无为中学 2024-2025 学年度第一学期高二开学考
数学试卷
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共计 40分。每小题给出的四个选项中，
只有一个选项是正确的。
1． 已知集合 = 2 ≤ ≤ 7 ， = + 1 < < 2 1 ，若 ∪ = ，
则
A． 2 ≤ ≤ 4 B． 2 < < 4
C． < 4 D． ≤ 4
2． 若复数 = (2 ) + (2 1)i( ∈ )为纯虚数，则复数 在复平面上的
对应点的位置在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3． 已知向量 ， 的夹角为 ， = 1， = 4 3且 = 6，则 =
A π B π 2π 5π． ． C． D．
6 3 3 6
4． 若 ∈ 1 , 2 ，使得 3 2 + 1 ≥ 0成立是真命题，则实数 的最大值为
2
A 7． B．2 3 C．4 D 13．
2 2
5． 若偶函数 (0, + ∞) π 2在 上单调递增，则 = 2 ， = ， =
2 3
的大小关系是
A． < < B． < <
C． < < D． < <
6． 已知 , 是不同的直线， , 是不重合的平面，则下列命题中，不正确的有
A．若 // , ⊥ , // ，则 ⊥
B．若 // , // , ∩ = ，则 //
C．若 // , // ，则 //
D．若 ⊥ , ⊥ , ，则 //
7． 已知函数 ( ) = 2cos( + )( > 0,0 < < π)的图象关于原点对称，且
π 2π
在区间 , 上是减函数，若函数 ( )在[0,π]上的图象与直线 = 2有且
2 3
仅有一个交点，则ω的取值范围是
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A．(0,1] B． 0, 3 C．[1, + ∞) D 1 3． ,
4 2 4
8． 六氟化硫，化学式为SF6，在常压下是一种无色 无臭 无毒 不燃的稳定气体，
有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八
面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的
正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体
的棱长为 ，下列说法中正确的个数有
①此八面体的表面积为 2 3 2；
②异面直线 与 所成的角为45 ；
③此八面体的外接球与内切球的体积之比为 3 3；
④若点 为棱 上的动点，则 + 的最小值为 2 3 .
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共计 18分。每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求。全部选对得 6分，选对但不全的得部分分，有错选的得 0分。
9． 若数据 1, 2, , 10的平均数为 3，方差为 4，则下列说法正确的是
A．数据 4 1 + 1,4 2 + 1, , 4 10 + 1的平均数为 13
B．数据 3 1, 3 2, , 3 10的方差为 12
C．10 =1 = 30
D 10． 2 =1 = 130
10．在△ 中，设角 , , 所对的边分别为 , , ，则下列命题一定成立的是
A．若 2 + 2 > 2，则△ 是锐角三角形
B π．若 = 2， = 2， = ，则△ 有唯一解
4
C．若△ π是锐角三角形， = 3， = ，设△ 的面积为 S，则 ∈
3
( 3 3 , 9 3 ]
2 4
D．若△ 是锐角三角形，则 sin + sin > cos + cos
11．如图，在直三棱柱 1 1 1中， 1 = 3, = = 2, ⊥ , 1
与 1 相交于点 ，点 是侧棱 1上的动点，则下列结论正确的是
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{#{QQABZbQQWEko5gAgwgAkIJaJAACAR5hqCAAUQ33qqCCAAmOQQkkIKBhELAUCgQshgROABFBqAAMRoKAAAJANQAQBNKAB=}C#A} =}#}
A．直三棱柱 1 1 1的体积是 6
B．三棱锥 1 的体积为定值
C． + 1的最小值为 13
D．直三棱柱 1 1 1的外接球表面积是 17π
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共计 15分。
12．已知 lg5 = ,lg7 = ，则log2849用 , 表示为 ．
13．如图，在△ 中，点 满足 = 2 ，过点 的直线
与 , 所在的直线分别交于点 , ，若AM = ,
= , > 0 ，则 + 2 的最小值为 ．
14．给如图所示的 1~9号方格进行涂色，规则是：任选一个
格子开始涂色，之后每次随机选一个未涂色且与上次所
涂方格不相邻（即没有公共边）的格子进行涂色，当 5
号格子被涂色后停止涂色，记此时已被涂色的格子数为
X，则 = 3 = ．
四、解答题：本题共 6小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．(13分)
在△ 中，已知 为 的中点， = 2 3， = 2，∠ = 60°.
(1)求△ 的面积；
(2)求 的长.
16．(15分)
= 1已知函数 ．
(1)若 < 2 ，在 ∈ 0, + ∞ 上恒成立，求实数 a 的取值范围；
(2)若函数 在区间 , 上的值域是 , （m、 > 0），求实数 a 的取值
范围．
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17．(15分)
已知函数 = 2 3cos2 2sin π + cos 3（ > 0）.
(1)当 = 1时，求 的最大值以及取得最大值的 x 的集合；
(2) 2π π π若 在 0, 上恰有两个零点，且在 ， 上单调递増，求 的取值
3 4 24
范围.
18．(17分)
如图，在四棱锥 中，底面 为等腰梯形， // ， = =
1 ，M 为 上一点，且 = 2 .
2
(1)求证： //平面 ;
(2)若△ 为正三角形， = ，求异面直线
与 所成角的大小;
(3) 点 E 为 中点，点 F 在线段 上，且 = ，
若 //平面 ，求实数 的值.
19．(17分)
数据传输包括发送与接收两个环节．在某数据传输中，数据是由数字 0和 1
组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字．发送数字 1时，收到的数字
是 1的概率为 0 < < 1 ，收到的数字是 0的概率为 1 ；发送数字 0时，
收到的数字是 0的概率为 0 < < 1 ，收到的数字是 1的概率为 1 ．假设
3
每次数字的传输相互独立，且 + = ．
2
(1)当 = 时，若发送的数据为“10”，求收到的所有数字都正确的概率；
(2)用 表示收到的数字串，将 中数字 1的个数记为 ，如 =“1011”，则
= 3．
（ⅰ）若发送的数据为：“100”，且 = 0 : = 1 = 3: 11，求 ；
（ⅱ）若发送的数据为“1100”，求 = 2 的最大值．
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