威海市2023-2024学年高一下学期期末考试
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 半径为，圆心角为的扇形的面积为
A. B. C. D.
2． 下列角的终边落在射线上的是
A. B. C. D.
3． 已知两条不同的直线，两个不同的平面，则
A.若则 B.若则
C.若则 D.若则
4． 有一个正四棱台形状的油槽，最多装油，已知它的两底面边长分别为和，则它的深度为
A. B. C. D.
5． 已知，向量，，则存在和，使得
A. B. C. D.
6． 一艘轮船从处出发，以海里/小时的速度沿西偏南的方向直线航行，分钟后到达处．在处有一座灯塔，轮船在处观察灯塔，其方向是东偏南，在处观察灯塔，其方向是北偏东，则，两点间的距离为
A.海里 B.海里
C.海里 D.海里
(
x
y
O
2
)7． 已知函数的部分图象如图所示，则
B.在上单调递增
C.为偶函数
D.
8． 在三棱锥中，平面，为等腰三角形且面积为，．若该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9． 设，则
A. B.
C. D.
10．已知正六边形的边长为，中心为，则
A.
B.
C.在上的投影向量为
D.若为正六边形边上的一个动点，则的最大值为
11．已知正方体的棱长为，是线段上的动点，则
A.
B.二面角的正切值为
C.直线与平面所成最小角的正弦值为
D.若是对角线上一点，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若，则 ．
13．记的内角，，所对的边分别为，，．已知，，则 ．
14．在三棱锥中，平面，，且最长的棱长为，
为棱的中点，则当三棱锥的体积最大时，直线与所成角的
余弦值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）
在正三棱柱中，，分别为，的中点．
(
A
B
C
M
O
A
1
B
1
C
1
)（1）证明：平面；
（2）证明：平面．
16．（15分）
(
●
A
B
C
D
E
G
F
)如图，在直角梯形中，，，，，，为的中点，点满足，．
（1）用与表示；
（2）求的取值范围；
（3）若点为的重心，是否存在，
使得，，三点共线？若存在，求出的值；
若不存在，请说明理由．
17．（15分）
(
B
A
C
D
E
C
'
)如图，在平行四边形中，，沿其对角线将折起至，使所在平面与平面垂直．
（1）证明：平面平面；
（2）若为上一点，平面，
，求直线到平面的距离．
18．（17分）
已知函数，对，有．
（1）求的值及的单调递增区间；
（2）若，，求；
（3）将函数图象上的所有点，向右平移个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象．若，，求实数的取值范围．
19．（17分）
(
A
B
C
D
E
)如图，在平面四边形中，，若是上一点，，记，．
（1）证明：；
（2）若，，.
（i）求的值；
（ii）求的取值范围．高一数学参考答案
一、选择题：每小题 5分，共 40分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D B D A C C
二、选择题：每小题 6分，共 18分。全部选对得 6分，部分选对得部分分，有选错的得 0分。
题号 9 10 11
答案 BD BCD ABD A1 C1
三、填空题：每小题 5分，共 15分。 B1
题号 12 13 14 M
O
3 3 26
答案
5 4 26 A C
四、解答题： D
B
15.（13分）
（1）证明：取 BC 的中点D，连接OD， AD，
因为O为 BC1 的中点，
所以OD CC1且OD
1
CC1，----------------------------------------------------------------------------- 2分2
1
又因为 AM CC1且 AM CC1，2
所以OD AM 且OD AM ，
所以四边形 AMOD为平行四边形，------------------------------------------------------------------------4分
所以MO AD，------------------------------------------------------------------------------------------------5分
又因为MO 平面 ABC， AD 平面 ABC，
所以MO 平面 ABC .----------------------------------------------------------------------------------------- 7分
（2）证明：因为 ABC A1B1C1 为直三棱柱，
所以 BB1 平面 ABC，因为 AD 面 ABC，
所以 BB1 AD，----------------------------------------------------------------------------------------------- 9分
因为△ABC为等边三角形，所以 AD BC，-----------------------------------------------------------10分
又 BB1 BC B，
所以 AD 平面 B1BCC1，------------------------------------------------------------------------------------ 12分
又因为MO AD，
所以MO 平面 B1BCC1 . -------------------------------------------------------------------------------------13分
高一数学答案 第 1页（共 5页）
{#{QQABTQaEogAoAIBAABhCEQFKCgKQkAGAASgOQBAMoAAAgANABCA=}#}
16.（15分）
1 1 1 3 1
解：（1） AF (AC AB) (AD AB AB) AB AD .---------------------------------- 4分
2 2 2 4 2
（2） AE AD DE AD AB，-----------------------------------------------------------------------5分
2
1 3 1 2AE AF (AD AB) 3
2
所以 ( AD AB) AD AB 6 6 ，-------------------------7分
2 2 4 2 8
又因为 [ 0，1 ]，所以 AE AF [ 6，12 ] .---------------------------------------------------------------9分
（3）若点G为△AEF 的重心，
2 1
则 AG (AE AF) 1 AD 2 3 AB，----------------------------------------------------------11分
3 2 2 12
1
又因为 AC AD AB，------------------------------------------------------------------------------------ 12分
2
若 A，C，G三点共线，则 k R使得 AG k AC，------------------------------------------------13分
1
k 2
可得 ，解得 0，
2 3 1 k
12 2
所以存在 0，使得 A，C，G三点共线.-------------------------------------------------------------15分
（也可以建立平面直角坐标系，利用坐标法求解）
17.（15分）
证明：（1）【法一】因为 CBD 90 ，
所以CB BD，------------------------------------------------------------------------------------------------ 1分
因为平面 BC D 平面 ABCD，平面 BC D 平面 ABCD BD，CB 平面 ABCD，
所以CB 平面 BC D， C ------------------ 4分
因为平行四边形 ABCD，
所以 AD BC， E
所以 AD 平面 BC D， --------------------6分
因为 AD 平面 AC D， D C
所以平面 BC D 平面 AC D . O ------------------------- 7分
A B
【法二】因为 CBD 90 ，
所以 C BD 90 ，即C B BD，------------------------------------------------------------------------ 1分
因为平面 BC D 平面 ABCD，平面 BC D 平面 ABCD BD，C B 平面 BC D，
所以C B 平面 ABCD，------------------------------------------------------------------------------------- 3分
所以C B AD， ----------------------------------------------------------------------------------------------4分
高一数学答案 第 2页（共 5页）
{#{QQABTQaEogAoAIBAABhCEQFKCgKQkAGAASgOQBAMoAAAgANABCA=}#}
因为平行四边形 ABCD，
所以 ADB CBD 90 ，即 AD BD，--------------------------------------------------------------5分
因为C B BD B，所以 AD 平面 BC D，----------------------------------------------------------- 6分
因为 AD 平面 AC D，
所以平面 BC D 平面 AC D . -------------------------------------------------------------------------------7分
解：（2）因为 AC 平面 BDE，
所以 AC 到平面 BDE的距离等于点C 到平面 BDE的距离.-----------------------------------------8分
连接 AC交 BD于点O，连接OE，
因为 AC 平面 BDE， AC 平面 AC C，平面 AC C 平面 BDE OE，
所以 AC OE，----------------------------------------------------------------------------------------------- 9分
因为O为 AC中点，所以 E为CC 的中点，------------------------------------------------------------ 10分
因为 BC BD 1， CBD 90 ，所以CD C D 2 ，
在Rt△C BC中，C B 1， BC 1，所以 BE CC 且CC 2，--------------------------------12分
所以△DC C 为等边三角形，所以DE CC ，---------------------------------------------------------13分
因为 BE DE E，所以CC 平面 BDE，------------------------------------------------------------ 14分
C E C BDE C E 2所以 的长即为点 到平面 的距离，因为 ，
2
所以 AC 到平面 BDE 2的距离为 .----------------------------------------------------------------------- 15分
2
18.（17分）
解：（1） f (x) sin 2xcos cos2xsin sin(2x ) ，---------------------------------------------- 1分
因为对 x R ，有 f (x)≤| f ( ) |，可得当 x 时， f (x)取得最值，
3 3
所以 2 k ， k Z，
3 2
可得 k ， k Z，又 0 | | ，
6 2
所以 ，--------------------------------------------------------------------------------------------------- 3分
6
所以 f (x) sin(2x ) ，
6
2k 2x 由 ≤ ≤ 2k ， k Z，可得 k ≤ x≤ k ， k Z，
2 6 2 6 3
所以 f (x) 的单调递增区间为 [ k , k （ k Z）.-------------------------------------------5分
6 3
高一数学答案 第 3页（共 5页）
{#{QQABTQaEogAoAIBAABhCEQFKCgKQkAGAASgOQBAMoAAAgANABCA=}#}
（2）由 x0 [ 0
， ]， f (x ) 1 ，
4 0 3
1
可得 2x0 [ , ]， sin(2x0 ) ，------------------------------------------------------------- 6分6 6 3 6 3
2 2
所以 cos(2x0 ) ，------------------------------------------------------------------------------------7分6 3
所以 sin 2x0 sin[(2x
0 )
] 3 2 2 sin(2x0 )cos cos(2x0 )sin .------------ 9分6 6 6 6 6 6 6
（3）将函数 y f (x)图象上的所有点，向右平移 个单位后得到
24
函数 y sin[2(x ) ] sin(2x )的图象，
24 6 4
可得 g(x) sin(x )，--------------------------------------------------------------------------------------- 11分
4
令 h(x) 2 sin(x ) sin 2x sin x cos x 2sin xcos x， x [0 ,
4
只需 h(x)min ≤ 2m
2 3m，------------------------------------------------------------------------------------ 12分
令 t sin x cos x 2 sin(x ) ，
4
x [0 x [ 3 因为 , ，所以 , ]，
4 4 4
所以 t [ 1, 2]，--------------------------------------------------------------------------------------------- 13分
因为 t 2 (sin x cos x)2 1 2sin x cos x，可得 2sin xcos x 1 t 2 ，
1 5
所以 y t 1 t 2 (t )2 ，-------------------------------------------------------------------------- 14分
2 4
因为 t [ 1, 2]，所以当 t 1时， h(x)min 1，--------------------------------------------------- 15分
所以 2m2 1 3m≥ 1，即 (2m 1)(m 1)≥ 0，解得m≤ 或m≥1 .
2
m 1所以实数 的取值范围为m≤ 或m≥1 .--------------------------------------------------------------- 17分
2
19.（17分）
证明：（1）因为 BC CE ，所以 BEC ABC ，---------------------------------------------- 1分
BEC 在△ 中， ，可得 2 ，------------------------------------------------- 2分
2 2
所以 cos2 cos( ) sin ，即 cos2 sin 0 .----------------------------------------------4分
2
高一数学答案 第 4页（共 5页）
{#{QQABTQaEogAoAIBAABhCEQFKCgKQkAGAASgOQBAMoAAAgANABCA=}#}
解：（2）在△ACE AC AE中，由正弦定理得 ，
sin AEC sin ACE
3AE AE
可得 ，
sin( ) sin
所以 sin 3sin ，-----------------------------------------------------------------------------------------6分
因为 cos2 sin 0，所以1 2sin 2 sin 0，
可得1 6sin 2 sin 0 ，
即 6sin2 sin 1 0，-------------------------------------------------------------------------------------8分
解得 sin 1 或 sin 1 （舍去），
2 3
因为 (0 , ) ，所以 .--------------------------------------------------------------------------------- 9分
2 6
（3 AC AD）在△ACD中，由正弦定理得 ，
sin ADC sin ACD
即 AC sin ACD sin ADC ，----------------------------------------------------------------------------- 10分
由余弦定理得 AC 2 AD2 CD2 2AD CD cos ADC 10 6cos ADC ，-------------------- 11分
因为 ACB ， ，所以 ABC ，所以 AC 3BC ，----------------------------------12分
2 6 3
在△BCD中，由余弦定理得
BD2 BC 2 CD2 2BC CD cos BCD ，
AC 2
9 2 3 AC cos( ACD)
3 2
10
2cos ADC 9 2 3AC sin ACD
3
37
2 3 sin ADC 2cos ADC
3
4sin( ADC ) 37 ，------------------------------------------------------------------------------------ 14分
6 3
ADC (0 ) ADC 因为 , ，所以 ( , )，
6 6 6
所以 sin( ADC 1 ) ( ,1] ，----------------------------------------------------------------------------- 15分
6 2
BD2 (31 49 93 7 3所以 , ]，解得 BD ( , ] .------------------------------------------------------------ 17分
3 3 3 3
高一数学答案 第 5页（共 5页）
{#{QQABTQaEogAoAIBAABhCEQFKCgKQkAGAASgOQBAMoAAAgANABCA=}#}
