；故选C.
3.【答案】D
【解析】根据题意，，故选D.
4.【答案】C
【解析】根据题意，，
则，C正确；故选C.
5.【答案】B
【解析】根据题意，，故选B.
6.【答案】C
【解析】根据题意判断可得直线l过该抛物线的焦点F，所以，所以，
当且仅当时取“=”.故选C.
7.【答案】D
【解析】分析可得：有2名演员既会京剧也会豫剧，称为能手
（1）若既会唱京剧，也会唱豫剧的2人均没有选中，
此时只会唱京剧的3人全部选中，只会唱豫剧的4人选择3人，共种选择；
（2）若既会唱京剧，也会唱豫剧的2人选中1人，有种选择，
此人去进行唱京剧，则从只会唱京剧的3人选择2人，只会唱豫剧的4人选择3人，
有种选择，
此人去进行唱豫剧，则从只会唱京剧的3人全部选中，只会唱豫剧的4人选择2人，
有种选择，
此时共有种选择；
（3）若既会唱京剧，也会唱豫剧的2人均选中，
2人均进行唱京剧，则从只会唱京剧的3人选择1人，只会唱豫剧的4人选择3人，
有种选择，
2人均进行唱豫剧，则从只会唱京剧的3人选择3人，只会唱豫剧的4人选择1人，
有种选择，
2人有1人进行唱京剧，1人进行唱豫剧，有种选择，
再从只会唱京剧的3人选择2人，只会唱豫剧的4人选择2人，有种选择，
此时有种选择，
所以若既会唱京剧，也会唱豫剧的2人均选中，有种选择，
综上：共有种选择.
8.【答案】A
【解析】根据题意：
当n为奇数时，
当时，；..
∴.故选A.
9.【答案】BCD
【解析】，故A不正确；
当时，，故B正确；
，所以，故C正确；
，分析可得，
当时，，
，故D正确；故选BCD。
10.【答案】AD
【解析】依题意，因为每次只摸出一个球，，所以，是互斥事件，A正确；
，，
，，B错误；
，C错误；
，D正确，故选AD.
11.【答案】BCD
【解析】根据题意：，所以十进制数25的二进制数为11001，故A错误；
，所以十进制数100的二进制数为1100100，，故B正确；
设，，
所以，
，所以，故C正确；
，所以，故D正确；故选BCD.
12.【答案】2
【解析】根据题意，，
因为，，
所以该切线方程为.
13.【答案】
【解析】根据题意，点在椭圆上，所以，所以椭圆：，
当的面积最大，点P到直线的距离最大，
直线的方程为，
设直线：，当直线与椭圆：相切，
联立可得：，令，
，
所以直线l到直线的距离为，，
所以此时的面积为.
14.【答案】
【解析】函数的定义域为，因为，
所以函数关于点对称，
因为，两边求导：，
所以关于直线对称，
又，
所以函数关于对称，
，又，
所以，即，
所以，所以8为函数的一个周期，
所以，，，，
.
15.【解析】（1）三人中至少一人答对此题的概率为.
（2）此三人闯此关时没有人答对题目的概率；
此三人闯此关时只有1人答对题目的概率；
此三人闯此关时有2人答对题目的概率；
此三人闯此关时有3人答对题目的概率；
所以分布列为
0 1 2 3
.
16.【解析】（1）根据题意，，，
则，
解得，
当时，，成立，
所以a的取值范围为.
（2）依题意，，
则只有一个变号零点，
有一个变号交点，
令，
所以函数在和分别单调递减，
在上单调递增，
如右图象所示，可得：，
所以.
17.【解析】（1）根据题意，
法一：
∴
当时，
，也满足.
法二：
可得，
所以数列是常数列，
.
（2），
所以，
设数列，
数列前n项和为，
分析可得，数列从第2项开始放缩成，
设数列
数列前n项和为，
所以（右边取“≤”亦给分）.
18.【解析】（1）因为在椭圆：上，，
又的面积为，
解得，
代入，解得，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）由，，三点共线，可得，
故，
同理，由，，三点共线，可得，
若与的面积分别为，，
则，
因为，
所以，
所以，
又，
故，
因为，
令，则，
所以，其中，
的开口向下，对称轴为，
故当时，故t的最小值为.
19.【解析】（1）依题意，，即，即，
令，，
则，，
解得，
当，，函数在上单调递增，
当，，函数在上单调递减，
所以函数在处取得最大值，
即函数在存在唯一的零点，
所以集合中有且仅有一个元素.
（2）当时，函数在上单调递增，
依题意可知的稳定点与的不动点等价，故只需研究的不动点即可；
令，，
则，，则在上单调递减，
①当时，恒成立，即在上单调递增，
当时，，又，
故存在唯一的，使得，即有唯一解，
所以此时有唯一不动点；
②时，，
当时，，此时，
存在唯一，使得，∴；
此时在上单调递增，在上单调递减，
故，
当时，，当时，∵，∴；
设，则在上单调递增，且，
又在时单调递增，
故（i）当时，即，此时，
方程有一个解，即有唯一不动点；
（ii）当，即，此时，
方程无解，即无不动点；
（iii）当时，即，此时，
方程有两个解，即有两个不动点；
综上，当时或时，有唯一稳定点，
即集合的子集的个数为2个；
当时，无稳定点，即集合的子集的个数为1个；
当，有两个稳定点，即集合的子集的个数为4个.
